瀘化中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一'選擇題

1.已知集合A={HlVx<2},JB={xK>a},若AUB=B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.。之2B.q〉2C.a<1D.。<1

2.下列各圖中，一定不是函數(shù)圖象的是（）

3.已知等差數(shù)列{g}的前幾項(xiàng)和為S”,且S5〉5,命題°：“%>10”,命題q：“d〉0”,則命

題p是命題4的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.已知ae,若cos（t—a）=—點(diǎn)，則sin［e+葛］的值為（）

A._受B.正C._巫D.恒

4444

5.已知a=（|）3,》=1|J，c=［；J,則a、b、c的大小順序正確的是（）

B.〃>b>cC.b>a>ca>ob

6.已知命題p：若%=1,則Iga+lgb=0；命題q：若。=力,則sina=sin（3.則下列是真

命題的是（）

A.pAqB.（「0A（—C.p^qD./?v（—i^）

7.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長(zhǎng)率為2，第二年的增長(zhǎng)率為q,則該市

這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為（）

Ap+qB（P+D（4+I）T

2,2

C-4PQd-J（〃+D（q+D-i

8.已知函數(shù)/（x）=f+〃x+c的兩個(gè)零點(diǎn)分別是-1和3,函數(shù)g（x）=，則函數(shù)g（x）

"X

在xe[l,3]上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,4]B.[-4,0]C.[-4,4]D.[-l,3]

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知函數(shù)/（X）=%+5111%-工85》的定義域?yàn)椋?2兀,2兀）,則（）

A.于（X）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B./（X）在（-7T,7T）上單調(diào)遞增

C./（X）恰有2個(gè)極大值點(diǎn)D./00恰有1個(gè)極小值點(diǎn)

10.若a,6，ceR,則下列說法正確的是（）

A.“雙2+云+°20對(duì)尤eR恒成立”的充要條件是“"-4ac<0"

B.“a>1”是“1<1”的充分不必要條件

a

c."a<1”是“方程好+x+a=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件

D.“必<0”是“幺+-無最小值”的既不充分也不必要條件

ab

11.已知函數(shù)"x）=1-2'+a，x<°（aeR）,下列結(jié)論正確的是（）

2'—tz,%>0

A./（x）是奇函數(shù)

B.若/（%）在定義域上是增函數(shù)，則awi

C.若〃力的值域?yàn)镽,則a?l

D.當(dāng)awi時(shí)，若/（x）+/（3x+4）>0,則xe（-

三、填空題

12.募函數(shù)y=（M2—3根+3）xm過點(diǎn)（2,4）,則能=.

13.2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為6sin型，則這個(gè)圓心角所夾的扇形面積是

4

、

14.設(shè)函數(shù)y=sin(3e)[o>O,0十卦力的最小正周期為兀，且其圖象關(guān)于直線

x=2L對(duì)稱，則在下面結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是.

12

①圖象關(guān)于點(diǎn)弓,01寸稱；

②圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

③在上是增函數(shù)；

④在I工上]上是增函數(shù)；

_312

⑤由/(石)=/(%)=0可得吃一々必是或的整數(shù)倍.

四、解答題

15.若集合A=?<x<2-a},集合B=|x|x2-2x-3<Oj.

(1)當(dāng)a=一2時(shí)，求AU8；

⑵若AC瓜町=0,求a的取值范圍.

16.已知函數(shù)〃力=加-2依-3.

⑴若a=1,求不等式/(">0的解集；

(2)已知a>0,且"X)“在[3,+oo)上恒成立，求a的取值范圍；

(3)若關(guān)于x的方程/("=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根占,x2，求x；+后的取值范圍.

17.已知函數(shù)/(x)=sin(2x-1).

(1)求/(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值；

(2)若方程/(x)=§在(0,兀)上的解為X],尤2,求cos(%-x2)的值.

18.在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快,隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加,

繁殖速度又會(huì)減慢，在一次實(shí)驗(yàn)中,檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y(單位：百萬

個(gè))與培養(yǎng)時(shí)間x(單位：小時(shí))的3組數(shù)據(jù)如下表所示.

X235

y3.54.55.5

⑴當(dāng)xN2時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型y=log°(x+c)+Z2和y=根丁二二?+左建立y關(guān)于

x的函數(shù)解析式.

(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時(shí)間來估計(jì)某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實(shí)際的細(xì)菌數(shù)

量與用函數(shù)模型得出的估計(jì)值之間的差的絕對(duì)值不超過0.5時(shí)，稱該函數(shù)模型為“理想函

數(shù)模型”，已知當(dāng)培養(yǎng)時(shí)間為9小時(shí)時(shí)，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬個(gè)，

你認(rèn)為(1)中哪個(gè)函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說明理由.(參考數(shù)據(jù)：質(zhì)土7.6)

⑶請(qǐng)用⑵中的“理想函數(shù)模型”估計(jì)17小時(shí)后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.

19.已知函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是

y=是奇函數(shù)，給定函數(shù)/(x)=x———?

X+1

(1)請(qǐng)你應(yīng)用題設(shè)結(jié)論,求函數(shù)/(X)圖象的對(duì)稱中心；

⑵用定義證明“X)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性；

(3)已知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,且當(dāng)工￡[0,1]時(shí),g(x)=d一3+加.若對(duì)任意

石40,2卜總存在馬￡[1,3卜使得8(％)=/(%2)，求實(shí)數(shù)rn的取值范圍.

參考答案

1.答案：D

解析：因?yàn)榧螦={鄧<x<2},3={x|x>a},且AIJB=3,則Aq8,

所以,a<l.

故選：D.

2.答案：A

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，存在x同時(shí)對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值y,A選項(xiàng)中的圖象不是函數(shù)

圖象；

對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，每個(gè)x有唯一的函數(shù)值y與之對(duì)應(yīng),B選項(xiàng)中的圖象是函數(shù)圖象;

對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可知，每個(gè)x有唯一的函數(shù)值y與之對(duì)應(yīng),C選項(xiàng)中的圖象是函數(shù)圖象;

對(duì)于D選項(xiàng)，由圖象可知，每個(gè)x有唯一的函數(shù)值y與之對(duì)應(yīng),D選項(xiàng)中的圖象是函數(shù)圖

象.

故選：A.

3.答案：C

解析：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得SL5q+^d=5(%+2d)>5,

即。i+2d〉1,又Si。=10%+d=10q+45d?

當(dāng)『+2d>l時(shí)，令f=T,則滿足戶>5,而不滿足故充分性不成立;

10%+45d>10[q=6[510>10

當(dāng)，即產(chǎn)>°

時(shí),Eo=10q+45d>10(1-2d)+45J=10+25d>10,則滿足

[q+2d>l[q>l-2d

S10>10,故必要性成立.

綜上所述，命題p是命題q的必要不充分條件.

故選：C.

4.答案：C

解析:cos^—=~~~

巫

5.答案：D

解析：因?yàn)閥=x3在(o,+8)上是增函數(shù)，且|〉g〉|,所以

故選：D.

6.答案：C

解析：不妨設(shè)”=/?=-1，滿足ab=l，但此時(shí)lga』g〃無意義，故命題P為假命題，

當(dāng)a=(3時(shí),sintz=sin(3，故命題q為真命題，

故°Aq為假命題,F為假命題，故(「p)人(「q)為假命題,pvq為真命題,pv(「q)為假

命題.

故選：C.

7.答案：D

解析：設(shè)這兩年年平均增長(zhǎng)率為x,

因止匕(1+p)(l+q)=(1+x)2解得x=J(l+p)(l+q)_l.

8.答案：B

解析：由題思得—1+3=—b->—1x3=c，解得Z?=—2,c=—3，

故且(乃=地=廠_2工_3=—―2,

XXX

由于y=X與y=—3在xe[1,3]上單調(diào)遞增,

X

故g(x)=%一2-2在xG[1,3]上單調(diào)遞增，

X

故=3—2=-4,g(x)1mx=g(3)=3—l—2=。，

故g(x)在xG[1,3]上的值域?yàn)閇-4,0].

故選：B.

9.答案：ABC

解析：因?yàn)?(幻的定義域?yàn)?/p>

(-27t,27t),/(-%)—-x+sin(-x)-(-x)cos(-x)=-x-sinx+xcosx=-f(x)，所以f(x)為奇

函數(shù),A正確；

因?yàn)?'(%)=l+cosx—(cosx—xsinx)=l+xsinx,當(dāng)xe(—兀，兀)時(shí),xsinx>0,所以/'(%)>0,

則/(x)在(-兀，兀)上單調(diào)遞增,B正確；

顯然/'(0)w0,令/'(%)=0,得sin%=-L分別作出y=sin%，y=-工在區(qū)間(一2兀,2兀)上的

xx

圖象，

由圖可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間（-2兀,2兀）上共有4個(gè)公共點(diǎn)，且兩圖象在這些公共點(diǎn)

上都不相切，故/（x）在區(qū)間（-2兀,2兀）上有2個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn),C正確,D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.答案：BC

解析：因?yàn)楫?dāng)〃一V0,〃<0時(shí)，推不出ax2+Zzx+c20，故A錯(cuò)誤；

由Q>1可推出,<1,而由,<1,可得a<0或,推不出〃>1,

aa

所以“a>1”是“'<1”的充分不必要條件，故B正確；

a

由方程/+x+a=o有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，可得。<0,可推出。<1,

由a<1推不出a<0,

故‘a(chǎn)<1”是“方程x2+x+a=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件，故C正確；

由必<0之<0,可得9+q=/-2-2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b取等號(hào)無最小值，

aab\ab）ab

所以“H<0”是“-+-無最小值”的充分條件，故D錯(cuò)誤.

ab

故選：BC.

11.答案：AB

解析：對(duì)于A,由題函數(shù)定義域?yàn)?fo,0)U(0,+oo卜關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

當(dāng)光<0時(shí),一x>0，/(x)=-2T+a>/(-%)=2-A-a-+a)=-/(%)；

當(dāng)x>0時(shí)，一九<0，/(x)=2*—a,/(-X)=-2X+a--(2*-a)=-/(x),

則函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故A正確；

對(duì)于B,若/(x)在定義域上是增函數(shù)，則-2-°+aW2°-a，即aW1,故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)了<0時(shí),/(x)=-2-工+a在區(qū)間(-oo,0)上單調(diào)遞增，此時(shí)值域?yàn)?-8,a-1),

當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)=2"-a在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)值域?yàn)?1-a,+8).

要使/(x)的值域?yàn)镽,則a-1>1-a，即。>1,故C不正確；

對(duì)于D,當(dāng)aw1時(shí)，由于_2「°+a<2°-a，則函數(shù)/(%)在定義域上是增函數(shù)，

又函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，故由/(x)+/(3x+4)>0,得/(x)>/(-3x-4),

則尤/0,且一3%—4/0,且%>—3%—4,

解得1?-1,0川(。,”)，故D不正確.

故選：AB.

12.答案：2

解析：根據(jù)題意可知加2—3加+3=1，解得m=1或加=2,又因?yàn)?"=4,解得m=2,故

m-2-

13.答案：2

2

解析：由題意可得a=2,l=6sin』兀=30,

4

.?.扇形的半徑廠=工=速，

a2

二扇形面積S」/r」x3四x迪」

2222

故答案為：-

2

14.答案：2

解析：函數(shù)y=sin（Gx+°）的最小正周期為兀，

所以生=兀，得到/=2,

CD

得到y(tǒng)=sin（2%+°）,

2x+cp=ku-\—，左￡Z,

代入對(duì)稱軸％='■，得0=E+巴"wZ,

123

因?yàn)檎?谷）,所以k=0,得9=；,

所以函數(shù)解析式為y=sin12x+5,

令2x+*=kn,keZ,得x=型-》,keZ,

326

所以對(duì)稱中心的坐標(biāo)為「期-301,左eZ,

所以，①圖象關(guān)于點(diǎn)工。對(duì)稱，錯(cuò)誤;

②圖象關(guān)于點(diǎn)［今,0）對(duì)稱,正確；

令2也一四<2x+—<2kn+—"eZ，

232

解得-2+E4x4±+E，ZeZ,

1212

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為++

所以③在03上是增函數(shù),錯(cuò)誤;

6

④在一汽上是增函數(shù),正確;

由函數(shù)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為僵

可得相鄰零點(diǎn)的差是巴的整數(shù)倍，

2

所以⑤由/(石)=/(9)=0可得藥-馬必是兀的整數(shù)倍,錯(cuò)誤.

故答案為：2.

15.答案：(1){%|-2<%<4}

⑵[T+oo)

解析：(1)當(dāng)a=—2時(shí)，集合A={x[—2<%<4},

又集合3={x|尤2-2左一3<0}={.—1(尤<3},所以AU3={x[—2<x<4}.

(2)因?yàn)锳n(、5)=0,所以4口8,

①當(dāng)a?2—a，即時(shí),A=0C3；

77〉—1

②當(dāng)a<2-a，即a<l時(shí)，要使Au瓦則必須，解得-1。<1.

—2-a<3—

綜上,a的取值范圍是[-

16.答案：(1){X|XW—1或x23}

⑵[L+oo)

⑶(2,4)

解析：⑴當(dāng)a=l時(shí),/(幻=f-2x-3,

/(%)2。,即了2—2%—320，解得％4—1或尤23，

.?.不等式的解集為{x|xW-1或x23}；

(2)/(%)=ax2-2ax-3-?(x-l)2-a-3(?〉0),xe[3,+oo)

則二次函數(shù)/(x)圖象的開口向上，且對(duì)稱軸為x=l,

f(X)在[3,+8)上單調(diào)遞增,二/(x)3=/⑶=3a-3,

/(%)20在[3,+oo)上恒成立,轉(zhuǎn)化為/(x)^>0,

.?.3a—320,解得a21,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為工+(?);

⑶關(guān)于x的方程/(x)=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根罰,%，

2

/(x)=ax-2ax-3,x1+x2>0,xxx2>0,

A=4/+12a>0

?e*〃。0且,%+/=2〉0，解得〃<一3,

3八

Xy,%2=---->(J

、a

...xf+%2—(西+元2)~—4H---,

a

令g(a)=4+，Q<-3)，

a

Vg⑷在(-00,-3)上單調(diào)遞減,

???戛(-2,0),???g(a)￡(2,4),

a

故工；+%2的取值范圍為(2,4).

17.答案：(1)犬=9兀+左兀(kwZ)時(shí)，函數(shù)/(%)取最大值，且最大值為1；

(2)cos(七

解析：⑴/(%)=sin(2%-g).當(dāng)2x一(=3+2kn(kGZ),

即尤=Q+kn(keZ)時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1.

(2)因?yàn)?(%)=sin(2x一1),令2%一1=]+E,(左￡Z卜解得尤=^^+今,(左EZ),

即函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為％=||+￡,(攵￡Z),

.,.當(dāng)元￡(0,兀)時(shí)，對(duì)稱軸為x=—n-

12

又方程/(x)=g在(0,兀)上的解為須,％,

.?.再+九2=：兀，則%='|兀一工2，

/.cos(%_4)=cos(—7i-2X)=sin(2x--),

6322

又/(x2)=sin(2x2-1)=|,

故cos(七一%)=g

3

18.答案：(1)y=log2(x—1)+3.5,y=；—"+

8

⑵模型①y=log2（x-1）+3.5是“理想函數(shù)模型”，理由見解析

（3）7.5（百萬個(gè)）

解析：⑴當(dāng)了22時(shí),y=log“(x+c)+b,

由圖表數(shù)據(jù)可得log*2+c)+b=3.5,

loga(3+c)+Z?=4.5.1oga(5+c)+Z?=5.5,

聯(lián)立上式，解方程可得a=23=3.5,c=-1，

1

貝Jy=log2(x-l)+3.5；

當(dāng)龍之2時(shí)，y=mVx+n+k,

由圖表數(shù)據(jù)可得my/2+n+%=3.5，

my/3+n+左=4.5，mN5+n+k=5.5

聯(lián)立上式，解方程可得旭=及,〃=一”"=3

8

(2)考慮①y=log2(x—1)+3.5,由尤=9，

可得y=log28+3.5=6.5,

而[6.5-6.2|=0.3<0.5,

可得模型①y=log2(%-1)+3.5是'理想函數(shù)模型”;

考慮②》=4卜:+3,由%=9,

可得。=丘，9—9+3=字+3

x3.8+3=6.8

而[6.8-6.2|=0.6>0.5,

所以模型②不是“理想函數(shù)模型”;

(3)由(2)可得％=17時(shí)，

y=log2(17-l)+3.5=4+3.5=7.5(百萬個(gè))

19.答案：⑴

(2)證明見解析

⑶[0,2]

解析：⑴設(shè)函數(shù)八工)圖象的對(duì)稱中心為(。力)，

貝U/(a+x)+/(a—x)—2人=0,

即(x+a\--------F(a-x)------=2b,

x+6Z+1a—x+1

BP(a—b\---------------二0，

Q+1—xQ+1+X

(a-b)(Q+1)2-x2+++=0,

整理得(〃一))％2=(Q—b)(Q+])2一4(〃+1),

于是(〃-》)=(Q-b)(a+1)2.4(々+1)=0,

解得〃=6=_1,

所以/(%)的對(duì)稱中心為(-1,-1)；

(2)任取X],%2￡(°，+8>且玉<%2，

4(4)4

則“6/(6再-石中-封尸X-)+「+^^

,