南京五中高三熱身測

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中只有一項是符

合題目要求的.

1.設集合人卜廳―51+6>0},8={x[x-l<0},則()

A,{%|x<1}B.{x|-2<x<l}C.{x|-3<x<-l}D.{x|x>3}

【答案】A

【解析】

【分析】化簡集合4={x|x>3或x<2},B={x\x<l}f即可利用集合的交運算定義求解.

【詳解】由4={x|一51+6>0}得/={x|x>3或x<2},

5={x|x_1<0}={x|x<1},

故/。8={刈》<1},

故選：A

2.若復數z滿足(l+i)z=3-i(其中i為虛數單位)，則復數z的共軌復數1=()

A.l-2iB.l+2iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【解析】

【分析】利用復數的除法化簡復數z,利用共輾復數的定義可得結果.

【詳解】因為(l+i)z=3—i,則2===匚羋?=『=1一2i,因此，==i+2i.

故選：B.

___________12

3.已知在△048中，動點。滿足NC=25C，其中力<0，且加。4+〃。5，則一+一的最小值為

mn

()

A.3+2百B.2+273C.3+2亞D.2+2V2

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得力,B,C三點共線，且C點在線段4B上，于是m+〃=l,且應〃>0,然后利用均

值不等式即可求解.

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【詳解】解：由題意可得B,。三點共線，且C點在線段45上，于是加+〃=1,且九〃>0,

^,12fl2\,2m___/z-

所以——1--=——1-—(加+〃)=1+——I----1-2>3+2V2,

mn\mn)mn

當且僅當幺=也，即掰=亞-1，〃=2-后時取等號，

mn

故選：C.

4.若正四棱臺的上，下底面邊長分別為I,2,高為2,則該正四棱臺的體積為()

10714

A.—B.—C.—D.14

333

【答案】C

【解析】

【分析】根據棱臺的體積公式即可直接求出答案.

【詳解】4=1(S+S,+^7)/z=1(l+4+VbM)x2=y.

故選：C.

5.從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一

名男生、星期日安排一名女生的概率為()

I5I7

A.-B.—C.—D.—

312212

【答案】A

【解析】

【詳解】設2名男生記為AI,A2,2名女生記為Bi,B"任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有

(AI,A2),(AI,BI),(AI,B2),(A2,BI),(A2,B2),(BI,B2),(A2,AI),(BI,AI),(B2,AI),(BI,A2),(B2,A2),(B2,BI)12種情況，而星期

六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(AI,BI),(AI,B2),(A2,BI),(A2,B2)4種情況，則發生的概率為

4I

p=—二—,

123

故選：A.

6.設函數/(x)=2cos[a>x-(p+mg>o,-m。<o的圖象關于原點對稱，且相鄰對稱軸之間的距離

為2兀,則函數g(x)=sin(0-4°x)的單調增區間為()

兀72兀7/7t-f\

A.-+kji,-+kn(keZ)B.一+左兀,-----F左兀(左€

36V763

第2頁/共18頁

兀77

C.-§+左兀,兀+ATI（左eZ）D.—1++E[keZ）

【答案】B

【解析】

【分析】根據函數的對稱性求出。，根據最小正周期求出。，即可求出g(x)解析式，再根據正弦函數的性

質計算可得.

【詳解】因為函數/(x)=2cos[x—°+鼻的圖象關于原點對稱，則—e+]=]+

'11JI'iI

解得(P-....kit,keZ,又—<夕<0,所以0=—，

626

又相鄰對稱軸之間的距離為2兀，則二二2兀，又①〉0,

2

2兀1

所以一二4兀，解得g二一，

CD2

所以g(x)=sin(0—4Gx)=sin(一?一2x]=-sin[2x+e],

TTTT311

令2析+—V2x+—V2左兀+一,k€Z,

262

兀2兀

解得kn+-<x<kn-\---，左￡Z,

63

所以g(x)的單調增區間為E++g,keZ.

故選：B

7.已知max{凡瓦c}表示a,b,c中的最大值，例如max{1,2,3}=3,若函數

/(x)=max|-x2+4,-x+2,x+3},則/(x)的最小值為()

A.2.5B,3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】在同一平面直角坐標系中作出函數y=-x2+4,>=—x+2,y=x+3的圖象，根據函數的新定

義可得/(x)的圖象，由圖象即可得最小值.

【詳解】如圖：在同一平面直角坐標系中作出函數y=+4,y=-x+2,y=x+3的圖象，

第3頁/共18頁

因為/(x)=max{-，+4,-x+2,x+3},所以/(x)的圖象如圖實線所示:

\y--x2+4\y=-x2+4(V5-1行+5)

由<可得4(—1,3),由?可得B

y=-x+2(x<0)y=x+3(x>0)

由圖知/(x)在(-%-1)上單調遞減，在(TO)上單調遞增，在0，丫=上單調遞減，在工=，+8

上單調遞增,

所以當x=—1時，J=-(-1)2+4=3,

當＞浮時'蚱口+3=—>3,

22

所以/(x)的最小值為3,

故選：B.

8.已知四棱錐尸一/BC。中，底面N8CD是矩形，且尸2=/8=2,側棱尸2,底面Z8CD,若四棱錐

尸-48CZ)外接球的表面積為12兀，則該四棱錐的表面積為()

A.8+473B.8+673C.6+473D.8+4收

【答案】D

【解析】

【分析】由長方體模型得出尺=G，PC=25再由線面關系結合面積公式得四棱錐的表面積.

【詳解】由題可將四棱錐P-28CD的外接球看作是一個長方體的外接球，PC是長方體的體對角線，

則球心是尸。的中點，設外接球的半徑R,則4乃氏2=12"，解得R=百，則尸。=2百，

如圖，連接ZC,由尸2,底面48CD可知，PALAC.

在RtZVMC中，APAC=90°,PA=2,PC=273,所以ZC=2A/L

在RtZk/BC中，ZABC=90°,AB=2,AC=26，所以8C=2,

第4頁/共18頁

所以S△刃B=S.o=gx2x2=2.

因為尸2,底面Z8C￡),所以24LBC,又BC工4B,P4c4B=4,PA,4Bu平面R4B,

所以3C_L平面尸48,因為PBu平面尸48,所以BCPB,

同理可證，CD1PD,

所以S^PBC=SAFDC='X2X2J5=2J^，又矩形/BCD的面積S=2X2=4,

所以該四棱錐的表面積為Spec。=2+2+4+2后+2應=8+4近.

故選：D

二、多項選擇題：本題共36小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中有多項符合

題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的給部分分.

9.設函數/(x)=xln2x+x的導函數為/，(x),則()

X=」是/(》)的極值點

A.r(-)=0B.

ee

/(x)在［j+s)單調遞增

C./(x)存在零點D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

求出定義域，再求導，計算即可判斷A,由導函數/'(x)=ln2x+21nx+l=(lnx+l)220,即可判斷選項

B、D,由/(x)〉0,即可判斷選項C,從而可得結論.

【詳解】由題可知/(x)=xln2x+x的定義域為(0,+8),

對于A,f(x)=ln2x+21nx+l,則/'(工)=d2+2出工+1=1—2+1=0,故A正確;

eee

對于B、D,/,(x)=ln2x+21nx+l=(lnx+l)2>0,所以函數/(x)單調遞增，故無極值點，故B錯誤,

第5頁/共18頁

D正確；

對于C,/(x)=xln2x+x=x(ln2x+l)>0,故函數/(x)不存在零點，故C錯誤.

故選：AD.

io.如圖，正五棱柱中，AB=272>，4=4,尸為2C的中點，M,N分別為cq

上兩動點，且上W=1(5N<BN),貝I()

￡?i

A.EF±BN

B.三棱錐M-BEN的體積隨M的位置的變化而變化

C.當N為cq的中點時，平面片所

^2

D.直線BN與平面BME所成角的正切值最大為旺

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用線面垂直的判定性質推理判斷AC；利用等體積法求三棱錐的體積判斷B；確定出線面角并求

出正切值的最大值判斷D.

【詳解】在正五棱柱ABCDE-4與。12片中,

對于A,由_L平面/2C0E,E尸u平面/2C0E,得班―EF,

由尸為3C的中點，得EF工BC,而BB\cBC=u平面BCCB，

因此斯，平面8CC￡，又8Nu平面5。。田1，所以EFLBN,A正確；

對于B,由選項A知，點E到平面斜W的距離ER為定值，而的底邊跖V=l,

高BC=2C，則△瓦WN的面積是定值，三棱錐ASV的體積G_BEN=/-BMN為定值，B錯誤;

CM1BF

對于C,當N為CG的中點時，CA/=1,在矩形BCCNi中，tanZMBC=--=—=—=tanABB(F,

nC2A/2

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則ZMBC=NBB[F,ABBXF+ZMBBX=ZMBC+ZMBB}=90°,即，BXF,

由選項A知，EE_L平面BCCpS1,5A/u平面BCC/i，于是BMLEF，

而打戶口及尸二己萬尸石尸匚平面片后尸，因此2"_|_平面gE/7,C正確；

對于D,由CN_L平面/8CD￡,得BN,BM與平面/8CDE所成的角分別為NNBC,N〃BC,

則NN5M是直線BN與平面BAffi1所成的角，令CM=t,0<t<3,

且tanNNBC=三1,ZMBC=,因此tanZNBM=tan(NNBC-ZMBC)

2A/22V2

t+lt__

2、52、62cC

竺竺[,、<一,當且僅當t=0,即點M與點。重合時取等號，D正確.

117+1t8+r(r+1)4

2V22V2

故選：ACD

Px>2

11.定義域為R的奇函數/(x),當x〉0時，/(x)=jx—1'，下列結論正確的有()

x2-2x+2,0<x<2

A,對VX],々e(-1,1)且X1W%,恒有‘")'(")<0

X]一/

B.對\?\戶2e[2,4W),恒有/[項；1])/(%)；、(%2)

C.函數y=x與/(x)的圖象共有4個交點

D.若xe[a,0)時,/(X)的最大值為—1,則ae[-3,-l]

【答案】BD

【解析】

【分析】畫出函數的y=/(x)的圖象，結合函數的圖象與性質，利用函數的單調性、圖象的“凹凸”性，

以及函數的值域，逐項判定，即可求解.

\〉2

【詳解】由題意，定義域為R的奇函數/(x),當x〉0時，/(%)=x-f",

x2-2x+2,0<x<2

第7頁/共18頁

作出函數/(X)的圖象，如圖所示，

則函數“X)在(0』]上為單調遞減函數，

又由函數/(x)為奇函數，所以函數/(x)在上單調遞減，

不妨設-1￡西結合圖象可得/(須)<0,/(%)>0，

此時/(*)—/(々)<0,此時/(：)：；(“)〉o,所以A不正確；

當xe[2,+s)時，函數/(x)為“凹函數”，所以滿足/[七成立,

所以B正確；

結合圖象，可得函數y=/(x)與y=x的圖象，共有4個交點，所以C正確；

若xe[a,0)時，當x=—l時，可得/(T)=T；

2

當x22時，令——=1,解得x=3,因為函數/(x)為奇函數，可得/(—3)=—1,

x-1

要使得當xe[a,0)時，/⑴的最大值為一1,可得一即ae[-3,-1],

所以D正確.

12.若(/+4、+工]的展開式中f的系數為％則0的值為

【答案】1

【解析】

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【分析】由題得(丁+。)[+:]+。?1+口，再借助二項式展開式的通項分兩種情況討論得

解.

x+—=x2^x+—+a(x+L),且[x+4]展開式的通項

【詳解】解：(x2+a

當8-2r=6時，r=\,此時/的系數為C；.

當8-2r=8時，r=0,此時爐的系數為C；.

展開式中f的系數為C；+aC；=8+。=9,:.a=\.

故答案為：1

13.過直線/：x+y+l=O上一點P為作圓。：/+/一4》—2y+4=0的兩條切線，切點分別為A,B,

若四邊形PACB的面積為3,則點P的橫坐標為.

【答案】-1或1

【解析】

【分析】由PA,PB是圓的切線，可知四邊形PACB的面積為兩個全等的直角三角形面積之和，由此得到

切線長，再設P點坐標，利用直角三角形PCA可得.

【詳解】圓C的方程可化為(x-2)2+(y-廳=1,所以圓心C的坐標為(2,1)，半徑為1.因為四邊形PACB

的面積為3,所以|24“=3,在直角三角形P/C中，由勾股定理可得，

|PC|=^\PAf+\ACf=V10,設aT),則J("2)2+(_q—2『=回,解得a=-1或a=l

【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，能夠充分利用圓的性質，考查運算求解能力，屬于中檔題.

22

14.已知耳，g是橢圓￡：尢+巳_=1的左、右焦點，〃點是在第一象限橢圓￡上一動點，若/片兒里是

銳角，則橢圓E在河點處的切線的斜率的取值范圍是.

r⑶

【答案】-0°,——

【解析】

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22

【詳解】片(一2,0),月(2,0),設M(x/),(x>0/>0),滿足土+匕=1①，

62

當時，可得：(x—2)(x+2)+y?=0②，

①②聯立x-V3,y=1，

所以當N片兒應是銳角時，0<x<G,

再由。+；=1,得到了2=2—：,開方得第一象限曲線解析式：J=^2-y，

求導可得：y=—二、2-上當X=百時，V=-->即此點處的切線斜率為-立;

“3V333

結合圖象可知：圓￡在M點處的切線的斜率的取值范圍是7,-七

故答案為：-8,----

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算過程.

15.已知函數/(x)=xlnx+%3.

(1)求曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線方程；

(2)若/(x)21對任意的加恒成立，求實數加的取值范圍.

【答案】⑴4x-歹-3=0

(2)[1,+co)

【解析】

【分析】(1)根據導數的幾何意義，結合直線的點斜式方程進行求解即可；

(2)構造新函數，利用導數判斷新函數的單調性，結合函數的單調性進行求解即可.

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【小問1詳解】

/⑺=lnx+3/+1/⑴=4,〃1)=1.

則曲線y=/(%)在點(1,/。))處的切線方程為y—1=4(x-l),

即41_尸3=0.

【小問2詳解】

f(x)>1,BPlux+x2——>0.

x

令/z(x)=lnx+x2—J_,由條件可知，20對任意的x2加恒成立.

X

因為"'(》)=』+2'+二之0,所以"x)在(0,+司上單調遞增.

XX

因為"1)=0,所以當X21時，h(x)>0,所以加21.

故實數加的取值范圍為［1,+s).

B+c

16.已知△48C的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinC=Jycsin------.

2

(1)求角A的大小；

兀

(2)若點。在邊上，且。。=3AD=3,ZBAD=-,求△48C的面積.

6

【答案】⑴A=^2兀.

⑵”

19

【解析】

LA

【分析】(1)由正弦定理的邊角關系、三角形內角的性質可得sinZ=gcos—,再應用二倍角正弦公式化

2

簡可得sin4=走，即可求N的大小.

22

兀2BDc

(2)由題設可得ND4C=—,法一：由正弦定理及//。5+//。。=?？傻谩?—,再由余弦定理

2CDb

得到加2=3,最后根據三角形面積公式求△4SC面積；法二：根據三角形面積公式有言皿=三，由

19S-DC2b

△A4D的邊8。與△4DC的邊。C上的高相等及已知條件可得￡=1，再由余弦定理得到加2=竺，最

2b319

后根據三角形面積公式求△45C面積；

【小問1詳解】

第11頁/共18頁

/?+r

由已知及正弦定理得：sin4sinC=V3sinCsin----又---B+C=R—A,

.B+C/

又sinCw0，

2

.匚A.AAFTAA兀

/.sinA=-^3cos—,貝U2sm—cos—=cos—,而0<一<一,

222222

/.COS-^0,貝IJsinW=由，故且=4,得/=§.

222233

【小問2詳解】

27rJIjr

由N8ZC=—,ZBAD=-,則NZ14C=—.

362

BDc

法一：在△45。中，.兀-sin/BCU，①

sin—

6

CDb

在△4DC中，.兀-sinNZDC，②

sm—

2

?/AADB+ZADC=7i,

AsinZBDA=sinZADC,③

由①②③得：----二—，又CD-3BD=3,得BD-1,

CDb

c2、、

，一二一，不妨設c=2加，b=3m,

b3

2716

在△48。中，由余弦定理可得，42=（2m）+（3mY-2x2mx3mcos——，得加？=一，

'''"319

所以=—bxcsinZBAC=—x2mx3mx——=-------

22219

jr

s-c-ADsinZBADcsin-

法二.、ABAD_2_6_C

S^ADC^-b-ADsinZCADZ?sin—%

22

?/△BAD的邊8。與△4DC的邊DC上的高相等,

SABADBD1clc2

=-=由此得：一二一，即—二—，不妨設。=2加，b=3m,

S.ADCDC32b3b3

,?2兀16

在△48C中，由余弦定理可得，42=(2mY+(3m}-2x2mx3mcos——，得療=一，

''''319

246

所以SA，BC=—bxcsinZBAC=—x2mx3mx——二

22219

17.如圖，在平面五邊形4BC0E中V4DE是邊長為2的等邊三角形，四邊形A8CD是直角梯形，其中

第12頁/共18頁

AD/IBC,AD±DC,8c=1,CD=G.將VADE沿AD折起,使得點E到達點M的位置，且使BA/=Jd.

(1)求證：平面平面48CD；

(2)設點尸為棱。0上靠近點C的三等分點，求平面與平面M4D所成的二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)正弦值為2且

5

【解析】

【分析】(1)取的中點N,連接MN,BN.通過證明BNL4D,BNLMN,得平面M4D再

根據面面垂直的判定可得平面K4D，平面/BCD；

(2)以N為坐標原點，直線為x軸、A?為y軸、2W為z軸建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法

向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根據同角公式求出其正弦值.

【小問1詳解】

如圖，取/￡＞的中點N,連接MN,BN.

因為是等邊三角形，所以上W7.4D,且凹￥=/〃^1160。=6，

在直角梯形中，因為DN=BC=1,DN//BC,ADLDC,

所以四邊形2CDN是矩形，所以BN_L4D,旦BN=CD=6，

所以BN?+MN2=6=BM°,即BN_L3W,

又ADcMN=N,4Du平面M4D上Wu平面所以BN_L平面M4D.

因為BNu平面/BCD,

第13頁/共18頁

所以平面，平面/BCD

【小問2詳解】

由(1)知NB,MW■兩兩互相垂直，

以N為坐標原點，直線N4為x軸、為y軸、NM為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

根據題意，N(0,0,0),A(l,0,0),5(0,G,0),C(-l,瓜0),M(0,0,后),￡>(-1,0,0),=(1,拒,0),

由P是棱CM的靠近點C的三等分點得，

utram1uuuri(2^3⑻

5P=J8C+-CM=(-l,0,0)+-(l,-V3,V3)=^--,-y,y

設平面PBD的一個法向量為萬=(x,y,z),

n-B~DP~D=0n—2x---V--s-y-\--V--S--z=0

則《一，即〈333,

【心切=0]x+島=0

令y=l，則X=-G,z=-1,故平面的一個法向量為以=(-G,l,-l).

SUU-

而平面MAD的一個法向量為NB=(0,j3,0),

設平面尸與平面所成的二面角的平面角為0,

ruun廣r-

則cos0—cos<n,NB〉|———uur——產—產——,

\n\\NB\V5-V35

____9R

所以sin9=，l—cos2。=----，

5

所以平面PBD與平面MAD所成的二面角的正弦值為2叵.

5

18.已知數列｛%｝的前1項和為Sn,Sn=%—4a“+i,%=-1.

第14頁/共18頁

（1）證明：數列｛2an+l-a?）為等比數列；

（2）設％=，求數列｛〃｝的前n項和；

n（n+1）

（3）是否存在正整數0,g（夕<6<q）,使得跖,，演，邑成等差數列？若存在，求p，q；若不存在,

說明理由.

【答案】（1）證明見解析；

11

（2）--------------------?

82n+3（n+l）,

（3）存在，p=5,q=8.

【解析】

【分析】（1）利用給定的遞推公式，結合%=S“-SR,〃22及等比數列定義推理即得.

（2）由（1）求出％,〃，再利用裂項相消法求和即可.

（3）由（1）求出S“，由已知建立等式，驗證計算出夕，再分析求解4即可.

【小問1詳解】

〃eN*，S“=%—4a“+i，當〃22時，=an_x-4an,

兩式相減得a”=an—an_x—4<zn+1+4an,即4an+1=4an-an_x,

則有2（2a“+]—a“）=2a“,當“=1時，8]=%-4%,則4=。，即2%-q=1彳0,

所以數列｛2a“+1-%｝是以1為首項，g為公比的等比數列.

【小問2詳解】

由（1）得，萬，則2%用一=1,數列｛21%｝是等差數列，

n-272+21r11

于是2an=n-2,解得％=寧’則a=2用〃（〃+1）'

所以｛g｝的前〃項和

T——1「（八]----1--）、_|_（/--1-------1-）、+…+（-Z---1---------1----、■.---1--------1----

”82x22x222X32f2"（〃+1）82"+3（n+l）'

【小問3詳解】

第15頁/共18頁

,,、L

「n-24n-1n

由（1）知，Sn=^r-4x^r=-^-r,

由邑,￡）,邑成等差數列，得一||=一4r一券，整理得梟+譽=［，

22P2"2P2’16

,pq3_o3.1,r、T*12343二十號一小一

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