專題30解直角三角形模型之12345模型

初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無(wú)論是一次函數(shù)、平行四邊形、

特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開(kāi)直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”

模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟。現(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的

獨(dú)特魅力。

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模型1.“12345”模型及衍生模型.................................................................................................................1

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模型1.“12345”模型及衍生模型

（19年北京市中考）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）。

該類問(wèn)題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來(lái)構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形。

如圖，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。

上面的∠PAB和∠PBA便是今天要說(shuō)的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看：

11

tan∠PAB=，tan∠PBA=，對(duì)于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型。

23

12345基礎(chǔ)模型模型還可變式為

1a

tan=tan=a

2；變式：b；變式：tan=ba。

451452btan

1baab

tantan45

3ab

證明：（基礎(chǔ)模型）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一點(diǎn)E使得BE=1，在DC

111

上取一點(diǎn)F使得DF=2，根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

233

易證：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

圖1

證明：（模型變式1）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一點(diǎn)E使得BE=a，在

DC上取一點(diǎn)F使得DF=b-a，根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=b，CF=a，

baaa

故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

abbb

易證：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

模型變式2可借鑒變式1證明方法，自行證明即可。

1143

注意：下面模型中，，2，3，，均為對(duì)應(yīng)角的正切值。

2334

（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；

（5）∠α+∠β＝90°；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；

上面的這些補(bǔ)充的模型，證明并不算困難，有興趣的同學(xué)可借助網(wǎng)格圖或構(gòu)造圖形自行進(jìn)行證明。

切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來(lái)

解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的某些題，利用“12345”解題也許未必是最簡(jiǎn)，最巧妙的，

但至少可以成為一種通性通法，可在短時(shí)間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時(shí)候時(shí)間是非常寶貴的。

例1．（2022·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，在RtABC中，C90，BC5，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接

11

BD．若tanA，tanABD，則CD的長(zhǎng)為（）

23

A．25B．3C．5D．2

例2．（2024·吉林長(zhǎng)春·校考二模）如圖，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中點(diǎn)．將ABG沿AG對(duì)折至

AFG，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是（）△

△

48

A．B．2C．D．3

33

例3．（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB90，ABBC4，AD3，

E是AB上一點(diǎn)，且DCE45，則DE的長(zhǎng)度是（）

A．3.2B．3.4C．3.6D．4

例4．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，連接AE，

點(diǎn)G是線段AE上一點(diǎn)，連接GF，延長(zhǎng)FG交CD于點(diǎn)M，若AB4，AGF45，則CM的長(zhǎng)為．

例5.（2023.成都市九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若

AE=5，∠EAF=45°，則AF的長(zhǎng)為.

例6．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yxm分別交x軸，y軸于A，B

兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C2，0，點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連結(jié)PA，PC，若CPAABO，則m的值為．

例7.（2023·龍華區(qū)九年級(jí)上期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E為BC的中點(diǎn)，將ABE沿直

線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，則FG的長(zhǎng)是________．△

8．（2024九年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）如圖，將已知矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對(duì)折，使點(diǎn)B落在AD

上，記為B，折痕為CE；再將CD邊斜向下對(duì)折，使點(diǎn)D落在BC邊上，記為D￠，折痕為CF，BD2，

1

BEBC．則矩形紙片ABCD的面積為．

3

AB′FD

ED′

BC

例9.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB3,BC4，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半

1

徑畫弧，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線

2

BP，過(guò)點(diǎn)C作BP的垂線分別交BD,AD于點(diǎn)M，N，則CN的長(zhǎng)為（）

A．10B．11C．23D．4

例10.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為25，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BE與AC交于點(diǎn)

M，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，連接BF分別交AC，AE于點(diǎn)G，H，且BFAE，連接MH，則AH，

MH．

1．（23-24廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD中，AB6，G是BC的中點(diǎn)．將ABG沿AG對(duì)折至

AFG，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則GE的長(zhǎng)是（）

A．5B．4C．3D．2

2．（2024·山東淄博·校考一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，若E是

AB中點(diǎn)，且∠ECF=45°，則CF的長(zhǎng)為（）

A．12B．3C．310D．35

3．（23-24九年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB90，ABBC8，AD6，

E是邊AB上一點(diǎn)，且DCE45，則DE的長(zhǎng)度是（）

A．8B．7.4C．7D．6.8

4．（23-24九年級(jí)上·貴州銅仁·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x＋m（m≠0）分別交x

軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（3，0）．點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA，PC，若∠CPA＝45°，則m的

值是．

5．（2024·遼寧葫蘆島·二模）如圖3，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將矩形ABCD沿AE，

AF折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A，M，G恰好在同一直線上，若DF2CF，AB6，

AD10，則線段BE的長(zhǎng)為．

6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為6，BE=2AE，連接DE，在AD、BC上分別存在點(diǎn)G、

F，連接GF交DE于H點(diǎn)，且∠GHD=45°，求線段FG=_________．

7.（2023·山東·中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD

上，∠EAF＝45°，BE＝2，則DF的長(zhǎng)為_(kāi)________．

AD

F

BEC

7.（23-24九年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，在正方形ABCD中，P是BC的中點(diǎn)，把PAB沿著PA翻折得到

PAE，過(guò)C作CF⊥DE于F，若CF=2，則DF=．△

△

8.（2017無(wú)錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在

格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__________．

9.（2016甘肅天水中考真題）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、

1

y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’位置，OB=5，tan∠BOC=，則點(diǎn)A’的

2

坐標(biāo)為_(kāi)___________．

10.（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，折疊邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，

分別延長(zhǎng)ME，DE交AB于點(diǎn)F，G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝_________cm．

DC

M

E

AFGB

11．（23-24九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，

點(diǎn)E在BC上，且CE=2BE，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AE于點(diǎn)F，連接OF，則線段OF的長(zhǎng)度為.

12．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC10，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落

在A處，若EA的延長(zhǎng)線恰好過(guò)點(diǎn)C，則sinABE的值為．

13．（23-24九年級(jí)·天津河西·期末）正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF分

別與DE，BD相交于點(diǎn)M，N，則MN的長(zhǎng)為．

14．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝－2x＋4的圖像與x軸、y

軸分別交于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．

16

15．（23·24·深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)A在反比例函數(shù)y

x

的圖象上．作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45，交y軸于C點(diǎn)，則ABC面積為．

△

16．（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）閱讀理解題：

1

閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記