6.4平面向量的應用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應用舉例【學習目標】1.能用向量方法解決簡單的幾何問題.2.能用向量方法解決物理中的力學與航行問題.【素養達成】邏輯推理、數學運算數學建模、數學運算類型一利用平面向量解決幾何問題(邏輯推理、數學運算)角度1計算問題【典例1】如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,點D在線段BC上,且BD=12DC.(1)AD的長;(2)∠DAC的大小.【解析】(1)設=a,=b,則=+=+13=+13()=23+13=23a+13b.所以||2==23a+13b2=49a2+2×29a·b+19b2=49×9+2×29×3×3×cos120°+19×9=3,即(2)設∠DAC=θ(0°<θ<120°),則θ為與的夾角.所以cosθ==(23a+13b所以θ=90°,即∠DAC=90°.【總結升華】用向量法解決平面幾何中的計算問題(1)求長度:①根據圖形特點選擇基底,利用向量的數量積轉化,用公式|a|2=a2求解;②建立坐標系,將向量用坐標表示,利用|a|=x2+(2)求角度:將所求角轉化為兩個向量的夾角,再使用基底法或坐標法求出該夾角的余弦值,然后求出該夾角,最后轉化為所求角.【即學即練】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D為AC的中點,則cos∠BDC等于()A.725 B.725 C.0 D【解析】選B.如圖,以B為原點,BC,BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,則B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),所以=(3,4),=(3,4).又∠BDC為,的夾角,所以cos∠BDC==-9+165×5=7角度2證明問題【典例2】(教材提升·例2)如圖,在平行四邊形ABCD的對角線BD所在的直線上取兩點E,F,使BE=DF.用向量方法證明:四邊形AECF是平行四邊形.【證明】在平行四邊形ABCD中,=,又由BE=DF,則=,則有+=,即=,則有AE∥FC且AE=FC,故四邊形AECF是平行四邊形.【總結升華】用向量法證明平面幾何問題(1)基底法:選取基底,用基底表示相關向量,利用向量的線性運算或數量積找到對應關系;(2)坐標法:建系,用坐標表示相關向量,利用向量的坐標運算找到對應關系.注意:最終需要將運算結果“翻譯”成幾何關系.【即學即練】(一題多解)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=12AB,求證:AC⊥【證明】方法一:因為∠CDA=∠DAB=90°,AB∥CD,CD=DA=12AB所以設=e1,=e2,|e1|=|e2|,則=2e2.所以=+=e1+e2,==(e1+e2)2e2=e1e2.而·=(e1+e2)·(e1e2)=e12e=|e1|2|e2|2=0,所以⊥,即AC⊥BC.方法二:如圖,建立平面直角坐標系,設CD=1,則A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).所以=(1,1),=(1,1).所以·=(1,1)·(1,1)=1+1=0.所以AC⊥BC.【補償訓練】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,F分別為邊AB,BC上的點,且AE=EB,2BF=FC.求證:CE⊥AF.【證明】因為=+=+12,=+=+13=+13()=23+13.由·=0且||=||,得·=(+12)·(23+13)=131312·=0,所以CE⊥AF.類型二利用平面向量解決物理問題(數學建模、數學運算)角度1力學問題【典例3】如圖,在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體,繩子與鉛垂方向的夾角為θ,繩子所受的拉力為F1.(1)判斷|F1|,|F2|隨θ的變化而變化的情況;(2)當|F1|≤2|G|時,求角θ的取值范圍.【解析】(1)由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則知,G=F1+F2.如圖,根據直角三角形可得|F1|=|G|F2|=|G|·tanθ.當θ從0°趨近90°時,|F1|,|F2|都逐漸增大;(2)令|F1|=|G|cos因為0°≤θ<90°,得cosθ≥12,所以0°≤θ≤60°故角θ的取值范圍為0°≤θ≤60°.【總結升華】用向量法解決物理中的力學問題(1)將題中涉及的力用向量表示,利用向量加法的平行四邊形法則對力進行分解或合成,再結合三角形的相關知識求解;(2)力所做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積,它的實質是力和位移對應的兩個向量的數量積,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ為F和s的夾角).【即學即練】(2024·咸陽高一檢測)已知兩個力F1=5i+3j,F2=2i+j,F1,F2作用于同一質點,使該質點從點A(8,0)移動到點B(20,15)(其中i,j分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量,力的單位:N,位移的單位:m).(1)求F1,F2分別對質點所做的功;(2)求F1,F2的合力F對質點所做的功.【解析】(1)根據題意,F1=5i+3j=(5,3),F2=2i+j=(2,1),=(12,15),故F1對該質點做的功W1=F1·=60+45=105(J);F2對該質點做的功W2=F2·=24+15=9(J).(2)根據題意,F1,F2的合力F=F1+F2=(3,4),故F1,F2的合力F對該質點做的功W=F·=3×12+4×15=96(J).【補償訓練】如圖,一根細繩穿過兩個定滑輪P,P',且兩端分別掛有質量為3kg,4kg的重物.現在兩個滑輪之間的繩上掛一個質量為5kg的重物,恰巧使得系統處于平衡狀態,求此時繩子形成的角∠POP'的大小.【解析】由題設,要使系統處于平衡狀態,,方向上的合力剛好提起5kg的重物,所以三個方向上的(矢量)力可構成一個三角形,且三邊比例為3∶4∶5,所以OP,OP'相互垂直,即∠POP'=90°.角度2航行問題【典例4】(教材提升·例4)如圖所示,一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從A點出發航行到河對岸,船航行速度的大小為|v1|=10km/h,水流速度的大小為|v2|=4km/h,設v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°).(1)當cosθ多大時,船能垂直到達對岸?(2)當船垂直到達對岸時,航行所需時間是否最短?為什么?【解析】(1)船垂直到達對岸,即v=v1+v2,且與v2垂直,即(v1+v2)·v2=0,所以v1·v2+v22=0,即|v1||v2|cosθ+所以40cosθ+16=0,解得cosθ=25(2)設船航行到達對岸所需的時間為th,則t=d|v1|sin所以當θ=90°時,船的航行時間最短為120而當船垂直到達對岸時,由(1)知sinθ=215所需時間t=d|v1|sin2184>1故當船垂直到達對岸時,航行所需時間不是最短.【總結升華】用向量法解決物理中的航行問題(1)將題中涉及的速度與位移用向量表示,利用向量加法的平行四邊形法則對位移和速度進行分解或合成,再結合三角形的相關知識求解;(2)此類問題需要注意航行時間最短與航程最短的不同.【即學即練】(2024·菏澤高一檢測)如圖,一條河兩岸平行,河的寬度AC=3km,一艘船從河邊的A點出發到達對岸的B點,船在河內行駛的路程AB=2km,行駛時間為0.2h.已知船在靜水中的速度v1的大小為|v1|,水流的速度v2的大小為|v2|=2km/h.求:(1)|v1|;(2)船在靜水中速度v1與水流速度v2夾角的余弦值.【解析】(1)因為船在河內行駛的路程AB=2km,行駛時間為0.2h,所以船沿AB方向的速度為|v|=20.由AC=3km,AB=2km,根據勾股定理可得:BC=22-3=1(km),所以∠BAC=30°,即v2由v=v1+v2,得v1=vv2,所以|v1|=(v-=102-2×2×10cos60°(2)因為v=v1+v2,所以v2=(v設v1與v2的夾角為θ,即100=(221)2+2×221×2×cosθ+22,解得cos即船在靜水中速度v1與水流速度v2夾角的余弦值為2114教材深一度三角形“心”的向量表示已知O,N,P,Q在△ABC所在的平面內,(1)O為外心:①||=||=||;②(+)·=(+)·=(+)·=0;(2)N為重心:++=0;(3)P為垂心:·=·=·;(4)內心Q所在的向量:=λ+(λ∈(0,1)).【典例5】(多選)點O在△ABC所在的平面內,則以下說法正確的有()A.若++=0,則點O為△ABC的重心B.若·=·=0,則點O為△ABC的垂心C.若(+)·=(+)·=0,則點O為△ABC的外心D.若·=·=·,則點O為△ABC的內心【解析】選AC.選項A,設D為BC的中點,由于=(+)=2,所以O為BC邊上中線的三等分點(靠近點D),所以O為△ABC的重心;選項B,向量,分別表示在邊AC和AB上的單位向量,設為和,則它們的差是向量,則當·=0,即⊥時,點O在∠BAC的平分