名校聯盟年上學期高二開學質量檢測數學本試卷共4頁．全卷滿分分，考試時間分鐘．注意事項：．答題前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在本試卷和答題卡上．．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線在軸的截距為（）A.3B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】直接令即可得到答案.【詳解】令，得，所以直線在軸的截距為．故選：C．2.已知橢圓長半軸長等于焦距的3倍，則該橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】應用橢圓的長軸及焦距列式求解離心率即可.【詳解】設橢圓長軸長，焦距，則，即．故選:B．3.曲線在點處的切線方程為（）第1頁/共18頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求得函數的導數，得到，結合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得，又由，則，即切線的斜率為，所以曲線在點處的切線方程為.故選：A.4.已知數列為等比數列，若，是方程的兩個不相等的實數根，則（）A.5B.C.4D.【答案】D【解析】【分析】由韋達定理結合等比數列性質即可求解；【詳解】由題意可得，解得．故選：D．5.已知直線的一個方向向量為的一個法向量為與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】應用空間向量法計算線面角正弦值即可.【詳解】設與所成角的大小為，則．故選:A．6.已知函數在點處的切線與直線的第2頁/共18頁所有極值之積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由導數的幾何意義及切線與平行，可得求參數a，進而求的極值，即可知所有極值之積.【詳解】由題意，，又處的切線與直線平行，∴，可得，故，令，得，∴、上，單調遞增；上，單調遞減；∴有極大值，極小值，∴函數的所有極值之積為.故選：B7.已知雙曲線，作斜率為正且與雙曲線的某條漸近線垂直的直線與雙曲線在第一象限交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由圖利用點線距和勾股定理求出，過點作于，推理可得，根第3頁/共18頁據解三角形和雙曲線的定義可得，即可求離心率.【詳解】令雙曲線的半焦距為，則，令直線與雙曲線的漸近線垂直的垂足為，于是，，如圖，過點作于，則，而為線段的中點，所以，，因為，所以，，，由雙曲線定義得，即，解得．故該雙曲線的離心率為．故選：A．8.在平面直角坐標系中，已知直線與交于點，點是拋物線上一個動點，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由直線方程可得其所過定點，根據兩直線位置關系可得其焦點的軌跡，根據拋物線的定義與圓外第4頁/共18頁一點到圓上點的距離最值問題，結合圖象，可得答案.【詳解】直線，即，可知直線過定點；直線，即，可知直線過定點；且，則，可知點在以為直徑的圓上，此時圓心為，半徑．因為拋物線的焦點為，準線為，且點是拋物線上一動點，則，即，可得，當且僅當點線段上時，等號成立，又因為，當且僅當點在線段上時，等號成立，即，所以的最小值為．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全音選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知在正項等比數列中，，，則（）A.的公比為2B.的通項公式為C.D.數列為遞增數列【答案】AC第5頁/共18頁【解析】【分析】應用等比數列的基本量運算求出公比及通項判斷A，B，C，再結合對數運算計算判斷單調性判斷D.【詳解】設等比數列的公比為，依題意，，，所以，又，所以，即，所以，，A，C正確，B錯誤；對于D，，則數列為遞減數列，D錯誤．故選：AC．10.若方程所表示的曲線為，則下列命題正確的是（）A.曲線可能是圓B.若曲線為橢圓，則且C.若曲線為焦點在軸上的橢圓，則D.若曲線為雙曲線，則【答案】ACD【解析】【分析】由圓、橢圓、雙曲線方程的結構特點逐項判斷即可；【詳解】對于A選項，若曲線表示圓，則，解得，即曲線可能是圓，A正確；對于B選項，若曲線為橢圓，則，解得且，B錯誤；對于C選項，若曲線為焦點在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對于D選項，若曲線為雙曲線，則，解得，D正確．故選：ACD．第6頁/共18頁已知函數，則（）A.在上是增函數B.的極大值點為，C.有唯一的零點D.的圖象與直線相切的點的橫坐標為，【答案】BC【解析】【分析】借助導數求出單調性即可得其極值點，即可得A、B；結合函數單調性與零點存在性定理，分，、及進行討論即可得C；借助導數的幾何意義計算即可得D.【詳解】對A、B：，則當，即時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤；的極大值點為，，故B正確；對C：令，即，由，當時，，第7頁/共18頁當時，由，故，由在上單調遞增，取，有在上單調遞增，又，故在上必有一零點，由在上單調遞減，取，即在上單調遞減，則在上沒有零點，綜上所述，有唯一的零點，故C正確；對D：設切點坐標為，則有，由切線方程為，則有，即，化簡得，即，即有，，則，，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點點睛：本題中C選項關鍵點在于結合函數單調性與零點存在性定理，分，、及進行討論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知，設直線，，若，則______．第8頁/共18頁【答案】【解析】【分析】由兩直平行得到，求解并驗證即可；【詳解】因為直線，，，所以，即，當時，直線重合，舍去，當時，符合題意；故；故答案為：13.已知拋物線的準線是圓與圓的公共弦所在的直線，則拋物線的標準方程為______．【答案】【解析】【分析】利用兩圓方程相減后求出公共弦方程，再結合拋物線的性質求解即可；【詳解】兩圓的公共弦方程為，所以，所以拋物線的標準方程為．故答案為：．14.將數列與數列的公共項從小到大排列得到數列，則使得成立的的最小值為______．【答案】170【解析】【分析】通過公共項確定通項公式即可求解；【詳解】由題意，與的公共項為1，13，25，37故，所以，解得，所以的最小值為170．第9頁/共18頁故答案為：170四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．15.已知數列的前項和為，且．（1）證明：數列是等比數列；（2）設數列滿足，求的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）由，的關系作差即可判斷；（2）由（1）求得，再由等差數列、等比數列的求和公式即可求解；【小問1詳解】當時，，即，當時，聯立①－②，可得，即，所以，又，所以是以2為首項，2為公比的等比數列；【小問2詳解】由（1）可得，則，，所以第10頁/共18頁．16.已知圓關于軸對稱且經過點和．（1）求圓的標準方程；（2）過點的直線與圓交于，兩點；若，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】1）由題意，設到和的距離相等代入求解t2）利用直線與圓的弦長公式求解.【小問1詳解】因為圓關于軸對稱，所以圓心在軸上，設，由于圓經過和，所以到和的距離相等，所以，解得，此時半徑，所以圓的標準方程為；【小問2詳解】取中點，連接，易知為直角三角形，因為，，所以，即圓心到直線的距離為，當直線斜率不存在時，直線方程為，到其距離為1，不符合題意；當直線斜率存在時，設為，直線方程為，化成一般式：，第11頁/共18頁所以，解得或，故直線的方程為或．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）先應用勾股定理得出，再應用線面垂直判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，計算平面的法向量，再應用面面角公式計算即可.【小問1詳解】因為，，，所以四邊形為直角梯形，取中點，連接，則，四邊形為正方形，則，，所以，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，平面，所以平面；第12頁/共18頁【小問2詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，，設平面的一個法向量，則，即，令，，故由（1）可知平面，所以是平面的一個法向量，記作，記平面與平面的夾角為，則．【點睛】18.已知函數，定義域為.（1）討論的單調性；（2）求當函數有且只有一個零點時，的取值范圍.【答案】（1）答案見詳解（2）第13頁/共18頁【解析】1）求導，分和，根據二次方程根的個數以及韋達定理分析判斷的符號，進而可得的單調性；（2）參變分離可得，構建，求導，利用導數判斷的單調性，進而可得結果.【小問1詳解】因為，（ⅰ）當，即時，則在內恒成立，可知在內單調遞增；（ⅱ）當，即或時，可知有兩個不相等的根，不妨令，可知，①若，因為，可知，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增；②若，因為，可知，令，解得或；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增；綜上所述：當時，在內單調遞增；第14頁/共18頁當時，在內單調遞減，在內單調遞增；當時，在內單調遞減，在內單調遞增.【小問2詳解】若，可知在內無零點，不合題意，可知令，整理得，構建，原題意等價于與的圖象有且僅有一個交點，因為，構建，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞增，在內單調遞減，則，即內恒成立，可知在內單調遞減，且當趨近于0時，趨近于；當趨近于時，趨近于0且；的大致圖象如圖所示，可得，即，所以的取值范圍為.第15頁/共18頁【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數法第一步：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的最值；第三步：根據要求得所求范圍．（2）函數思想法第一步：將不等式轉化為含待求參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的極值；第三步：構建不等式求解．19.已知橢圓的焦距為，離心率為，左，右頂點分別為，．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點，若點是橢圓上的一點，求的最小值；（3交于，，與，斜率為，直線斜率為，若，請問直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）過定點，定點坐標為【解析】1）可根據焦距和離心率求出、的值；（2）可設出點坐標，根據兩點間距離公式結合橢圓方程和二次函數求解；（3）可設出直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理結合已知條件求解.【小問1詳解】第16頁/共18頁由題意，，所以，，，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】設，則有，，，當時，最小值為，所以最小值為；【小問3詳解】連接，設直線斜率，，，，因為，所以，設直線為，聯立，可得，即，第17頁/共18頁所以，，因為，所以，即，即，化簡得，解得