四向量的數乘運算(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)已知向量a,b,那么12(2a4b)+2b等于(A.a2b B.a4bC.a D.b【解析】選C.12(2a4b)+2b=a2b+2b=a2.(5分)設e是單位向量,=3e,=3e,||=3,則四邊形ABCD是()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【解析】選B.因為=3e,=3e,所以=,所以四邊形ABCD是平行四邊形,又因為||=3,所以四邊形ABCD是菱形.3.(5分)在△ABC中,點D為邊BC的中點,記=a,=b,則=()A.12a+b B.12C.12a+12b D.12【解析】選C.由題意可知,=12=12()=12(ab),=+=b+12(ab)=12(a+b).4.(5分)(2024·運城高一檢測)已知向量a,b不共線,且向量λa+b與a+(2λ1)b方向相同,則實數λ的值為()A.1 B.1C.1或12 D.1或【解析】選A.因為向量λa+b與a+(2λ1)b方向相同,所以存在唯一實數k(k>0),使a+(2λ1)b=k(λa+b),因為向量a,b不共線,所以kλ=12λ-1=k5.(5分)(2024·連云港高一檢測)已知a,b是不共線的向量,且=3a+4b,=2a6b,=2a4b,則()A.A,B,D三點共線 B.A,B,C三點共線C.B,C,D三點共線 D.A,C,D三點共線【解析】選D.因為=3a+4b,=2a6b,=2a4b,所以=3a6b,若A,B,D三點共線,則=λ,而3=3λ4=-因為=3a+4b,=2a6b,所以=a2b,若A,B,C三點共線,則=λ,而3=λ因為=2a6b,=2a4b,所以=+=10b,若B,C,D三點共線,則=λ,而-2=0因為=3a+4b,=2a6b,=2a4b,所以=a2b,=3a6b,即=13,所以A,C,D三點共線,故D正確.【補償訓練】(2024·哈爾濱高一檢測)已知e1,e2是兩個不共線的向量,向量a=3e12e2,b=ke1+e2.若a∥b,則k=()A.32 B.23 C.32 【解析】選A.因為a∥b,所以存在唯一實數λ,使b=λa,所以ke1+e2=λ(3e12e2)=3λe12λe2,因為e1,e2是兩個不共線的向量,所以k=3λ1=6.(5分)(多選)(2024·西安高一檢測)下列說法正確的有()A.(5)(6a)=30aB.7(a+b)+6b=7a+13bC.若a=mn,b=3(mn),則a,b共線D.(a5b)+(a+5b)=2a,則a,b共線【解析】選ABC.對于A,(5)(6a)=(5×6)a=30a,故正確;對于B,7(a+b)+6b=7a+7b+6b=7a+13b,故正確;對于C,因為a=mn,b=3(mn),所以b=3a,所以a,b共線,故正確;對于D,因為(a5b)+(a+5b)=2a恒成立,所以a,b不一定共線,故錯誤.【補償訓練】(多選)已知m,n是實數,a,b是向量,則下列命題中正確的為()A.m(ab)=mambB.(mn)a=manaC.若ma=mb,則a=bD.若ma=na,則m=n【解析】選AB.根據向量的數乘運算即可得出選項A,B都正確;ma=mb且m=0時,得不出a=b,所以C錯誤;ma=na且a=0時,得不出m=n,所以D錯誤.7.(5分)若3(x+a)+2(x2a)4(xa+b)=0,則x=__________.

【解析】因為3(x+a)+2(x2a)4(xa+b)=0,所以3x+3a+2x4a4x+4a4b=0,所以x+3a4b=0,所以x=3a+4b.答案:3a+4b8.(5分)如圖,D,E分別為△ABC的邊AB,AC的中點,則=______

.【解析】因為D,E分別為AB,AC的中點,所以DE∥BC,即與共線.又DE=12BC,且與反向,所以=12.答案:19.(5分)在△ABC中,D為CB上一點,E為AD的中點,若=25+m,則m=____________.

【解析】因為E為AD的中點,所以=2=45+2m,因為B,D,C三點共線,所以45+2m=1,解得m=1答案:1【補償訓練】在△ABC中,=23+13,則BDDC=()A.13 B.12 C.23 【解析】選B.因為=23+13,所以2323=1313,即23=13,所以=2,所以BDDC==1210.(10分)如圖所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分別是DC和AB的中點,若=a,=b,試用a,b表示,,.【解析】如圖所示,連接CN,則四邊形ANCD是平行四邊形.則==12=12a,==12=b12a,==12=1212=14ab.【綜合應用練】11.(5分)(2024·哈爾濱高一檢測)在平行四邊形ABCD中,=13,AC與DE交于點O,則()A.=11214B.=11214C.=112+14D.=112+14【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,=13,則△AEO∽△CDO,所以AEAB=AEDC=AOOC=13,則AOAC=14,所以==1314=1314(+)=112112.(5分)(多選)在△ABC中,AD,BE,CF分別是BC,CA,AB的中線且交于點O,則下列結論正確的是()A.=B.=13(+)C.++=0D.++=0【解析】選BCD.依題意,如圖所示:因為AD,BE,CF分別是BC,CA,AB的中線且交于點O,所以O是△ABC的重心.對于A:若=,則=+,因為=+,所以=,顯然不成立,故A錯誤;對于B:=23=23×12×(+)=13(+),故B正確;對于C:++=12(+)+12(+)+12(+)=12(+)+12(+)+12(+)=0,故C正確;對于D:++=232323=23(++)=23×0=0,故D正確.13.(5分)已知向量a,b是兩個非零向量,e為單位向量,在下列三個條件中,①2a3b=4e且a+2b=3e;②存在相異實數λ,μ,使λaμb=0;③xa+yb=0(其中實數x,y滿足x+y=0).能使a,b共線的條件是__________.(填序號)

【解析】對于①,因為向量a,b是兩個非零向量,由2a3b=4e且a+2b=3e,得a=17e,b=107e,即b=10a,此時能使a,b共線,對于②,向量a,b是兩個非零向量,存在相異實數λ,μ,使λaμb=0,則有λ≠0且μ≠0,a=μλb,顯然兩個非零向量是共線的,②對于③,xa+yb=0(其中實數x,y滿足x+y=0),如果x=y=0則不能使a,b共線,③不正確.答案:①②14.(10分)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=1,E為線段AB的中點,F為線段AC上的一點,且AF=3FC,記=a,=b.(1)用向量a,b表示;(2)用向量a,b表示.【解析】(1)因為=12,所以=+=+12=b+12a.(2)因為=12,=34,所以==3412=34b+12a12a=18a+34b.15.(10分)(2024·銀川高一檢測)設a,b是不共線的兩個非零向量.(1)若=2a+b,=3ab,=a+3b,求證:A,B,C三點共線;(2)若9akb與ka4b共線,求實數k的值.【解析】(1)因為==(3ab)(2a+b)=a2b,而==(a+3b)(3ab)=2a+4b,所以=2,所以與共線,且有公共點B,所以A,B,C三點共線;(2)因為9akb與ka4b共線,所以存在實數λ,使得9akb=λ(ka4b)=kλa4λb,因為a與b不共線,所以9=kλ解得λ=±32,所以k=4λ=±6【補償訓練】已知a,b是兩個不共線向量,=a+5b,=2a+8b,=3(ab),(1)求證