高三數學大題規范訓練(7)

15.有5個型號和形狀完全相同的納米芯片，已知其中有兩件是次品，現對產品隨機地逐一

檢測.

(1)求檢測過程中兩件次品不相鄰的概率；

(2)設檢測完后兩件次品中間相隔正品的個數為X,求X的分布列和數學期望.

2

16.已知函數〃x)=lnx-依,g(x)=一，awO.

cue

(1)求函數八％)的單調區間；

(2)若a>0且/(x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

17.如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，一&LO是正三角形,且平面

平面ABC。，AB=1,P為棱AD的中點，四棱錐S-ABCD的體積為友.

(1)若E為棱5s的中點，求證：PE//平面SCD；

(2)在棱&4上是否存在點聞,使得平面尸MB與平面&4D所成夾角的余弦值為上叵？

5

若存在，求出線段40的長度；若不存在，請說明理由.

2

18.已知動點P與定點人(帆,0)的距離和P到定直線％=上的距離的比為常數二.其中

mn

m>0,n>0,且記點尸的軌跡為曲線C.

(1)求C方程，并說明軌跡的形狀；

(2)設點5(—加,0),若曲線C上兩動點均在X軸上方，AMBN,且AN與

相交于點。.

L11

①當m=20,〃=4時，求證：內［+函的值及-ABQ的周長均為定值；

②當加〉〃時，記_/RQ的面積為S,其內切圓半徑為小試探究是否存在常數X,使得

S=Xr恒成立？若存在，求X(用以〃表示)；若不存在，請說明理由.

19.無窮數列%,%，…，％，…的定義如下：如果w是偶數，就對〃盡可能多次地除以

2,直到得出一個奇數，這個奇數就是生,;如果〃是奇數，就對3〃+1盡可能多次地除以2,

直到得出一個奇數，這個奇數就是4.

(1)寫出這個數列的前7項；

(2)如果為=加且4,=〃，求相，w的值；

(3)記%=/(〃)，〃eN*，求一個正整數”，滿足

?</(?)</(/(?))<</(/(-/(?)—))

2024~~

高三數學大題規范訓練（7）

15.有5個型號和形狀完全相同的納米芯片，已知其中有兩件是次品，現對產品隨機地逐一

檢測.

（1）求檢測過程中兩件次品不相鄰的概率；

（2）設檢測完后兩件次品中間相隔正品的個數為X,求X的分布列和數學期望.

3

【答案】（1）|

（2）分布列見解答,E（X）=1

【解答】

【分析】（1）用插空法求出符合條件的事件數，再由古典概型計算可得;

（2）依題意X的可能取值為0、1、2、3,求出所對應的概率，即可得到分布列與數學

期望.

【小問1詳解】

記檢測過程中兩件次品不相鄰為事件8,

依題意即將5個芯片排列，其中兩件次品不相鄰的概率,

所以P（B）=堂A3A2=13―

小問2詳解】

依題意X的可能取值為0、1、2、3,

A2A42、A；A；A：3

所以尸(x=o)=^^=《，P(zX=1)=

io

23

P"=3)=管AAJ1,

所以X的分布列為:

X0i23

2311

p

7To510

2321

所以石(X)=0x—+lx——+2x——+3x——=l.

v75101010

2

16.已知函數/(x)=lnx—av,g(x)=一，awO.

ax

(1)求函數尤)的單調區間；

(2)若a>0且/(x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

【答案】(1)答案見解答

⑵4-

e

【解答】

【分析】(1)求導后，利用導數與函數單調性的關系，對a>0與a<0分類討論即可得;

(2)結合函數的單調性求出函數的最值，即可得解.

【小問1詳解】

/r(x)=——a=-——(aw0),

xx

當〃<。時，由于1>0,所以/'(力>。恒成立，從而了(同在(0,+")上遞增；

當〃>0時，/r(x)>0；x>—,/r(x)<0,

從而/(%)在U上遞增，在遞減；

綜上，當a<0時，/(尤)的單調遞增區間為(0,+8),沒有單調遞減區間;

當a>0時，/(%)的單調遞增區間為單調遞減區間為

【小問2詳解】

9

令/z(x)=/(x)—g(x)=Inx—ta---,要使/(x)Wg(x)恒成立,

CUC

只要使〃(x)W0恒成立，也只要使丸⑴1mxW0.

〃⑶」一二二3+1)『2),

xaxax

由于〃〉0,x>0,所以ar+l>0恒成立，

29

當0<%<—時，當一<九<+8時，

(2、22

所以3心=〃匕=叱-340,解得：a>-,

\ciJae

所以。的最小值為4.

e

17.如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形A8CD是矩形，乙SW是正三角形,且平面

平面ABC。，AB=1,P為棱AD的中點，四棱錐S-ABCD的體積為友.

3

(1)若E為棱S3的中點，求證：PE//平面SCD；

(2)在棱&4上是否存在點知,使得平面尸A/B與平面9所成夾角的余弦值為2叵？

5

若存在，求出線段40的長度；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解答

4

(2)存在，一

3

【解答】

【分析】(1)合理構造圖形，利用線線平行證明線面平行即可.

(2)建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法處理即可.

【小問1詳解】

取SC中點P，連接EF,FD,-E,尸分別為S3,SC的中點，

:.EFBC,EF=-BC,

2

底面四邊形A3CD是矩形，P為棱的中點，

:.PD//BC,PD=^BC,

:.EF//PD,EF=PD,

故四邊形PEED是平行四邊形，P石〃ED,

又?￡0匚平面58,1＞石＜2平面51。0,

.,.PE〃平面SCD.

s

/:子【小問2詳解】

AB

假設在棱81上存在點M滿足題意，如圖：連接SP,MP,MB,

在等邊.S4D中，P為A。的中點，所以S尸，AO,

又平面&4￡>，平面ABCD,平面SWc平面ABCD=A￡),SPu平面S4D,

.?.SPL平面ABCD,則SP是四棱錐S-A3CD的高，

設AD=m(m>0),則SP=#辦s矩形板°=機，

二%棱錐S-A8C。=gs矩形ABCD，SP=；mx與m=^^~'所以加=2,

以點P為原點，PA,AB,PS的方向分別為蒼％z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則P(0,0,0),A(l,0,0),3(l,l,0),S(0,0,g),

故PA=(1,Q,0),PB=(l,l,0),A5=(-1,0,73),

設AM=AAS=(-2,O,V32)(O<2<1),

PM=PA+AM=(l-A,0,A/32).

設平面PMB的一個法向量為々=(%,j,z),

n,-PM=(l-2)x+A/32Z=0,(\

則')所以可取“=良r,—"rM—1.

7

nlPB=x+y=0,'

易知平面SW的一個法向量為4=（0』,0），

273

4(%九2-2J+1"I"

2II[4V24

0<2<1,.'.2=-,AM=AM=J-+0+—,

3II\993

4

故存在點V,AM=]滿足題意.

18.已知動點尸與定點4（〃0）的距離和P到定直線％=小的距離的比為常數%.其中

mn

m>0,n>0,且m記點P的軌跡為曲線C.

（1）求。的方程，并說明軌跡的形狀；

（2）設點5（一口,0）,若曲線C上兩動點均在x軸上方，AMBN,且AN與

BAf相交于點Q.

L11

①當機=2后,〃=4時，求證：W可+闞的值及一A3Q的周長均為定值；

②當加〉〃時，記-A3Q的面積為S,其內切圓半徑為,，試探究是否存在常數X,使得

S=X尸恒成立？若存在，求X（用以〃表示）；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）答案見解答

（2）①證明見解答；②存在；,

2n

【解答】

22

【分析】（1）設P（x,y）,由題意可得=+2=由結合橢圓、雙曲線的標準方程即

nn—m

可求解；

（2）設點〃（%,%）川（々,％），”（七，%），其中%>°，%〉0且%=—%,%=-%.

（i）由AM/ABN可知MA"三點共且怛N|=|AM[,設上加T：x=ty+2垃,聯立

11

C的方程，利用韋達定理表示%+%，/%，進而表示出向［+南，結合（1）化簡計算

..（8-AM）.BiV(8-M)-|AM|

即可；由橢圓的定義，由AM//BN得忸。=一1\AM\+\BN\'

11\AM\+\BN\

進而表示出|A@+忸。|,化簡計算即可；（ii）由（i）可知MA"三點共線，且

忸N|=|A"|,設W：x=sy+m,聯立C的方程，利用韋達定理表示%+%%%,

112n

計算化簡可得甌+國=大7,結合由內切圓性質計算即可求解.

【小問1詳解】

+y2_m

設點尸（x,y）,由題意可知7=4,

x----

m

即(x-m)2+y2=

22

經化簡，得C的方程為J+,=1,

nn~-m~

當相<〃時，曲線。是焦點在x軸上的橢圓；

當相〉〃時，曲線C是焦點在x軸上的雙曲線.

【小問2詳解】

設點"（七,％）川（巧,%），"（七，%），其中％>0，%>。且W=一々,%=—%，

（i）由（1）可知C的方程為1+/=1,為（2夜,0）,川-2夜,0卜

%%-v%

因.〃班’所以三行"白荻"不2適"瓦運’

因此，三點共線，且

四=卜+2何+關=卜「2何+（—yJ=\AM'\，

（法一）設直線MM'的方程為x=0+2,聯立C的方程，得（t2+2）/+4?-8=0,

4萬8

則%+%=—

產+2

由⑴可知|AM|=乎卜用=4—3網="[=4—會，

所以

4--+4—

11\AM\+\BN\2

----------1---------)I

\AM\網\AM\-\BN\

"f*X+%)

+%)+/%%

11

所以|AM廣西為定值1;

\AM\2A/2I4

(法二)設則有地「Km廣丁，解得1AM卜二^嬴)，

\AM'\2A/2I…44

同理由20：肅回丁丁解得恒川二匚五嬴，

「…11112+0COS。2->/2cos01

所以I---\+I---\=|---\+1---7-----------1----------=I，

\AM\網\AM\\AMr\44

II

所以廣網為定值l;

由橢圓定義忸Q|+|0M+|M4|=8,得|刎=8-1照-函,

&-忸0|一|皿

^\BN\\BQ\忸Q|'

(8-.怛N|(8—忸N6|AM|

解得忸0=同理可得|AQ|=

\AM\+\BN\|AM|+忸N|

(8-|BN|).|AM|(8-|AM|).|BN|8(\AM\+\BN\)-2\AM\-\BN\

所以|AQ|+忸0

\AM\+\BN\+|AM|+|BN|\AM\+\BN\

=81——-——?—=8—2=6

\AM\+\BN\

因為|AB|=4j5,所以.A3。的周長為定值6+4應.

22

（ii）當時，曲線C方程為、-一二^=1,軌跡為雙曲線,

nm—n

根據（i）的證明，同理可得監A"三點共線，且忸N|=|AM],

（法一）設直線MM'的方程為％=燈+7"，聯立。的方程,

222

得［(m2s2—nJy+2sni(m2—n2m2—n2I=0,

2

2sm(m2—n2m2—n2

%+%=_，%%=T-(*)

m2—n2\s2—n2m2—n2s2—n2

2、

因為二二nr

再-n,\BN\=\AM\=—x-n,

nIm)3

1111_|AM|+|AMJ

所以--------1-—=1-----r+—

\AM\忸N|\AM\\AMr\|AM|-|AMr|

mm

—Xy—Tl+—七一n

nn

mm

—%—Tl—九3-n

nn

2m2-n2

n

2，

2222

m2s2m—nm—n

「必+

n2n2

112n

將（*）代入上式，化簡得----1---=，

|AM|\BN\m2-nr

\AM\m

22

/n

（法二）設NMAx=g,依條件有n2、n，解得|AM|='-n

m----+AMcos8n-mcos6

m)

\AM'\m

22,

fm—n

同理由2)n,解得|AM[=

m—--IAAflcos^n+〃zcos6

m

1111n-mcos0n+mcos0In

所以-------1-------=-----

nr—nm—nm—n"

由雙曲線的定義忸。|+|。閘—|阿=2"，^\QM\=2n+\AM\-\BQ\,

根據西一畫，斛侍|叫=1-A-M--+-B-N--

\AM\IAd,,(2n+\BN\\-\AM\

同理根據W=解得AQ='??，

忸NQN\AM\+\BN\

(ln+\BN\)-\AM\(ln+\AM\)-\BN\2\AM\.\BN\

所以|AQ|+忸。

AM+BNAM+BN\AM\+\BN\

2222

2m—nm+n

=2n+ll=2n+

nn

\AM\+\BN\

由內切圓性質可知，S=%（|陰+|AQ|+照）"，

當S=2r時，2=!(|AB|+|Ae|+|5e|)=m2+n2(m+ri)2期、

m+---------=---------—(常數).

2n2n

因此，存在常數2使得S=4廠恒成立，且2=（"'+"廠

In

【小結】方法小結：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

19.無窮數列為,出，…，4，…的定義如下：如果〃是偶數，就對"盡可能多次地除以

2,直到得出一個奇數，這個奇數就是%;如果〃是奇數，就對3/2+1盡可能多次地除以2,

直到得出一個奇數，這個奇數就是勾.

(1)寫出這個數列的前7項；

(2)如果％,=加且，求相，”的值；

(3)記〃eN*，求一個正整數小滿足

?</(?)</(/(?))<</(/(-/(?)-))

【答案】(1)%=1,%=1，。3=5,。4=1，。5=1，。6=3,%=11；

(2)m=n=l；

(3)“=22°25左—I(答案不唯一，滿足〃=2"%—1(^22025,人左eN*)即可)

【解答】

【分析】(1)根據數列｛%｝的定義，逐一求解；

(2)根據數列｛。“｝的定義，分〃=