高中數(shù)學(xué)第四章定積分4.2微積分基本定理教學(xué)實錄1北師大版選修2-2學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)第四章定積分4.2微積分基本定理教學(xué)實錄1

2.教學(xué)年級和班級：高一年級2班

3.授課時間：2022年9月15日星期四上午第二節(jié)課

4.教學(xué)時數(shù)：1課時核心素養(yǎng)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)抽象：理解微積分基本定理，建立從微分到積分的數(shù)學(xué)思想。

2.數(shù)學(xué)建模：通過實例，學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為微積分基本定理模型。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：熟練運(yùn)用微積分基本定理進(jìn)行積分運(yùn)算。

4.數(shù)學(xué)推理：運(yùn)用邏輯推理，證明微積分基本定理的正確性。

5.數(shù)學(xué)思想方法：體會極限思想在微積分中的應(yīng)用。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)、極限和導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識。他們對函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的計算方法以及極限的基本性質(zhì)有一定的了解。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高一年級的學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科普遍抱有較高的興趣，尤其是對探索未知和解決實際問題的過程。他們的學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，能夠通過自主學(xué)習(xí)掌握新知識。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生偏好通過直觀的圖形和實例來理解概念，而另一部分學(xué)生則更傾向于通過邏輯推理和公式推導(dǎo)來掌握知識。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)微積分基本定理時，學(xué)生可能會遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是理解定理的物理意義和數(shù)學(xué)意義之間的聯(lián)系；二是掌握從導(dǎo)數(shù)到積分的轉(zhuǎn)換過程；三是證明定理的正確性時，邏輯推理的嚴(yán)密性和證明技巧的運(yùn)用。此外，學(xué)生可能對積分運(yùn)算的技巧和計算過程感到困惑。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有北師大版選修2-2教材，包含第四章定積分的內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與微積分基本定理相關(guān)的動態(tài)圖表、歷史圖片和教學(xué)視頻，以幫助學(xué)生直觀理解概念。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備黑板或電子白板，用于板書和展示關(guān)鍵公式和步驟。

4.教室布置：設(shè)置討論區(qū)，方便小組合作，并確保教室環(huán)境安靜、光線充足，適合進(jìn)行數(shù)學(xué)討論和計算。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺發(fā)布微積分基本定理的預(yù)習(xí)資料，包括定理的定義、歷史背景和應(yīng)用實例。

設(shè)計預(yù)習(xí)問題：提出如“如何從導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出積分？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生思考積分的本質(zhì)。

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過平臺查看學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保學(xué)生能夠完成預(yù)習(xí)任務(wù)。

學(xué)生活動：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生閱讀資料，理解微積分基本定理的基本概念。

思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生針對預(yù)習(xí)問題進(jìn)行思考，記錄疑問。

提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生提交預(yù)習(xí)筆記或思維導(dǎo)圖，展示預(yù)習(xí)成果。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生自主探索微積分基本定理。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺監(jiān)控和反饋預(yù)習(xí)情況。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動：

導(dǎo)入新課：通過展示物理中的速度和位移關(guān)系，引出微積分基本定理。

講解知識點(diǎn)：講解微積分基本定理的證明過程，強(qiáng)調(diào)其重要性。

組織課堂活動：分組進(jìn)行積分運(yùn)算練習(xí)，學(xué)生互相檢查和討論。

解答疑問：針對學(xué)生的疑問，進(jìn)行個別輔導(dǎo)和集體解答。

學(xué)生活動：

聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，思考定理的證明和應(yīng)用。

參與課堂活動：積極參與積分運(yùn)算的練習(xí)，學(xué)會運(yùn)用定理。

提問與討論：學(xué)生提出問題，參與討論，加深對定理的理解。

教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：詳細(xì)講解定理的證明和應(yīng)用。

實踐活動法：通過實際運(yùn)算練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生的技能。

合作學(xué)習(xí)法：通過小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的溝通和協(xié)作能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

布置作業(yè)：布置涉及微積分基本定理的應(yīng)用題，鞏固知識。

提供拓展資源：推薦相關(guān)書籍和在線資源，供學(xué)生深入學(xué)習(xí)。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：批改作業(yè)，提供反饋，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺。

學(xué)生活動：

完成作業(yè)：獨(dú)立完成作業(yè)，鞏固定理的應(yīng)用。

拓展學(xué)習(xí)：利用拓展資源，探索積分在實際問題中的應(yīng)用。

反思總結(jié)：反思學(xué)習(xí)過程，總結(jié)學(xué)習(xí)心得，提出改進(jìn)措施。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，提升自我學(xué)習(xí)能力。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-微積分基本定理的歷史背景：介紹微積分基本定理的發(fā)展歷程，包括牛頓-萊布尼茨公式的歷史淵源，以及它在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位。

-微積分基本定理的應(yīng)用領(lǐng)域：探討微積分基本定理在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用實例，如力學(xué)中的功的計算、電路分析中的電流積分等。

-積分運(yùn)算的實際應(yīng)用：提供一些積分運(yùn)算在生活中的實際應(yīng)用案例，如計算物體的體積、計算曲線下的面積等。

-證明方法多樣化：介紹微積分基本定理的多種證明方法，如極限法、無窮小替換法等，幫助學(xué)生理解定理的不同證明思路。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書籍：推薦閱讀《微積分基本定理及其應(yīng)用》等書籍，深入了解微積分基本定理的理論和應(yīng)用。

-觀看教學(xué)視頻：推薦觀看在線教育平臺上的微積分基本定理相關(guān)教學(xué)視頻，如“微積分基本定理的證明”等，幫助學(xué)生更好地理解定理。

-參與數(shù)學(xué)競賽：鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，如全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽等，通過競賽提高對微積分基本定理的理解和應(yīng)用能力。

-實踐項目研究：引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)實踐項目，如設(shè)計一個利用微積分基本定理解決實際問題的項目，提高學(xué)生的實際應(yīng)用能力。

-小組合作學(xué)習(xí)：組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，共同探討微積分基本定理的證明和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作精神和溝通能力。

-制作教學(xué)課件：鼓勵學(xué)生制作微積分基本定理的教學(xué)課件，通過制作過程加深對定理的理解，并提高學(xué)生的教學(xué)表達(dá)能力。

-參加學(xué)術(shù)講座：邀請數(shù)學(xué)專家進(jìn)行學(xué)術(shù)講座，讓學(xué)生了解微積分基本定理的最新研究成果和發(fā)展趨勢。

-開展數(shù)學(xué)研究：鼓勵學(xué)生開展數(shù)學(xué)研究，如對微積分基本定理的證明方法進(jìn)行改進(jìn)或提出新的應(yīng)用領(lǐng)域。教學(xué)反思與改進(jìn)教學(xué)反思是一種自我審視的過程，它幫助我們教師更好地理解教學(xué)效果，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的不足，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。在本節(jié)課的教學(xué)中，我有以下幾點(diǎn)反思和改進(jìn)措施：

1.學(xué)生對微積分基本定理的理解程度：

通過觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)和作業(yè)完成情況，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對微積分基本定理的理解還不夠深入。有些學(xué)生能夠熟練地進(jìn)行積分運(yùn)算，但在理解和應(yīng)用定理時卻顯得有些吃力。為了改進(jìn)這一點(diǎn)，我計劃在未來的教學(xué)中增加更多實例和實際問題，讓學(xué)生在實際應(yīng)用中加深對定理的理解。

2.課堂互動與討論：

在本節(jié)課中，我嘗試通過小組討論和角色扮演等方式來增強(qiáng)課堂互動。然而，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生參與度不高，討論環(huán)節(jié)顯得有些沉悶。為了改善這一狀況，我打算在今后的教學(xué)中更加注重激發(fā)學(xué)生的興趣，通過設(shè)置更具挑戰(zhàn)性和趣味性的問題來提高學(xué)生的參與度。

3.教學(xué)節(jié)奏與難度控制：

在講解微積分基本定理的證明過程中，我發(fā)現(xiàn)教學(xué)節(jié)奏過快，導(dǎo)致部分學(xué)生跟不上進(jìn)度。同時，由于難度較大，一些學(xué)生在理解上存在困難。為了解決這個問題，我計劃在今后的教學(xué)中適當(dāng)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，確保每個學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度，并在講解過程中加入更多易于理解的步驟和例子。

4.教學(xué)資源的利用：

在本節(jié)課中，我使用了多媒體資源來輔助教學(xué)，但發(fā)現(xiàn)有些資源并不適合當(dāng)前的教學(xué)內(nèi)容。為了提高教學(xué)效果，我將在未來的教學(xué)中更加精心挑選和制作教學(xué)資源，確保它們與教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合。

5.作業(yè)設(shè)計與反饋：

作業(yè)是檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段。在本節(jié)課的作業(yè)設(shè)計中，我發(fā)現(xiàn)部分題目過于簡單，未能有效檢測學(xué)生對微積分基本定理的掌握程度。為了改進(jìn)這一點(diǎn)，我將在今后的作業(yè)設(shè)計中增加更多層次和難度的題目，同時確保及時批改和反饋，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺。

6.學(xué)生個性化學(xué)習(xí)：

在本節(jié)課中，我注意到部分學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度明顯落后于其他同學(xué)。為了更好地滿足學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)需求，我計劃在未來的教學(xué)中采用差異化教學(xué)策略，針對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和需求，提供個性化的輔導(dǎo)和資源。

7.教學(xué)評價與反饋：

教學(xué)評價是了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要環(huán)節(jié)。在本節(jié)課中，我主要依賴于作業(yè)和課堂表現(xiàn)來評價學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。為了更全面地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，我計劃在未來的教學(xué)中增加更多的評價方式，如課堂提問、小組展示等，以便更準(zhǔn)確地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。板書設(shè)計①微積分基本定理的定義：

-定理內(nèi)容

-微分與積分的關(guān)系

-定理的物理意義

②定理的證明步驟：

-極限的定義和性質(zhì)

-變限積分的定義

-變限積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

-定理的證明過程

③定理的應(yīng)用：

-計算定積分

-解決實際問題

-物理學(xué)中的應(yīng)用實例

④注意事項：

-定理適用的條件

-積分運(yùn)算的技巧

-證明過程中的邏輯推理課后作業(yè)1.作業(yè)內(nèi)容：利用微積分基本定理計算定積分\(\int_{0}^{2}(x^2-4x+5)\,dx\)。

解答過程：

首先，我們需要計算函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+5\)的原函數(shù)。設(shè)\(F(x)\)為\(f(x)\)的一個原函數(shù)，則\(F'(x)=f(x)\)。

通過求導(dǎo)，我們可以得到\(F(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+5x+C\)，其中\(zhòng)(C\)為常數(shù)。

根據(jù)微積分基本定理，我們有\(zhòng)(\int_{0}^{2}(x^2-4x+5)\,dx=F(2)-F(0)\)。

計算\(F(2)=\frac{1}{3}(2)^3-2(2)^2+5(2)+C=\frac{8}{3}-8+10+C=\frac{10}{3}+C\)。

計算\(F(0)=\frac{1}{3}(0)^3-2(0)^2+5(0)+C=C\)。

因此，\(\int_{0}^{2}(x^2-4x+5)\,dx=\frac{10}{3}+C-C=\frac{10}{3}\)。

2.作業(yè)內(nèi)容：已知函數(shù)\(f(x)=x^2+2x-3\)，求\(\int_{1}^{3}f'(x)\,dx\)。

解答過程：

首先，我們需要找到\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)。通過求導(dǎo)，我們得到\(f'(x)=2x+2\)。

根據(jù)微積分基本定理，我們有\(zhòng)(\int_{1}^{3}f'(x)\,dx=f(x)\bigg|_{1}^{3}\)。

計算\(f(3)=3^2+2(3)-3=9+6-3=12\)。

計算\(f(1)=1^2+2(1)-3=1+2-3=0\)。

因此，\(\int_{1}^{3}f'(x)\,dx=f(3)-f(1)=12-0=12\)。

3.作業(yè)內(nèi)容：求由曲線\(y=e^x\)和直線\(y=x\)在區(qū)間\([0,1]\)內(nèi)圍成的圖形的面積。

解答過程：

我們需要找到兩條曲線的交點(diǎn)。設(shè)置\(e^x=x\)，通過觀察或數(shù)值方法可以找到\(x\approx0.567\)為一個解。

由于\(e^x>x\)在區(qū)間\([0,1]\)內(nèi)成立，面積\(A\)可以通過積分計算：

\(A=\int_{0}^{1}(e^x-x)\,dx\)。

計算這個積分，我們得到\(A\approx2.718-0.5=2.218\)。

4.作業(yè)內(nèi)容：已知函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)，求\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}f'(x)\,dx\)。

解答過程：

首先，找到\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)。求導(dǎo)得到\(f'(x)=\cos(x)\)。

根據(jù)微積分基本定理，我們有\(zhòng)(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}f'(x)\,dx=f(x)\bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\)。

計算\(f(\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

計算\(f(\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)。

因此，\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}f'(x)\,dx=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)。

5.作業(yè)內(nèi)容：計算由曲線\(y=\ln(x)\)和\(y=x\)在區(qū)間\([1,e]\)內(nèi)圍成的圖形的面積。

解答過程：

我們需要找到兩條曲線的交點(diǎn)。設(shè)置\(\ln(x)=x\)，通過數(shù)值方法可以找到\(x=e\)為一個解。

由于\(\ln(x)<x\)在區(qū)間\([1,e]\)內(nèi)成立，面積\(A\)可以通過積分計算：

\(A=\int_{1}^{e}(x-\ln(x))\,dx\)。

計算這個積分，我們得到\(A=\left[\frac{x^2}{2}-x+x\ln(x)\right]_{1}^{e}\)。

代入上下限，得到\(A=\left[\frac{e^2}{2}-e+e\ln(e)\right]-\left[\frac{1}{2}-1+1\ln(1)\right]\)。

因為\(\ln(1)=0\)，所以\(A=\frac{e^2}{2}-e\)。課堂課堂評價是教學(xué)過程中不可或缺的一環(huán)，它有助于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行解決。以下是我對課堂評價的幾個方面的具體實踐：

1.提問與回答：

在課堂教學(xué)中，我經(jīng)常通過提問來檢查學(xué)生對知識的掌握程度。例如，在講解微積分基本定理時，我會提出如下問題：

-請簡述微積分基本定理的內(nèi)容。

-能否舉例說明微積分基本定理在物理中的應(yīng)用？

-如何證明微積分基本定理的正確性？

通過學(xué)生的回答，我可以了解他們對定理的理解程度，以及是否能夠靈活運(yùn)用定理解決實際問題。

2.觀察與反饋：

在課堂教學(xué)中，我會