第04講特殊二次函數的性質

*如識點梳理

一、二次函數丫=2*2(a#0)與丫=@*2+(^#0)的圖象及性質(復習圖像，分析性質，數形

結合)

1.二次函數y=ax2(a20)的圖象的性質

二次函數丫=@/(aWO)的圖象的性質，見下表:

函數圖象開口方向頂點坐標對稱軸函數變化最大(小)值

2

y=axa>0向上(0,0)y軸x>0時，y隨x當x=0時，

增大而增大；y最小二0

k2x<0時,y隨x

oX增大而減小.

2

y二axa<0iz向下(0,0)y軸x>0時，y隨x當x=0時，

o增大而減小；y最大=0

x<0時,y隨x

7]飛增大而增大.

2.二次函數y=ax2+c(aW0)的圖象的性質

關于二次函數>=以2+。(4/0)的性質，主要從拋物線的開口方向、頂點、對稱軸、

函數值的增減性以及函數的最大值或最小值等方面來研究.下面結合圖象，將其性質列表歸

納如下：

函數y=ax2+c(a>0,c>0)y=ax2+c(a<0,c>0)

卻)

圖象

0X*rv

開口方向向上向下

頂點坐標(0,c)(0,c)

對稱軸y軸y軸

當x>0時，y隨x的增大而增大；當x>0時，y隨x的增大而減小；

函數變化

當x<0時，y隨x的增大而減小.當x<0時，y隨x的增大而增大.

最大(小)值當％二°時，y最小值二c當x=0時，y最大值=。

二、二次函數y=a(x-h)2(ah0)與y=a(x-h)2+k(aH0)的圖象與性質

1.函數y=a(x-h)\a*0)的圖象與性質

〃的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

時，y隨x的增大而增大；尤時，y隨

6Z>0向上(h,0)x=h

x的增大而減小；龍="時，y有最小值0.

時，y隨x的增大而減小；時，y隨

a<Q向下(h,0)x=h

x的增大而增大；x=/z時，y有最大值0.

2.函數y=?(x-h)2+k(a*0)的圖象與性質

a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

時，y隨x的增大而增大；尤<九時，y隨

a>Q向上(h,k)X二h

x的增大而減小；龍=入時，y有最小值機

x>/z時，y隨x的增大而減小；無v/z時，y隨

a<0向下（力，k）x=h

x的增大而增大；x=/z時，y有最大值左.

^WW<IBW

、'例1.下列說法中正確的是（）

A.在函數y=2Y中，當x=0時y有最大值0

B.在函數y=2/中，當x>0時y隨x的增大而減小

C.拋物線y=2x?,y=-Y,>=中，拋物線y=2/的開口最小

D.不論a取何值，了="2的頂點都是坐標原點

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用y=aN（存0）圖象的性質分別分析得出答案.

A由函數的解析式y=2/,可知拋物線頂點坐標在原點，開口方向向上，故當廣。時y有最

小值0,故A錯誤；

B由函數的解析式y=2x2,可知其對稱軸為y軸，對稱軸的左邊（x<0）,y隨尤增大而減

小，對稱軸的右邊（x>0）,y隨x增大而增大，故B錯誤；

C根據二次函數的性質，可知系數。決定開口方向和開口大小，且。的絕對值越大，函數圖

象開口越小，可知拋物線>=2尤2的開口最小，故C正確；

D不論a是正數還是負數，拋物線>=依2（"0）的頂點都是坐標原點，故D錯誤

故選：C

【點睛】

此題主要考查了二次函數的圖像與性質，解題關鍵是明確產"2（際0）的圖像的特點.

、：例2.函數y=x+i,y=x2+2,y=x2,y=-2x2+1中，當x>0時，y隨x的增大

而增大的函數共有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】

根據一次函數與二次函數的圖象與性質即可判斷.

解：當x>0時，y隨x的增大而增大的函數是一次函數y=x+l和二次函數y=x?+2和y

=x2.

故選C.

【點睛】

此題主要考查函數的圖象，解題的關鍵是熟知一次函數與二次函數的圖象與性質.

［例3.下列關于二次函數y=2Y的說法正確的是()

A.它的圖象經過點(0,2)B.它的圖象的對稱軸是直線x=2

C.當x<0時，y隨x的增大而減小D.當40時，y有最大值為。

【答案】C

【解析】

【分析】

根據二次函數的圖象性質即可判斷.

解：A、當x=0時，y=0#2,故此選項錯誤；

B、它的圖象的對稱軸是直線x=0,故此選項錯誤；

C、當x<0時，y隨x的增大而減小，當尤>0時，y隨尤的增大而增大，故此選項正確；

D、當x=0時，y有最小值是0,故此選項錯誤；

故選：C.

【點睛】

此題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解

題關鍵.

-、-，例4.點(4%),(9,%)均在拋物線y=Y-1上，下列說法正確的是()

A,若％=%，則玉=無2B.右X[=~x2,則>1=1%

C.若0<無1<尤2，則”>為D.若玉</<。，則%>%

【答案】D

【解析】

解：由圖象，根據二次函數的性質，有

A.若％=>2，則占=—x2，原說法錯誤；

B.若玉=-%，則％=y?，原說法錯誤；

c.若。<玉<%,則%〈必，原說法錯誤；

D.若不<尤2<。，則%>必，原說法正確.

故選D.

【點睛】

本題考查二次函數的圖象和性質.

，1例5.點P(m,n)在函數y=x2的圖象上，當-lWmW2時，則n的取值范圍是

()

A.1<n<4B.0<n<4C.0<n<lD.-1<n<2

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意確定出對稱軸，再根據二次函數的增減性求出m取值范圍內的最大值，然后寫出n

的取值范圍即可.

解：函數y=x2,所以對稱軸為y軸，

V-l<m<2,a=l>0即開口向上，

當m=0時，n有最小值0,

當m=2時，n有最大值為22=4,

所以n的取值范圍是0<n<4.

故選：B.

【點睛】

本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握并利用二次函數的增減性以及最值問題進

行分析是解題的關鍵.

例6.已知二次函數y=3(x-2y+5,則有()

A.當x>-2時，>隨x的增大而減小B.當尤>-2時，>隨x的增大而增大

C.當x>2時，y隨X的增大而減小D.當x>2時，y隨X的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】

根據拋物線頂點式解析式特征，結合拋物線圖象的性質，開口向上的拋物線，在對稱軸的右

邊，》隨尤的增大而增大，據此解題即可.

,J=3(X-2)2+5

，拋物線開口向上，對稱軸為x=2,頂點坐標為（2,5）

根據拋物線圖象的性質，當尤>2時，>隨x的增大而增大

:4、B、D都不正確，

D正確

故選：D.

【點睛】

本題考查二次函數的性質，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

已知拋物線y=（X-2）2上任意兩點A（XI,V）與B（X2,>2）,若

>2,則y/和丫2的大小關系是（）

A.yi>y2B.yi<y2C.yi>y2D.yi<y2

【答案】B

【解析】

【分析】

先確定拋物線的對稱軸，再根據開口方向，A、B兩點與對稱軸的遠近，判斷〃與”的大小

關系即可；

解：：拋物線y=（x-2）2,

拋物線開口向上，對稱軸為直線x=2,

'.X2>XI>2,則”>經，

故選B.

【點睛】

本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，掌握二次函數圖象上點的坐標特征是解題的

關鍵.

若二次函數y=(x-〃z)2-1.當XW3時，>隨x的增大而減小，則加的取值范

圍是（)

A.加=3B.m>3C.m>3D.m<3

【答案】C

【解析】

【分析】

由題知道二次函數對稱軸為X=，〃，開口向上，根據二次函數圖像的性質，當x在對稱軸左

邊的時候y隨x的增大而減小，即可得解.

解：由題知二次函數對稱軸為x=w,開口向上，

根據二次函數圖像的性質：只需滿足即可滿足題意，

故選C.

【點睛】

本題考查了頂點式的二次函數圖像的性質；掌握好二次函數圖像的性質時本題的關鍵.

[?j例9.如圖，拋物線yi=a(x+2)2-3與y2=：(x-3)z+1交于點A(1,3),過點A

作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B,C.則以下結論：①無論x取何值，y2的值

總是正數；②a=l；③當x=0時，y2-yi=4；④2AB=3AC；其中正確結論是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】

直接由=：。-3)2判斷①；把A點坐標代入拋物線yi=a(x+2)2-3求出a值判斷

②；由x=0求得y2,yi作差后判斷③；由二次函數的對稱性求出B,C的坐標，進一步驗證

2AB=3AC判斷④.

解：對于①，%=；(尤-3)2+1..1>0,.?.無論x取何值，y2的值總是正數正確；

2

對于②，：拋物線yi=a(x+2)2-3過點A(1,3),貝|3=a(1+2)2-3,解得。=§,②錯誤;

對于③，乂="|(%+2)2-3,%=：(x-3)2+1,當x=0時，③錯誤;

322.\5)6

對于④，：拋物線yi=a(x+2)2-3與必=；(無一3>+1交于點A(1,3),...可求得B(-5,

3),C(5,3),求得AB=6,AC=4,則2AB=3AC,④正確.

故選D.

【點睛】

本題考查命題的真假判斷與應用，考查了二次函數的性質，屬中檔題.

'例10.當a>0時，拋物線y=a(x-〃)2的開口,對稱軸是直線,頂點

坐標是，當x=/i時，y有最____值為0,當了<//時，y隨x的增大而；當

時，y隨尤的增大而.

當。<0時，拋物線y=a(x-4的開口，對稱軸是直線,頂點坐標是,

當時，y有最值為0,當時，y隨尤的增大而；當x>/z時，y隨x的增

大而.

【答案】向上x=h(/i,0)小減小增大向下x=h(/?,

0)大增大減小

【解析】

略

八

、］例U.已知二次函數y=(a+2)N有最小值，那么〃的取值范圍是.

【答案】a>-2.

【解析】

【分析】

根據二次函數的性質，當二次項系數大于。時拋物線開口向下，函數有最小值，即可得出答

案.

解：因為二次函數y=(a+2)N有最小值，

所以a+2>0,

解得a>-2.

故答案為：a>-2.

【點睛】

本題考查二次函數性質，熟練掌握y=ax2形的圖象性質是解題關鍵.

在2例I2.當-1WX42時，二次函數y=Y的最大值是,最小值是

【答案】40

【解析】

【分析】

利用二次函數圖像找到-14x42范圍內的圖像變化規律，從而求解.

,二次函數y=/,

???對稱軸為y軸，頂點為原點，開口向上，

y軸左邊y隨x的增大而減小，在y軸右邊，y隨尤的增大而增大.

...當-14x42時，最小值是當x=0時，y=0；

當x=-l時，y=l；當x=2時，y=4.

故答案為4；0.

【點睛】

本題主要考查二次函數圖像與不等式，正確利用數形結合分析是解題關鍵.本題難度不大，

注意頂點在不等式范圍內，頂點為最小值.

例13.設4(—2,〃)、8(1,”)、C(2,刈是拋物線y=—(無+1/+左上的三點，則”、

”、”的大小關系為.

【答案】%>%>為

【解析】

【分析】

本題要比較％,七，%的大小，由于外,尤%是拋物線上三個點的縱坐標，所以可以根

據二次函數的性質進行解答：先求出拋物線的對稱軸，再由對稱性得A點關于對稱軸的對稱

點H的坐標，再根據拋物線開口向下，在對稱軸右邊，，隨x的增大而減小，便可得出％,

為，的大小關系.

解：拋物線y=-(x+l)2+k,

二對稱軸為x=-l,

,A點關于x=T的對稱點4(0,乂)，

CL——1V0,

在x=-1的右邊y隨x的增大而減小，

A(0,%),8(1,%),C(2,%),0<1<2,

故答案選：%>%>%.

【點睛】

本題考查了二次函數圖象的性質，對稱軸的求法，解題的關鍵是熟記二次函數的性質：?>0

時，在對稱軸左邊，y隨尤的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大；。<0時，

在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小.

['1例14.

已知關于X的二次函數y=(x-/?>+3,當1WXW3時，函數有最小值2/Z,則人

的值為____________

3

【答案】:或6

2

【解析】

【分析】

依據二次函數的增減性分lWh03、h<l、h>3三種情況，由函數的最小值列出關于h的方程，

解之可得.

'/y=(尤-/ip+3中cz=l>0,

當尤<//時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大；

①若l<h<3,

則當廣九時，函數取得最小值3,

即2〃=3,

3

解得：吟

②若則在1WXW3范圍內，x=l時，函數取得最小值2/z,

即(l-〃y+3=2/z,

解得：h-2；(舍去)

③若〃>3,則在1WXW3范圍內，x=3時，函數取得最小值2h,

即(3-/7)2+3=2"

解得:/i=6,/i=2(舍去);

故答案為：;或6.

【點睛】

本題考查二次函數的圖像和性質，因為對稱軸的位置不確定，所以分類討論.

|'例15.我們知道：二次函數：y=(x-l)2,當x=l時，y有最小值，y=(x-2p當x=2

時，y有最小值；那么請同學們探究一下：y=(x-l)2+(x-2)2,當*=時，y有最小

值.y=(%—”1)2+(%—Q2)+…+(]—40),當x=202時y有最小值,則囚+%+?…+〃io=.

3

【答案】-2020

【解析】

【分析】

利用二次函數的，開口向上，求出對稱軸，當X為對稱軸的值時，函數取最小值即可.

由y=(x_l)2+(x—2)2=2%2_6x+5=2(%2—3x)+5=,

當x=￡3時，y有最小值.

由y二(兀-—2)+…+(%—Go)，

2

y=10x—2(q+%+,+4o)x+a；9

當X=-3=+〃=202.函數取最小值

2a10

...q+%++=2020,

3

故答案為：；，2020.

2

【點睛】

本題考查二次函數的最值問題，掌握二次函數中a決定開口方向，當a>0時，拋物線開口向

bh

上，x=-二時函數取最小值，反之，當a<0時，拋物線開口向下，x=-丁時函數取最大值

2a2a

是解題關鍵.

心躡蹤釧瀛

一、單選題

1.關于拋物線y=-f+2下列說法正確的是()

A.開口向上B.對稱軸是y軸C.有最小值D.當x<0時，函數y

隨x的增大而減小

【答案】B

【分析】由拋物線解析式可求得其開口方向、對稱軸、最值及增減性，則可判斷四個選項,

可求得答案..

【解析】解：???拋物線解析式為y=_*+2,-K0,

???拋物線開口向下，對稱軸為y軸，

；?函數有最大值，當x<0時，函數y隨x的增大而減小，

；?四個選項中只有選項B符合題意，

故選B.

【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，掌握二次函數的圖象與系數的關系和二次函

數的性質是解題的關鍵.

2.己知拋物線y=(2-a)d+i有最低點，那么〃的取值范圍是()

A.a>0B.a<0C.a>2D.a<2

【答案】D

【分析】根據已知條件中二次函數的圖象有最低點，可知拋物線的開口方向向上；利用拋物

線的開口方向和二次項系數有關，再結合拋物線開口向上，得到由此即可得到“的

取值范圍.

【解析】解：???二次函數y=(2-a)d+l的圖像有最低點，

二函數圖象開口向上，

則2—a>0,

解得a<2.

故選D.

【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，掌握二次函數的性質是解題關鍵.

3.對于二次函數>=-3。-2)2的圖象，下列說法正確的是()

A.開口向上B.對稱軸是直線x=-2

C.當x>-2時，y隨X的增大而減小D.頂點坐標為(2,0)

【答案】D

【分析】根據二次函數解析式可得，該二次函數的圖象開口向下，對稱軸是直線x=2,頂

點坐標為(2,0),在對稱軸的左側，y隨X的增大而增大，

【解析】對于二次函數y=-3(x-2)2,-3<0,則開口向下，對稱軸是直線x=2,頂點坐標

為(2,0),

故A,B選項錯誤，D選項正確，

當尤<2時，y隨尤的增大而增大，當%>2時，y隨x的增大而減小，

.?.當x>-2時，y隨尤的增大先增大后減小，故c選項錯誤，

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵.

4.已知二次函數y=a(x-〃z)2(a<0)的圖象經過點A(-1,p),B(3,q),且p<q,

則m的值可能是()

A.-1B.-V2C.0D.|

【答案】D

【分析】根據拋物線解析式可得拋物線對稱軸及開口方向，由點48坐標求出A,B關于

對稱軸對稱時機的值，進而求解.

【解析】解：???、=〃(x-m)2(〃<0),

???拋物線開口向下，對稱軸為直線

-1+3

當p=q時,m1,

2

p<q,

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系.

5.已知某二次函數，當尤<1時，y隨x的增大而增大；當x>l時，y隨x的增大而減小，則

該二次函數的解析式可以是（）

A.y=2（x+l）2B.y=2（尤一IpC.y=-2（x+l）2D.j=-2（x-l）2

【答案】D

【分析】先利用二次函數的性質得到拋物線開口向下，對稱軸為直線尤=1,然后對各選項進

行判斷.

【解析】解：：當x<l時，y隨尤的增大而增大；當x>l時，y隨x的增大而減小，

...拋物線開口向下，對稱軸為直線x=l,

二y=-2（x-lp符合條件,

故選：D

【點睛】本題考查了二次函數的性質，根據題意得到拋物線開口向下，對稱軸為直線x=l是

解題的關鍵.

6.在下列函數圖象上任取不同的兩點次%,X）,。（馬，必），一定能使上顯<°的是（）

%—X]

2

A.y=—（尤>0）B.y=—（尤一2）~9+5（尤20）

C.y=（x-3）2-4（x<0）D.y=3x+7

【答案】C

【分析】根據各函數的增減性依次進行判斷即可.

2

【解析】解：A、y=——（x>0）中，k=—2<Q,則當x>0時，y隨x的增大而增大，

x

即當%>馬時，必有必>必，

此時取=>0,故本選項不成立；

x2一石

B、：y=(尤一2)2+5(xN0)的對稱軸為直線尤=2,

.,.當0<x<2時，y隨x的增大而減小，當x>2時y隨x的增大而增大，

...當x>2時，當玉>/時，必有力>當，

此時21二五>0,故本選項不成立；

x2一芭

C、：y=(x-3)2_4(x<0)的對稱軸為直線x=3,

當尤<3時，y隨尤的增大而減小，

...當x<0時，當王>彳2時，必有％<必，

此時上工<0,故本選項成立；

無2一%

D、：y=3x+7中，k=3>0,

隨x的增大而增大，即當天時，必有%>%，

此時三二工>。，故本選項不成立.

x2一再

故選：C.

【點睛】本題主要考查了一次函數、反比例函數和二次函數的圖象和性質，掌握各類函數的

增減性是關鍵.

7.已知點A(m,%),3(%2，%)是一"次函數y=(x-3)+3上的兩點，右尤］<3<%,xl+x2>6,

則下列關系正確的是()

A.%<3<%B.3<yl<y1C.3<y2VMD.%<%<3

【答案】B

【分析】根據二次函數的性質，進行分析即可得出結論.

【解析】解：y=(x-3)2+3,對稱軸為尤=3,。=1>0,

拋物線的開口向上，當x=3時，函數取得最小值，、=3,拋物線上的點離對稱軸越遠，

函數值越大，

<3<x2,+x2>6,

.?.點A,B在對稱軸的兩側,且上-3|<同一3|,

3<%<%;

故選B.

【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質.熟練掌握二次函數的性質，是解題的關鍵.

2

8.設函數M=(x-aJ,%=卜一生)一，=(x-a3).直線x=b的圖象與函數X,%,以

的圖象分別交于點A,G),B(b,cj,C,cJ,()

A.若b＜a、＜&,則。2＜。3＜6

B.若a,＜6＜/＜/，則q＜。2＜。3

C.若a、＜b＜a、,則03＜。2＜缶

D.若為＜。2＜。3＜人，則。3＜。2＜。1

【答案】D

【分析】按照題意，畫出滿足題意的圖象，根據直線x=l，與二次函數圖象的交點進行判斷

即可.

【解析】解：如圖所示，

A.由圖象可知，若6＜/＜生＜/，當X=b時，q＜C2＜c3,故選項錯誤，不符合題意；

B.由圖象可知，若0＜6＜/＜見，，當X=b時，9＜。2＜。3不一定成立，故選項錯誤，不

符合題意；

C.由圖象可知，若/＜。2＜%＜/，當X=b時，。3＜。2＜9不一定成立，故選項錯誤，不符

合題意；

D.由圖象可知，若兄＜見＜見＜＞，當x=b時，c3＜c2＜clt故選項正確，符合題意；

故選：D

【點睛】此題主要考查了二次函數的圖象和性質，數形結合是解題的關鍵.

9.如圖，拋物線＞=內2+。(a＞0,c＜0)與x軸交于A,B兩點，直線AC交拋物線于

另一點C,直線3方交拋物線于另一點。，AC的解析式為“=左/+伉，的解析式為

y2=k2x+b2,若AC〃皿，則&和4和%的關系都正確的是()

B.—k2=0,4+4=0

C.左]+無2=。,—b2=0D.—k2=0,bt—b2=0

【答案】B

【分析】利用一次函數的特征，先求得A-?，。，8b

2，o,再由拋物線—加+c（<2>0,

凡）k2

b也

c<0）與x軸交于A,8兩點，得=0,進而一次函數平行的性質即可得解.

%k2

【解析】解：：AC的解析式為％=%x+4，3D的解析式為％=&x+%，

by

???令％=0得0=%x+4,解得尤=一1

b?

令丫2=。得。=□+%,解得彳=一忒,

*2

B-14

:拋物線y=ox?+c(o>0,c<0)與x軸交于A,3兩點,

b2

b=0,

AC//BD,

..k]=k、,

kl—kj=0,4+Zz,=0,

故選B.

【點睛】本題考查了一次函數與二次函數的圖像及性質，熟練掌握一次函數的性質是解題的

關鍵.

10.如圖，拋物線y=（x-/7）2+A的頂點在AQ5的邊。4所在的直線上運動，點A的坐標為

（2,1）,點8的坐標為（。，3）,若拋物線與，AC?的邊AB、Q4都有公共點，則人的取值范圍是

y,

31

A.-2<h<-B.0<h<2C.——<h<2D.-2<h<2

22

【答案】C

【分析】先求得直線。4的解析式為：y=然后由拋物線的頂點在直線y=上，可

求得左=3/7,于是得到拋物線的解析式為y=（xj）2，由圖形可知當拋物線經過點A和

點。時拋物線與A03的邊AB、Q4郡有公共點，然后將點A和點。的坐標代入拋物線的解

析式可求得力的值，從而可判斷出場的取值范圍.

【解析】解：設直線的解析式為：'=冰，

點A的坐標為（2,1）,

2a=1J

解得

???直線。4的解析式為：y=^x,

拋物線y=（x-/7/+人的頂點為：依，好,且在“103的邊。4所在的直線上運動，

k—h,

2

???拋物線解析式為：y=（x~/i）2+1/7,

當拋物線經過點。時，

將（0，。）代入>=（》-〃）2+3力得：

〃?+]/z=0,解得4=0,=――,

當拋物線經過點A時，

將A（2,l）代入丁="一/?）2+3/7得：

913

（2-/?X+-/7=l,解得九=2,/72=|,

綜上所述，。的取值范圍為：-；4九42,

故選：c.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，通

過平移拋物線探究得出拋物線與3A03的邊AB、Q4都有公共點，拋物線經過的“臨界點”為

點A和點。是解題的關鍵.

二、填空題

11.如果拋物線丫="2-3的頂點是它的最高點，那么。的取值范圍是.

【答案】a<0

【分析】根據題意可得拋物線開口向下，即可求解.

【解析】解：：頂點是拋物線，=以2-3的最高點，

，拋物線開口向下，

??〃<0.

故答案為：a<0.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的

關鍵.

12.已知點人(-2,乂)、3(—3,%)為二次函數>=(尤+1『圖像上的兩點，那么

%必.(填或“<”)

【答案】<

【分析】由于知道二次函數的解析式，且知道4B兩點的橫坐標，故可將兩點的橫坐標代

入二次函數解析式求出力、為值，再比較即可

【解析】解：當x=-2時，

%=(-2+1)~=1,

當x=—3時，

%=(-3+1)2=4,

；?%<必.

故答案為：<.

【點睛】本題考查了二次函數圖像上的兩點y值的大小，這類題目的一種算法是將兩點的橫

坐標代入二次函數解析式求出y值.

13.二次函數y=2/-5的最小值是.

【答案】-5

【分析】根據二次函數的頂點式即可得到答案.

【解析】解：?；y=2x2-5,

XV2>0,

.,.當x=o時，y有最小值，最小值為-5.

故答案為：-5.

【點睛】本題考查二次函數的最值：對于二次函數y=a（尤-"）2+刈。彳0）,當。>0時，當

x=/z時，y有最小值上；當.<0時，當x=〃時，y有最大值吼

14.若點。（占,〃7）、。（馬，”）在拋物線y=-2（x-3）2的圖象上，且玉>%>3,則相與"的

大小關系為.

【答案［m<n/n>m

【分析】根據二次函數解析式，求得二次函數的對稱軸，開口方向，再根據二次函數的性質

求解即可.

【解析】解：由拋物線y=-2（x-3）2可得，a<0,開口向下，對稱軸為x=3,

...當x>3時，y隨x的增大而減小，

又：尤1>無2>3,

:.m<n

故答案為：相Y-

【點睛】此題考查了二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的有關性質.

15.關于二次函數y=2（x-4y+6,下列說法正確的是.（寫序號）

①最大值為4；②對稱軸為直線x=4；③最大值為6；④最小值為6.

【答案】②④/④②

【分析】通過二次函數的圖象及其性質：開口方向，對稱軸，最值問題即可解決.

【解析】由y=2（x-4）2+6,

2>0；

；?二次函數開口方向向上，有最小值6,故④正確；

由二次函數y=2（x-4『+6可知，頂點坐標為（4,6）,

二對稱軸為直線x=4,故②正確；

故答案為：②④.

【點睛】本題考查二次函數的圖象及其性質，二次函數的最值，解此題的關鍵是明確二次函

數的性質，會求函數的最值.

16.已知二次函數y=（x-l）一,當時，函數值y的取值范圍是.

【答案】0<y<l

【分析】先求得二次函數的對稱軸，根據二次函數的性質求解即可.

【解析】解：y=（x-iy的對稱軸為直線x=l,a=\>0,開口向上，

當x=i時，y最小為o,

3

X0<x<—,

2

，x=o時，y最大為i

.\0<y<l

故答案為：owywi.

【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的增減性.

17.在研究二次函數y=-(x+l)2-3的圖象和性質時，甲、乙、丙、丁四位同學的說法如下：

甲：圖象的頂點坐標為(T，-3)；乙：函數的圖象關于直線x=-l對稱；丙：當尤=1時，函數

取得最大值-3；T：當時，>隨x的增大而增大.其中，說法錯誤的是同學.

【答案】丙

【分析】根據y=-(x+l)2-3總結歸納拋物線的性質，再逐一比對即可.

【解析】解：VJ=-(X+1)2-3,

???拋物線的頂點坐標為：(T，-3),拋物線的對稱軸為直線x=-l,拋物線的開口向下，

當天=-1時，函數取得最大值y=-3,

當x<-l時，y隨X的增大而增大.

???甲，乙，丁的說法正確，丙的說法錯誤；

故答案為：丙.

【點睛】本題考查的是拋物線的性質，熟練的掌握y=+左的圖象與性質是解本題

的關鍵.

18.已知函數/(尤)=x?—2(a+2)x+a~,g(x)=—x~+2(a—2)x—+8.

設乜(x)=max{〃x),g(x)},(x)=min{/(x),g(%)},max{p,q}表示p,q中的較大值,

min{p,q}表示p,q中的較小值，屬(元)記得最小值A,凡(力得最大值為B,則A—B=

【答案】-16

【解析】因為/(x)=x2-2(?+2)x+<72=(%-?-2)2-4a-4,

8(%)=-尤2+2(4—2)龍一(32+8=-(尤-。+2)2-412+12.

所以當x=a+2時，f(x)=g(x尸-4a-4；當x=a-2時，f(x)=g(x)=-4a+12,

而gmax=g(a-2)=-4a+12,所以H2(X)Wg(X)Wgmax,又fmin=f(a+2)=-4a-4,所以Hl(X)Nf(X)Nfinin,所

以A=-4a-4,B=-4a+12,則A-B=-16,故答案為-16.

三、解答題

19.已知函數y=(m+3)/+4，“-3+5是關于x的二次函數.

⑴求m的值；

⑵函數圖象的兩點A(l,yJ,B(5,y2),若滿足為>%,則此時機的值是多少？

【答案】(1)加=1或〃?=一5

⑵〃?=一5

【分析】(1)根據二次函數的定義可得加+3wO,7/+4〃?->=N，即可求解；

(2)點4(1,%),3(5,%)，且%>%，可得在對稱軸右邊，>隨天的增大而減小，即可進

行解答.

【解析】(1)解：：函數y=(m+3)/+4吁3+5是關于x的二次函數，

.Jm+30

[m2+4m一3=2'

解得：m=1或相=-5.

(2).該函數的對稱軸為y軸，點8(5,%)，且%>%，

???在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小，

m+3<0,解得m<-3

??m——5*

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象定義和性質，解題的關鍵是掌握二次函數的二次項

系數不為0,次數最高為2；。>0時，函數開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小,

在對稱軸右邊，y隨尤的增大而增大，。<0時，函數開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大

而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小.

20.已知拋物線y=&+「過點(-2,-3)和點(1,6).

(1)求這個函數的關系式；

(2)寫出當無為何值時，函數)隨x的增大而增大.

【答案】(1)y=-3x2+9；(2)當無<0時，函數>隨x的增大而增大

【分析】(1)根據待定系數法即可求解；

(2)求出對稱軸，根據二次函數的圖像與性質即可求解.

【解析】解:(1)?拋物線片加+6過點(-2,-3)和點(1,6),

4a+b=-3a=-3

,解得

a+b=6b=9

???這個函數得關系式為：y=-3d+9.

(2)?.?二次函數y=-3jf+9開口向下,對稱軸為x=0,

.,.當x<0時，函數)隨x的增大而增大.

【點睛】此題主要考查二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是熟知待定系數法的運用.

21.已知拋物線y=(x+2)2-1.

(D其開口方向為-

(2)頂點坐標為.

(3)當x時，y隨x的增大而增大.

⑷最(填“大”或“小”)為.

【答案】(1)向上

⑵(-2,-1)

(3)x>-2

(4)小，-1

【分析】(1)根據即可判斷開口方向向上；

(2)根據頂點式y=a(x-h)2+k的頂點坐標為也k)求解即可；

(3)根據開口向上，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；

(4)根據開口向上，頂點的縱坐標為函數的最小值，據此即可求解.

【解析】⑴解：：y=(x+2)2-l

二.其開口方向向上，

故答案為：向上；

(2)解：Vy=(x+2)2-l

；?頂點坐標為

故答案為：(-2,-1)；

(3)解：：y=(x+2)2-l開口向上，對稱軸為x=—2

.,.當x>-2時，y隨x的增大而增大；

故答案為：>-2；

(4)解：：y=(x+2)2-1,開口向上，頂點坐標為(-2,-1),

.,.函數有最小值，最小值為-1,

故答案為：小，-1.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵.在自變量的所有

取值中：當。>0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的

增大而增大，函數有最小值；當心。時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對

稱軸右側，y隨尤的增大而減少，函數有最大值；如果在規定的取值中，要看圖象和增減性

來判斷.

22.已知函數y=Xx+l)2-8.

(1)寫出函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；

(2)求出圖象與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標；

(3)當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，y隨x的增大而減小？

(4)當x取何值時，函數有最大值(或最小值)？并求出最大(或小)值？

【答案】(1)拋物線的開口向上，對稱軸是直線尤=-1,頂點坐標是(-1,-8)；(2)圖象

與y軸交于(0,-6)；(3)得當x>-l時，y隨x的增大而增大；當x<-l時，y隨x的增

大而減小；(4)由頂點坐標，得當x=-l時，y有最小值，最小值是-8.

【分析】(1)根據二次函數性質，即可得到答案；

(2)令y=0,x=0,分別代入解析式，即可得到與坐標軸交點坐標；

(3)根據二次函數的性質，即可得解；

(4)根據二次函數的性質，以及a的值，即可得到答案.

【解析】解：(1)由函數y=2(尤+1)2-8,

?；a=2>0,h=—l,k=—8>

拋物線的開口向上，對稱軸是直線犬=-1,頂點坐標是(-1,-8).

(2)令y=0,即2(x+l)2-8=0,

解得%=1,x2=-3.

圖象與x軸交于(1,0),(-3,0).

令x=0,即y=2-8=-6,

...圖象與y軸交于(0,-6).

(3)由二次函數的性質，得:當x>T時，y隨x的增大而增大；當x<-l時，y隨x的增

大而減小.

(4)由頂點坐標，得：當x=-l時，y有最小值，最小值是-8.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握性質，并正確求出與坐標軸的

交點坐標.

23.已知函數丫=一;。+2)2-2.

⑴填空：函數圖像的開口方向是,對稱軸是直線.

⑵當x時，y隨x的增大而減小.

(3)以y軸為對稱軸，將拋物線>=-：(尤+2)2-2進行軸對稱變換，求變換后所得到的拋物

線解析式.

【答案】(1)向下，犬=-2

⑵>-2

1,

(3)y=--(%-2)2-2

【分析】(1)直接根據拋物線的頂點坐標式直接寫出函數圖象的開口方向，對稱軸；

(2)根據二次函數的性質得出結論；

(3)根據軸對稱的性質即可得到結論.

【解析】(1)解：函數y=-g(》+2)2-2圖象的開口向下，對稱軸為直線龍=-2；

故答案為：向下，x=-2；

(2)解：當％>-2時，y隨X的增大而減小；

故答案為：>-2；

(3)解:將拋物線>=-：(尤+2)2-2沿y軸進行軸對稱變換，得到的新拋物線的解析式是

1,

y=--(x-2)--2.

【點睛】本題主要考查了二次函數的性質和二次函數圖象變換的知識，解答本題的關鍵是記

住拋物線頂點坐標式及正確的理解題意.

24.已知拋物線y=a(x-h)