第八章實數8.3第1課時實數的概念及分類1．經歷無理數的探究過程，了解無理數和實數的概念，會把實數進行分類．2．了解實數與數軸上的點一一對應，能用數軸上的點表示實數，能比較實數的大小．3．通過實數的分類感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性．重點：對實數按照一定的標準進行分類，用數軸上的點表示實數，并比較實數的大小．難點：用數軸上的點表示實數，并比較實數的大小．一、導入新課知識回顧（1）什么是有理數？有理數包括哪些類別？（可以寫成分數形式的數是有理數，包括整數和分數）（2）什么是無限不循環小數？我們接觸的最常見的無限不循環小數有哪些？（無限不循環小數是指小數點后有無限個數位，但沒有周期性的重復，如eq\r(,2)，π）二、合作探究探究點一：無理數和實數的概念及實數分類計算：把下列有理數寫成小數的形式：eq\f(5,2)＝2.5，－eq\f(3,5)＝－0.6，eq\f(27,4)＝6.75，eq\f(11,9)＝1.eq\o(2,\s\up6(·))，eq\f(9,11)＝0.eq\o(81,\s\up6(··))．思考1：觀察運算結果，請問你有什么發現？請同學們自主討論并得出自己的結論．（任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式．）思考2：像eq\r(,2)這樣的無限不循環小數屬于有理數嗎？為什么？（有理數都可以化成有限小數或無限循環小數的形式．反過來，不能化成有限小數或無限循環小數的數不是有理數．）思考3：如果無限不循環小數不屬于有理數，通過閱讀教材P52說說它屬于哪一類數？（無理數）要點歸納：類比有理數，我們將無限不循環小數叫作無理數．無理數的3種常見的表現形式有：構造型的無限不循環小數（如0.3010010001…）、具有特定意義的數（如π）、含有根號且被開方數不能被開盡的數（如eq\r(3)）.我們將有理數和無理數統稱為實數．思考4：類比有理數的分類，你能給實數分類嗎？（學生自主討論，老師總結）要點歸納：（1）按定義分（2）按符號分將下列各數分別填入下列相應的括號內：eq\r(3,9)，eq\f(1,4)，eq\r(7)，π，－eq\r(16)，－eq\r(5)，－eq\r(3,8)，eq\r(\f(4,9))，0，eq\r(25)，0.5252252225….無理數：{eq\r(3,9)，eq\r(7)，π，－eq\r(5)，0.5252252225…}有理數：{eq\f(1,4)，－eq\r(16)，－eq\r(3,8)，eq\r(\f(4,9))，0，eq\r(25)}正實數：{eq\r(3,9)，eq\f(1,4)，eq\r(7)，π，eq\r(\f(4,9))，eq\r(25)，0.5252252225…}負實數：{－eq\r(16)，－eq\r(3,8)，－eq\r(5)}探究點二：實數與數軸的對應關系及實數的大小比較演示一：閱讀教材P53思考題，老師將演示動畫以課件的形式展示π在數軸上的位置．思考1：O′對應的數是多少？（π）思考2：O′對應的數在數軸上的位置說明什么問題？（無理數π可以在數軸上表示）演示二：回顧：把兩個邊長為1的小正方形通過剪、拼，得到一個大正方形，由大正方形的面積為2可知其邊長為eq\r(2)，從而說明邊長為1的小正方形的對角線長為eq\r(2)．（課件展示教材P54圖8.3－2，eq\r(,2)和－eq\r(,2)在數軸上的位置．）結合兩個演示思考下面的問題：（1）回顧有理數在數軸上的表示，π，eq\r(,2)與－eq\r(,2)在數軸上的對應位置說明什么問題？（無理數也可以在數軸上表示出來）結論：每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一點都表示一個實數．（2）通過上述探究，比較π，－eq\r(,2)，eq\r(,2)，0，1，2，3的大小，并說明如何比較實數的大小．（－eq\r(,2)＜0＜1＜eq\r(,2)＜2＜3＜π，可以根據實數在數軸上的對應位置關系比較大小）要點歸納：要點1：實數與數軸上的點是一一對應的．要點2：與有理數規定的大小一樣，數軸上右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大．要點3：（1）正數大于零，負數小于零，正數大于負數；（2）兩個正數，絕對值大的數較大；（3）兩個負數，絕對值大的數反而小．在數軸上表示下列各點，比較它們的大小，并用“<”連接它們．1，eq\r(,2)，－eq\r(,2)，π，－eq\r(,3)解：各點在數軸的位置如圖所示，由數軸可知：－eq\r(,3)＜－eq\r(,2)＜1＜eq\r(,2)＜π.如圖，數軸上A，B兩點表示的數分別為－1和eq\r(,3)，點B關于點A的對稱點為C，求點C所表示的實數．解：∵數軸上A，B兩點表示的數分別為－1和eq\r(,3)，∴點B到點A的距離為1＋eq\r(,3)，則點C到點A的距離為1＋eq\r(,3).設點C表示的實數為x，則點A到點C的距離為－1－x，∴－1－x＝1＋eq\r(,3).∴x＝－2－eq\r(,3).三、當堂檢測1．下列實數中，為無理數的是（C）A．0.2B．eq\f(1,2)C．eq\r(2)D．－52．下列各數：3.14159，π，eq\r(,25)，0.131131113…，－eq\r(3,8)，－eq\f(1,7)，無理數有（B）A．1個B．2個C．3個D．4個（其他課堂拓展題，見配套PPT）四、課堂小結【板書設計】實數eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(無理數的概念,實數的概念,實數的分類（按定義/符號分）,實數的數軸表示,實數的大小比較))本課時通過回顧有理數及其分類，引入無理