專題39最值模型之幾何轉化法求最值模型

（全等、相似、中位線、對角線性質等）

幾何中最值問題是中考的常見題型，變幻無窮，試題設計新穎，形式活潑，涵蓋知識面廣，綜合性強。

在各地中考數學試卷中，幾何最值問題也是重難點內容，在中考數學試卷中通常出現在壓軸題的位置。

本專題我們所講的幾何轉化法求幾何最值是對前面八類幾何最值模型的一個補充。雖然我們前面講的

幾何最值模型涵蓋了大部分的最值問題，但也有部分幾何最值無法很好的解決。鑒于此我們補充幾類幾何

轉化法（主要利用全等、相似、或其他的幾何性質（如：中位線、對角線、特殊的邊角關系等）轉化），

希望對大家有所幫助！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.幾何轉化模型-全等轉化法.................................................................................................................1

模型2.幾何轉化模型-相似轉化法.................................................................................................................6

模型3.幾何轉化模型-中位線轉化法.............................................................................................................9

模型4.幾何轉化模型-對角線轉化法...........................................................................................................11

模型5.幾何轉化模型-其他性質轉化法.......................................................................................................14

.................................................................................................................................................17

模型1.幾何轉化模型-全等轉化法

條件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；結論：△OAA'△OBB'，AA'BB'。

該類轉化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在圖形中很難同時出現，需要我們通過輔助線構造出手拉

手型的全等模型，從而將所求線段進行轉化。

例1．（23-24八年級下·江蘇連云港·階段練習）如圖，在矩形ABCD中，DBC30，AB23，P是BC

邊上一動點，連接DP，把線段DP繞點D逆時針旋轉60到線段DQ，連接CQ，則線段CQ的最小值為．

【答案】3

【分析】在BD上截取DEDC，過點E作EFBC于點F，通過證明DEP≌DCQASA可得CQPE，

根據垂線段最短可得當點P和點F重合時，PEBC，此時PE取最小值時，即可求解．

【詳解】解：在BD上截取DEDC，過點E作EFBC于點F，∵DBC30，∴EDC60，

∵線段DP繞點D逆時針旋轉60到線段DQ，∴PCQ60，DPDQ，

∴PCQPDCEDCPDC，即CDQEDP，

DEDC

在DEP和DCQ中，CDQEDP，∴DEP≌DCQASA，∴CQPE，

DPDQ

當PE取最小值時，CQ也取得最小值，當點P和點F重合時，PEBC，此時PE取最小值時，

∵四邊形ABCD為矩形，DBC30，AB23，∴BD2AB43，DCDEAB23，DBC30，

1

∴BEBDDE23，∴EFBE3，∴CQ的最小值為3．故答案為：3．

2

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，三角形全等的判定和性質，含30角的直角三角形，30角所對的邊

是斜邊的一半，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形．

例2．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為0，8，點B為x

軸上一動點，以AB為邊在直線AB的右側作等邊三角形ABC．若點P為OA的中點，連接PC，則PC的長

的最小值為．

【答案】6

【分析】本題考查了軸對稱―最短路線問題，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，添加

恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．

以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EFAP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得

BEPC，則當BE有最小值時，PC有最小值，即可求解．

【詳解】解：如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EFAP于F，

點A的坐標為(0,8)，OA8,點P為OA的中點，AP4,

△AEP是等邊三角形，EFAP，AFPF2,AEAP，EAPBAC60，BAECAP，

AEAP

在ABE和△ACP中，BAECAP,ABE≌ACPSAS，BEPC,

ABAC

當BE有最小值時，PC有最小值，即BE⊥x軸時，BE有最小值，

BE的最小值為OFOPPF426，∴PC的最小值為6，故答案為：6．

例3.（2024·四川內江·二模）如圖，在OAB中，AOB90，BOAO22，P是OB的中點，若點D

在直線AB上運動，連接OD，以OD為腰，向OD的右側作等腰直角三角形ODE，連接PE，則在點D的

運動過程中，線段PE的最小值為．

【答案】1

【分析】取AO的中點Q，連接DQ，先證得OQD≌OPE，得出QDPE，根據點到直線的距離可知當

QDAB時，QD最小，然后根據等腰直角三角形的性質求得QDAB時QD的值，即可求得線段PF的最

小值．

【詳解】解：如圖，取AO的中點Q，連接DQ，

∵DOE為等腰直角三角形，AOB90，∴AOBDOE90，DODE，∴AODBOE，

∵BOAO22，P為BO中點，Q是AO的中點，∴AQOQBPOP2，

OQOP

在ODQ和OPE中，QODPOE，∴OQDOPE，∴QDPE，

ODOE

∵點D在直線AB上運動，∴當QDAB時，QD最小，∵AOB90，BOAO22，∴A45，

∵QDAB，∴QAD是等腰直角三角形，∵AQ2，∴ADDQ1，

∴線段PE的最小值是為1．故答案為：1．

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質以及垂線

段最短問題，通過分析條件添加輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．

例4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在VABC中，ACB90，AB4，點O是AB的中點，以BC為

直角邊向作等腰Rt△BCD，連接OD，當OD取得最大值時，OBD的面積為．

【答案】22

【詳解】解：過點B作BEAB，使BEBO，連接OC，OE，CE，如圖1所示：

1

則EBO90，OBE為等腰直角三角形，AB4，點O為AB的中點，BEBOAB2，

2

由勾股定理得：OEBE2BO222，

1

在VABC中，ACB90，AB4，點O是AB的中點，COBOAOAB2，

2

等腰Rt△BCD是以BC直角邊的等腰三角形，BCBD，CBD90，

EBCEBOABC90ABC，OBDABCCBD90ABC，EBCOBD，

BEBO

在EBC和OBD中，EBCOBD，△EBC≌OBDSAS，ECOD，

BCBD

根據“兩點之間線段最短”得：ECOCOE，即EC222，OD222，OD的最大值為222，

此時點E，O，C在同一條直線上，過點D作DFAB交AB的延長線于F，如圖2所示：

OBE為等腰直角三角形，BOE45，COBO2，OBCOCB，

又BOEOBCOCB45，OBCOCB22.5，OBD90OCB112.5，

EBC≌OBD，OCBODB22.5，DOB180OBDODB180112.522.545，

△ODF為等腰直角三角形，DFOF，由勾股定理得：OF2DF2OD2，

11

即22，，．

2DF(222)DF22SOBDOBDF22222

22

模型2.幾何轉化模型-相似轉化法

條件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；結論：△OAA'∽△OBB'，BB'kAA'。

該類轉化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在圖形中很難同時出現，需要我們通過輔助線構造出手拉

手型的相似模型，從而將所求線段進行轉化。

BC3

例1．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，BCDC,,AD1,AB2，

CD4

則對角線AC的最小值為．

【答案】1

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、三角形三邊的關系等知識，準確構造出相似三角形對線段

進行轉化是解題的關鍵．

DE5

【詳解】解：如圖，過點A作AEAD，且

AD4

3BC3DEBD5

AD1AE設BC3k,CD4k則BD5k

4CD4ADCD4

EBBD54

ADCEDBEDBADCACEB當EB最小時，AC最小

ACCD45

3545

EBABAEEB最小為2AC最小為1故答案為：1．

4454

例2．（2024上·浙江寧波·九年級校聯考期中）如圖，O的直徑AB長為16，點E是半徑OA的中點，過

點E作CDAB交O于點C，D．點P在CBD上運動，點Q在線段CP上，且PQ2CQ．則EQ的最大

能是．

48

【答案】13

33

1

【分析】延長CD到F，使得DFDE，連接OF，PF，OP，OD．首先證明EQPF，解直

3

角三角形求出OF，求出PF的最大值即可解決問題．

【詳解】解：延長CD到F，使得DFDE，連接OF，PF，OP，OD．

∵ABCD∴CEDE∵DEDF∴EF2CE∵PQ2CQ

CECQ1CECQ1EQCE1

∴則∵ECQFCP∴ECQ∽FCP則

EFQP2CFCP3PFCF3

又∵AEOE4，OD8，OED90∴DEOD2OE2824243

2

在RtOED中EF2DE83，OE4∴OFOE2EF24283413

∵PFOPOF∴PF8413則PF的最大值為8413

4848

∴EQ的最大值為13故答案為13

3333

【點睛】本題考查垂徑定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化

的思想思考問題．

例3．（23-24八年級下·云南曲靖·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC4，AC與BD交于點O，

分別過點C，D作BD，AC的平行線相交于點F，點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，

則PG的最小值是（）

3456

A．B．C．D．

2345

【答案】D

【分析】先判定四邊形OCFD為菱形，找出當GP垂直于菱形OCFD的一邊時，PG有最小值．過D點作

DMAC于M，過G點作GPAC與P，則GP∥DM，利用平行四邊形的面積求解DM的長，再利用相

似三角形的判定和性質可求解PG的長，進而可求解．

【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，ACBD，∴ODOC．

∵DF∥OC，OD∥CF，∴四邊形OCFD為萎形．∵點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，

∴當GP垂直于萎形OCFD的一邊時，PG有最小值．

如圖，過D點作DMAC于M，過G點作GPAC與P，則GP∥DM，

∵AB3，BC4，∴CDAB3，AC32425．

1112

∵SACDMADCD，∴ACDMADCD，即5DM43，解得DM．

ACD225

∵GP∥DM，G為CD的中點，∴△CPG∽△CMD，

PG1

PGCG66

∴，∴122，∴PG，故PG的最小值為．故選：D．

DMCD55

5

【點睛】本題主要考查矩形的性質，菱形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識．正

確確定當GP垂直于萎形OCFD的一邊時，PG有最小值和正確作出輔助線是解題關鍵．

模型3.幾何轉化模型-中位線轉化法

三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

條件：如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，

1

結論：（1）DE//BC且DEBC，（2）ADE∽ABC。

2

△△

證明：如圖1，過點C作CF∥AB交DE延長于點F，∴∠A∠ECF，∠F∠ADE，

∵DE是VABC的中位線，∴ADBD，AECE，∴△ADE≌△CFEAAS，∴DEFE，CFAD，

1

∴CFBD，DEDF，又∵CF∥BD，∴四邊形BCFD是平行四邊形，

2

1

∴BCDF，BC∥DF，∴DE∥BC，DEBC；

2

∵DE∥BC，∴ADEB，AEDC，∴ADE∽ABC。

△△

例1．（2024·山東德州·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD6，BD8，ADDB，點M、N分

別是邊AB、BC上的動點（不與A、B、C重合），點E、F分別為DN、MN的中點，連接EF，則EF

的最小值為（）

A．2.4B．3C．4D．4.8

【答案】A

1

【分析】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，利用三角形中位線定理得出EFDM，則當DMAB

2

時，DM最小，則EF最小，利用勾股定理求出AB，然后利用等面積法求出DM的最小值，即可求解．

【詳解】解：連接DM，

1

∵點E、F分別為DN、MN的中點，∴EFDM，當DMAB時，DM最小，則EF最小，

2

∵AD6,BD8,ADDB，∴ABAD2BD210，

1111

設△ABD中AB邊上高為h，則SABDADBDABh，∴6810h，

2222

1

∴h4.8，∴DM最小值為4.8，則EF最小值為4.82.4，故選：A．

2

例2．（2024·廣東肇慶·一模）如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，D是半圓上不與點C重合的動點．連

接CD，M是CD的中點，過點C作CPAB于點P．若AB9，則PM的最大值是．

9

【答案】

2

【分析】本題考查了圓的性質、三角形中位線定理，延長CP至E，使CPPE，連接DE，結合題意得出

1

即點E在圓上，由三角形中位線定理得出PMDE，則當DE經過原點O時，DE有最大值為9，此時PM

2

有最大值，即可得解．

【詳解】解：如圖，延長CP至E，使CPPE，連接DE，

，

1

CPAB，點C、E關于直線AB對稱，即點E在圓上，M是CD的中點，PMDE，

2

199

當DE經過原點O時，DE有最大值為9，此時PM有最大值，為DE，故答案為：．

222

例3．（2023·四川成都·一模）已知矩形ABCD中，AB2AD8，點E、F分別是邊AB、CD的中點，點P

為AD邊上動點，過點P作與AB平行的直線交AF于點G，連接PE，點M是PE中點，連接MG，則MG的

最小值＝．

【答案】25

5

1

【分析】連接AC交PG與點N，連接EN，證明MGEN，求EN最小值即可．

2

【詳解】解：∵AB2AD8，點E、F分別是邊AB、CD的中點，

5

∴CFFD，AE4，AC428245，∴sinBAC，連接AC交PG與點N，連接EN，

5

NGAGPG

∵PG//CD，∴ANGACF，APGADF；∴，

CFAFDF

1

∵CFFD，∴NGPG，∵點M是PE中點，∴MGEN，

2

EN5452525

當ENAC時，EN最小，MG也最??；sinBAC，EN，MG；故答案為：．

AE5555

1

【點睛】本題考查了相似三角形的性質和解直角三角形，解題關鍵是恰當作輔助線，得出MGEN，求EN

2

最小值．

模型4.幾何轉化模型-（特殊）平行四邊形對角線轉化法

該模型主要運用（特殊）平行四邊形對角線的性質（如：平行四邊形對角線互相平分、矩形的對角線相等）

來將不易求得的某些線段轉化為能易求的線段進行求解。

例1．（24-25九年級上·廣東河源·階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AD6，AB8，M為線段BD上

一動點，MPCD于點P，MQBC于點Q，則PQ的最小值為．

424

【答案】4.8/4/

55

【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識，掌握矩形的

判定與性質是解題的關鍵．連接MC，首先根據勾股定理解得BD的值，證明四邊形MPCQ是矩形，可得

PQCM，當時CMBD，CM最小，則PQ最小，然后由面積法求出CM的長，即可獲得答案．

【詳解】解：如圖，連接MC，

∵四邊形ABCD為矩形，AD6，AB8，∴BCD90，BCAD6，ABCD8，

∴BDBC2CD2628210∵MPCD，MQBC，∴MPCMQCPCQ90，

∵四邊形MPCQ是矩形，∴PQCM，當時CMBD，CM最小，則PQ最小，

1111

此時SBCCDBDCM，即6810CM，解得CM4.8，

BCD2222

∴PQ的最小值為4.8．故答案為：4.8．

例2．（23-24九年級上·廣東茂名·期末）如圖，P是Rt△ABC的斜邊AC（不與點A、C重合）上一動點，

分別作PMAB于點M，PNBC于點N，O是MN的中點，若AB5，BC12，當點P在AC上運動時，

BO的最小值是．

304

【答案】/2

1313

【分析】本題考查了矩形的判定與性質、垂線段最短、勾股定理等知識．連接BP，證四邊形BMPN是矩形，

得BPMN．再根據當BPAC時，BP最小，然后由面積法求出BP的最小值，即可解決問題．

【詳解】解：連接BP，如圖，

∵AB5，BC12，∴ACAB2BC213．

∵ABC90，PMAB，PNBC，∴四邊形BMPN是矩形，∴BPMN，BP與MN互相平分．

1

∵點O是MN的中點，∴點O在BP上，BOBP．∵當BPAC時，BP最小，

2

116013030

又∵此時S△ABBCACBP，∴51213BP，∴BP，∴BOBP．故答案為：．

ABC221321313

例3．（2024·河南周口·一模）如圖，Rt△ABC中，ACB90，AC4，BC6，點P為AB上一個動

點，以PC，PB為鄰邊構造平行四邊形PBQC，連接PQ，則PQ的最小值為（）

61012

A．13B．13C．13D．13

131313

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，勾股定理，解直角三角形，垂線段最短，設BC，PQ交于O，

1

過點O作OHAB于H，由平行四邊形的性質得到PQ2OP，OBBC3，則由垂線段最短可知，當

2

點P與點H重合時，OP最小，最小值為OH的值，即此時PQ最小，最小值為OH的值的2倍，利用勾股定

OHAC

理求出ABAC2BC2213，再解直角三角形得到，據此求解即可．

OBAB

【詳解】解：如圖所示，設BC，PQ交于O，過點O作OHAB于H，

1

∵四邊形PBQC是平行四邊形，∴PQ2OP，OBBC3，∴當OP最小時，PQ最小，

2

由垂線段最短可知，當點P與點H重合時，OP最小，最小值為OH的值，即此時PQ最小，最小值為OH的

值的2倍，在Rt△ABC中，ACB90，AC4，BC6，

OHAC

∴ABAC2BC2213，∴sin∠OBHsin∠ABC，

OBAB

OH461312

∴，∴OH，∴PQ最小值為13，故選：C．

32131313

模型5.幾何轉化模型-其他性質轉化法

圖1圖2

如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，則BC=3AC.

如圖2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，則BC=2AC.

例1．（23-24九年級上·廣西柳州·期末）如圖，正方形ABCD，邊長AB2，對角線AC、BD相交于點O，

將直角三角板的直角頂點放在點O處，三角板兩邊足夠長，與BC、CD交于E、F兩點，當三角板繞點O

旋轉時，線段EF的最小值為（）

A．1B．2C．2D．22

【答案】C

【分析】證明OEC≌OFD，得到EF2OE，要使EF有最小值，即求OE的最小值，當OEBC時，OE

有最小值，由等腰三角形的性質可求出．

【詳解】解：正方形ABCD，OCOD,ODCOCB45,OCOD，

DOFCOE,OCOD，ODCOCB45，OEC≌OFD(ASA)，

OEOF,EOF90，EF2OE，故要使EF有最小值，即求OE的最小值，

當OEBC時，OE有最小值，OBOC,BOC90,OEBC，

1

OEBC1，線段EF的最小值為2．故選：C．

2

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟

練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．

例2．（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習）如圖，在ABC中，ABAC4，BAC120，P為BC邊

上一動點，連接AP，將線段AP繞點A順時針旋轉120至AP，則線段PP的最小值為（）

53

A．B．23C．3D．5

2

【答案】B

【分析】過點A作ADPP于D，根據旋轉的性質得到APAP，PAP120，進而得到當PD最短時，

11

PP最短，當APBC時，AP最短，然后利用含30角直角三角形的性質得到APAC2，ADAP1，

22

最后利用勾股定理求解即可．

【詳解】解：如圖所示，過點A作ADPP于D，

由旋轉可得，APAP，PAP120，∴PP2PD，APD30，

當PD最短時，PP最短，∵P為BC邊上一動點，∴當APBC時，AP最短，

1

∵ABAC4，BAC120，∴C30，∴當APBC時，APAC2，

2

1

∴ADAP1∴PDAP2AD23∴PP2PD23．故選：B．

2

【點睛】此題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理和勾股定理等知識，解題的關鍵

是熟練掌握以上知識點．

例3．（2024·江蘇無錫·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥CB，對角線AC、BD交于點O，且

AOB120．若ACBD4，則ADBC的最小值為（）

A．16B．4C．9D．2

【答案】D

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，解直角三角形，二次函數的性質等知識，解決問題的關鍵

是作輔助線將條件集中在同一個三角形中求解．作DE∥AC交BC的的延長線于E，作BFDE于F，設

BDa，表示出DE，解斜三角形BCD，進而求得結果．

【詳解】解：如圖，作DE∥AC交BC的的延長線于E，作BFDE于F，

∵DE∥AC，BDFBOC180AOB60，∵AD∥CB，四邊形ADEC是平行四邊形，

ADCE，DEAC，ADBCCEBCBE，設BDa，則DEAC4a，

13

在Rt△BDF中，BDa，BDF60，DFacos60a，BFasin60a，

22

22

1333

，在中，2222，

EFDEDF4aa4aRtBCFBEBFEFa4a3(a2)4

2222

2

當a2時，BE最小4，即BE最小2(ADBC)最小2．故選：D．

例4．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形ABCD中，ABC120，AB23，點E、F分別是AD、BC

邊上的兩個動點，連接AF，EF，若FA平分BFE，則DE的最大值為（結果保留根號）

【答案】233

【分析】此題考查了菱形的性質，利用三角函數求邊長，過點B作BGAD于點G，由菱形的性質易得

BAD60，AD∥BC，求出BGABsinBAD3．根據菱形的性質及角平分線得到DAFAFE，推

出AEEF．由AEDEAD23可知，當AE最小時，DE最大，從而得到DE的最大值．

【詳解】過點B作BGAD于點G，由菱形的性質易得BAD60，AD∥BC，則AFBDAF．

∵AB23，∴BGABsinBAD3．∵FA平分BFE，

∴AFBAFE，則DAFAFE，∴AEEF．

∵AEEF，∴AE最小BG3，∴DE的最大值為233．

1．（23-24九年級上·山西臨汾·期中）如圖，在ABC中，ABBC10，AC12，點D，E分別是AB,BC

邊上的動點，連結DE，F，M分別是AD,DE的中點，則FM的最小值為（）

A．12B．10C．9.6D．4.8

【答案】D

【分析】本題考查等腰三角形三線合一的性質，三角形的面積，三角形中位線定理，正確得出AE的值是解

題的關鍵．過點B作BHAC于H，當AE取最小值時，FM的值最小，由垂線段最短可知，當AEBC于

點E時，AE的值最小，利用等腰三角形三線合一的性質求出BH的長，進而利用三角形等面積法求解即可．

【詳解】過點B作BHAC于H，

1

∵F，M分別是AD,DE的中點，∴FMAE，當AE取最小值時，FM的值最小，

2

由垂線段最短可知，當AEBC于點E時，AE的值最小，

1

在ABC中，ABBC10，AC12，∴CHAC6，∴BHBC2CH28，

2

11

∴SV12848BCAE，∴AE9.6，∴FM4.8，故選：D．

ABC22

2．（2023·浙江杭州·二模）如圖，點O為VABC的內心，B=60，BMBN，點M，N分別為AB，BC

上的點，且OMON．甲、乙兩人有如下判斷：甲：MON120：乙：當MNBC時，△MON的周長有

最小值．則下列說法正確的的是（）

A．只有甲正確B．只有乙正確C．甲、乙都正確D．甲、乙都錯誤

【答案】A

【分析】此題主要考查了三角形的內心，全等三角形的判定和性質，解答此題的關鍵正確的作出輔助線構

造全等三角形，難點是在解答△MON的周長最小時，將三角形的各邊都用ON表示，并根據垂線段最短來

判斷．連接OB，過點O作ODAB于D，OEBC于E，依據“HL”判定RtODM和RtOEN全等，從而

得出DOMEON，然后再根據四邊形的內角和等于360即可對甲的說法進行判斷；過點O作OFMN

3

于點F，則MN2NF，根據MON120得DNOF=DMOF=60°，進而得NF=ON，據此得△MON

2

的周長為(23)ON，只有當ON最小時，△MON的周長為最小，然后根據“垂線段最短”可對乙的說法進

行判斷．

【詳解】解：連接OB，過點O作ODAB于D，OEBC于E，

點O為VABC的內心，OB是ABC的平分線，又ODAB，OEBC，ODOE，

OMON

在RtODM和RtOEN中，，RtODM≌RtOENHL，DOMEON，

ODOE

在四邊形ODBE中，ODBOEB90，BDOE180，

又B=60，DOE120，即：DDON+DEON=120°，

DONDOM120，即：MON120，故甲的說法正確；

過點O作OFMN于點F，OMON，OFMN

OF是MON的平分線，MFNF，MN2NF，

又甲的說法正確；MON120，NOFMOF60，

NF3

在RtNOF中，sinNOF，NFONsinNOFONsin60ON，

ON2

MN=2NF=3ON，△MON的周長為：OMONMN(23)ON，

當ON最小時，△MON的周長為最小，根據“垂線段最短”可知：當ONBC時，△MON的周長為最小，

MNBC，ON與BC一定不垂直，ON不是最小，

△MON的周長不是最小，故乙的說法不正確．故選：A．

3．（23-24八年級下·廣東江門·期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點P是對角線BD上一點，PEBC

于點E，PFCD于點F，連接AP，EF．給出下列結論：①APEF且APEF；②PFEBAP；③

△ADP一定是等腰三角形；④四邊形PECF的周長為42；⑤EF的最小值為22；⑥PB2PD22PA2．其

中結論正確的是（）

A．①③④⑤B．②③④⑥C．①④⑤⑥D．①②⑤⑥

【答案】D

【詳解】①連接PC，延長FP交于點G，PEBC，PFCD，PECPFC90，

正方形ABCD中，BCD90?，?EPF90，四邊形PECF是矩形，PCEF，

由正方形的對稱性知，APPC，APEF；AB∥CD，PFAB，

APG和FEP中，PEPG，PFAG，APEF；正確；

②PCEF，PEEP，RtPCE≌RtEFPHL，PFEECP，

BAPBCP，BAPPFE；正確；

③ADP45，DAPDPA135，DAP＜DAB90，DPA＞DBA45，

只有當DAPDPA67.5時，或PADPDA45時，ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等

腰三角形；不正確；

④BDCDBC45，DFPPEB90，BPE90PBE45，DPF90PDF45，

BEPE，DFPF，PEECPFCFBEECDFCFBCCD448；不正確；

⑤連接AC，設AC與交點為O，則ACBD，APAO，

??1

AC2AB42，AOAC22，AP≥22，EF≥22，EF的最小值為22；正確；

2

⑥AP2EF2PE2PF2，PEBE，PFDF，

2AP22PE22PF2=PB2PD2，即PB2PD2=2AP2；正確．故正確的有①②⑤⑥故選：D．

【點睛】本題主要考查了正方形，矩形，全等三角形，軸對稱，等腰三角形，勾股定理，解決問題的關鍵

是熟練掌握正方形性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱性質，等腰三角形判定和

性質，勾股定理解直角三角形．

4．（2024·江蘇揚州·三模）如圖，正方形ABCD邊長為4，以B為圓心，AB為半徑畫弧，E為弧AC上動

點，連BE，取BE中點F，連CF，則DECF最小值為．

【答案】25

【分析】在BC上截取BG2，證明△BCF和BEG全等，得到CFEG，則DECFDEEGDG，由

此得出最小值．本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵是將DECF轉化為

DEEG，根據三角形三邊關系，得出最小值．

【詳解】解：在BC上截取BG2，連接EG，DG，

∵正方形ABCD邊長為4，以B為圓心，AB為半徑畫弧∴ABBECB4，

BCBE

∵F是BE中點，BF2BG，在△BCF和BEG中，CBFEBG，

BFBG

BCF≌BEG(SAS)，CFEG，DECFDEEGDG，

CD4，CG2，DGCD2CG225，DECF的最小值為25，故答案為：25．

5．（24-25九年級上·福建廈門·期中）如圖，若Rt△ABC中，ACB90，B30，AC23，P是BC

邊上一動點，連接AP，把線段AP繞點A逆時針旋轉60到線段AQ，連接CQ，則線段CQ的最小值為（）

A．1B．3C．D．23

【答案】C3

【分析】此題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和