第27章圓27.3圓中的計算問題第1課時弧長與扇形的面積目

錄CONTENTS011星題基礎練022星題中檔練033星題提升練弧長公式1．[知識初練]公式推導：在半徑為R的圓中，∵360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長，∴n°的圓心角所對的弧長占圓的周長的________，∴圓心角為n°的弧長l＝__________·2πR＝________．23456789101112131412．把一根長度為2π的鐵絲彎成圓心角是120°的一條弧，則這條弧所在圓的半徑是______．234567891011121314133.[跨學科·物理][2024·南平一檢]小明同學在社會實踐活動中用一個直徑為30cm的定滑輪帶動重物上升．如圖，滑輪上一點A繞點O逆時針旋轉108°，假設繩索(粗細不計)與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了(

)A．6πcm B．9πcmC．12πcm D．15πcm2345678910111213141B4．[2024·廈門期末]如圖，AB與⊙O相切于點A，OB交⊙O于點C，

OC＝8，

的長為2π，求BC的長．解：如圖，連結OA.∵AB與⊙O相切于點A，∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°.設∠AOB＝n°，∵OC＝8，

的長為2π，∴

＝2π，解得n＝45，即∠AOB＝45°.∴∠B＝90°－∠AOB＝45°.∴∠B＝∠AOB.∴OA＝AB＝8.∴在Rt△OAB中，OB＝∴BC＝OB－OC＝8－8.23456789101112131415．若扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的面積為

(

)A．2πB．4πC．12πD．24π2345678910111213141C扇形面積公式6.[教材改編題]一個扇形的弧長是10πcm，其圓心角是150°，則此扇形的面積為(

)A．30πcm2

B．60πcm2C．120πcm2

D．180πcm22345678910111213141B7．數學課上，老師將如圖所示的邊長為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB長為半徑的扇形(鐵絲的粗細忽略不計)，則所得扇形DAB的面積是________．1【思路點睛】

的長＝CD＋BC＝1＋1＝2.23456789101112131418．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2.

以點A為圓心，AC長為半徑作弧交AB于點D，再以點B為圓心，BD長為半徑作弧交BC于點E，求圖中陰影部分的面積．解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2∴AC＝

AB，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°.由題意，得AD＝AC＝2，∴BD＝AB－AD＝4－2＝2，∴陰影部分的面積為S△ABC－S扇形CAD－S扇形DBE＝23456789101112131419．一條弧所對的圓心角為135°，弧長等于半徑為3cm的圓的周長的5倍，則這條弧的半徑為(

)A．45cmB．40cmC．35cmD．30cm2345678910111213141B10．如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O，OB＝2，則圖中陰影部分的面積是________．234567891011121314111.[真實情境]如圖，用兩道繩子捆扎著三瓶直徑均為8cm的醬油瓶，若不計繩子接頭處的長度(π取3)，則繩子的總長為________．234567891011121314196cm12.[創新題·新考法][2024·南平一中月考]如圖，四邊形ABCD是正方形，曲線DEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中

，…的圓心依次按A，B，C，D循環．當AB＝1時，曲線DEFGH的長度是________．23456789101112131415π13．如圖，將矩形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉得到矩形AEFG，點B的對應點E落在邊CD上，若AB＝

，BC＝

，求

的長．解：如圖，連結AC，AF，過點E作EM⊥AB于點M，則易得EM＝BC＝

.由旋轉的性質可知，AB＝AE＝

，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF.在Rt△ABC中，在Rt△AEM中，∴AM＝EM，∴∠EAM＝45°，∴易得∠FAC＝∠EAM＝45°，234567891011121314114.[推理能力]如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，且CD∥AB，連結AC，AD，OD，其中AC＝CD.過點B的切線交CD的延長線于點E.(1)求證：DA平分∠CDO；2345678910111213141證明：∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠DAO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠CDA＝∠ADO.∴DA平分∠CDO.(2)若AB＝12，求圖中陰影部分的周長和．解：連結BD.∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°.∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA.又∵∠CDA＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°.∵OD＝OB，∴△DOB是等邊三角形，∴BD＝OB＝

AB＝6，∠OBD＝60°.∵

，∴AC＝BD＝6.∵BE切⊙O于點B，∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90°.