高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（18）

15.己知等比數(shù)列｛4｝滿足4=4,%=32.

（1）求數(shù)列｛%,｝的通項公式；

⑵設(shè)勿=:-------.-------，求數(shù)列也｝的前"項和5”.

log2%Tog2an+l

16.如圖，平行六面體ABC。-4瓦￡。的底面ABC。是菱形，且

NBCD=ZC.CB=NC，D=60°.試用盡可能多的方法解決以下兩問:

3

（1）若A5=2，AA=Q,記面BQ。為a,面BCD為5,求二面角a-5。—月的平面

角的余弦值；

AB

（2）當(dāng)笳-的值為多少時，能使平面Cd。？

17.金華軌道交通金義東線金義段已于今年1月開通試運行，全長58.4公里，從金華站到義

烏秦塘站一路經(jīng)過17座車站.萬達(dá)廣場站是目前客流量最大的站點，某小組在萬達(dá)廣場站

作乘客流量來源地相關(guān)調(diào)查，從上車人群中隨機選取了200名乘客，記錄了他們從來源地到

萬達(dá)廣場站所花費時間t.得到下表：

時間t(min)[0,6)[642)[12,18)[18,24)[24,30)[30,36)

人數(shù)（人）106070302010

（1）從在萬達(dá)廣場站上車的乘客中任選一人，估計該乘客花費時間/大于或等于18min的

概率；

(2)估計所有在萬達(dá)廣場站上車的乘客花費時間r的中位數(shù)；

(3)己知6)的10人，其平均數(shù)和方差分別為2,1；rw[6,12)的60人，其平均數(shù)

和方差分別為9,2,計算樣本數(shù)據(jù)中r€[0,12)的平均數(shù)和方差.

注：已知西,々,％”的平均數(shù)為。，方差為6,%,%，…，”的平均數(shù)為以方差為力

玉，々，…，/，/，％，…，%的平均數(shù)為e,則玉，九2,…，/，%，為，…，笫的方差為

52=m+n|"d+(c_c)2].

m+n'-」m+n'-」

18.已知函數(shù)/(x)=sin22x-sin2xcos2x.

(1)化簡函數(shù)的表達(dá)式，并求函數(shù)八％)的最小正周期；

冗

(2)若點4(%,%)是y=/(x)圖象的對稱中心，且0,—,求點A的坐標(biāo).

7TJTTT

19.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+0)(o＞0,——＜。＜一)的圖象關(guān)于直線x=—對稱，且圖

226

象上相鄰最高點的距離為萬.

(1)求/(x)的解答式；

77

(2)將y=/(x)的圖象向右平移二個單位，得到g(x)的圖象，若關(guān)于x的方程

6

7T

g(x)—(2m+1)=0在[0,-]上有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍.

2

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（18）

15.己知等比數(shù)列｛4｝滿足4=4,%=32.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

,1，、

⑵設(shè)d=--------.-------,求數(shù)列也｝的前〃項和s?.

10g2"aT°g2an+l

【答案】（1）an=T

【解答】

【分析】（1）設(shè)公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出q、％,即可求出通項公式;

（2）由（1）可得b“=L——L，利用裂項相消法求和即可；

n〃+1

【小問1詳解】

解：因為｛4｝為等比數(shù)列，且。2=4,%=32,設(shè)公比為4,

所以/=8=8,所以4=2,q="=2,

%q

所以%=a/qi=2"；

【小問2詳解】

r_1_1_1_1__1_

斛.因為“l(fā)og?4.log?a〃+]log?2'?log22"in(n+l)nn+1

*/111111,1n

所以S“=-----1-----1---1-------=1------=----

1223nn+1n+1n+1

16.如圖，平行六面體ABC。-AgGA的底面ABC。是菱形，且

/BCD=NGCB=ZQCD=60°.試用盡可能多的方法解決以下兩問:

3

(1)若A3=2，AA=5,記面Bq。為a,面BCD為夕，求二面角a-5。—/的平面

角的余弦值；

AB

(2)當(dāng)工了的值為多少時，能使AC，平面￡3。？

【答案】(1)B

3

(2)1

【解答】

【分析】(1)根據(jù)二面角的定義作圖分析確定二面角的平面角，計算二面角的平面角可結(jié)合

直角三角形中的邊角關(guān)系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角a-3。-尸的平

面角的余弦值；

AB

(2)可先猜測二-的值，然后證明AC，平面G3D,根據(jù)平行六面體法人幾何性質(zhì)結(jié)合

線面垂直的判定定理證明、或者補形證明、或者利用空間向量的線性運算證明.

【小問1詳解】

連接AC、設(shè)AC和交于。，連接G。，作GELC。，垂足為￡,作G8，OC，垂

足為“，連接HE.

???四邊形A3CD是菱形,

:.ACYBD,又/BCD=60。,：.BD=CD.

又NBCG—NDCC[,C]C=CXC,

△C[BC=ACtDC,:.CtB=GD,

,:DO=OB,：C]O：LBD,

又AC，BD,ACC\ClO=O,AC，GOu平面AC]C

.?.即,平面4。]。，

又GCu平面AC；。，C]C_LB。.

NCQC是二面角。—5。一夕的平面角.

方法一：：/。10)=60°,￡。=44=^,可得GE=36，CE=1,

又/BCD=60°,ZHCE=30°.

因為BDu平面ABC。，故平面ABCDJ,平面OCC1,

而平面ABCDC平面OCG=OC,G〃u平面OCC1,

故G"_L平面ABCD,而CDu平面ABC。，故

而GECGH=G，GE，G"U平面GE”，故CD,平面GEH,

而EHu平面GE"，故EHLC。，

22

???EH=與C[H=^CXE-EH=---

2

又HO=CO-CH=昱,：.CXO=^CH-+HO

22

cosZCOC=—=—.

1CQ3

3

方法二：在△G3C中，BC=2,C,C=|,ZBCC1=60°.

,,,93113

由余弦定理知儲4=3。2+0。2—28CCC-cos60°=4+3—2x2x^x士=￡,

4224

1,,,139

又NOC3=30°,O8=—BC=1,/.CO=cp—OB?=—-1=-,

21144

3

CQ=j即GO=G。.

???”是OC中點，cosZC,OC=—=—.

1CQ3

CFCFCH

方法三：???。。5/6”=不7；，?。5/50"=力，。。5/。。"=片7；，

CjCCH7C]C

:.cosZCjCE=cos/ECHcosZCjC/7,

BPcos60°=cos30°?cosZQCH.

coszqcn=g,sin/G"=~

C〔E=CjCsinZCjC//=乎，

CH=GC.cos/GCH=曰,CO=CDcos30°=73.

...CH=HO,ZC,OC=ZQCH,故cos/GOC=f

小問2詳解】

CD,

當(dāng)石石=1時，能使&C_L平面GBD.

方法一：由前知二平面AC1，.?.3。，4c.

CD,

當(dāng)記=1時，平行六面體的六個面是全等的菱形.

同3。，4c的證法可得AAC,

而BDpiqB=B,BD,CXBu平面C&D,故A。，平面QBD.

方法二：：=1,BC=CD=QC.

由題設(shè)可知三棱錐c-是正三棱錐，設(shè)AC與C.O相交于G.

VAjQ//AC,且4。：0。=2:1,，。16:。0=2:1.

又CXO是正三角形￡3。的邊上的高和中線，

點G是正三角形C&D的中心.

CGL平面G3D,即AC_L平面G3D.

方法三：如圖，沿面4補一個全等的平行六面體.

/.\C//DN.若A。，平面GB。，則。N1平面

:.QD工DN,BD工DN.令CD=k,C[C=l.

1

由余弦定理可知CN=7心,CiD-=k-k+1,BN-=4/+2左+1.

2222

又BD=CD=左2,則CXN--Cp=BN-BD,

即7左2—（左2—左+1）=4左2+2左+1—左2.

2

???342—左—2=0,解得左=1或左=—§（舍）.

CD,

由此可知當(dāng)6}=1時，4。，平面63。.

方法四：如圖，若A。，平面G3。，則4。與成90。的角.過G作GQ〃ac交

AC的延長線于。，則NQC1D=90°.四邊形A￡QC為平行四邊形.設(shè)CD=k,

qc=1,則AC=CQ=G匕Gr>2=r—左+i.

???COSZQG4=.cos/4AC=~^

VcosZQCD=cosZCjCA-cosZACD

4。2=孰。2=（也左丁+]2_26左—立=3k2+2k+l,

I3/

DQ2=（G左丁+lc-2G代cosl5。=Ik2.

在RtZ\QG。中，GQ2+C]￡>2=。。2,即7左2=公—左+1+3/+2k+1,

2

，342一左—2=0，解得左=1或左=—]（舍去）.

CD,

由此可知當(dāng)=1時，ACJ_平面GBD.

：ABC￡＞是菱形，BD±AC.

又BDLCG，，應(yīng)＞1平面AC￡A，得5。，AC,要使A。，平面GBD,還需

A；C1BC「

由C4|=Z?+<7+c,Bq=c—d,

則

CABCi=伍+2+,卜-B)=d-c+c2-b2-b-d=(c-〃).(c+Q+acos60。)=0,

得。=。，即然=1時成立.

17.金華軌道交通金義東線金義段已于今年1月開通試運行，全長58.4公里，從金華站到義

烏秦塘站一路經(jīng)過17座車站.萬達(dá)廣場站是目前客流量最大的站點，某小組在萬達(dá)廣場站

作乘客流量來源地相關(guān)調(diào)查，從上車人群中隨機選取了200名乘客，記錄了他們從來源地到

萬達(dá)廣場站所花費時間t.得到下表：

時間t(min)[0,6)[642)[12,18)[18,24)[24,30)[30,36)

人數(shù)（人）106070302010

（1）從在萬達(dá)廣場站上車的乘客中任選一人，估計該乘客花費時間/大于或等于18min的

概率；

（2）估計所有在萬達(dá)廣場站上車乘客花費時間/的中位數(shù)；

（3）已知/且0,6）的10人，其平均數(shù)和方差分別為。1；問6,12）的60人,其平均數(shù)

和方差分別為9,2,計算樣本數(shù)據(jù)中fe［0,12）的平均數(shù)和方差.

注：已知七,看,…,4的平均數(shù)為a,方差為b,%,當(dāng)，…，先的平均數(shù)為c,方差為d,

xl,x2,---,xm,y1,y2,---,yn的平均數(shù)為e,則yn的方差為

/=—^―「b+（a-e）］+—「"（c-e）］.

m+n'~」m+n'-」

【答案】（1）0.3；

（2）14.6min；

（3）平均數(shù)為8,方差為巨.

7

【解答】

【分析】（1）根據(jù)給定r數(shù)表，利用古典概率公式計算即得.

（2）利用頻率分布表估算中位數(shù)的方法，求出中位數(shù).

（3）利用分層抽樣的平均數(shù)、方差的求法計算得解..

【小問1詳解】

花費時間t大于或等于18min的乘客人數(shù)為60,

所以該乘客花費時間t大于或等于18min的概率p==0.3.

【小問2詳解】

70

由表格數(shù)據(jù)知：花費時間?小于12分鐘的頻率為——=0.35,花費時間?小于18分鐘的頻

200

率為黑=。7,

170

因此花費時間f的中位數(shù)［12,18),ao-12)x-x^=O.5-O.35,解得:

t0h14.6,

所以估計所有在萬達(dá)廣場站上車的乘客花費時間f的中位數(shù)為14.6min.

【小問3詳解】

樣本數(shù)據(jù)中fe[0,12)的平均數(shù)亍=芯60x9=&；

1006055

方差$02=玄＞＜口+(2-8)2]+右＞[2+(9-8力0=

70707

18.已知函數(shù)/(x)=sin22x-sin2xcos2x.

(1)化簡函數(shù)〃九)的表達(dá)式，并求函數(shù)八外的最小正周期;

(2)若點4(%,%)是y=/(x)圖象對稱中心，且x()e0,—,求點A的坐標(biāo).

【答案】(1)/(%)=s^n++，最小正周期為'；⑵[、肛己]或[正.

【解答】

【分析】(1)利用降幕公式、二倍角公式、輔助角公式化簡/(x)=—￥sin(4x+7)+g，

代入周期公式計算周期；

(2)由對稱中心的性質(zhì)可知sin4/+?)=(),結(jié)合玉)￡0,^求出》,即可得到點A

的坐標(biāo).

【詳解】(1)

l-cos4x1..1/..x1

sin22x-sin2xcos2x----------------sin4x=——(sin44x+cos4x)+—

222V72

=-2in(4x+3+L

2I4j2

所以，函數(shù)y=/(x)的最小正周期為7=子=胃；

(2)由/(X)=一^^sin14x+(1

+一,

2

??,點A(%o，%)是函數(shù)y=/(x)圖象的對稱中心,

貝ijsin[4毛+；■)=0,得4%o+?=左》(左￡Z),.,.九0="^一微(女￡Z),

knJTJT1Q

由0<7——<—(A:GZ),解得zV左Kw(左eZ),得左=1或左=2,

377

當(dāng)左=1時，x=—，此時，點A的坐標(biāo)為

016

7萬

當(dāng)左=2時，x=—,此時，點A的坐標(biāo)為

016髭1

3〃1

綜上所述，點A的坐標(biāo)為或

【小結(jié)】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

JTTTTT

19.已知函數(shù)/Cx)=2sin(5+0)(G>O,——?。<一)的圖象關(guān)于直線x=—對稱，且圖

226

象上相鄰最高點的距離為萬.

(1)求/(%)的解答式;

7T

(2)將y=F(x)的圖象向右平移7個單位，得到g(x)的圖象，若關(guān)于X的方程

6

TT

g(x)—(2根+1)=0在［0,萬］上有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍.

71

【答案】(1)/(%)=2sin(2%+-)

6

⑵[一1,0)°11

【解答】

【分析】(1)利用題意首先求得。的值，然后求解。的值即可求得了(%)的解答式;

(2)首先求得函數(shù)g(x)的解答式，然后結(jié)合函數(shù)在區(qū)間0,|上的性質(zhì)即可求解實數(shù)m

的取值范圍.

【小問1詳解】

因為/(幻的圖象上相鄰最高點的距離為萬，所以/(%)的最小正周期T=?