1、數(shù)學(xué)建模競賽試題B題：如何進(jìn)行人員分配“A公司”是一家從事建筑工程的公司，現(xiàn)有41個專業(yè)技術(shù)人員，其結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的工資水平分布如表1所示：表1人員結(jié)構(gòu)及工資情況人員工資情疝高級工程師工程師助理工程師技術(shù)貝人數(shù)917105日工資（元）250200170110目前，公司承接4個工程項(xiàng)目，其中2項(xiàng)是現(xiàn)場施工，分別在A地和B地,主要工作在現(xiàn)場完成；另外2項(xiàng)是工程設(shè)計(jì)，分別在C地和D地，主要工作在辦公室完成。由于4個項(xiàng)目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不同，因此，各項(xiàng)目的合同對有關(guān)技術(shù)人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同，具體情況如表2:表2不同項(xiàng)目和各種人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)人員項(xiàng)目高級工程師工程師助理工程師技術(shù)貝收費(fèi)（元/天

2、）A1000800600500B1500800700600C1300900700400D1000800700500為了保證工程質(zhì)量，各項(xiàng)目中必須保證專業(yè)人員結(jié)構(gòu)符合客戶的要求，具體情況如表3所小：表3各項(xiàng)目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求項(xiàng)目人員ABCD高級工程師1325212工程師>2>2>228助理工程師至2至2>2>1技術(shù)貝之1至3>1總計(jì)<10<16<11<18說明：（1）項(xiàng)目D，由于技術(shù)要求較高，人員配備必須是助理工程師以上，技術(shù)員不能參加；（2）高級工程師相對稀少，而且是保證質(zhì)量的關(guān)鍵，因此，各項(xiàng)目客戶對高級工程師的配備要求不能少

3、于一定數(shù)目的限制。各項(xiàng)目對其他專業(yè)人員也有不同的限制或要求；（3）各項(xiàng)目客戶對總?cè)藬?shù)都有限制；（4）由于C，D兩項(xiàng)目是在辦公室完成，所以每人每天有50元的管理費(fèi)開支；由于收費(fèi)是按人工計(jì)算的，而且4個項(xiàng)目總共同時最多需要的人數(shù)是10+16+11+18=55，多于公司現(xiàn)有人數(shù)41，應(yīng)如何合理地分配現(xiàn)有的人員力量，使公司每天的直接受益最大？10如何進(jìn)行人員分配目錄一、問題重述二、問題分析三、問題假設(shè)四、模型建立五、模型求解六、結(jié)果分析七、模型評價(jià)八、模型改進(jìn)一、問題重述企業(yè)的人力資源管理是一門科學(xué)，而人力資源管理最主要的任務(wù)是如何把企業(yè)現(xiàn)有的人力資源安排到合適的工作崗位，以使企業(yè)能夠獲得更高的經(jīng)濟(jì)效

4、益。尤其是在人力資源稀缺的情況下，合理的安排各人員的任務(wù)更是顯得至關(guān)重要。接下來我們將要解決的就是一個企業(yè)人員分配的問題。在這個問題中，A建筑工程公司有高級工程師、工程師、助理工程師、技術(shù)員等四種不同級別的工作人員，并且公司同時承接了A、B、GD四個不同的工程項(xiàng)目。公司不同級別的技術(shù)人員的工資是固定不變的，各級別技術(shù)人員的數(shù)量也是一定的，為了保證工程質(zhì)量，各項(xiàng)目中必須保證專業(yè)人員結(jié)構(gòu)符合客戶的要求，在各項(xiàng)目的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)也是一定的情況下，合理的安排現(xiàn)有的技術(shù)人員的任務(wù)，將使公司獲得一個最大的利潤。那么，為了獲得最大收益，A公司到底應(yīng)該如何把這四種不同級別的技術(shù)人員安排到四個不同的項(xiàng)目中去呢？本文中

5、，我們將重點(diǎn)對該問題進(jìn)行分析。二、問題分析該問題的任務(wù)是，通過合理分配人員，使公司每天的直接收益最大。公司的主要收入來源是對各項(xiàng)目所收取的費(fèi)用，支出主要有兩項(xiàng)：四種不同級別的技術(shù)人員的工資和項(xiàng)目期間的辦公費(fèi)用。公司的直接收益是總收入減去總支出。A公司對各個項(xiàng)目的不同技術(shù)人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)都高于對應(yīng)技術(shù)人員的總支出費(fèi)用。我們可以得出不同項(xiàng)目對應(yīng)不同級別技術(shù)人員的利潤表如下：人員項(xiàng)目高級工程師工程師助理工程師技術(shù)貝利潤（元/天）A750600430390B1250600530490C1000650480240D700550480340注：該表中的利潤值是已經(jīng)減去辦公費(fèi)用的值同時，技術(shù)人員的分配受到不同

6、項(xiàng)目對技術(shù)人員結(jié)構(gòu)要求的約束，由于公司人員有限，各項(xiàng)目的技術(shù)人員安排不可能同時達(dá)到所需的最大數(shù)量，我們要將現(xiàn)有的41名技術(shù)人員對最大55個可用崗位進(jìn)行安排。從以上分析結(jié)果，我們可以確定這是一個線性規(guī)劃問題，對公司現(xiàn)有的各級別技術(shù)人員進(jìn)行合理的任務(wù)安排，可以使公司獲得一個最大利潤。接下來，我們就將問題轉(zhuǎn)化到如何將A公司各級別技術(shù)人員安排到55個崗位上來，使公司獲得最大利潤。三、問題假設(shè)1、公司的現(xiàn)有技術(shù)人員數(shù)量和結(jié)構(gòu)保持不變，即公司不會再臨時招聘專業(yè)技術(shù)人員；2、一旦任務(wù)分配好之后，不會再出現(xiàn)人員變動的情況，并且不可能出現(xiàn)同一個技術(shù)人員同時擔(dān)任兩個項(xiàng)目的工作；3、對項(xiàng)目的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)和專業(yè)技術(shù)人員的

7、工資水平保持不變；4、排除人員因生病、請假等不能正常工作的情況，排除天氣對項(xiàng)目進(jìn)行的影響；四、模型建立1、決策變量：對各項(xiàng)目分配的技術(shù)人員數(shù)目設(shè)如下變量:人員數(shù)目ABCD高級工程師x11x12x13x14工程師x21x22x23x24助理工程師x31x32x33x34技術(shù)貝x41x42x43x442、目標(biāo)函數(shù)：設(shè)公司每天的利潤為萌，根據(jù)利潤表和人員分配表，公司每天的總利潤可以表示為：M=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41

8、+490*x42+240*x43+340*x443、約束條件：(1)各項(xiàng)目的不同技術(shù)人員數(shù)量約束如下:1<x11<32<x12<5x13=21<x14<2x21>2x22>2x23>22<x24<8x31>2x32>2x33>2x34>1x41>1x42>3x43>1x44=0(2)各項(xiàng)目安排的總?cè)藛T約束如下：x11+x21+x31+x41<10x12+x22+x32+x42<16x13+x23+x33+x43<11x14+x24+x34+x44<18(3)各級別

9、技術(shù)人員總數(shù)約束如下：x11+x12+x13+x14<9x21+x22+x23+x24<17x31+x32+x33+x34<10x41+x42+x43+x44<5五、模型求解對于這種整數(shù)規(guī)劃類型的問題，可以用分支定界法來進(jìn)行求解。但是由于該模型的變量比較多，用分支定界法進(jìn)行手工求解是比較麻煩的，而lingo軟件求解整數(shù)規(guī)劃問題時，正是基于這種方法，所以我們可以借助lingo軟件進(jìn)行求解。編寫lingo程序如下：model:max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x

10、31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x12+x13+x14<=9;x21+x22+x23+x24<=17;x31+x32+x33+x34<=10;x41+x42+x43+x44<=5;x11+x21+x31+x41<=10;x12+x22+x32+x42<=16;x13+x23+x33+x43<=11;x14+x24+x34+x44<=18;x11>=1x11<=3x12>=2x12<=5x13=2;x14>=1x14<=

11、2x21>=2x22>=2x23>=2x24>=2x24<=8x31>=2x32>=2x33>=2x34>=1x41>=1x42>=3x43>=1x44=0;End運(yùn)行程序（運(yùn)行結(jié)果見附錄一）,求得最優(yōu)解為27150元，即為公司每天最大直接收益。各項(xiàng)目的專業(yè)技術(shù)人員最優(yōu)分配表如下：項(xiàng)目人員ABCD總計(jì)高級工程師15219工程師636217助理工程師252110技術(shù)貝13105總計(jì)101611441六、結(jié)果分析從運(yùn)行結(jié)果（詳見附錄一）可以看出，公司的41名技術(shù)人員都能分配到任務(wù)，且完全符合各項(xiàng)目對技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求。而且，從

12、其“影子價(jià)格”一欄可得知，在其他條件不變的情況下，每增加一名高級工程師，公司的最大直接收益就增加700元；每增加一名工程師，公司的最大直接收益就增加550元；每增加一名助理工程師，公司的最大直接收益增加480元；每增加一名技術(shù)員，公司的最大直接收益增加440元。因此，在不影響公司正常業(yè)務(wù)的情況下，應(yīng)減少助理工程師和技術(shù)員的人數(shù)，增加高級工程師和工程師的人數(shù)，以使公司獲得最大的直接收益。七、模型評價(jià)1模型優(yōu)點(diǎn)：（1）該模型對問題用線性規(guī)劃進(jìn)行分析，而且列出了利潤表對問題進(jìn)行簡化，使得問題變得簡單，也減少了模型變量的數(shù)量，使得分析問題變得簡單；（2）結(jié)果分析了各級別技術(shù)人員數(shù)量增加時對企業(yè)利潤的影

13、響，給人力資源結(jié)構(gòu)調(diào)整作了一個參照，以及今后公司擴(kuò)展業(yè)務(wù)時應(yīng)該招聘的人員比例。2模型缺點(diǎn)：（1）本模型忽略了實(shí)際作業(yè)時的多種因素，例如天氣、人員缺勤等不確定因素；（2）本模型未對公司實(shí)際作業(yè)時的其他支出進(jìn)行考慮，如購買工具、設(shè)備折舊等；八、模型改進(jìn)四個項(xiàng)目同時要求的總?cè)藬?shù)為55人，而公司實(shí)際人口為41人，如果公司招聘更多的技術(shù)人員會使利潤增加，但應(yīng)該招多少高級工程師、工程師、助理工程師和技術(shù)員，才能使公司的直接收益最大呢？下面我們對此問題進(jìn)行求解。假設(shè)其他條件不變，新招聘的技術(shù)人員的工資標(biāo)準(zhǔn)和現(xiàn)有人員的相同。我們編寫如下lingo程序并進(jìn)行求解：model:max=750*x11+1250*x

14、12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x21+x31+x41<=10;x12+x22+x32+x42<=16;x13+x23+x33+x43<=11;x14+x24+x34+x44<=18;x11>=1;x11<=3;x12>=2;x12<=5;x13=2;x14>=1;x14<=2;x21>=2;x22>=2;x23>=2;x24>=2;x24<=8;x31>=2;x32>=2;x33>=2;x34>=1;x41>=1;x42>=3;x43>=