熱點2-2函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

近三年高考中，對函數基本性質的考查以選擇題和預計2025年高考仍將重點考查函數的單調性、奇

填空題為主，偶爾也會在解答題中滲透考查，分值偶性、周期性與對稱性，尤其是這些性質的綜合應

的占比相對穩定，是高考必考且重點考查的內容之用.可能會繼續將函數性質與其他數學知識如導

一.常將函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性數、不等式、數列等結合考查，增加題目的綜合性

結合在一起考查，同時還可能與函數圖像、函數零和難度.在保持傳統考查方式的基礎上，可能會進

點、不等式等知識綜合命題.雖然考查形式多樣且一步創新命題形式，如設計一些新穎的函數模型或

綜合性強，但題目多基于對函數基本性質的理解和實際應用背景，考查學生運用函數性質解決實際問

應用，部分題目在命題形式和考查角度上具有一定題的能力.

創新性.

熱點題型解讀

題型1函數單調性（單調區間）的判定題型6利用單調奇偶比較大小

題型2利用函數的單調性求參數題型7利用單調奇偶解不等式

題型3函數奇偶性的判定題型8函數的周期性及應用

題型4利用函數奇偶性求值求參題型9函數的對稱性及應用

題型5"M+N.中值模型的應用題型10函數性質的綜合應用

題型1函數的單調性（單調區間）的判定

I-------------------------------'"1"---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------、

\I-0U*i

i判斷函數的單調性的4種方法

ii

1,定義法：按照取值、作差變形、定號、下結論的步驟判斷或證明函數在區間上的單調性；

2、圖象法：對于熟悉的基本初等函數（或由基本初等函數構成的分段函數），可以通過利用圖象來判斷單i

調性；

3、直接法：利用己知的結論，直接得出函數的單調性，如一次函數、二次函數、反比例函數的單調性均

I

可直接得到

4、導數法：先求導函數，利用導數值的正負確定函數的單調性；

5、性質法：（1）對于有基本初等函數的和、差構成的函數，根據“加減”的性質進行判斷；（2）針對一些1

I

簡單的復合函數，可以利用符合函數的單調性法則（同增異減）來確定單調性.

I

【注意】求函數的單調區間，尤其是復合函數的單調區間，一定要注意原相應函數的定義域.

1.（23-24高三上.江蘇南通?月考）函數=的單調遞減區間是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[2,+8）D.（-oo,2]

2.（24-25高三上?廣東普寧?月考）函數=1|+1的單調減區間為（）

3.（23-24高三上.浙江紹興.期末）函數y=ln（d—2x）的單調遞減區間是（）

A.（-oo,l）B.（l,+oo）C.（-oo,0）D.（2,+oo）

4.（24-25高三上?四川宜賓?一模）下列函數中，既是奇函數，又（。,+。）在是增函數的是（）

A./（x）=ex+e-xB.f（x）=ex-eTxC./（x）=x-3D.f（x）=xln\x\

題型2利用函數的單調性求參數

0O國4

利用單調性求參數的三種情況：

1、直接利用題意條件和單調性代入求參；

2、分段函數求參，每段單調性都符合題意，相鄰兩段自變量臨界點的函數值取到等號；

3、復合函數求參，注意要滿足定義域要求，通過分離常數法或構造函數法轉化成恒成立或有解問題.

1.（24-25高三上?陜西渭南?月考）若函數〃力=1。8。.5（6-召）在區間（-1，。）上單調遞增，則。的取值范圍

是（）

A.（0,2]B.[—2,0）C.[2,+8）D.（—8,-2]

2.(24-25高三上?山西大同?月考)已知函數小)=在卜2_辦+5產區間0，4)單調遞減,則〃的取值范圍

是()

A.(92]B.(-?,4)C.[2,4)D.[4,”)

、flax-2,x<1,

3.(24-25高三上?甘肅?期末)已知函數/(尤)=,、，滿足Vx”X2eR且玉片超，

[ax,x>l

(x2-x1)[/(%1)-/(x2)]<0,則。的取值范圍為()

A.(0,1)B.(1,+s)C.(1,2]D.(0」)5L+<?)

2%+4,%<Q

4.(24-25高三上?江蘇南京?期中)已知函數〃x)=,,在R上單調遞增，則實數。的取值范圍是()

x+l,x>a

A.(-1,3]B.(-8,3]C.[3,+co)D.(-oo,-l]u[3,+<z>)

題型3函數奇偶性的判定

00-4

1、函數奇偶性的判斷方法

(1)定義法：若函數的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數；若

函數的定義域是關于原點對稱的，再判斷/(-X)與±/(x)之一是否相等.

(2)圖象法：奇(偶)函數等價于它的圖象關于原點(y軸)對稱.

(3)性質法：同名加減不變，異名加減不可；同名乘除得偶，異名乘除得奇.

2、常見的奇函數與偶函數

(1)f(x)=ax+cTx(a>0且a00)為偶函數；

(2)/(x)=-a~x(。>0且。00)為奇函數；

ax-axa2x-1

(3)f(x\=—:---=—r；——(a>0且)為奇函數；

(jx+a'a'+1

b-Y

(4)/(%)=log----(〃〉0且為奇函數；

b+x

2

(5)f(x)=logfl^/x+1±xj(a>0且awO)為奇函數；

(6)/(%)=麻+目+麻一可為偶函數;

(7)/(%)=麻+1一版—1為奇函數.

1.(24-25高三上?天津北辰?期末)下列函數中，圖象關于原點對稱的是()

A.y=e.x+e~xB.y=ex-e~xC.y=x2-2xD.y=x2cosx

2.(24-25高三上?四川自貢?期中)下列函數是偶函數的是()

A.y=cosx-x2B.y=ex-x2C.y=log?(&+1-x)D.y=sinx+4x

+3x+4

3.(24-25高三上?青海?期中)設函數/(x)=,則下列函數為奇函數的是()

尤~+2x+3

A.f[x+l)+lB.〃x+l)-1

C./(x-l)-lD./(x-l)+l

4.(24-25高三上?河北邢臺?月考)已知函數/■(*)的定義域是R,則下列命題中不正確的是()

A.若是偶函數，g(x)為奇函數，則g(〃x))是偶函數

B.若是偶函數，g(x)為奇函數，則/(g(“是偶函數

C.若/(X)是單調遞減函數，則/(/(尤))也是單調遞減函數

D.若/(x)是單調遞增函數，則/(/(X))也是單調遞增函數

題型4利用函數奇偶性求值求參

1、由函數的奇偶性求參數：若函數解析式中含參數，貝I根據/(—x)=—/(%)或/(—X)=/(九)，利用待

定系數法求參數；若定義域含參數，則根據定義域關于原點對稱，利用區間的端點值之和為。求參數.

2、由函數的奇偶性求函數值：若所給的函數具有奇偶性，則直接利用/(-x)=-“X)或/(-尤)=/(力求

解；若所給函數不具有奇偶性，一般利用所給的函數構造一個奇函數或偶函數，然后利用其奇偶性求值.

ii

1.(24-25高三上?江蘇鹽城?月考)已知了⑺是定義在R上的奇函數，當無€(0,+⑹時，=則

3

/(-9)=()

A.2B.3C.-2D.-3

2.(24-25高三上?河南南陽?月考)已知定義在R上的偶函數滿足當尤c［0,+oo)時,

小d比——

3.(24-25高三上?湖南?月考)已知/(x)=2皆竺是偶函數，貝巾=()

2—1

A.2B.1C.0D.-1

4.(24-25高三上?安徽?期中)若〃x)=log41匕是奇函數，則°也()

i—X

B.f

D.2

題型5“M+N”中值模型的應用

Cd

若函數/(x)=奇函數+a,則我們把它稱為準奇函數，求準奇函數最大值+最小值之和(M+N),我們

把它叫做中值模型.

(1)若了(%)為奇函數,則其最大值與最小值和為0,即/(x)111ax+/(x)min=0;

M+M=0

(2)若/(%)為奇函數,則

/(-/)+/(%)=0；

'M+N=2a

(3)常見考向/0)=奇函數+。=><

)(—七)+/(%)=2〃

1.(24-25高三上?山東棗莊?期中)若函數〃x)=壬苫^+siiu的最大值為/,最小值為N,則M+N=()

A.1B.2C.3D.4

2.(24-25高三上?河南?期中)已知函數“X)=+x+a(。為常數)，若"外在［-2,4］上的最大值

為M,最小值為加，且M+m=6,貝lj〃=()

A.6B.4C.3D.2

3.（23-24高三上.安徽安慶?月考）設函數=，：：：/在區間［一2,2］上的最大值為小,最小值為N,

貝I］（/+N-1嚴23的值為.

4.（23-24高三下?上海徐匯?月考）若函數/（工）="/+〃10&（工+4?71）+2在（-8,0）上有最小值-5（。、6為

常數），則函數/（》）在（0,+到）上最大值為.

題型6利用單調奇偶比較大小

一般解法是先利用奇偶性，將不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值，轉化為同一單調區間上

的自變量的函數值，然后利用單調性比較大小.

1.（24-25高三上?甘肅蘭州?月考）已知定義在R上的函數〃x）在（-叫2）內為減函數，且〃x+2）為偶函數,

則〃T）J（4）J（T］的大小為（）

A./（-1）＜/（4）＜/［^B./（4）＜/（-1）＜/^

C.＜/（-1）D./（-l）＜/fy］＜f（4）

2.（24-25高三上?山東濰坊?月考）已知函數/（x）滿足/（1-勸=/（》+3）,且/（為在（0,2）上是增函數,則了⑴,

的大小順序是（）

A./(1)</(-)<B.</(1)<

C.</(-)</(1)D.</(-)</(!)

(7>

3.(24-25高三上?河北邯鄲?模擬預測)已知〃x)在(1,+8)上單調遞增，若〃x+l)為偶函數，a=fe?

I7

b=/(ln|],c=d則()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

4.（24-25高三上?江蘇鎮江?月考）已知/（x）=;^+x-sinx,g（x）為偶函數，當無20時，g（x）=/（x）,設

a>b>0,貝!|（）

A./(a)+/(-*)>g(Jb)+g(-a)B./(a)+f{-b)>g(Jb)-g(-a)

C.f(.b)+f(-a)>g(a)+g(-b)D.f(6)+f(-a)>g(a)-g(-6)

題型7利用單調奇偶解不等式

解決此類問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成/（占）>/（々）或/（占）</食2）的形式，

再根據奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反，列；

出不等式（組），同時不能漏掉函數自身定義域對參數的影響.

【注意】在轉化時，自變量的取值必須在同一單調區間上；當不等式一邊沒有符號時，需轉化為含符:

號"”的形式.

1.（24-25高三上?天津紅橋?期末）已知函數/（x）是定義在上R的偶函數，若對于任意不等實數不赴目0,笆）,

不等式a-引"&）-〃超）]<0恒成立，則不等式〃2x）>〃x-l）的解集為（）

x\x<-l^x>—

X—1<X<—

2.（24-25高三上?河北邢臺?期末）已知函數是定義在R上的減函數，且為奇函數，對任意

的ae[-2,3],不等式一?！昂愠闪ⅲ瑒t實數f的取值范圍是（）

A.（-<?,3]B.1一雙；C.[13,+co）D.1—|，+coj

3.（24-25高三上?山東臨沂?月考）已知函數〃x）是定義在R上的奇函數，，（無）在（。,+8）上單調遞增，且

/（3）=0,則不等式（x-2）〃x）<0的解集是（）

—,_3)U(2,3)B.(-3,0)U(2,3)

-CO,-3)(3,+co)D.(-3,0)i(3,+?))

4.（24-25高三上?山東德州?期末）已知函數/（x）是定義在R上的偶函數.%,%e[0,”），且玉片尤2,恒有

〃X|)一/⑷

>-l.若"1)=1,則不等式/⑺<2—d的解集為()

xl-

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(Y0,-1)。(1,+00)D.(—1,1)

題型8函數的周期性及應用

-tf

i

i

i

i

i

i

(。是不為0的常數)i

i

(1)若/(X+Q)=/(X),則7=1;(2)若/(X+〃)=/(%-〃)，則T=2a；

i

]

⑶若/(x+a)=—/(%),則T=2a；(4)若〃x+a)=/(x),則T=2a；

若/(x+a)=—y^y,則T=2a；

(5)(6)若/(x+a)=/(X+/?),則T=|a—4(a手b)

若/(x+a)=夕，則T=2a；、l+/(x)

(7)(8)若/(x+a=則T—4a；

l+/(x)1-/U)

i

;則/

1.(24-25高三上?四川華夔?月考)設是定義域為R的奇函數，且"1+無)=/(-尤).若fI

1

AB.——D

-43-1

2.(24-25高三上?黑龍江?月考)已知〃x)是定義在R上的函數，且〃龍+1)-〃尤)=l+〃x+l)〃x),

f(l)=2,則/(2024)=()

A.-2B.-3C.-D.!

32

3.(24-25高三上?甘肅臨夏?期末)已知函數的定義域為R,為偶函數，/5+1)為奇函數，且當

xe[0,l]時，f(x)=X+b,則++()

A.—■B.0C.—D.—1

22

4.(24-25高三上?河北?月考)已知定義在R上的函數/'(x),滿足/(x-3)+/(5-x)=2,/(2x+2)為偶函

2023

數，，(彳)滿足〃2)=2,則Z/a)=

Z=1

u?題型9函數的對稱性及應用

laaae

1、關于線對稱：若函數y=/(x)滿足/(a+x)=/(b-x),則函數y=/(x)關于直線x=土也對稱，特別地,

'2

，當a=6=0時，函數y=/(x)關于y軸對稱，此時函數y=f(x)是偶函數.

2、關于點對稱：若函數y=f(x)滿足〃2a—x)=%—"X),則函數y=f(x)關于點(m6)對稱，特別地,

；當。=0,6=0時，f(x)=-f(-x),則函數y=/(尤)關于原點對稱，此時函數/(無)是奇函數.

2x

1.(24-25高三上?山東棗莊?月考)函數y=—；圖象的對稱中心的坐標為

x-1

2.(24-25高三上?江蘇南通?月考)若函數〃x)滿足〃x+2)+/(x)=4(xeR),且的圖象關于點(0,2)

對稱，貝U()

A./(-1)=-2B./(2)=0C."1)=6D.〃6)=2

3.(24-25高三上?湖南長沙?月考)已知函數〃同=2“+2-”，則下列函數的圖象關于直線x=l對稱的是()

A./(x-l)+cos^x

兀

C./(x-l)+sin-|^xD./(x+l)+cos—x

/、|l+lnx,x>0,.、x+1

4.(24-25高三上.河北滄州?月考)已知函數/(%)=|_1n(_力尤<0g(%)=一1，曲線y=/(%)與y=g(%)

有兩個交點4(久1，%),8(>2，丫2)，貝12a+%2)+(乂+%)=()

A.-2B.-1C.1D.2

題型10函數性質的綜合應用

0O既密

1,靈活運用數形結合的思想：根據函數的性質，如奇偶性、周期性等，先畫出函數在某個基本區間上

II

的圖象，然后利用對稱性、周期性等性質，將圖象進行平移、翻轉或復制，得到函數在整個定義域上?

II

的大致圖象；

2、代數推導與運算：根據題目給出的函數性質條件，進行代數推導，得到函數的其他性質或具體表達:

:式，若題目給出了函數的具體表達式，可根據表達式進行代數運算，如求導、因式分解、配方等，以

ii

求解相關問題；

II

I3、分類討論與轉化思想：當題目中的條件或結論存在多種可能性時，需要進行分類討論；將復雜的問

題轉化為簡單的問題，或將陌生的問題轉化為熟悉的問題.

1.(24-25高三上?吉林長春?模擬預測)(多選)已知函數/(X)的定義域為R,其圖象關于(1,2)中心對稱,

若〃X）T（4T）=2_尤,則（）

4

/（4-5x）+/（5x-2）_

A?-----------------------------1B./（2）+/（4）=4

4

C.-1）-2為奇函數D.y=/（2+x）+2x為偶函數

2.(24-25高三上?海南?模擬預測)(多選)已如定義在R上的函數滿足〃x)+/(f)=O,"x+2)是

＜xx+xx

偶函數，且對任意的毛，[-2,0],當x產超時，^f(^)+^2f(x2)if(2)2f(i)＞則以下判斷

正確的是()

A.若/⑴=-1,則"5)=1B.函數的最小正周期是4

C.函數在[2,6]上單調遞增D.直線x=3是/'(x-1)圖象的對稱軸

3.(24-25高三上?湖北武漢?月考)已知函數/(x),g(x)的定義域均為R,/(x+1)是奇函數，且

/(l-x)+g(x+l)=4,〃x)+g(x—2)=4,則下列結論正確的是()

A.“X)為奇函數B.g(x)為奇函數

99

c.㈤]=36D,E[/㈤+g呵=36

k=lk=\

4.(24-25高三上?遼寧?期末)(多選)已知函數””的定義域為R,的導函數為了'(X),

/（2-x）+/（4+x）=0,/（x-l）=/（5-x）,當xe[-2,0]時,r（x）＞0,則（）

A.為偶函數B.的圖象關于點（TO）中心對稱

2025

D.笈）=1

k=T

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（24-25高三上?吉林?期末）下列函數中，在（0,+8）上單調遞增的是（）

A.y=B.y=2xC.y=l°gpD.y=l+-

2.（24-25高三上?福建泉州?月考）已知y=f（x+D+l為奇函數，貝|/（0）+/（2）=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（24-25高三上?江西宜春?期中）定義在R上的偶函數/（無），滿足了（2+x）=f（2-x）,在區間［-2,0］上單

調遞減，設。=/（-1.5）力=/（應）,C=/（5）,則“，b,c的大小順序為（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

2x—1<Y<1

4.（24-25高三上?河南周口?期末）函數〃無）==-單調遞增，且/（2根+1）>-1）,則實數優的

［3-m,x>\

取值范圍為（）

A.（-2,1］B.（-2,1）C.（0,1］D.（0,1）

5.（24-25高三上?廣東?月考）已知函數“X）定義域為（0,+“），％,馬€（0，?。?lt;0,

且"3）=6,f（a2+2a）>2a2+4a,則實數。的取值范圍是（）

A.（-oo,-2）u（0,+co）B.（-?o,-3）,（1,+co）

C.(—3,1)D.(-3,-2)_(0,1)

6.（24-25高三上?江西撫州?月考）設函數“X）的定義域為R,〃尤+1）為奇函數，〃x+2）為偶函數，當

龍目0』］時，〃力=2尤2+云+。.若〃3）-/（2）=6,則/［亍卜（）

7.（24-25高三上?福建龍巖?月考）已知函數〃x）,g（x）的定義域均為R,/（2x+l）是奇函數，且

/（x）+