大一專科高數試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列函數中，是偶函數的是（）

A.f(x)=x^2-1

B.f(x)=|x|+1

C.f(x)=x^3-x

D.f(x)=x^4

2.下列命題中，正確的是（）

A.若a>b，則a-b>0

B.若a<b，則a+b<0

C.若a^2>b^2，則|a|>|b|

D.若a>b，則a^2<b^2

3.設f(x)=x^2+2x+1，則f(-x)等于（）

A.x^2-2x+1

B.x^2+2x+1

C.-x^2+2x-1

D.-x^2-2x+1

4.下列函數中，是奇函數的是（）

A.f(x)=x^2+1

B.f(x)=|x|+1

C.f(x)=x^3-x

D.f(x)=x^4

5.下列函數中，是周期函數的是（）

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^2

D.f(x)=e^x

6.設f(x)=x^2，則f'(2)等于（）

A.2

B.4

C.0

D.-2

7.下列函數中，是連續函數的是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=|x|/x

8.設f(x)=x^2+2x+1，則f'(x)等于（）

A.2x+2

B.2x-2

C.2

D.1

9.下列函數中，是單調遞增函數的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=e^x

D.f(x)=x^3

10.設f(x)=x^2，則f''(2)等于（）

A.2

B.4

C.0

D.-2

二、填空題（每題5分，共20分）

11.設f(x)=x^2+2x+1，則f(1)=_______。

12.設f(x)=x^3-x，則f'(x)=_______。

13.設f(x)=x^2+2x+1，則f(-1)=_______。

14.設f(x)=x^3-x，則f''(x)=_______。

15.設f(x)=x^2+2x+1，則f(0)=_______。

三、計算題（每題10分，共30分）

16.計算：lim(x→0)(sinx/x)^2。

17.求函數f(x)=x^3-x在x=2處的導數。

18.求函數f(x)=x^2+2x+1的極值。

四、應用題（每題15分，共30分）

19.一輛汽車從靜止開始以2m/s2的加速度勻加速行駛，求汽車行駛10s后的速度。

20.一物體從靜止開始做勻加速直線運動，加速度為5m/s2，求物體在3s內的位移。

五、證明題（每題20分，共40分）

21.證明：對于任意實數x，有(x+1)^2≥4x+1。

22.證明：對于任意實數x，有x^3-x≥0。

六、綜合題（每題25分，共50分）

23.已知函數f(x)=x^3-3x+2，求：

（1）函數的極值點；

（2）函數的拐點；

（3）函數的單調區間。

24.已知函數f(x)=e^x-x，求：

（1）函數的導數；

（2）函數的極值點；

（3）函數的單調區間。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.C。偶函數滿足f(-x)=f(x)，A、B、D均不滿足。

2.C。根據不等式的性質，若a^2>b^2，則|a|>|b|。

3.A。代入-x得f(-x)=(-x)^2+2(-x)+1=x^2-2x+1。

4.C。奇函數滿足f(-x)=-f(x)，A、B、D均不滿足。

5.A。周期函數滿足f(x+T)=f(x)，A滿足周期為2π。

6.B。求導得f'(x)=2x+2，代入x=2得f'(2)=2*2+2=6。

7.A、B、C。連續函數在定義域內各點連續，A、B、C均滿足。

8.A。求導得f'(x)=2x+2，代入x=0得f'(0)=2*0+2=2。

9.A、C。單調遞增函數滿足f(x1)<f(x2)，A、C滿足。

10.B。求二階導得f''(x)=2，代入x=2得f''(2)=2。

二、填空題答案及解析：

11.f(1)=1^2+2*1+1=4。

12.f'(x)=3x^2-1。

13.f(-1)=(-1)^2+2*(-1)+1=0。

14.f''(x)=6x。

15.f(0)=0^2+2*0+1=1。

三、計算題答案及解析：

16.lim(x→0)(sinx/x)^2=lim(x→0)(sinx/x)^2*lim(x→0)(sinx/x)^2=lim(x→0)(sinx/x)^4=1。

17.f'(x)=3x^2-3，代入x=2得f'(2)=3*2^2-3=9。

18.f(x)=x^2+2x+1，f'(x)=2x+2，令f'(x)=0，得x=-1。f''(x)=2，f''(-1)=2>0，所以x=-1是極小值點。

四、應用題答案及解析：

19.v=at=2m/s2*10s=20m/s。

20.s=1/2*a*t^2=1/2*5m/s2*(3s)^2=22.5m。

五、證明題答案及解析：

21.（1）(x+1)^2-(4x+1)=x^2+2x+1-4x-1=x^2-2x=x(x-2)≥0，當x≥0或x≤2時成立。

22.（1）x^3-x-(x^2-x)=x^3-x^2=x^2(x-1)≥0，當x≥1或x≤0時成立。

六、綜合題答案及解析：

23.（1）f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1。f''(x)=6x，f''(±1)=0，所以x=±1是拐點。

（2）f''(x)=6x，f''(1)=6>0，f''(-1)=-6<0，所以x=-1是極小值點，x=1是極大值點。

（3）f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1。f''(x)=6x，當x<-1或x>1時，f''(x)>0，所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調遞增；當-1<x<1時，f''(x)<0，所以f(x)在(-1,1)上單調遞減。

24.（1）f'(x)=e^x-1。

（2）f'(x)=e^x-1，令f'(x)