2024-2025學年江蘇省南京市高二上學期期末數(shù)學檢測試卷

一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.題只有一個選項符合題意.）

1.已知加eR,則“掰=一1”是“直線如+（2加T）y=2=°與直線3x+町+3=°垂直,，的

A.充要條件B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【詳解】“直線加x+（2加—l）y=2=0與直線3x+町+3=0垂直”的充要條件為

3m+m（2m-1）=0=>m=O§Km=-1,因止匕“加=一1"是"直線加x+（2加-l）y=2=0與

直線3x+叼+3=0垂直”的充分而不必要條件，選c

2,若數(shù)列｛。"｝滿足%=2,—1，則"2024=（）

A.-B.2C.3D.-1

2

【正確答案】A

【分析】根據遞推式寫出數(shù)列的前幾項，可得｛an｝是周期為3的周期數(shù)列，從而可求得答案.

［詳解】數(shù)列｛冊｝滿足q=2,an+ian=an-l,

an+l=1---,

an

.a—I——

222

%=1—2=—1,

a4=1-（-1）=2,

，｛aj是周期為3的周期數(shù)列,

而2024=3x674+2,

故。2024=。2=萬.

故選：A

3.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,其導函數(shù)為/'(x),/'(x)的部分圖象如圖所示，則()

A./(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減B./(x)的一個增區(qū)間為(-覃)

C./(x)的一個極大值為/(—I)D./(x)的最大值為/(I)

【正確答案】B

【分析】

由導函數(shù)在某個區(qū)間上為正，則原函數(shù)在此區(qū)間上為增函數(shù)，若導函數(shù)在某個區(qū)間上為負，

則原函數(shù)在此區(qū)間上為減函數(shù)，若導函數(shù)在某一個點左右兩側的函數(shù)值異號，則此點就為極

值點，逐個判斷即可

【詳解】由/'(X)的部分圖像可得：

在(-1,1)上，/'(幻＞0,所以/(X)單調遞增，所以A不正確，B正確；

由/'(-1)=0,導函數(shù)在x=-l左右兩側的函數(shù)值異號，

所以/(-1)是/(x)的一個極小值，所以C不正確，

同理可知/(I)是/(x)的一個極大值，并不一定是最大值，D不正確.

故選：B.

4.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列出｝是等比數(shù)列，若為+生+。9=9也貼8=36,則

1+aa

A.2B.V3C.-D.②

23

【正確答案】C

【分析】根據等差、等比數(shù)列的性質分析求解.

a+a+a=3as=9牝二3

【詳解】由題意可得＜159,解得《

也貼8=W=364=百

所以，氏-+--a2.__--2-42__..6.-—3

1+b2a1+公1+32,

故選：C.

5.已知點P（2,0）,點0在圓/+/=i上運動，則線段尸。的中點M的軌跡方程是（）.

A.（X-1）'+J2=1B.尤2+（了-1）2=]

C.4（1『+49=]D.4x2+4（y-l）2=1

【正確答案】C

【分析】設出點M坐標，得出。點坐標，代入圓方程，即可得到線段P。的中點〃的軌跡方

程.

【詳解】由題意，P（2,0）,

在圓必+丁=1中，點。在圓上，線段尸。的中點為

設則Q（2x-2,2y）,

/.（2x-2）2+（2y）2=1,即：4（x-l）2+4y2=1,

故選：C.

6.分形幾何學是數(shù)學家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學學科，它的

創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學領域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2

的一個樹形圖，記圖2中第〃行黑圈的個數(shù)為%,白圈的個數(shù)為4，若%=55,則，=（）

第1行

第2行

Oe第3行

圖1圖2

A.34B.35C.88D.89

【正確答案】A

【分析】每個白圈在下一行產生一個白圈一個黑圈，一個黑圈在下一行產生一個白圈兩個黑

圈，從而可得遞推公式，然后由遞推公式可求得結果.

【詳解】由題可知，每個白圈在下一行產生一個白圈一個黑圈，

一個黑圈在下一行產生一個白圈兩個黑圈，

所以有4=24T+如，bn=an-\+b”.i，

又因為q=0,所以。2=1，%=1,4=3,4=2,

%=8,匕4=5,—21,4=13,4=55,b6=34.

故選：A.

7.三個數(shù)。=^,/)=■一，c=變的大小順序為()

e223

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.

a<b<c

【正確答案】D

【分析】據題意可設/(x)=2,求導/'(x)=t學，從而可根據導數(shù)符號得出/(X)在

XX

(e,+8)上單調遞減，并且可得出。=/卜2),6=/(4),c=/(3),從而得出。，b,c的

大小順序.

【詳解】設/(x)=叱，貝U/'(x)=匕學，

XX

當X>e時，則ln%>L可得/'(x)<o,

可知/（X）在（e,+8）上單調遞減,

因為。=之=^^=/（金），分=竽=等=/（4），。=野=/（3），

ee」43

且e2>4>3,則/卜2）</（4）</（3）,所以a<b<c.

故選：D.

22

8.已知片，月分別為雙曲線C：二—京=1（。〉0,人〉0）左、右焦點，過點片的直線與雙

sinNNFF,2,----.

曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點，且一.八此.=齊飛MF#MN、NF、=b,

sin/NF?F'3"）

則雙曲線。的離心率是（）

A.V5B.叵C.V?D.叵

22

【正確答案】C

【分析】由正弦定理和雙曲線的定義可得△"工N是正三角形，從而/月"工=120°.在

△孫月中，由余弦定理即可得到答案.

sinZJVFR2八iii1

【詳解】由."一「結合正弦定理得2|八%|=3|叫|,

//v-Z21

因為|明|-|明|=24,所以|g|=6a,|鶴|=4*

又（加+荻>麗=0,即（汨+而）?（而一麗）=0,

則指麗Jo,所以|M^=|ACV|.

設|九里|=|肱￥=加，貝1J|上名|=6a-加，

5l\MF^-\MF^=2a,則加一（6。一加）=2a,解得加=4a,

所以|5|=|肱V|=4a,|叫|=2〃，

所以△〃區(qū)N是正三角形，從而/片血里=120。.

在叢MF'F2中，由閨月『=|M『+|摩『_2x|九?x|九/xcosl20。，

ifl（2c）2=（2?）2+（4o）2-2x2?x4?xcos120°,得c?=7a2，所以e=Q.

故選：C.

二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.每題有多項符合題意，全對得5

分，部分選對得2分，有錯選得0分.）

9.已知圓。1：/+/一2x—3=0和圓。2：一+/一23；—1=0交于48兩點，則（）

A,兩圓的圓心距|aal=2

B.兩圓有3條公切線

C,直線48的方程為》一了+1=0

D.圓01上的點到直線45的最大距離為2+J5

【正確答案】CD

【分析】根據圓的一般方程求出圓心與半徑，利用兩點間的距離公式求解圓心距判斷A；根據

兩圓的位置關系，判斷B；將兩圓的方程作差，得公共弦所在直線方程，即可判斷C；通過圓上的

點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半徑，即可判斷D.

【詳解】圓。1：一+/—2x—3=0的圓心。］（1,0）,半徑=2；圓。2：/+y2一2了一1=0

的圓心Q（0,1）,半徑％=J5.

對于A,兩圓的圓心距I。。?|=VT+T=C,A錯誤；

對于B兩圓相交于48兩點,有2條公切線,..B錯誤；

對于C,將兩個圓的方程作差，得—2x+2〉—2=0,即直線AB的方程為x—y+l=0,:.C正

確；

對于D,圓心已到直線AB的距離d=7二=J5,.?.圓a上的點到直線AB的最大距離為

V1+1

q+d=2+V2,D正確.

故選:CD.

10.設等差數(shù)列｛%｝的前項和為邑，公差為d,已知生=12,S12〉0,%<0.貝!I（）

A.a6>Q

B.—4<d<—3

C.S“<0時，〃的最小值為13

D.Sn最大時，〃=7

【正確答案】AC

【分析】根據S12=6（%+。7）〉0,。7<0,即可得到。6>0,進而即可判斷A；根據。6>0,

%<0，%=12,4+%〉0，從而列出%和d的方程組，求解即可判斷B；結合A選項

知四<0,從而得到S13=13%<0，再結合百2>0,進而即可C；結合選項A和B知，當

1<〃<6時，??>0,當〃之7時，％<0,進而即可判斷D.

【詳解】對于A,由百2〉0,則品=t+32AI2=（牝+：）義12=6（4+%）>0,又

出<°，則以〉。，故A正確；

對于B,結合選項A知&〉0，%<0，&+%>0，

a,=12+3d>0

24

又名=12,所以彳%=12+4d<0,解得——<d<-39故B錯誤；

&+%=24+7">0

對于C,結合選項A知S,=（4+3?）*13=13%<o，又S|2〉0,所以S"<0時，〃的最

小值為13,故C正確；

對于D,結合選項A和B知，當時，an>0,當〃27時，an<0,所以當S“最大

時，n=6,故D錯誤.

故選：AC.

11.拋物線/=2/（0>0）的焦點為尸，P為其上一動點，當尸運動到（2,。時，忸下|=4,

直線/與拋物線相交于4,2兩點，點河（4,1）,下列結論正確的是（）

A.拋物線的方程為/="

B,存在直線/，使得/、3兩點關于x+〉-6=0對稱

C.|m4+歸刊的最小值為6

D.當直線/過焦點尸時，以//為直徑的圓與y軸相切

【正確答案】ACD

p

【分析】根據歸尸|=2+萬=4得到故/=8X,A正確，4s中點。（2,4）在拋物線上，B錯

誤尸M+戶-=廬圖+歸￡號6,C正確，計算。G=；4F,D正確，得到答案.

【詳解】產=2"（夕＞0）,故忸司=2+^=4,0=4,故J?=8X,A正確；

設/（西,乂）,5（和%），設48中點￡＞（%,%）,則《,相減得到

（凹+%）（%一'2）=8（』一%2），即2yo也B=8,因為48兩點關于x+y—6=0對稱,所以

自”1,故％=4,故/=2,點（2,4）在拋物線上，不成立，故不存在，B錯誤;

過P作PE垂直于準線于￡,則歸時+歸耳=歸閭+歸￡|之6,當P,瓦M共線時等號成立,

故C正確；

如圖所示：G為N尸中點，故￡＞G=g（O尸+==尸，故N尸為直徑的圓與了軸

相切，故D正確；

故選：ACD.

12.已知有序數(shù)對（芭,％）滿足In%］一再一%+2=0,有序數(shù)對（入2，％）滿足

2

x?+2%—4—2In2=0,定乂。二（石一x2^+（乂一，則（）

A.。的最小值為拽

B.。取最小值時％的值為不

5

4D.。取最小值時々的值為g

C.。的最小值為一

5

【正確答案】BC

【分析】將。=（再—9）2+（必一乂?表示為函數(shù)y=lnx—x+2圖象上的點到直線

x+2y-4-21n2=0上的點的距離的平方，利用導函數(shù)與函數(shù)切線的關系即可求解.

【詳解】由InX]—再—必+2=0,得：乂=In%]—石+2,

。=（石—%）2+（%一%y的最小值可轉化為函數(shù)y=lnx-x+2圖象上的點到

直線x+2y—4—21n2=0上的點的距離的平方的最小值，

由y=lnx—x+2得：yr=——1,

.x

與直線x+2y—4—21n2=0平行的直線的斜率為—工，

2

則令--1=——，解得：x=2,：.切點坐標為（2,ln2）,

x2

;.（2,ln2）到直線x+2y—4—21n2=0的距離j2+21n^^21n2]=疲.

即函數(shù)歹=lnx—x+2上的點到直線x+2y—4—21n2=0上的點的距離的最小值為

2^5

5

4

所以。=（%—%）+（%-%）的最小值為屋=《，

過（2,ln2）與x+2y—4—21n2=0垂直的直線為y—ln2=2（x—2^,即

2x—y—4+ln2=0.

x+2y-4-21n2=01212

由＜c-“，cc，解得：X=一，即當。最小時，％=一

2x-v-4+to2=055

故選:BC.

三、填空題：（本題共4小題，共20分.）

13.在平面直角坐標系中，P(Xi/J，。(/，%)是直線/上不同的兩點，直線/上的向

量而以及與它平行的非零向量都稱為直線/的方向向量.已知直線/的一個方向向量坐標為

(-3,73),則直線/的傾斜角為______.

【正確答案】150°

【分析】根據直線的方向向量求出直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關系可求出直線/的傾

斜角.

【詳解】因為直線/的一個方向向量為(-3,6)，

所以直線/的斜率左=走=—走，

-33

設直線/的傾斜角為，，則tan(9=-立，

3

因為0°《。＜180°,所以。=150。，

即直線/的傾斜角為150°.

故150°

22

14.己知橢圓赤+}=1(20〉左〉0)的焦距為8,過橢圓的一個焦點，作垂直于長軸的直線

交橢圓于48兩點，貝iJ|48|=.

【正確答案】

55

【分析】由題意可知2c=8,得c=4,然后可求出左，從而可求出橢圓方程，再將x=4代

入橢圓方程中求出了,從而可求得|48

【詳解】由題意可知2c=8,得c=4,所以k=20—16=4,

22

所以橢圓方程為二+匕=1,

204

橢圓的右焦點為廠(4,0),當x=4時，—+^=1,得”|=拽，

2041"15

所以=2|y|=

5

【正確答案】1

71

【分析】根據題意，求導可得/'(x)，令尤=1,即可得到了',然后代入計算，即可得

到結果.

【詳解】因為=三卜nx+cosx,所以/'(x)=/'C)cosx-sinx,

7171711

令x=1,則COSy-Sin—,即f

332

解得了'-V3,所以/'(x)=-百cosx-sinx,

所以一百cos—7i-sin—7i=-V3X1

662Jr-

故1

16.已知數(shù)列｛%｝滿足％=4,〃°"+]=2(〃+l)a“，則數(shù)列｛4｝的通項公式為

若數(shù)列｛證小｝的前〃項和S.’則滿足不等式S"'3°的〃的最小值為—

【正確答案】①.a?=n-2n+l②.6

【分析】根據給定遞推公式變形構造新數(shù)列即可得解；利用裂項相消法求出J,再借助數(shù)列

單調性計算得解.

【詳解】在數(shù)列｛4｝中，q=4,由〃。用=2(〃+1)4得：也=2?%,而a=4,

〃+1n1

于是得數(shù)列｛2｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則%=4-2〃T,即%=",2"+I,

nn

n+l

所以數(shù)列｛a,｝的通項公式為a,t=n-2；

口Man-2n+'(?+l)-2,,+2-(n+2)-2n+12n+22n+'

，===，

(n+1)(/2+2)(n+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)n+2〃+l

?-42n2〃較22”項

則s=(--——)+(--——)+(--)+-??+(----------)+(--------------)=--------2，

"324354n+1nn+2n+1〃+2

277+22"22〃+2A，12(n+2)]

由S"230得：-——2230,即上一>32,令b=--，則^」>1，即數(shù)

〃+2n+2n+2%”+3

列｛"｝是遞增數(shù)列，

0〃+2

由-----232,得“232,而d=32,因此，bn>b6,從而得%出=6,

〃+2

所以滿足不等式S),N30的〃的最小值為6.

故%=/2+l6

四、解答題：(本題共6小題，共70分.)

17.已知函數(shù)—Inx.

(1)求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程;

(2)求函數(shù)/'(x)<0的解集.

【正確答案】(1)歹=%

6

(2)(0,—)

2

【分析】(1)求出/(I)、/'(I)的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

(2)求得函數(shù)/(x)=Y-Inx的定義域為(0,+”)，然后在xe(O,+8)上解不等式

/'(x)<0即可得解集.

【小問1詳解】

依題意，函數(shù)/(x)=V-Inx的定義域為(0,+力),

且/[x)=2x—，

/(l)=l2-lnl=l./'⑴=2-1=1,

因此，曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為歹一l=x-1,即^=%；

【小問2詳解】

依題意，函數(shù)〃x)=x2—lnx的定義域為(0,+8),

且/'(X)=2X—L令/'(X)<0且X〉0,

2x2—1rr

------<0yJ2

〈xn0<x<——

八2

x>0

故不等式/'(x)〉0的解集為(0,日)

18.在數(shù)列｛%｝中，=2,%+]=4%+eN+)

⑴證明：數(shù)列｛4一〃｝是等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項和J.

【正確答案】(1)證明見解析

/八c4"-1/+〃

(2)S=----+-----

n"32

【分析】(1)利用等比數(shù)列的定義證明即可;

(2)根據等比數(shù)列的通項公式得到%=41+”,然后分組求和即可.

【小問1詳解】

由an+l=4a“—3〃+1得all+l—(〃+1)=4an-4〃=4(a“一〃)，

%—1=1w0,

所以數(shù)列｛%-〃｝為首項為1,公比為4的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

由(1)得%—〃=1?4"T,貝i]a“=4"T+〃，

12,,1

Sn=(4°+4+4+---+4-)+(1+2+3+---+/7)

(1+〃)〃

=4-1+^—

4"-1n2+n

=-----+------.

32

19.已知圓C的圓心在直線3x-y=o上，且經過點4-1,3),3(1,5).

(1)求圓C的標準方程；

(2)過點P(2,l)的直線/與圓C相交于兩點，且|〃N|=2G，求直線/的方程.

【正確答案】(1)(x—+(>—3/=4

(2)3x+4y—10=0或x=2

【分析】(1)由已知設出圓心的坐標(a,3a),再求出48的中點利用48J_CW求出。

的值，進而可以求出圓心和半徑，即可解決問題;

(2)先判斷直線的斜率是否存在，存在的話根據點斜式方程設出直線方程，求出圓心到直線

的距離，然后利用尺2=

求出直線的斜率即可解決問題.

【小問1詳解】

因為圓C的圓心在直線3x-y=0上,

所以設圓。的圓心為：(a,3a),

由4(—1,3),5(1,5),

所以48的中點M(0,4),

由題知：ABVCM,

所以3B-kCM=-1,

5—33a—4

即叩.力=T‘解得"1'

所以圓心為。(1,3),半徑及=|/。|=1—1)2+(3-3)2=2

所以圓C的標準方程為.(x—+(>—3/=4

【小問2詳解】

①當直線/的斜率不存在時，因為直線/過點尸(2,1),

所以方程為：x=2,代入(x—+(y—3/=4中解得:

y=3+V3，止匕時

滿足題意;

②當直線/的斜率存在時,

設直線/方程為：y-1-k(x-T)<^kx-y-2k+\=Q,

由圓心C(l,3)到直線/的距離為:

公+1

2

4

所以直線/的方程為：3x+4y—10=0,

綜上，直線/的方程為：3x+4y—10=0或x=2.

20.己知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的首項q=2,且成等比數(shù)列.

^^2^^4

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)若數(shù)列也｝滿足4+2Z>2+22&+…+2"-也=%，求數(shù)列｛地J的前〃項和北.

【正確答案】(1)%=2〃

n+2

（2）T=8-

n2"~2

【分析】(1)依題意可求得等差數(shù)列｛%｝的公差，從而可數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)由已知可得4+28+2~3+...+2",則由+2"+2~4+...+2""+]=。"+],

兩式相減，可得"=22-",當〃=1時也適合，

故<----12”-，，用錯位相減法即可

【小問1詳解】

設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

.1丫11

由—二-----

得：(%+4=L+3d).

因為dwO,所以d=%=2

所以4=%+(〃-1)2=2〃.

【小問2詳解】

2n｝

1\+2b2+2/73H----F2bn—dn①

A+28+224+…+2"%=%②

n

②一①得：2bn+l=2.

所以4+產2~

當〃=1時，b、=%=2,

2"2021222”一

上述兩式相減得

1_L1

W2><

LT=2+—+-+-■.+-____—=2+-2-2_I”"

2"2°212"-22"T「J2"一一2"-'，

-2

所以小8-崇

221

21.己知橢圓C:j+\=l（a〉b〉O）的左、右焦點分別為《，心，離心率為一，過心的

直線與橢圓。交于A,B兩點，若△片48的周長為8.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）設尸為橢圓。上的動點，過原點作直線與橢圓。分別交于點M、N（點P不在直線九W

上），求APAW面積的最大值.

【正確答案】(1)—+^=1；(2)2$

43

【分析】（1）根據周長可求。，再根據離心率可求c,求出b后可求橢圓的方程.

（2）當直線MNLx軸時，計算可得APAW的面積的最大值為26，直線上W不垂直x軸

時，可設="，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求|〃M，設與W平行且與橢圓C相切

的直線為：y=kx+m,結合橢圓方程可求上，冽的關系，從而求出該直線到直線兒W的距離,

從而可求APMN的面積的最大值為2G.

【詳解】（1）由橢圓的定義可知，△片48的周長為4a,

「?4a=8,a=2,又離心率為一，??c—1,b2=3，

2

22

所以橢圓方程為土+匕=1.

43

（2）當直線MVLx軸時，（S/^Jmax=gx2Kx2=2jl；

當直線W不垂直x軸時，設,MN:y=kx,

y=kx

1212k2

J2

3+4123+4k2

|MN|=473

設與小W平行且與橢圓C相切的直線為：y=kx+m,

y=kx-\-m

22

<xyn（3+4左2）]2+8左加x+4加2_]2=o,

143

A=64左2加2—4（3+4左2）（4加2一I2）=0,

2

m=3+4左2,

綜上，APAW面積的最大值為2jL

方法點睛：求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，而面積的最值的計算，則可以轉化為

與已知直線平行且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來計算，此類轉化為面積最值計算過

程的常規(guī)轉化.

22.已知函數(shù)/（x）=X-加Inx（加eR）.

（1）討論/（x）的單調性；

（2）若存在不相等的實數(shù)占，x2,使得/（七）=/（%），證明：0＜加＜國+》2.

【正確答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）由已知條件求出了'（X）,分情況討論導數(shù)的正負，即可得函數(shù)的單調性；

（2）由（1）可判斷出加＞0,結合/（%）=/（々），得出加（1政2-11?1）=12-西，設

三_1

m

0＜X]＜%，化簡得=I＞0,進而轉化為證3—＜ln2，然后換元，令”上＞1,

lnx2-InXj巡+]E%]