第03講一元二次方程的解法（公式法）（5個(gè)知識點(diǎn)+5個(gè)

考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)—

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.知道一元二次方程根的判別式的概念.

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2.會(huì)用判別式判斷一元二次方程的根的情況及根據(jù)一

元二次方程的根的情況確定字母的取值范圍.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三3.經(jīng)歷求根公式的推導(dǎo)過程并會(huì)用公式法解簡單的一

模塊四小試牛刀過關(guān)測元二次方程.

A'橙故一再堆自圖生知識—

[n一元二次方程L.......

公式法這根公式2當(dāng)4第丕

ax\bx+c=Q(a#0)

?>罐協(xié)—茸種鈉汩仝祐，里___________________________

A/vscUuJAHRr\I/WAZ

、公式引入

一元二次方程辦2+6x+c=o（。H0）,可用配方法進(jìn)行求解:

對上面這個(gè)方程進(jìn)行討論：因?yàn)閍wO,所以4/>o

1〕當(dāng)b2-4ac20時(shí)，-——>0

4/

利用開平方法，得：x+A=±JEZp7；即：x=-b土正-4吟

2aV4a22cl

2當(dāng)〃-4ac<0時(shí)，-——<0

4a2

X取任何值都不能使方程（X+A）?

這時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),=曲C左右兩邊的值相等,所以原方

2a4/

程沒有實(shí)數(shù)根.

二、求根公式

一元二次方程ax?+6x+c=0(a/0),當(dāng)62-4ac20時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根:

—b+y—4ac—b—Jb~-4ac

%)—，—

1la2la

這就是一元二次方程ax?+6x+c=0（QWO）的求根公式.

第1頁共10頁

三、用公式法解一元二次方程一般步驟

「1把一元二次方程化成一般形式。x2+6x+c=0(。/0)；

2確定a、6、c的值；

③求出b2-4ac的值(或代數(shù)式)；

4若Z?-4acW0,貝!I把a(bǔ)、b、c及〃-4ac的值代入求根公式，求出西、x2；若62-4ac<0,則方程

無解.

四、根的判別式

1.一元二次方程根的判別式：我們把〃一4起叫做一元二次方程+6x+c=0(aw0)的根的判別式，

通常用符號“△”表示，記作△=/一4℃.

2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0),

當(dāng)A=62-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=/-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=/一4℃<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

五、根的判別式的應(yīng)用

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；

(3)解與根有關(guān)的證明題.

◎模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)1:判斷一元二次方程根的情況

【例1】不解方程，判斷下列方程的根的情況.

(1)2f+3x—4=0；(2)x~x+-—0；(3)了2—x+l=0.

4

方法總結(jié)：給出一個(gè)一元二次方程，不解方程，可由—4ac的值的符號來判斷方程根的情況.當(dāng)b—ac

>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)—413c=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

Z?2—4ac<0時(shí)，一元二次方程無實(shí)數(shù)根.

一［變式m示廨方福「歲畫下列專程的植而蓿涼;--……-……—………-……………-…

第2頁共10頁

(1)4x2-5x-3=0；(2)2x2+4x+3=0；

【變式。.已知方程組仁二；的解是試判斷關(guān)于x的方程，+―的根的情況.

【變式1-3].當(dāng)〃?取何值時(shí)，關(guān)于尤的方程/+（機(jī)-2）x+；〃J-i=o,

（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒有實(shí)數(shù)根?

考點(diǎn)2：由一元二次方程根的情況確定字母系數(shù)的取值

【例2】已知關(guān)于x的一元二次方程（a—l）x2—2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）

A.a>2B.a<2C.a<2且aWlD.a<—2

方法急嘉廠否去程看買藪祗「項(xiàng)『z二%IS五百手笨正函菊面函療程至二元三次克福丁而似:一三灰頊素藪示

為0.因此本題還是一道易錯(cuò)題.

委三21仃一石6套與南南建嚎善三稹5芟手[麗玉三次方看於mm看硬啜腺1廁％的取清拓sr

是（）

A.k<\B.左<1且左WOC.左VI且上40D.k<\

【變式2-21.（2023?云南楚雄?統(tǒng)考一模）已知一元二次方程加/+/工-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的

值為（）

A.m=0B.m=-4C.m=0,或加=4D.m=0,或zw=-4

【變式2-3】.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的一元二次方程f+x-c=i沒有實(shí)數(shù)根，則c的取值

范圍是.

【變式2-4】小林準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個(gè)正方

形.小峰對小林說：“這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm,他的說法對嗎？請說明理由.

考點(diǎn)3：說明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況

第3頁共10頁

【例3】己知：關(guān)于x的方程29+Ax—1=0,求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

方法總結(jié)：要說明一個(gè)含字母系數(shù)的一元二次方程的根的情況，只需求出該方程根的判別式，分析其正、負(fù)

情況，即可得出結(jié)論.

菱市麗:音畫二而二可獲喈兩不而蔣?盛藪菽

【變式3-2］如果加是實(shí)數(shù)，且不等式(根+l)x>加+1的解集是X<1,那么關(guān)于尤的一元二次方程

mx2-(m+l)x+=0的根的情況如何？

【變式3-3］已知關(guān)于無的方程(刃+1卜2+2W工+加-3=()總有實(shí)數(shù)根，求加的取值范圍.

考點(diǎn)4：用公式法解一元二次方程

【例4】用公式法解下列方程：

(1)2x+x—6=0；(2)x+4x=2；

(3)59-4x+12=0；(4)4/+4^+10=l-8x

方法總結(jié)：用公式法解一元二次方程時(shí)，一定要先將方程化為一般形式，再確定a,b,c的值.

【變式4-1］(1)-2x2+7x=0；(2)-x2--x=0.

42

第4頁共10頁

【變式4-2]用公式法解下列方程:

(1)x(2x-4)=5-8x；(2)(5X-3)(X+1)=(X+1)2+5.

【變式4-3】?用公式法解下列方程:

⑵(X+3。u(3x-Gx(2x-3)

(1)0.2%2+2.5x-1.3=O.lx；

55-2

【變式4-4].用公式法解下列方程:

(1)9/+1=6瓜；(2)岳2+4岳一2后=0.

考點(diǎn)5：用一元二次方程的公式法解決實(shí)際問題

【例5】三角形的兩邊分別為2和6,第三邊是方程10x+21=0的解，則第三邊的長為()

A.7B.3C.7或3D.無法確定

蒜總蔡方面畫獲良奇,二完三泥為灌廠笄杳m■獺m獲系函薄奮「

-T斐式Mil窠商場籍曾二痂界I；一迸貧而歷編碎而元一按綠正石毛畝褚丁二不百丙時(shí)曾屈一5而徉「百

知這種襯衫每件漲價(jià)1元，其銷售量要減少10件.為了減少庫存量，且在月內(nèi)賺取8000元的利潤，售

價(jià)應(yīng)定為每件多少元？

【變式5-2](2023?安徽淮北?校考模擬預(yù)測)將一些相同的“☆”按如圖所示擺放，觀察其規(guī)律并回答下列

問題：

第5頁共10頁

☆

☆☆☆

☆☆☆☆☆

☆

☆☆

☆

☆☆☆☆幻

☆翁☆

圖1圖2圖3圖4

(1)圖6中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)；

(2)圖n中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)；

(3)圖〃中的“☆”的個(gè)數(shù)可能是100個(gè)嗎；如果能，求出〃的值；如果不能，試用一元二次方程的相關(guān)知識說

明理由.

【變式5-3](2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模)已知正方形NBCD中，BC=3,￡是邊48上的動(dòng)點(diǎn)，連接/C和

CE.

(1)尺規(guī)作圖：在圖中分別作線段NC和CE的中點(diǎn)廠和G,連接尸G；(不寫作法，不說明理由，寫明結(jié)論

并保留作圖痕跡)

(2)當(dāng)CE=2/E時(shí)，求(1)中所作的線段FG的長度.

【變式5-4]如圖，在出入43。中，ZC=90°,AB=443,3c=26，點(diǎn)。是邊A3的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊NC上

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作線段DE的垂直平分線分別交邊/C、于點(diǎn)M、N,設(shè)/M=x,ME=y.

第6頁共10頁

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求ME的長;

（2）求〉關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）當(dāng)"N經(jīng)過9臺。一邊中點(diǎn)時(shí)，請直接寫出ME的長.

易錯(cuò)點(diǎn)：忽略了△的取值，直接將系數(shù)代入求根公式

用公式法解下列方程：

（1）X2+X+2=0；（2）-7x2+6x-9=0.

6模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

一、單選題

1.（23-24九年級上?山東德州?階段練習(xí)）在公式法解方程屈=26時(shí)，〃一44c的值是（）

A.16B.24C.72D.64

2.（23-24九年級上?廣東佛山?階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程小-6x+3=0有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是（）

A.k<3B.k<3C.左<3且左/0D.左V3且左20

3.（23-24九年級上?貴州遵義?階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程無2-4x+c=0有實(shí)數(shù)根，則c的值不可

能是（）

A.2B.3C.4D.5

4.（2023?河南新鄉(xiāng)?一模）定義新運(yùn)算：m*n=m1-2m-3n>例如：3*4=32-2x3-3x4=-9.若關(guān)于x

的一元二次方程x*a=3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是（）

第7頁共10頁

4444

A.a>—B.a>—C.a>——D.a>——

3333

5.（23-24九年級上?云南昭通?階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程冽/—2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則冽的取值范圍是（）

A.m<—B.m<——

33

C.m<—^m^0D.加且機(jī)

33

6.（2024?河北邢臺?一模）嘉淇在判斷一元二次方程4/一i2x+m=0根的情況時(shí)，把根看成了它的相反數(shù),

得到方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則原方程4/一12x+m=0根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.沒有實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有一個(gè)根是3

7.（2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）一個(gè)化簡后的多項(xiàng)式，改變?nèi)舾身?xiàng)的符號，使前后兩個(gè)多項(xiàng)式中正負(fù)號

的個(gè)數(shù)相同，這樣的兩個(gè)多項(xiàng)式互為“親密多項(xiàng)式”例如-3x+l是3x-l的“親密多項(xiàng)式“，2/+X-1,

-2x?+x+l是2--X+1的“親密多項(xiàng)式“；以下說法正確的個(gè)數(shù)有（）

①若兩個(gè)二項(xiàng)式和為0,則他們互為“親密多項(xiàng)式”

②V-/+尤-1的“親密多項(xiàng)式”一共有5個(gè)

③2x+y+z+：〃-〃的所有“親密多項(xiàng)式”的和為4x+2y+2z+2m+2n

④若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式等于0的方程有解，則它的“親密多項(xiàng)式”等于0所得到的方程一定也有解

A.1B.2C.3D.4

8.（22-23九年級上?浙江臺州?期末）如圖，在矩形48。中，AB=a,BC=b，點(diǎn)、E是4B上一點(diǎn)、,將ABCE

沿EC翻折，使點(diǎn)5落在/。上，得到△尸CE.下列哪條線段的長度是方程/一2樂+/=0的一個(gè)根（）

A.AFB.AEC.DFD.BE

二、填空題

9.（23-24九年級上?青海果洛?期末）用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得尤=-9±,92士叩,則該

2x3

一元二次方程是.

10.（23-24九年級上?福建福州?階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程依2+區(qū)+。=0（°片0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則6?-4ac0（填“>”，或“=”）

第8頁共10頁

3

11.（23-24九年級上?江蘇?期中）已知代數(shù)式/+2mx+mT的最小值為-：，則用的值為

12.（23-24九年級上?河南焦作?階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程仕-1）/-2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根