2024-2025學年吉林省百校聯盟高三第二次聯考數學試題試卷試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其右焦點F的坐標為(c,0)，點A是第一象限內雙曲線漸近線上的一點，O為坐標原點，滿足|OA|=A．2 B．2 C．2332．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的右焦點為，若F到直線的距離為，則E的離心率為()A． B． C． D．3．已知變量x，y間存在線性相關關系，其數據如下表，回歸直線方程為，則表中數據m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.54．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．在中，為邊上的中線，為的中點，且，，則（）A． B． C． D．6．設，，則（）A． B． C． D．7．一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C． D．8．年部分省市將實行“”的新高考模式，即語文、數學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A． B．C． D．9．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．在直角坐標系中，已知A（1，0），B（4，0），若直線x+my﹣1=0上存在點P，使得|PA|=2|PB|，則正實數m的最小值是()A． B．3 C． D．11．已知函數，存在實數，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．12．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過動點作圓：的切線，其中為切點，若（為坐標原點），則的最小值是__________．14．已知，，求____________.15．如圖，在平面四邊形中，點，是橢圓短軸的兩個端點，點在橢圓上，，記和的面積分別為，，則______.16．我國著名的數學家秦九韶在《數書九章》提出了“三斜求積術”．他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜．三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個數，相減后余數被4除，所得的數作為“實”，1作為“隅”，開平方后即得面積．所謂“實”、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c，則.已知點D是邊AB上一點，，，，，則的面積為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為（1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設曲線與曲線交于，兩點，求.18．（12分）某校共有學生2000人，其中男生900人，女生1100人，為了調查該校學生每周平均體育鍛煉時間，采用分層抽樣的方法收集該校100名學生每周平均體育鍛煉時間（單位：小時）.（1）應抽查男生與女生各多少人？（2）根據收集100人的樣本數據，得到學生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表：時間（小時）[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數據中有38名男學生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時，請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關”？男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附：K2.P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）是數列的前項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列中最小的項.20．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）若，求曲線與的交點坐標；（2）過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線，交于點，且的最大值為，求的值.21．（12分）某貧困地區幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區邊界曲線為，設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.（1）當為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.22．（10分）已知函數.（1）若函數不存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；（2）若函數的兩個極值點為，，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，A故Ac,bca，Fc,0，故Mc,故選：C.本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.2．A【解析】

由已知可得到直線的傾斜角為，有，再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為，得直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：A.本題考查橢圓離心率的問題，一般求橢圓離心率的問題時，通常是構造關于的方程或不等式，本題是一道容易題.3．A【解析】

計算，代入回歸方程可得．【詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是掌握性質：線性回歸直線一定過中心點．4．D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.5．A【解析】

根據向量的線性運算可得,利用及，計算即可.【詳解】因為,所以，所以，故選：A本題主要考查了向量的線性運算，向量數量積的運算，向量數量積的性質，屬于中檔題.6．D【解析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【詳解】，，則故選本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎題．7．C【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.8．B【解析】

甲同學所有的選擇方案共有種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率，故選B．9．D【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，，但，故充分條件推不出；當時，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數在解三角形中的具體應用，屬于基礎題10．D【解析】

設點，由，得關于的方程.由題意，該方程有解，則，求出正實數m的取值范圍，即求正實數m的最小值.【詳解】由題意，設點.，即，整理得，則，解得或..故選：.本題考查直線與方程，考查平面內兩點間距離公式，屬于中檔題.11．A【解析】

畫出分段函數圖像，可得，由于，構造函數，利用導數研究單調性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A本題考查了導數在函數性質探究中的應用，考查了學生數形結合，轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.12．B【解析】

先求出滿足的值，然后根據充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎．解題時可根據條件與結論中參數的取值范圍進行判斷．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標為(2,2)，半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b?7=0.∴a，b滿足的關系為：4a+4b?7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直線4a+4b?7=0上取一點到原點距離最小，由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4a+4b?7=0，由點到直線的距離公式得：MN的最小值為：.14．【解析】

求出向量的坐標，然后利用向量數量積的坐標運算可計算出結果.【詳解】，，，因此，.故答案為：.本題考查平面向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于基礎題.15．【解析】

依題意易得A、B、C、D四點共圓且圓心在x軸上，然后設出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯立得到B的橫坐標，進一步得到D橫坐標，再由計算比值即可.【詳解】因為，所以A、B、C、D四點共圓，直徑為，又A、C關于x軸對稱，所以圓心E在x軸上，設圓心E為，則圓的方程為，聯立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標為，又B、D中點是E，所以D的橫坐標為，故.故答案為：.本題考查橢圓中的四點共圓及三角形面積之比的問題，考查學生基本計算能力及轉化與化歸思想，本題關鍵是求出B、D橫坐標，是一道有區分度的壓軸填空題.16．.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術”公式即可求得答案.【詳解】，所以，由余弦定理可知，得.根據“三斜求積術”可得，所以.本題考查正切的和角公式,同角三角函數的基本關系式,余弦定理的應用,考查學生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯立方程組，分別求出和的坐標，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標方程為，根據互化公式得，曲線的直角坐標方程為：當時，，當時，，則曲線與極軸所在直線圍成的圖形，是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積.（2）由得，其直角坐標為，化直角坐標方程為，化直角坐標方程為，∴，∴.本題考查利用互化公式將極坐標方程化為直角坐標方程，以及聯立方程組求交點坐標，考查計算能力.18．（1）男生人數為人，女生人數55人.（2）列聯表答案見解析，有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.【解析】

（1）求出男女比例，按比例分配即可；（2）根據題意結合頻率分布表，先求出二聯表中數值，再結合公式計算，利用表格數據對比判斷即可【詳解】（1）因為男生人數：女生人數＝900：1100＝9：11，所以男生人數為，女生人數100﹣45＝55人，（2）由頻率頻率直方圖可知學生每周平均體育鍛煉時間超過2小時的人數為：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，每周平均體育鍛煉時間超過2小時的女生人數為37人，聯表如下：男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時71825每周平均體育鍛煉時間超過2小時383775總計4555100因為3.892＞3.841，所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.本題考查分層抽樣，獨立性檢驗，熟記公式，正確計算是關鍵，屬于中檔題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）由可得出，兩式作差可求得數列的通項公式；（2）求得，利用數列的單調性的定義判斷數列的單調性，由此可求得數列的最小項的值.【詳解】（1）對任意的，由得，兩式相減得，因此，數列的通項公式為；（2）由（1）得，則.當時，，即，；當時，，即，.所以，數列的最小項為.本題考查利用與的關系求通項，同時也考查了利用數列的單調性求數列中的最小項，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20．（1），；（2）或【解析】

（1）將曲線的極坐標方程和直線的參數方程化為直角坐標方程，聯立方程，即可求得曲線與的交點坐標；（2）由直線的普通方程為，故上任意一點，根據點到直線距離公式求得到直線的距離，根據三角函數的有界性，即可求得答案.【詳解】（1），.由，得，曲線的直角坐標方程為.當時，直線的普通方程為由解得或.從而與的交點坐標為，.（2）由題意知直線的普通方程為，的參數方程為（為參數）故上任意一點到的距離為則.當時，的最大值為所以；當時，的最大值為，所以.綜上所述，或解題關鍵是掌握極坐標和參數方程化為直角坐標方程的方法，和點到直線距離公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.21．（1）當時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】

（1）設切點的坐標為，利用導數的幾何意義求出切線的方程為，根據兩點間距離得出，構造函數，利用導數求出單調性，從而得出