專題15全等三角形模型之角平分線模型

角平分線在中考數學中都占據著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各

類模型及相應的輔助線作法，且輔助線是大部分學生學習幾何內容中的弱點，本專題就角平分線的幾類全

等模型作相應的總結，需學生反復掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

.........................................................................................................................................................................................2

模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）............................................................................................2

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內垂直）............................................................................................8

模型3.角平分線構造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）..................................................................13

.................................................................................................................................................20

模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

角平分線垂兩邊是指過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線。角平分線垂兩邊模型，可以充分利用角平分

線性質：角平分線上的點到角兩邊距離相等。

圖1圖2圖3

條件：如圖1，OC為AOB的角平分線，CAOA于點A，CBOB于點B.

結論：CACB、OAC≌OBC.

證明：∵OC為AOB的角平分線，CAOA，CBOB，

∴CACB，∠CBO=∠CAO=90°，∵OCOC，∴OAC≌OBC（HL）

常見模型1（直角三角形型）

條件：如圖2，在ABC中，C90，AD為CAB的角平分線，過點D作DEAB.

結論：DCDE、DAC≌DAE.（當ABC是等腰直角三角形時，還有ABACCD.）

證明：∵C90，AD為CAB的角平分線，DEAB，

∴DCDE，∠AED=∠ACD=90°，∵ADAD，∴DAC≌DAE（HL）

常見模型2（鄰等對補型）

條件：如圖3，OC是∠AOB的角平分線，AC=BC，過點C作CD⊥OA、CE⊥OB。

結論：①BOAACB180；②ADBE；③OAOB2AD.

證明：∵OC是∠AOB的角平分線，CD⊥OA、CE⊥OB，

∴CDCE，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴DAC≌EBC（HL），∴ADBE，∠CAD=∠CBE；

∵OBCCBE180，∴OBCCAD180，∴BOAACB180，

同圖1中的證法易得：DOC≌EOC（HL），∴ODOE，

∴OAOBODDAOBODBEOBODOE2AD，

例1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在ABC中，ABAC，E是邊AB上一點，連接CE，在BC右側作BF∥AC，

且BFAE，連接CF．若AC13，BC10，則四邊形EBFC的面積為．

【答案】60

【分析】本題考查等邊對等角，平行線的性質，角平分線的性質，勾股定理：過點C作CMAB，CNBF，

根據等邊對等角結合平行線的性質，推出ABCCBF，進而得到CMCN，得到SCBFSACE，進而得

到四邊形EBFC的面積等于SABC，設AMx，勾股定理求出CM的長，再利用面積公式求出ABC的面積

即可．

【詳解】解：∵ABAC，∴∠ABCACB，

∵BF∥AC，∴ACBCBF，∴ABCCBF，∴BC平分ABF，

過點C作CMAB，CNBF，則：CMCN，

11

∵SAECM,SBFCN，且BFAE，∴SS，

ACE2CBF2CBFACE

∴四邊形EBFC的面積SCBFSCBESACESCBESCBA，

∵AC13，∴AB13，設AMx，則：BM13x，

由勾股定理，得：CM2AC2AM2BC2BM2，

2

22221192119120

∴13x1013x，解：x，∴CM13，

131313

1

∴SABCM60，∴四邊形EBFC的面積為60．故答案為：60．

CBA2

例2．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，VAOB的外角CAB，DBA的平分線AP，BP相交于

點P，PEOC于E，PFOD于F，下列結論：（1）PEPF；（2）點P在COD的平分線上；（3）

APB90O；（4）若C△OAB17，則OE8.5，其中正確的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【分析】過點P作PG⊥AB，由角平分線的性質定理，得到PEPGPF，可判斷（1）（2）；由△PAE≌△PAG，

1

△GPB≌△FPB可得EPAGPA，GPBFPB，APBEPF，EPFAOB180，得到

2

1

APB90AOB，可判斷（3）；根據C△OAOBABOEOF，OEOF,可判斷（4），進而

2OAB

可得到答案．

【詳解】解：過點P作PG⊥AB，連接OP,如圖：

∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，PEOC，PFOD，PG⊥AB，

∴PEPGPF；故（1）正確；∴點P在COD的平分線上；故（2）正確；

PEPG,APAP,PEAPGA90△PAE≌△PAG，EPAGPA，

PBPB,PGPF,PFBPGB，△GPB≌△FPB，

1

GPBFPB，APBAPGBPGEPF，

2

11

又EPFAOB180，∴APB(180AOB)90AOB；故（3）錯誤；

22

△PAE≌△PAG,△GPB≌△FPB，AEAG,BFBG

PEPF,POPO,PEOPFO90△PEO≌△PFO，OEOF，

C△OABOAOBAB17，OEOFOAAEOBBF

1

OAAGOBBGOAOBABC△17，OEC△8.5

OAB2OAB

∴正確的選項有3個；故選C．

【點睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質定理，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵是熟練掌握

角平分線的判定和性質進行解題．

例3．（2023春·安徽宿州·八年級統考階段練習）已知AB∥CD，BP和CP分別平分ABC和BCD，點E，

F分別在AB和CD上．(1)如圖1，EF過點P，且與AB垂直，求證：PEPF；

(2)如圖2，EF為過點P的任意一條線段，試猜想PEPF還成立嗎？請說明理由．

【答案】(1)證明見詳解(2)PEPF成立，理由見詳解

【分析】（1）過點P作PMBC于點M，由角平分線的性質定理即可得出結論；

（2）過點P作GHAB于點G，交CD于點H，證明△PGE≌△PHF，即可得出結論．

【詳解】（1）證明：如圖，過點P作PMBC于點M，

∵AB∥CD，EFAB，EFCD．

BP和CP分別是ABC和BCD的平分線，

且PMBC，EFAB，EFCD，

PEPM，PMPF．PEPF．

（2）PEPF成立．理由如下：

如圖，過點P作GHAB于點G，交CD于點H，

AB∥CD，PGAB，PHCD，PGEPHF90，

由（1）得PGPH，在PGE和PHF中，

PGEPHF

PGPH△PGE≌△PHFASA，PEPF．

EPGFPH

【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質、角平分線的性質、平行線的性質等知識，熟練掌握角平分

線的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．

例4．（23-24九年級下·遼寧本溪·階段練習）【問題初探】（1）在數學活動課上，姜老師給出如下問題：如

圖1，AD平分BAC，M為AB上一點，N為AC上一點，連接線段DM，DN，若BACNDM180．求

證：DMDN．

①如圖2，小文同學從已知一邊一角構造全等進行轉化的視角給出如下思路：在AC上截取AEAM，連

接DE，易證ADM≌ADE，將線段DM與DN的數量關系轉化為DE與DN的數量關系．

②如圖3，小雅同學也是從已知一邊一角構造全等的視角進行解題給出了另一種思路，過D點向BAC的

兩邊分別作垂線，垂足分別為點E，F，易證△ADE≌△ADF，得到DEDF，接下來只需證FDM≌EDN，

可得DMDN．

請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程

【類比分析】（2）姜老師發現之前兩名同學都采用了一邊一角構造全等的視角，為了更好的感悟這種視角，

姜老師將共頂點的兩個相等的角，變成了不共頂點的兩個相等的角提出了如下問題，請你解答．

如圖4，在VABC中，ABAC，BD平分ABC交AC與點D，在線段BC上有一點E，連接AE交BD與

點F，若CAEABD．求證：ADCE．

【學以致用】（3）如圖5，在VABC中，ABAC，ADBC，垂足為點D，在CB的延長線上取一點E，

9

使EABBAC，在線段EB上截取EFAB，點G在線段AE上，連接FG，使EFGEAB，若AD，

5

610310

EG，BF，求四邊形GFBA的面積．

55

9

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；（3）

5

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、角平分線的定義、勾股定理等知

識點，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．（1）①小文，由“SAS”可證MAD≌EAD，可得

DMDE，AMDAED，由補角的性質可得DENDNE，可證DEDN即可求解；②小雅：由“SAS”

可證△ADE≌△ADF，可得DEDF，由“AAS”可證DFM≌DEN，可得DMDN；（2）由“SAS”可證

ABD≌CAM，可得ADCM，ADBM，由三角形內角和定理可求ADFBFFCEMM，

可得CECMAD；（3）由“SAS”可證ABM≌FEG，可得EGFAMB，FFAB，由等腰三角形的

性質和勾股定理可求BD的長，AB的長，最后由三角形的面積公式求解即可．

【詳解】解：（1）①證明：如圖2，在AC上截取AEAM，連接DE，

∵AD平分BAC，∴BADCAD，

又∵ADAD，∴MAD≌EADSAS，∴DMDE，AMDAED，

∵BACNDM180，∴AMDAND180，

∵AEDDEN180，∴DENDNE，∴DEDN，∴DMDN；

②證明：如圖3，過D點向∠BAC的兩邊分別作垂線，垂足分別為點E，F，

∵AD平分BAC，∴BADCAD，

又∵AEDAFD90，ADAD，∴ADE≌ADFAAS，

∴DEDF，BACNDM180，∴AMDAND180，

∵AMDDMF180，∴DMFDNF，

又∵DENDFM90，∴DFM≌DENAAS，∴DMDN；

（2）證明：延長AE至點M使AMBD，連接CM，

又∵CAEABD，ABAC，∴ABD≌CAMSAS，∴ADCM，ADBM，

∴BD為ABC的平分線，∴ABDCBDCAE，

又∵AFDBFE，∴ADFBEFCEM，∴CEMM，∴CECMAD；

（3）如圖：在AC上截取AMGF，連接BM，

又∵GFEBAC，FFAB，∴ABM≌FEGSAS，∴EGFAMB，

∵GFEBAG，GFEGFB180，∴BAGGFB180，

∴ABFAGF360180180，∴AGFABCC，

6

∵BMABMC180，∴BCMBMC，∴BMBCEG，

5

133

∵ABAC，ADBC，∴BDBC，∴ACCD2AD210EF，

255

31010310199

∴BEBFEF2，∴SBEAD．即ABE的面積為．

55ABE255

△

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內垂直）

角平分線垂中間模型是可以看作是等腰三角形“三線合一”的逆用，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而

得到對應邊、對應角相等，這個模型巧妙的把三線合一和角平分線聯系在一起。但同學們也需要注意，在

解答題中使用時不能利用角平分線+中線得高線，也不能利用角平分線+高線得中線。一定要通過證明全等

來得到結論。（因為正確的結論有很多，但只有作為定理的才可以在證明中直接使用哦！）

圖1圖2圖3

條件：如圖1，OC為AOB的角平分線，ABOC，

結論：AOC≌△BOC，OAB是等腰三角形，OC是三線合一等。

證明：△∵OC為AOB的角平分線，∴∠COA=∠COB，

∵ABOC，∠BCO=∠ACO=90°，∵COCO，∴AOC≌△BOC（ASA），

∴AOBO，∴OAB是等腰三角形，∵ABOC，△∴OC是三線合一。

條件：如圖2，BE為ABC的角平分線，BEEC，延長BA，CE交于點F.

結論：BEC≌△BEF，BFC是等腰三角形、BE是三線合一等。

證明：△同圖1的證法，

例1．（23-24八年級下·安徽馬鞍山·期末）如圖，ABC中，AB8cm，AC6cm，點E是BC的中點，若

AD平分BAC，CDAD，線段DE的長為（）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質，延長CD交AB于F，利用“角邊角”

證明△ADF和△ADC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AFAC，CDFD，再求出BF并判斷出DE

是△BCF的中位線，然后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DEBF，熟練掌握

知識點的應用是解題的關鍵．

【詳解】如圖，延長CD交AB于F點，

∵AD平分BAC，∴CADFAD，∵CDAD，∴ADCADF90，

CADFAD

在△ADF和△ADC中，ADAD，∴ADF≌ADCASA，

ADCADF90

∴AFAC，CDFD，∴BFABAE862cm，

11

又∵點E為BC的中點，∴DE是△BCF的中位線，∴DEBF21cm，故選：B．

22

例2．（2024·廣東深圳·八年級校考階段練習）如圖，ABC中，BC10，ACAB5，AD是BAC的角

平分線，CDAD，則S△BDC的最大值為．

【答案】12.5

≌1

【分析】延長AB，CD交點于E，可證ADEADCASA，得出ACAE，DECD，則SBDCSBCE，

2

當BEBC時，SBEC取最大值，即S△BDC取最大值．

【詳解】解：如圖：延長AB，CD交點于E，

AD平分BAC，CADEAD，CDAD，ADCADE90，

ADEADC

在VADE和ADC中，ADAD，ADE≌ADCASA，ACAE，DECD；

EADCAD

1

ACAB5，AEAB5，即BE5；DEDC，SBDCSBCE，

2

11

當BEBC時，S取最大值，即S取最大值．S10512.5．故答案為：12.5．

BECBDC△BDC22

【點睛】本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是利用三角形中線的性

1

質得到SS．

BDC2BCE

例3．（2024·廣東·九年級期中）如圖，在ABC中，ABAC，BAC90，

（1）如圖1,BD平分ABC交AC于點D，F為BC上一點，連接AF交BD于點E．

（i）若ABBF，求證：BD垂直平分AF；（ii）若AFBD,求證：ADCF．（2）如圖2，BD平分ABC

交AC于點D，CEBD，垂足E在CD的延長線上，試判斷線段CE和BD的數量關系，并說明理由．

1

（3）如圖3，F為BC上一點，EFCB，CEEF，垂足為E，EF與AC交于點D，寫出線段CE

2

和FD的數量關系．（不要求寫出過程）

1

【答案】（1）（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）CE＝FD．

2

【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性質即可證得結論；

（ⅱ）過點C作CM⊥AF交AF的延長線于點M，如圖1，先根據AAS證明ABE≌△CAM，可得AE＝CM，

然后根據角平分線的定義、平行線的性質和等量代換可得∠FCM＝∠EAD，△進而可根據ASA證明AED≌

△CMF，于是可得結論；（2）延長BA、CE相交于點F，如圖2，先利用ASA證明BCE和BFE全△等，可

得CE＝EF，根據余角的性質可得∠ABD＝∠ACF，然后利用ASA可證明ABD和△ACF全△等，進而可得

BD＝CF，進一步即得結論；（3）過點F作FG∥BA，交AC于H，交CE的△延長線于△點G，如圖3，先利用

ASA證明CEF≌△GEF，可得CE＝GE，然后根據平行線的性質、等腰三角形的性質和ASA證明CGH

≌△FDH，△于是可得CG＝DF，從而可得結論．△

【詳解】（1）（ⅰ）證明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，

∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF；

（ⅱ）證明：過點C作CM⊥AF交AF的延長線于點M，如圖1，

∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE，

AEBAMC

在ABE和CAM中，ABECAM，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM，

ABAC

△△

∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD，

EADFCM

在AED和CMF中，{AECM，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF；

AEDCMF

△△

（2）解：BD＝2CE．理由如下：如圖2，延長BA、CE相交于點F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，

CBEFBE

在BCE和BFE中，BEBE，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，

BECBEF90

△△

∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，

ABDACF

在ABD和ACF中，ABAC，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，

BACCAF90

△△

∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE．

1

（3）解：CE＝FD．過點F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長線于點G，如圖3，

2

1

∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°，

2

CFEGFE

1

在CEF和GEF中，FEFE，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG，

2

FECFEG

△△

∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．

1

又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD．

2

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質以及等腰三角形的性質等

知識，具有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．

模型3.角平分線構造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）

角平分線構造軸對稱模型是利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構造對稱全等三角形，可以得到

對應邊、對應角相等，利用對稱性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧。

圖1圖2

條件：如圖1，OC為AOB的角平分線，A為任意一點，在OB上截取OBOA，連結CB.

結論：OAC≌OBC，CB=CA。

證明：∵OC為AOB的角平分線，∴∠COA=∠COB，

∵OBOA，COCO，∴AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。

條件：如圖2，BE、CE分別為△ABC和BCE的平分線，AB//CD，在BC上截取BFAB，連結EF。

結論：BAE≌BFE，CDE≌CFE，AB+CD=BC。

1

證明：∵BE為ABC的平分線，∴∠ABE=∠FBE=ABC，

2

∵BFAB，BEBE，∴BAE≌BFE（SAS），∴∠AEB=∠FEB，

1

∵AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE為BCE的平分線，∴∠FCE=∠DCE=BCD，

2

11

∴∠EBC+∠BCE=ABC+BCD=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，

22

∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴CDE≌CFE，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。

例1．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在ABC中，ABAC，A100，BD是ABC的平分線，

延長BD至點E，DEAD，試求ECA的度數．

【答案】40°

【分析】在BC上截取BFAB，連接DF，通過證明ABD≌FBDSAS，可得DFC180A80，

再通過證明DCE≌DCFSAS，即可求得ECADCB40

【詳解】解：如圖，在BC上截取BFAB，連接DF，

QBD是ABC的平分線，ABDFBD，

ABFB,

在△ABD和FBD中，ABDFBD,

BDBD,

△ABD≌△FBDSAS，BFDA，ADDF，

∴DE=DF，DFC180A80，又ABCACB40，FDC60，

EDCADB180ABDA60，EDCFDC，

DEDF,

在△DCE和DCF中，EDCFDC,△DCE≌△DCFSAS，故ECADCB40．

DCDC,

【點睛】本題考查了全等三角形的問題，掌握全等三角形的性質以及判定定理是解題的關鍵．

例2．（2022·北京九年級專題練習）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．

（1）如圖（1），若AC平分BAE，ACE90，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數量關系為______；

（直接寫出答案）；（2）如圖（2），AC平分BAE，EC平分AED，若ACE120，則線段AB、BD、

DE、AE的長度滿足怎樣的數量關系？寫出結論并證明．

1

【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，證明見解析．

2

【分析】（1）在AE上取一點F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可證得ACB≌△ACF，根據全等三角

形的性質可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根據三角形全等的判定證得CE△F≌△CED，得到EF＝ED，再

由線段的和差可以得出結論；△

（2）在AE上取點F，使AF＝AB，連結CF，在AE上取點G，使EG＝ED，連結CG，根據全等三角形的

判定證得ACB≌△ACF和ECD≌△ECG，由全等三角形的性質證得CF＝CG，進而證得CFG是等邊三

△1△△

角形，就有FG＝CG＝BD，從而可證得結論．

2

【詳解】解：（1）如圖（1），在AE上取一點F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．

AB＝AF

在ACB和ACF中，BAC＝FAC∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．

AC＝AC

△△

∵C是BD邊的中點，∴BC＝CD．∴CF＝CD．

∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．

CF＝CD

在CEF和CED中，ECF＝ECD∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．

CE＝CE

△△

∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案為：AE＝AB＋DE；

1

（2）AE＝AB＋DE＋BD．

2

證明：如圖（2），在AE上取點F，使AF＝AB，連結CF，在AE上取點G，使EG＝ED，連結CG．

1

∵C是BD邊的中點，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．

2

AB＝AF

在ACB和ACF中，BAC＝FAC∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．

AC＝AC

△△

同理可證：ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．

∵∠ACE＝1△20°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°?120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．

11

∴△FGC是等邊三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．

22

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質的運用，能熟練應用三角形全等的判定和性質是解決問

題的關鍵．

例3．（2023·山東煙臺·九年級期末）已知在ABC中，滿足ACB2B，

(1【)問題解決】如圖1，當C90，AD為BAC的角平分線時，在AB上取一點E使得AEAC，連接DE，

求證：ABACCD．(2)【問題拓展】如圖2，當C90，AD為BAC的角平分線時，在AB上取一點

E使得AEAC，連接DE，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由．

(3【)猜想證明】如圖3，當AD為ABC的外角平分線時，在BA的延長線上取一點E使得AEAC，連接DE，

線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．

【答案】(1)證明見解析(2)成立，證明見解析(3)猜想ABACCD，證明見解析

【分析】（1）先根據SAS定理證出AEDACD，根據全等三角形的性質可得EDCD，AEDACD，

再根據三角形的外角性質可得BBDE45，然后根據等腰三角形的判定可得EBED，從而可得

EBCD，最后根據線段和差、等量代換即可得證；（2）先根據SAS定理證出AEDACD，根據全等三

角形的性質可得EDCD，AEDC，再根據三角形的外角性質可得BBDE，然后根據等腰三角

形的判定可得EBED，從而可得EBCD，最后根據線段和差、等量代換即可得證；

（3）先根據SAS定理證出AEDACD，根據全等三角形的性質可得EDCD，AEDACD，從而可

得FEDACB，再根據三角形的外角性質可得BBDE，然后根據等腰三角形的判定可得EBED，

從而可得EBCD，最后根據線段和差、等量代換即可得證．

（1）證明：∵AD為BAC的角平分線，∴EADCAD，

AEAC

在AED與△ACD中，EADCAD，∴AEDACDSAS，∴EDCD，AEDACD，

ADAD

又∵ACB90，ACB2B，∴B45，AED90，

∴BDEAEDB45，∴BBDE，∴EBED，∴EBCD，∴ABAEEBACCD．

（2）解：（1）中的結論還成立，證明如下：∵AD為BAC的角平分線時，∴EADCAD，

AEAC

在AED與△ACD中，EADCAD，∴AEDACDSAS，

ADAD

∴AEDC，EDCD，∵ACB2B，∴AED2B，

又∵AEDBEDB，∴BEDB，∴EBED，∴EBCD，∴ABAEEBACCD．

（3）解：猜想ABACCD，證明如下：∵AD平分EAC，∴EADCAD，

AEAC

在AED與△ACD中,EADCAD，∴AEDACDSAS，∴EDCD，AEDACD，

ADAD

如圖，∴180AED180ACD，即FEDACB，∵ACB2B，∴FED2B，

又∵FEDBEDB，∴EDBB，∴EBED，∴ABAEEBEDCD，∴ABACCD．

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質、等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法

是解題關鍵．

例4．（24-25八年級上·江蘇揚州·階段練習）問題情境：數學課上，同學們在探索利用角平分線來構造全等

三角形問題．

如圖①，在四邊形ABDE中，點C是BD邊的中點，AC平分BAE，ACE90，證明：AEABDE．

討論思考：當同學們討論到題目中尋找線段之間的和差關系時，大家都踴躍提出了各自的見解，大家集思

廣議，提出了一個截長法：如圖②，在AE上截取AFAB，連接，先證明△ABC≌△AFC，再證明

△EFC≌△EDC，即有EFDE，即AEABED．??

解決問題：小明同學根據大家的思路，進行了如下的證明

AEABDE，理由如下：如圖②，在AE上取一點F，使AFAB，連接．

ABAF??

∵AC平分BAE，∴BACFAC，在△ACB和△ACF中，BACFAC∴ACB≌ACF（SAS）

ACAC

∴BCFC，ACBACF．

（1）小明已經完成了大家討論的第一步，接下來就由你來利用題干中的條件完成剩下的推理證明吧．

拓展探究：已知：如圖③，在ABC中，B=60，D、E分別為AB,BC上的點，且AE,CD交于點F．若

AE,CD為ABC的角平分線．（2）AFC；（3）證明：DFEF．

（4）如圖④，在ABC中，ACB90，延長ABC的邊BA到點G，平分GAC交BC延長線于點D，

若ABACCD，ABC30，則∠ACB．??

【答案】（1）見解析；（2）120；（3）見解析；（4）60

【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊對等角，三角形的外角的性質；（1）根據題意再證明

ECD≌ECFSAS得出EFED，進而即可得證；（2）根據角平分線的定義可得

11

EACBAC,DCABCA，進而根據三角形的內角和定理，即可求解；（3）在AC上截取AGAD，

22

證明DAF≌GAFSAS，CFE≌CFGASA，根據全等三角形的性質，即可得證；（4）在AG上截取

AEAC，證明ACD≌AEDSAS，結合已知可得BEED，進而根據等邊對等角可得

EBDEDC30，進而根據角平分線的定義，全等三角形的性質，三角形的外角的性質即可求解．

【詳解】（1）補充證明如下：∵ACE90，∴ACBECD90，ACFFCE90

又∵ACBACF∴ACFECD90，∴ECDECF

∵點C是BD邊的中點，∴BCDC，又∵BCFC∴FCDC，

FCDC

在ECD,ECF中，ECFECD∴ECD≌ECFSAS∴EFED，

ECEC

又ABAF，∴AEAFEFABDE，即AEABDE；

（2）∵B=60，∴BACBCA120，

11

∵AE,CD為ABC的角平分線，∴EACBAC,DCABCA

22

11

∴AFC180EACDCA180BACBCA180120120，故答案為：120．

22

（3）證明：如圖所示，在AC上截取AGAD，

∵AFC120，∴AFD60，∵AE是BAC的角平分線，∴DAFGAF，

AGAD

在DAF，GAF中，DAFGAF∴DAF≌GAFSAS，∴DFFG，AFGAFD60，

AFAF

∵AFC120，∴CFGAFCAFG60，

又∵EFCAFD60∴EFCGFC∵CD是BCA的角平分線，∴ECF=GCF，

EFCGFC

在CFE,CFG中，FCFC∴CFE≌CFGASA∴EFFG∴EFDF；

ECFGCF

（4）解：如圖所示，在AG上截取AEAC，∵平分GAC∴EADCAD，

AEAC??

在ACD,AED中，EADCAD∴ACD≌AEDSAS，∴EDCD，EDACDA，

ADAD

∵ABACCD，∴BEABAEABACCD，∴BEED，

1

∵ABC30，∴EBDEDC30∴EDACDAEDC15，

2

∴CADEADBADC301545，

∴ACBCADADC451560故答案為：60．

1．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，

其中射線OP為AOB的平分線的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，中垂線的性質

和判定，根據作圖痕跡，逐一進行判斷即可．

【詳解】解：第一個圖為尺規作角平分線的方法，OP為AOB的平分線；

第二個圖，由作圖可知：OCOD,OAOB，∴ACBD，

∵AODBOC，∴△AOD≌△BOC，∴OADOBC，

∵ACBD，BPDAPC，∴BPD≌APC，∴APBP，

∵OAOB,OPOP，∴△AOP≌△BOP，∴AOPBOP，∴OP為AOB的平分線；

第三個圖，由作圖可知ACPAOB,OCCP，∴CP∥BO，COPCPO，

∴DCPO=DBOP∴COPBOP，∴OP為AOB的平分線；

第四個圖，由作圖可知：OPCD，OCOD，∴OP為AOB的平分線；故選D．

2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線AD平分BAC的

是（）

A．①②B．①③C．②③D．只有①

【答案】B

【分析】本題考查了尺規作圖，全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是理解作法、掌握角平分線的

定義．利用基本作圖對三個圖形的作法進行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分BAC；

在圖③中，利用作法得AEAF，AMAN，可證明AFM≌AEN，有AMDAND，可得MENF，

進一步證明△MDE≌△NDF，得DMDN，繼而可證明△ADM≌△ADN，得MADNAD，得到AD是

BAC的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點為BC的中點，則AD為BC邊上的中線．

【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分BAC；

在圖③中，利用作法得AEAF，AMAN，

在△AFM和△AEN中，

AEAF

BACBAC，

AMAN

∴AFM≌AENSAS，

∴AMDAND，

AMAEANAF

MENF

在MDE和NDF中

AMDAND

MDENDF，

MENF

∴MDE≌NDFAAS，

∴DMDN，

∵ADAD,AMAN，

∴ADM≌ADNSSS，

∴MADNAD，

∴AD是BAC的平分線；

在圖②中，利用基本作圖得到D點為BC的中點，則AD為BC邊上的中線．

則①③可得出射線AD平分BAC．

故選：B．

3．（2024·重慶·校考一模）如圖，已知四邊形ABCD的對角互補，且B