熱點題型?選填題攻略

專題05解三角形

o------------題型歸納?定方向------------*>

目錄

題型01利用正（余）弦定理解三角形.............................................................I

題型02三角形解的個數.........................................................................4

題型03判斷三角形形狀.........................................................................7

題型04三角形面積（定值）....................................................................10

題型05三角形面積（最值或范圍）.............................................................12

題型06三角形邊長............................................................................16

題型07三角形邊的代數和問題..................................................................19

題型08三角形周長（最值或范圍）.............................................................23

題型09三角形中線............................................................................26

題型10三角形角平分線........................................................................30

艙-----------題型探析?明規律-----------?>

題型01利用正（余）弦定理解三角形

【解題規律?提分快招】

①---a--=--b=--c=2…R

sinAsinBsinC

②符號語言：在A4BC中，內角ASC,所對的邊分別是則:

a2=b2+c2-2/?ccosA；

b2=a2+c2-2QCCOSB

c2=a2+b2—2abeosC

b2+c2-a2

cosA=

2bc

tz2+c2-b1

cosB=

lac

a2+b2-c2

cosC二

lab

3

【典例1-1】（2。24?北京海淀?二模）在VA3C中，A3=4,AC=5,c°sC="貝.的長為（）

-3

A.6或不B.6C.3+30D.3

2

【答案】A

【知識點】余弦定理解三角形

【分析】根據余弦定理即可求解.

52+|CB|2-423

【詳解】由余弦定理可得g巴湍考

IO|BC|4

3

故21cBi9-15忸C|+18=0=＞忸C|=6或1,

故選：A

【典例1-2］（2024?北京延慶?一模）VABC的內角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知/B=60‘，sinA=3sinC,

b=幣，則。=，VABC的面積為.

【答案】1更

44

【知識點】正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用

【分析】根據題意，利用正弦、余弦定理求得。，再運用三角形的面積公式即可求得結果.

【詳解】因為sinA=3sinC,由正弦定理可得a=3c,

因為/8=60。，在VABC中，由余弦定理可得：b1—a2+c2-2accosB>

所以7=9c?+c2-6c2」，解得：c=l；

2

所以a=3c=3,由三角形面積公式可得：SABC=—acsinZABC=—x3xlx^-=^^-,

△ABC2224

故答案為：1；3m.

4

【變式1”】（2023?北京豐臺?三模）在VABC中，AC=3,5C=近,A5=2,則A3邊上的高等于（）

「RR3g「屈2

rX.27§D..------LnJ.

222

【答案】B

【知識點】余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用

【分析】根據余弦定理求cosC,再得sinC,利用VABC的面積公式即可求AB邊上的高.

【詳解】在VABC中，因為4c=3,BC=V7,AB=2,

222

AC+BC-AB9+7-4_2A/7

由余弦定理得cosC=

2ACBC2x3x77-7

因為Ce（0,兀），所以sinC=Ji-cos。C=

設A8邊上的高為〃，則兀迎=；4。?2°5山。=；42.〃,

所以，ACBCsinC3乂幣"早373,即48邊上的高等于￡1.

n=--------=-----------=---?

AB22

故選：B.

【變式1-2]（2024?北京西城?三模）在VABC中，若c=2,a=6,ZA=^,貝|sinC=______,b=_______.

6

【答案】^/;V373±V2

33

【知識點】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形

【分析】在VABC中，運用正弦定理求得sinC,運用余弦定理求得6即可.

6_2nr

【詳解】由正弦定理」■y：三,有一T=嬴石，所以sinC=組，

sinAsmCsin—3

6

由余弦定理〃2=/+C2—20CCOSA,有（百）=Z?2+22-2X2/?COS-^,

解得b=A/3±A/2.

故答案為：,A/3±^2.

3

3

【變式1?3】（2024?北京昌平?二模）已知VABC中，a=^b=2c^A=--,貝1JS.c=.

【答案】旦

2

【知識點】三角形面積公式及其應用、已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形

【分析】由余弦定理求出瓦c,由同角三角函數的平方關系求出sinA,最后由三角形的面積公式即可求出答

案.

【詳解】由余弦定理可得：854=1+-一片=402+：-16=_3,

2bc4c24

解得：c=V2，所以Z;=2c=2A/2，

又因為cosA=-y,所以sinA=Vl-cos2A=—,

44

所以SAge=-bcsmA=-x2y/2xy[2x^-=^-.

“Be2242

故答案為：立.

2

題型02三角形解的個數

給出下列五個。的值：①收；②/；③浮；@2；⑤3.其中能使得AABC存在且唯一確定的是（）

A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤

【答案】D

【知識點】正弦定理判定三角形解的個數

【分析】利用三角形的圖形性質來判斷唯一解的充要條件解題即可.

【詳解】

根據已知A==,b=2,可知三角形A3邊上的高/z=6sinA=2x立=6，

32

所以要使得VABC存在且唯一確定的解，貝伯=有,或

故有②④⑤滿足，

故選：D.

【典例1-2]（23-24高一下?北京?階段練習）在VABC中，NA=30。,AC=，滿足此條件VABC有兩解，

則BC邊長度的取值范圍為.

【答案】（百,26）

【知識點】正弦定理判定三角形解的個數

【分析】根據三角形有兩解，應滿足4Csin30o<BC<AC,化簡即可求解.

【詳解】?.?△至（7有兩解，，4。$11130。<3。<4。，；.若<8（7<2百.

故答案為：（6,26）.

【變式1-1]（23-24高一下?北京?期中）已知在VA2C中，28=60。*=6,若滿足條件的三角形有且只有

一個，則4的取值范圍是（）

A.相}B.{a10<〃<也或Q=2}

C.[a\0<a<y/3]D.或。=2}

【答案】D

【知識點】正弦定理判定三角形解的個數

【分析】由正弦定理和三角形解的個數可得答案.

b

、斗々刀▼二十口>^Er〃曰a=------sinA=—T^sinA=2sinA

r【詳解】由正弦定理可得sinBV3，

~2

若滿足條件的三角形有且只有一個，則0°<A<60。或A=90。,

所以0<sinAV@或sinA=1,

2

可得0<。V>/3或a=2.

故選：D.

【變式1-2］（2023?北京朝陽?一模）在VA3C中，.=4c，b=m,sinA-cosA=0.

（1）若加=8,貝！|c=；

（2）當機=（寫出一個可能的值）時，滿足條件的V43c有兩個.

【答案】4五6（答案不唯一）

【知識點】正弦定理判定三角形解的個數、余弦定理解三角形

【分析】（1）求出A,再由余弦定理求解即可；

（2）根據已知兩邊及一邊的對角求三角形解得情況，建立不等式求出加的范圍即可得解.

【詳解】（1）sinA—cosA=0,tanA=1,

,.,0<A<K,A=-,

4

由余弦定理，a2^b2+c2-2bccosA,32=64+c2-16x—c,

2

解得c=4萬

（2）因為A=：,a=4萬

77

所以當6sin7時，方程有兩解，

4

即4A/2<m<8>

取加=6即可滿足條件（答案不唯一）

故答案為：4A份；6.

【變式1-3］（23-24高一下?北京延慶?期末）在VABC中，c=8,ZB=^,請從①44=?，②。=4君,

③b=9中選擇一個，使VA3C存在且唯一，寫出滿足要求的一個條件的序號.

【答案】②（或③，答案不唯一）

【知識點】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的個數

【分析】根據正弦和余弦定理，以及三角形邊與角的性質，直接計算即可判斷求解.

【詳解】對于①，若4=生，則4+8=§+9=兀，這與三角形內角和定理矛盾，不合題意；

666

對于②，若“=46，則/-2accosB=48+64-2x4百x8x^^=16,

所以6=4,此時，VABC存在且唯一，符合題意；

對于③，若6=9,貝u.^_csinB_SX2_4,因為。<人，所以C<3,

sinc=---------=-------=-

b99

所以C為銳角，此時，VABC存在且唯一，符合題意.

故答案為：②（或③，答案不唯一）.

題型03判斷三角形形狀

【解題規律?提分快招】

判斷三角形形狀時，可利用正余弦實現邊角轉化，統一成邊或角的形式，還要注意三角形自身的特點

①sinA=sin8nA=B=AABC為等腰三角形

冗TT

②sinA=cosBnA+8=,或A-B=,nAABC直角三角形或鈍角三角形

（3）sin2A=sin2B^A=B^A+B=-=>△ABC為等腰三角形或鈍角三角形

④cos2A=cos2804=8今AABC為等腰三角形

⑤a2+〃=/ncosC=00AABC為直角三角形

@a2+b2-c2<0=>cosC<0

或-/<0ncosB<0n^ABC為鈍角三角形

或Z>2+c2-a2<0=>cosA<0

?a2+/j2-c2>0=>cosC>0

且-6>o今cosB>0今AABC為銳角三角形

MZ72+c2-a2>0=>cosA>0

【典例1-1】（24-25高三上?上海閔行?期中）在VABC中，已知/+c?-9■=",且btanC=ctan3,貝

的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一個角為60。的直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【知識點】正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函數關系化簡即可；

【詳解】由萬需-仆片可得8$」+：2-“2=!，

2bc2

又4?0,兀），所以A=60°,

由btanC=ctan3和正弦定理可得sin淤￡=sinC型且，即cosB=cosC,

cosCcosB

所以8=C,所以A=60?B=C,所以VASC的形狀為等邊三角形，

故選：D.

【典例1-2］（24-25高三上?北京朝陽?開學考試）已知△ABC的三個內角A民C所對的邊分別為。,4c,則

下列條件能推導出△A3C一定為銳角三角形的是.

222

①〃2+/>e2；smA=sinB=si^C（3）cosA+cosB-cosC=1;（4）tanA+tanB+tanC>0.

567

【答案】②④

【知識點】用和、差角的正切公式化簡、求值、正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、正、余弦

定理判定三角形形狀

【分析】利用三角函數關系式的恒等變換，正弦定理、余弦定理逐項判斷即可求解.

【詳解】對于①，若4+62>02,由余弦定理可知cosC=&+二一/>0,

lab

即角C為銳角，不能推出其他角均為銳角，故①錯誤；

對于②，因為辿=電史=維，則sinA:sin5:sinC=5:6:7,

567

由正弦定理得Q:Z?:C=5:6:7,設〃=5左，b=6k,c=7左，k>0,

可得c為最大邊，。為三角形最大角，

^2>2_225左2+36左2-49左z1人

根據余弦定理得COSC=---------------=->0,

2ab2x5左x6左-5

則。為銳角，可得VA3C一定是銳角三角形，故②正確;

對于③,因為cos?A+cos2B-cos2C=1，

則1-sin2A+l-sin2B-(l-sin2C)=1,整理可得sin2A+sin2B=sin2C,

由正弦定理可得〃2+從=02,可得C為直角，故③錯誤；

tanA+tanB

對于④,因為由于tan(A+2)==-tanC

1-tanAtanB

則tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,

故tanA+tanjB+tanC=tanAtanjBtanC,

由于tanA+tanB+tanC〉O,故tanAtanBtanC>0,

故A,B,C均為銳角，VA3C為銳角三角形，故④正確.

故答案為：②④.

【變式1-1]（24-25高三上?四川綿陽?階段練習）在VABC中，角A、B、C的對邊分別是。、b、c,且

acosB+bcosA=b,則VABC一定是（）

A.等腰三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.直角三角形

【答案】A

【知識點】正弦定理邊角互化的應用、正、余弦定理判定三角形形狀、逆用和、差角的正弦公式化簡、求

值

【分析】由題意根據正弦定理及和差公式可得sin（A+B）=sinB,由A+5+C=TT及誘導公式可得sinC=sin3,

結合民C為三角形的內角可得B=C,即可得結果.

【詳解】acosB+bcosA=b,

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sin瓦

貝|sin(A+5)=sinB,又A+3+C=TT,

可得sinC=sinB,

???史。為三角形的內角，

:.B=C,

所以VABC一定是等腰三角形.

故選：A.

【變式1?2](24-25高一上?上海?課后作業)在VABC中，c-acosB=(2a-b)cosA(八b、c分別為角A、

B、。的對邊)，則VA5C的形狀為.

【答案】等腰或直角三角形

【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、正、余弦定理判定三角形形狀、正弦定理邊角互化的應用

【分析】根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式化簡推理即得.

【詳解】在NABC中，c—acosB=(2a-Z?)cosA及正弦定理得sinC—sinAcosB=2sinAcosA—sinBcosA,

[fjjsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,貝UcosAsin5=2sinAcosA-sinBcosA,

TT

于是cosA(sinB-sinA)=。，貝5|cosA=0或sinB=sinA,而A,8e(0,兀)，因此A=—或3=A,

2

所以VABC為等腰或直角三角形.

故答案為：等腰或直角三角形

【變式1-3](23-24高一下?河南三門峽?期中)已知VABC中，內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,

a=-小",則7ABe的形狀是________.

cosB+cosC

【答案】直角三角形

【知識點】正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】由正弦定理以及兩角和的正弦公式整理可得cosA(sinC+sinB)=0,進一步有cosA=0,即可求解.

【詳解】由正弦定理以及。=—b+C,可得sinA=smg+sm；,

cosB+cosCcosB+cosC

所以sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC=sin(A+C)+sin(A+B)

=sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB,

化簡可得：cosA(sinC+sinB)=0,

因為0<3<兀，0<C<7i,所以sin_B>0,sinC>0,則cosA=0,

TT

因為0<4<兀，所以A=5，則VABC的形狀是直角三角形；

故答案為：直角三角形

題型04三角形面積（定值）

【解題規律?提分快招】

①S=gabsinC=；acsin5=gbesinA；

②S=g（a+人+c）r（其中，”,b,c是三角形ABC的各邊長，廠是三角形ABC的內切圓半徑）；

【典例1-1］（24-25高三上?北京?階段練習）在VABC中，/8=60。,6=近,°-°=2,則VA2C的面積為（）

A.@B.之C.史D.3

2244

【答案】C

【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形

【分析】利用余弦定理和三角形的面積公式來求得正確答案.

2222

【詳解】由余弦定理得從=a+c-2accos60°,a+c-ac=79

由a—c=2兩邊平方得a2+c2—2ac=4,

所以ac=3,所以S&Bc=^-sinB=^-x3x?

故選：C

jr2冗

【典例1-2］（24-25高二上?北京?期中）在VABC中，AB=2拒,/臺二^,點。在邊上，ZADC=—,

CD=1,則（1）AD=;（2）AACD的面積為.

【答案】272如

2

【知識點】正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用

（2）由5"8=（乂4。*。乂$抽/4￡＞（7即可求得.

【分析】（1）在△板）中，應用正弦定理即可;

2兀

【詳解】解：（1）因為在VABC中，AB=243ZADC=——

3

1T

所以44￡>8=§,

AB_AD

于是在△ABD中，由正弦定理可知,

sinZADBsinNB

ABxsinZ-B

所以人。==20；

sinZADB

2

（2）S,rn=-xADxCDxsinZADC=-x2y/2xlx^-=^-.

AACD2222

故答案為：2庭：

2

【變式1-D（23-24高一下?北京?期中）在VABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,AB=4,NB=60°,點

。為邊BC上的一點，AD=2幣,CD=6,貝UAACD的面積為（）

A.65/3B.9A/3C.146D.20G

【答案】A

【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形

【分析】根據給定條件，利用余弦定理求出再利用三角形面積公式計算即得.

【詳解】在△ABD中，A8=4,N8=6O°,A￡>=26，由余弦定理得AC^二虞^十秒2一？及）.,

即28=8。2+16—22。、4*L，-4BD-12=0,而3D>0,解得80=6,

2

又CD=6,顯然。是BC中點，所以AACD的面積SACLSAB。」x4x6x走=6若.

△AC￡zAABD22"

故選：A

【變式1-2］（23-24高一下?江蘇常州?期中）在VABC中，若BC=2,AC=y/2,A=45。，則VA3C的面積

為（）

A.且±1B.3匚C.73+1D.g二或?1

2222

【答案】A

【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形

【分析】先利用余弦定理求出AB,再根據三角形的面積公式即可得解.

【詳解】在VABC中，若2C=2,AC=V2>A=45。，

由余弦定理得BO?=AB2+4C2—24C.A8COSA,

^4=AB2+2-2AB，解得A8=后+1（AB=-百+1舍去），

所以'ABc=gA3.ACsinA=；x（^+l）x^x*=^^.

故選：A.

【變式1-3］（24-25高三上?北京豐臺?期中）在VABC中，a=5,c=3,B=2C,則VABC的面積為.

【答案】5&

【知識點】三角形面積公式及其應用、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形

【分析】應用正弦定理、倍角正弦公式得方=6cosC,再由余弦定理及倍角余弦公式求得cosC=",進而

3

得b=2&,且sinC=@,最后應用三角形面積公式求面積.

3

b_cb

【詳解】由結合題設有----------=-----=b=6cosC,

sinBsinCsin2c2sinCcosCsinC

22

又/二片+C-2^CCOSB=34-30COS2C,即36cosC=34-30cos2C,

2

所以36cos2c=64-60cos2Cncos2c="在三角形中3=2C,必有C為銳角,

所以cosC=^^,故b=2娓,且sinC=^^,

33

故4ABC的面積為gabsinC=；x5><2面><￥=5VL

故答案為：5vL

題型05三角形面積（最值或范圍）

【解題規律?提分快招】

①S二gabsinC=；〃csinB=gbcsinA；

②S=g（a+人+c）r（其中，”,b,c是三角形ABC的各邊長，廠是三角形ABC的內切圓半徑）；

③基本不等式

④正弦定理化角

【典例1-1】（2024,江蘇徐州?模擬預測）在VABC中，A=y,。為邊BC上一點，^AD±AB,且AD=1,

則VABC面積的最小值為（）

A.BB.逆C.更D.6

234

【答案】B

【知識點】三角形面積公式及其應用、條件等式求最值

【分析】利用等面積法建立b,c邊的等量關系，再利用基本不等式求A的最小值即可求解.

【詳解】

如圖，由己知A=至，AD.LAB,且AO=1,

VABC的面積=^bcsinA=~bcsm^=^~-bc,

又S"ABC=<48。+S-AOC=^C+2^S^n^=)

__8

貝II有y/3bc=2c+b>2<2bc=2y/2>fbc,解得bc>—,

當且僅當6=2c,即6=?6,c=g君時等號成立，

的最小值為

所以1ABCI6.

故選：B.

【典例1-2]（23-24高三下?浙江,階段練習）在等邊三角形ABC的三邊上各取一點O,E,尸，滿足DE=3,

DF=2道,ZDEF=96°,則三角形ABC的面積的最大值是（）

713

A.B.135/3C.—A/3D.—A/3

【答案】A

【知識點】輔助角公式、正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用

【分析】首先求出所，設NBED=g,0,—I,在VBDE、△CEF分別利用正弦定理表示出BE、CE,

由BCnBE+CE,利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出BC的最大值，即可求出三角形面積最大值.

【詳解】因為DE=3,DF=2框,ZDEF=90°,所以EF=[DF?-DE。=6,

設/BED—9,6e0,-->1,

則ZB￡>E=也一d,ZCEF=--0,ZCFE=—-[--o]=-+O,

32312J6

BEDE

在VBD￡中由正弦定理

sinZBDEsinB

所以BE=2^3sinT-4

CEI。

CFEF

在△CEF中由正弦定理.即.小a「市，

sinZCFEsinHi

sinC1—6+0J2

所以CE=2sin5+e

所以BC=2E+CE=2Asinf--6>j+2sin|—+0

=2石[sincos0—cossing]+2[sin,cos6+cos?sin。

=2\Z^sin6+4cose=2A/7sin(6+0)(其中tan夕=,

所以BCa=2S，

則S?ABC=|BC?s嗚=qBC?W￥X(2⑺2=7百,

即三角形ABC的面積的最大值是7g.

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是用含。的式子表示出BE、CE,再利用三角恒等變換公式及輔助角公式

求出8C的最大值，進而求出三角形面積最大值.

【變式1-1](24-25高三上?江蘇揚州?階段練習)在VABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

a=布,(sinA-sinB)(&+tz)=c(sinB+sinC),則VABC面積的最大值為()

A.1B.1C.也D.近

4242

【答案】C

【知識點】三角形面積公式及其應用、基本不等式求積的最大值、正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解

三角形

【分析】根據給定條件，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求得cosA,根據基本不等式及三角形面

積公式求解面積的最大值.

【詳解】在VABC中，GinA-sin3)0+a)=c(sin3+sinC),

由正弦定理得(a—b)S+a)=c(b+c),即/=b2+c2+bc,

b2+c2-a2-be_1

由余弦定理得cosA=

2bc2bc~~2

->3=a2=b2+c2+be>2bc+be=3bcy當且僅當b=c=l時取等號，因此。cVl,

VABC面積S='AcsinA=是bc〈B,

244

.?.當8=c=l時，VABC的面積取得最大值在.

4

故選：c.

【變式1-2］（24-25高三上?廣東東莞?階段練習）在VABC中，若sii?A+sin?5+sinAsinb=$蘇C,且AB

邊上的中線長為2,則VABC面積的最大值為.

【答案】473

【知識點】三角形面積公式及其應用、正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、基本不等式求積的

最大值

【分析】根據正弦定理以及余弦定理進行轉化求出C=與，由題設前=；（百+而）兩邊同時平方計算，

再由基本不等式和三角形面積公式求解即可.

【詳解】因sin2A+sin28+sinAsin5=sin?。，由正弦定理可得〃+必=/,

即儲+配—°2=—々6,所以cosC=又OVCVTI,

2ab2

所以C="，sinC=sin—=^,設45邊上的中線為CO,

332

則前=：(回+國)，貝“麗(=^(CA+CB)2=^(a2+b2-ab)=4,

所以16=〃2+/?2-ab>2ab-ab=ab，當且僅當。=〃=4時等號成立，

△ABCL=；（H）max-sinC=46

所以（S

故答案為：4框.

【變式1-31（24-25高二上?湖南?期中）在VABC中，AB=V?AC,點。在BC上，滿足①=2DB,AD=yf3,

AC=3D則AABC的面積為

【答案】述

4

【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形

【分析】設AC=8O=x,在VA2C中和△ADC中，分別用余弦定理表示出cosC,由等式解出x,面積公

式求VABC的面積.

【詳解】設AC=3D=x,則AB=?x,CD=2X.

A

x2+9x2-7x21

2xACxBC2xx3x2

心+。。2一人。2x2+4x2-3_1

在△ADC中,cosC=

2xACxDC~~2xx2x2

解得f=l,故%=1,

所以SABC=—xACxBCxsinC=—x3xlxy/l-cos2c=.

△AoC224

故答案為:學

題型06三角形邊長

【解題規律?提分快招】

正(余)定理

【典例1-1】(23-24高一下?重慶涪陵?期中)在AASC中，已知A=60°,3c=2,。為8C的中點，則線段

AD長度的最大值為()

A.3B.y/3C.2D.

【答案】B

【知識點】求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、數量積的運算律、基本不等式求積的最大值

_.1―.—.

【分析】由余弦定理得到〃+C2=4+6C,再利用基本不等式得到反44,然后由4。=/(48+4。求解.

【詳解】由余弦定理得〃=。2+。2-26ccosA=b2+<?-6c，BP4=&2+c2-be,即b2+c2=4+》c,又

b2+c2>2bct

:.4=b2+c2-bc>bc,即6c44,當且僅當6=c=2時等號成立.

--1―--.

AD=-(AB+AC),

----?21----2----?2----------,

/.AD=-(AB+AC+2AB.AC)

=—(c2+Z?2+2cZ??—)-—(b2+c~+be).

424

=-(4+bc+bc)<-(4+8)=3

44

IAD|<V3.

故選：B

【典例1-2］（23-24高一下?四川成者卜期中）在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZA=45°,

AC邊的中線80=夜，則。的最大值是.

【答案】V5+1

【知識點】余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、求含sinx（型）函數的值域和最值、

正弦定理邊角互化的應用

【分析】設設4位由=6,用正弦定理將邊長全部用6表示，AZ）=2sin（135°-,DC=AD=2sin（135°-0）,

再用余弦定理，借助三角恒等變換，化為三角函數=6+2式sin（20+夕）,（tane=；.求最值即可.

【詳解】如圖,

設ZADB=9/BDC=180°-6,則ZABD=180°-45°—6=135°-9

BD_AD血_AD

Ar>=2sin（135°-6>）.

sin/BAD-sin/ABDsin45°sin（135°-。）

由于AC邊的中線80,.18=40=25:111（135°—。），

用余弦定理，知道/=臺。2=3D2+Dc2-23D-r）c.cos/3DC，

=2+4sin2（135°-61）-472sin（135°-6）cos（180°-6）

=2+4sin2（45。+6）+40sin（45。+0）cos0

=4+2sin26+2（sin26+cos26+1）

=6+4sin28+2cos28

=6+2y/5sin（28+0）]tan0=J.

/2=6+2君,則°四=岔+1?

故答案為：y[5+1.

【變式1-1]（2024?江蘇連云港?模擬預測）在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=1,

Z?cosA=l+cosB,則邊b的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

【答案】B

【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、正弦定理邊角互

化的應用

【分析】利用正弦定理邊化角，再利用和差角的正弦推理得8=2A,又由正弦定理得人=2cosA,根據角A

的范圍利用余弦函數性質求解值域即可求解.

【詳解】由4=1,匕cosA=l+cos5得，bcosA=a+acosB,

由正弦定理可得sinBcosA=sinA+sinAcosB,即sinBcosA-sinAcosB=sinA,

所以sin（_B—A）=sinA,所以6—A=.或5—4+24=71（舍去），所以6=2A,

asinBsin2A

由正弦定理得,6==2cosA,

sinAsinA

TT

而0<A<71,O<5=2A<71,O<C=71-3A<71,所以0<A<§,

所以g<cosA<l,所以b=2cosAe（l,2）,所以6的取值范圍為（1,2）.

故選：B

【變式1-2X23-24高一下?浙江?期中）在VA3C中，角A,民C所對的邊分別為a,6,c,已知。=c-l,6=c+l,

若VABC為鈍角三角形，則c的取值范圍為（）

A.（2,4）B.（1,3）

C.（0,3）D.（3,4）

【答案】A

【知識點】解不含參數的一元二次不等式、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍

【分析】根據三角形兩邊之和大于第三邊和余弦定理，求解。的范圍，判斷選項.

【詳解】由。=。-11=。+1,則％>c>a,

所以c+c—l>c+l,故c>2,

由VABC為鈍角三角形，則cosB<0,

即0+'―；）干+1）<0,得。2一4。<0,故0<。<4,

2c（c-l）

故c的取值范圍為（2,4）,

故選：A

【變式1-3］（23-24高一下?天津河西?期中）在銳角VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,

TT

且。=3,A=y,則6的取值范圍是（）

6

A.（0,6）B.（0,2石）C.（6,2若）D.（3石,6）

【答案】D

【知識點】求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應用

【分析】利用正弦定理得到匕=6sinB,再由三角形是銳角三角形求出B的范圍，即可求出sing的范圍，從

而得解.

TT

【詳解】銳角VABC中，。=3,A=y

由正弦定理可得sinAsin3

所以Z?=6sin5,

又B+C=M，

ATIZ|=|兀八兀

所以，解得y<,

所以<sinB<1,所以

2

故選：D.

題型07三角形邊的代數和問題

【解題規律?提分快招】

①通過正余弦定理，把邊轉化為角。

②利用特殊角，消角，以分母角度為住元，消去分子角度，轉化為分母角度的單變量函數形式

③對單變量（單角）求最值。

A4-r*

【典例（24-25高二上?貴州貴陽?階段練習）在銳角VABC中，NA=2NB,則丁廠的范圍是（）

443

2

352?

【答案】A

【知識點】求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形

【分析】根據銳角三角形定義求出N3的范圍，利用正弦定理和三角恒等變換將所求化為關于-3的三角函

數，然后由三角函數性質求解