重點對數平均不等式專題一

函數與導數在高考壓軸題中，經?？疾榕c導數有關的不等式問題，這些問題可以用常規方法求解，也可以轉變成對數平均不等式、切線不等式進行求解，起到事半功倍的效果.考點一對數平均不等式專題強化練內容索引對數平均不等式

考點一例1不妨設a＞b＞0，所以f(t)在(1，＋∞)上單調遞減，∴φ(t)在(1，＋∞)上單調遞減，該類問題的特征是雙變量，將雙變量問題轉變為單變量問題處理，即將

看成一個新對象(整體)，從而進行降維打擊.規律方法(1)討論f(x)的單調性；跟蹤演練1①若a≤2，則f′(x)≤0，當且僅當a＝2，x＝1時，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞減.②若a＞2，令f′(x)＝0，得由(1)知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a＞2.由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨設x2>x1>0，則x2＞1.又x2>x1>0，∴x1－x2<0，lnx1－lnx2<0，即證原不等式成立.專題強化練

1.(2022·葫蘆島模擬)已知函數f(x)＝x＋b(1＋lnx)(b∈R).(1)求f(x)的單調區間；1212若b≥0，則f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；若b<0，令f′(x)＝0，得x＝－b，當x∈(0，－b)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈(－b，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，綜上，若b≥0，f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)，無單調遞減區間；若b<0，f(x)的單調遞減區間為(0，－b)，單調遞增區間為(－b，＋∞).(2)設g(x)＝f(x)－

sinx，若存在0<x1<x2，使得g(x1)＝g(x2)，求證：①b<0；12g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，故不存在0<x1<x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以b<0.12②x1x2<4b2.12令m(x)＝x－sinx(x>0)，m′(x)＝1－cosx≥0，當x→0時，m(x)→0，故m(x)>0，即x>sinx，因為g(x1)＝g(x2)，12122.(2022·撫州模擬)已知函數f(x)＝x(lnx＋a)，a∈R.(1)求f(x)的單調區間；12因為f(x)＝x(lnx＋a)，故可得f′(x)＝lnx＋a＋1，x>0，又y＝lnx＋a＋1為增函數，令f′(x)＝0，解得x＝e－a－1，故當0<x<e－a－1時，f′(x)<0；當x>e－a－1時，f′(x)>0，故f(x)的單調遞減區間為(0，e－a－1)，單調遞增區間為(e－a－1，＋∞).12(2)當a＝1時，求證：ef(x)≤xex在(0，＋∞)上恒成立.當a＝1時，f(x)＝x(lnx＋1)，要證ef(x)≤xex，即證ex(lnx＋1)≤xex，又x>0，則只需證lnx＋1≤ex－1，又lnx＋1≤x，ex－1≥x，且等號都在x＝