函數的概念及其表示(3種核心題型+基礎保分練+綜合提升

練+拓展沖刺練)

m【考試提醒】

1.了解函數的含義2在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、

解析法)表示函數3了解簡單的分段函數，并會簡單的應用.

111【知識點】

1.函數的概念

一般地，設3是非空的實數集,如果對于集合/中的任意一個數x,按照某種確定的對

應關系了,在集合3中都有唯二確定的數y和它對應，那么就稱人2為從集合/到集合

8的一個函數，記作x^A.

2.函數的三要素

(1)函數的三要素：定義域、對應關系、值域.

(2)如果兩個函數的定義域相同,并且對應關系完全一致,則這兩個函數為同一個函數.

3.函數的表示法

表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數

若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函

數稱為分段函數.

【常用結論】

1.直線x=a與函數y=/(x)的圖象至多有1個交點.

2.在函數的定義中，非空數集4B,/即為函數的定義域，值域為3的子集.

3.分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數.分段函數的定義域等于各段函數

的定義域的并集，值域等于各段函數的值域的并集.

弱【核心題型】

題型一函數的定義域

(1)無論抽象函數的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合；

(2)若已知函數{x)的定義域為[a,b],則復合函數Hg(x))的定義域由不等式aWg(x)Wb求出；

(3)若復合函數義g(x))的定義域為[a,b],則函數於)的定義域為g(x)在口，句上的值域.

【例題11(2024高三?全國?專題練習)已知集合/={x,=—7),B=1x|<01,則/=

()

A.[-1,0]B.(-1,0]C.(0,1)D.(-叫1)

【答案】B

【分析】分別求解集合45,再求/cB即可.

【詳解】因為y=口的定義域為(--0],所以N=(-s,0],

由口40得產解得-1<E,所以8=(-15，

故如5=(-1,0],

故選：B.

【變式1】(2023,河北衡水?模擬預測)已知函數y=f(x)的定義域為[0,4],則函數

了=/"?+(X-2)°的定義域是()

yjx-l

A.(1,5]B.(1,2)0(2,5)C.(I,2)u(2,3]D.(1,3]

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用函數有意義并結合復合函數的意義列出不等式組，求解不等式

組作答.

【詳解】因為函數了=/(x)的定義域為[0,4],又函數丁=與學+(》-2)°有意義，

yjx-l

0<X+l<4

則有1>0,解得1<%<2或2<x?3,

x-2w0

所以函數y=牛萼+(》一2)。的定義域是(1,2)“2,3].

yJX-1

故選：C

【變式2](2024?全國?模擬預測)若集合/=卜€叫了=67},5={0,1},則集合/C3的

真子集的個數為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】先求集合/，確定/C5即可求解.

【詳解】因為/={xeN|3-xN0}={0』,2,3},5={0,1},所以/08={0,1},

所以集合/C3的真子集的個數為2?-1=3.

故選:D.

【變式3]（2023?江蘇鎮江?模擬預測）若函數＞=/（2x）的定義域為[-2,4],則

y=）的定義域為（）

A.[-2,2]B.[-2,4]

C.[-4,4]D.[-8,8]

【答案】C

【分析】利用抽象函數定義域的求解原則可求出函數/（x）的定義域，對于函數

y=/（x）--X），可列出關于X的不等式組，由此可得出函數了=/卜）-/（-》）的定義域.

【詳解】因為函數了=/（2x）的定義域為[-2,4],則-2VX44,可得-4V2尤V8,

所以，函數了=/（尤）的定義域為[-4,8],

-4<x<8

對于函數＞=/（x）-/（f）,則有解得一44xW4,

-4<-x<8'

因此，函數V=/（x）-/（-x）的定義域為[7,4].

故選：C.

題型二函數的解析式

函數解析式的求法

（1）配湊法；（2）待定系數法；（3）換元法；（4）解方程組法.

【例題2】（2023?重慶?模擬預測）已知函數/■（1一力=彳;（無*0）,貝！|/（無）=（）

1144

A.7-^T-l（xwO）B.；_^-1（尤片1）C.7-D.；~^一1（》/1）

（x-l）（X—1）（x—l）（X—1）

【答案】B

【分析】利用換元法令f=l-x,運算求解即可.

【詳解】令，=1一x,貝=且xwO,貝Ijf/l,

可得-3=7一不一或豐1）'

。一）（I）

所以f(x)=(

故選：B.

【變式1】(2023?河南?模擬預測)已知函數〃x)對定義域｛xlx片0｝內的任意實數x滿足

〃2x)-2/0=4x,則〃x)=.

[答案]^~x~~

33x

【分析】先把x都化為2x,進行化簡得到/⑴-2/11=2x,再把x替換為:得到

/f-V2/(x)=-,最后聯立方程組求解即可.

【詳解】由〃2x)-2d[=4x,得〃2乃一2/1()=2-(2外，即〃x)-24￡[=2x①，

將X換為？4，,得/4-、—2/(x)=2x4—②，由①+2②，得-3/(x)=2尤+1上6，故

XyxJXX

“、216

33x

故答案為：一；X—丁.

33x

【變式2】(2023?山東?模擬預測)已知二次函數"X)的最大值是/且它的圖像過

點(2,4),求函數/⑴的解析式.

【答案】〃x)TT+y

【分析】由二次函數性質與待定系數法求解.

【詳解】解：根據題意設/(》)=小惠+/，

又過點(2,4),貝|」0(2-；；+1=4

解得〃=-1,

故/'(x)=_(x-￡j+y

【變式3](2024■山東濟南一模)已知集合/="，(尤),3=4爐-3+6,+6口。?耳，函

數/(耳=--1.若函數g(x)滿足：對任意“(x)eZ,存在4〃eR,使得

"(x)=/l/(x)+Mg(x),則g(x)的解析式可以是.(寫出一個滿足條件的函數解析式

即可)

【答案】g(x)=x-l(滿足g⑴=0,且一次項系數不為零的所有一次或者二次函數解析式

均正確)

【分析】根據"(1)=0,求得g⑴=0,則滿足g⑴=。的一次函數或二次函數均可.

[詳解]u(<x)=ax2~(a+b)x+b,f(x)=x2-1,

“⑴=a-(a+6)+b=0,/(l)=0,

w(x)=A/(x)+/zg(x),=(1)=0,

所以g⑴=0,則g(x)的解析式可以為g(x)=x-l.

經檢驗，g(x)=xT滿足題意.

故答案為：g(x)=xT(答案不唯一).

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據函數的形式，確定函數的關鍵特征和條件.

題型三分段函數

分段函數求值問題的解題思路

(1)求函數值：當出現煩。))的形式時，應從內到外依次求值.

(2)求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的

值，切記要代入檢驗.

(AxX<0

【例題3】(2024?四川廣安?二模)已知函數/，則/的值

Ilog2〉u

為.

【答案】-4

【分析】先求/(-2)的值，結合所求結果的符號，再代入/(x)解析式求得.

【詳解】Q/(-2)=4-2=-l>0,

16

24

?-?f[/(-)]=/^]=kg2'=I"22-=-4.

故答案為：-4.

【變式1】(2024?廣東深圳?模擬預測)已知函數/(》)=若玉…火，使得

/(尤。)410機+4/成立，則實數%的取值范圍為()

B.-訓

-8，彳卜[0，+8)

D.

【答案】C

【分析】先求出分段函數的最小值；再求解不等式的解集即可.

【詳解】因為函數y=/-3x在區間18t上單調遞減，在區間(|，3]上單調遞增,

3Q

所以當尤=萬時，函數y=x2-3x,x43取得最小值

又因為函數夕=logs》在區間(3,+8)上單調遞增,

所以當x>3時，log3x>1.

[,3x,x；3的最小值為一]

綜上可得函數f(x)=

[log3x,x>34

因為西eR,使得/伉)V10加+4加2成立，

aQ1

所以——<10m+4m2,解得：m<——或加2——.

444

故選：C.

[f(x+Y),x<4/、

【變式2】(2024?陜西西安?三模)已知函數/\x)=,則/(2+log23)=()

A.8B.12C.16D.24

【答案】D

【分析】根據給定條件，判斷并代入計算函數值即得.

【詳解】由1<1嗎3<2,得3<2+log23<4,

+lo&3

所以/(2+log23)=/(3+log23)=^=tx2唯3=24

故選：D

x2+ax,x<0

【變式3](23-24高三下?內蒙古赤峰?開學考試)已知函數/(x)=x的最小值為

-----,x>0

、x+1

-1?貝!J〃=.

【答案】2

【分析】由題意得出函數了在(-鞏0)上取得最小值-1,由此即可列出式子求解.

x1

【詳解】當xNO時，>=——-

X+lX+1

因為/（X）的最小值為-1,所以函數了=/+亦在（-8,0）上取得最小值一1,

a八

——<0

2

則{2，解得。=2.

--

14

故答案為：2.

口【課后強化】

基礎保分練

一、單選題

1.（2024?陜西西安?一模）已知全集。=1<,集合/={x|y=VTM},N={-72,0,1,2,73})

則”）rw=（）.

A.{-&,0,1}B.{2,6}C.{1,2,拘D.N={2}

【答案】B

【分析】先求集合然后由集合的運算可得.

【詳解】由1-轉0解得M=（-

所以dM=（l,+”），所以（務M）CN={2,6}.

故選：B

l,x>0,

2.（2024?山西運城?一模）已知符號函數sgn（x）=0,x=0,則函數

-1,x<0.

/（無）=$811（力111卜+4711）的圖象大致為（）

【答案】D

【分析】先得到〃x)為偶函數，排除AB,再計算出了⑴=ln2>0,得到正確答案.

【詳解】sgn(x)定義域為R,且為奇函數，故sgn(-x)=-sgn(x),

故/0)=$以力111卜+正77)的定義域為R,

且f(-x)=sgn(-x)-In卜x++])=-sgn(x)-ln卜x+Jx2+1)

=-sgn(x)-In/,---=sgn(x>ln(Jx，+1+x)=/(x),

IVX+1+Xy

故/(》)=5§11(》>111(尤+正11)為偶函數，AB錯誤；

當x=l時，/(l)=sgn(l)-ln2=ln2>0,c錯誤，D正確.

故選：D

3.(2023?四川成都?模擬預測)給出下列4個函數，其中對于任意xeR均成立的是()

A.f(sin3x)=sinxB./(sin3x)=x3+/+x

C.f[x2+2)=|x+2|D.f^x2+4x)=|x+2|

【答案】D

【分析】根據函數定義逐項判斷ABC,采用換元的方法求解D中函數的解析式并進行判斷.

【詳解】對于A,當x=0時，/(0)=0；當xj時，〃0)=弓，與函數定義矛盾，不符合;

對于B,當x=0時，/(0)=0；當x=1時，/(O)=f^j+W+p與函數定義矛盾，不

符合；

對于C,當x=-2時，/(6)=0；當x=2時,/⑹=4,與函數定義矛盾，不符合;

對于D,令x+2=，，貝！Jx=，-2

令廣一4=機目-4,+<?),所以t=±J〃z+4，

所以/(m)=|±Vw+41=而+4(m>-4),

所以/(x)=Jx+4(x?-4),符合.

故選：D.

4.(2024?全國?模擬預測)已知集合/，8=卜,=卜則/口3=()

A.{x|0<x<1|B.{x|0<x<1|C.{x|0<x<2|D,{x|0<x<21

【答案】A

【分析】先解不等式，再利用集合的交集即可求解.

【詳解】因為集合/=&|?40}="回。-1)40且xwO},所以/={x|0<xVl}.

又集合8=1疝一/\0},所以B={x|0VxV2},則NcB={x[0<xVl}.

故選：A.

二、多選題

5.(23-24高三下?河南?階段練習)已知非常數函數/(x)的定義域為R,且

/(x)/(y)=/(M+xy(x+y),則()

A./(o)=oB.〃1)=-2或/⑴=1

C.工⑴是{x|xeR且力0}上的增函數D.〃尤)是R上的增函數

X

【答案】AC

【分析】A.令y=0判斷；B.令g(x)=",/0,分別令x=y=-l,x=y=l判斷；CD.由

g(x)=",xH0,令y=l判斷.

【詳解】解：在/(x)/(y)=/(xy)+xy(尤+y)中，

令y=0,得/(o)〃x)=/(o)，即VxeR,/(O)"(x)-l]=O.

因為函數/(x)為非常數函數，所以/(0)=0,A正確.

令g(x)=^^,xR0,貝|18(》)8(夕)=8(孫)+龍+了.

X

令x=y=T,則[g(T)?=g⑴-2,①

令x=y=l,則[g(l)，=g(l)+2,②

由①②，解得g(l)=2,g(—1)=0,從而/(1)=2,B錯誤.

令y=l，貝!lg(x)g(l)=g(x)+x+l,即g(x)=x+l,

因為"0)=0,所以/(x)=x(x+l),所以C正確，D錯誤.

故選：AC

/、hx-l|,x<2/、

6.(2023?江蘇連云港?模擬預測)已知函數/(x)=l1，若關于x的方程/(x)-加=0

-x+5,x>2

恰有兩個不同的實數解，則下列選項中可以作為實數機取值范圍的有()

A.(0,3)B.(1,2)

C.(2,3)D.{0}

【答案】BCD

【分析】將方程「(X)-加=。有根轉化為曲線，=/(x)和直線y=%的交點個數問題，根據

函數圖像分析運算即可得解.

【詳解】解：因為關于X的方程/(X)-機=0恰有兩個不同的實數解，

所以函數了=/(x)的圖象與直線y=m的圖象有兩個交點，作出函數圖象，如下圖所示，

所以當加e［l,3)U{0}時，函數了=/(尤)與>=〃?的圖象有兩個交點，

所以實數m的取值范圍是［1,3)U{。}.

四個選項中只要是［l,3)U{0}的子集就滿足要求.

故選：BCD.

三、填空題

7.(2024?北京懷柔?模擬預測)函數/(工1)+=7炫Y丫子的定義域是.

【答案】(-%-；)U(0,+8)

【分析】利用對數函數的定義，列出不等式求解即得.

【詳解】函數〃x)=lgH^有意義，則葉生>0ox(2x+l)>0,解得x<-1或x>0,

xx2

所以函數/⑴=1g匕I的定義域是U(0,+OO).

故答案為：(-8,-g)U(0,+8)

8.(23-24高三上?河北保定?階段練習)已知函數“X)在R上可導，且〃2x+3)=4f-1,

則(⑴=.

【答案】-4

【分析】利用換元法求得/(x)解析式，求導，求/'⑴即可.

【詳解】令1=2尤+3,則x=9，貝!]/?)=/-6/+8,即/(無)=x?-6x+8,

r(x)=2x-6,所以“l)=-4.

故答案為：-4

四、解答題

9.(2023?江西九江?模擬預測)若的定義域為14,4],求g(x)=〃2x+l)+/(巧的定

義域.

「31

【答案】-2,-.

【分析】由題意列出不等式組解之即得.

【詳解】由函數了=/(X)的定義域為[-4,4],則要使函數g(x)=〃2x+l)+/(f)有意義，

貝kf-4<2x-+l<4

3

函數g(x)=/(2x+l)+/(巧的定義域為-2,-.

10.(2023?河南信陽，一模)已知函數3(力=卜-2|+卜+2|.

⑴求不等式/'(x"x+3的解集；

(2)若g(x)=|x_3|+|x+3|,歹(x)=/(x)+g(x),且廠(/一3。+2)=尸(。一2),求滿足條件的

整數。的所有取值的和.

[答案]⑴(_8/M3，+°°)

(2)6

【分析】（1）分x4-2,-2<xV2和x>2三種情況討論，去絕對值符號，解不等式即可；

（2）先判斷函數的奇偶性，再去絕對值符號，作出函數圖象，結合圖象分類討論即可得解.

【詳解】(1)解：當x?-2時，/(x)=2-尤-2-x=-2x,

—2x2x+3,x—1,x—2；

當一2<xW2時，/(x)=2-x+x+2=4,4>x+3,x<l,??—2<xW1；

當x〉2時，/(x)=x-2+x+2=2x,/.2x>x+3,x>3,x>3,

綜上，不等式/(x)"+3的解集為(-8川D[3,+8);

(2)尚軍：因為歹(一x)=\—x—2|+\—x+2|+1—%—3|+1—x+3]二卜+2|+|x-2|+|x+3|+|x-3|=F(x),

???萬(%)為偶函數,

當0Vx<2日寸,尸(x)=2—x+3—x+x+2+x+3=10,

當2?x<3時，尸(x)=x—2+3—x+x+2+x+3=2x+6,

當x23日寸，尸(x)=x—2+x—3+x+2+x+3=4x,

①/一3〃+2=〃-2,a=2；

-3。+2=--2),?，.。=0或a=2；

③-2?〃2_34+2<2,-2<tz-2<2,：.0<a<3f

綜上整數。的取值為0,1,2,3,故和為6.

11.（2024?陜西?模擬預測）已知函數/（x）=|x—-.

⑴求“X)的最小值;

(2)若/(x)>|2x-4恒成立，求實數a的取值范圍.

【答案】(嗎3

r,5]

(2)1,-

【分析】(1)利用分類討論，去掉絕對值，結合一次函數的單調性即可得解；

(2)結合(1)中結論，作出/㈤與力(x)的大致圖象,求得〃x)=2x-a|恒成立的臨界情

況對應的。值，從而得解.

【詳解】⑴因為/(力=卜-2|+|21|,

當xN2時,f(x)-3x-3,此時23x2-3=3；

ii3

當5Vx<2時，/(x)=x+l,止匕時萬+1</(%)<2+1,gp-</(x)<3；

iiQ

當時，/(x)=3-3x,止匕時/(X)23—3X/=5；

a

綜上，f(x)的最小值為半

(2)記〃(x)=|2x-a|,作出/(x)與，(x)的大致圖象，

要使〃x)212x-a|恒成立，

則只需當函數〃(X)的圖象過點或5(2,3)時，為臨界情況(如圖),

由力=得〃=|■或〃=一1(舍去)，

{2J11222

由力(2)=|4—。|=3,得。=1或a=7(舍去)，

所以IWaw],即實數。的取值范圍為1,1.

jr37r

12.(2023?浙江溫州?三模)已知函數〃x)=sin(s-：)在區間[0,彳]上恰有3個零點，其中

42

。為正整數.

⑴求函數“X）的解析式；

（2）將函數〃x）的圖象向左平移二個單位得到函數g（x）的圖象，求函數尸卜）=*的單調

區間.

【答案】（l）"x）=sin（2x-。；

4

【分析】（1）根據給定條件，求出。X-5的范圍，再結合正弦函數的零點情況列出不等式求

解作答.

（2）由（1）求出函數g（x）的解析式，進而求出尸（x）,再利用正切函數的單調性求解作答.

?、4E■zX.「八371r/口71713兀。TI-,

【詳解】（1）由、注0,了］,倚0-彳€r“了〒一R'

JrTT

因為函數〃尤）=sin（ox-7）在區間［0,胃S］上恰有3個零點，

42

于是2兀《幽-二＜3兀，解得＜股，而。為正整數，因此。=2,

2426

所以/（x）=sin（2%-；）.

(2)由(1)知,g(x)=/(x+—)=sin[2(x+-)--]=sin(2x+—),

4

TTkit

由。0，得2x—w%兀,左￡Z,即有％wT

sin(2x+—)sin(2x+。

因此/(x)=”

/（，）sin［（2x+；）一m-cos（2x+4

由防1一4＜2、+工＜左兀+工，左￡2,解得包一史＜%＜—+—,A；GZ,

42

所以函數/（X）=警的單調減區間為（"-萼,"+?）/eZ）.

/（X）2828

綜合提升練

一、單選題

flog,＞01

1.（2024?陜西西安?一模）已知函數〃尤）=/，則〃/5））=（）

【答案】A

【分析】根據給定的分段函數，依次代入計算即得.

flog,x.x>011

【詳解】函數〃X)=丁,則〃)=bg3<0,

所以/(/(1))=/(logs1)=1=-?

故選：A

2.(2023?吉林長春?模擬預測)已知函數/(x)滿足2/(x)+/(-X)=3/+2X+6,則()

2x2+4x+3

A./W的最小值為2B.dxeR,-----———<2

/W

公艮2一+/4：+5

C.f(x)的最大值為2D.<2

【答案】B

【分析】首先根據題意得到/(x)=/+2x+2,再結合二次函數的性質依次判斷選項即可.

【詳解】因為2/(x)+/(-無)=3/+2x+6,2/(-x)+/(無)=3X2-2X+6,

所以/(%)=無2+2x+2.

所以=+所以〃x)的最小值1,無最大值，為故A,C錯誤.

小、小岳c2%2+4%+3八1

對選項B,-................=2---------------

x+2x+2x+2x+2

9I2廠+4x+3

因為—+2尤+2=(x+iy+121,所以2——z-----------<2,即——--------<2,

''X2+2X+2“X)

故B正確.

_.■TH2X~+4x+5-1

對選項D,—-----------=2+------------

x+2x+2x+2x+2

,12-+4x+5

因為f+2x+2=(x+l]+1N1,所以2+—----------->2,即>2,

v'x2+2x+2〃尤)

故D錯誤.

故選：B

3.(2023?浙江?二模)已知函數4%)滿足〃2x)=/(x+l),則/(尤)可能是().

A.f(x)=xB./(x)=log2x

1,XGQ

c./(x)=2,D.心)=

O,x^Q

【答案】D

【分析】根據函數滿足/(2x)=/(x+l),1—驗證各選項中的函數是否滿足該性質,

即可得答案.

【詳解】對于A,f(x)=x,則/(2x)=2x,/(x+l)=x+l,不滿足/(2x)=/(x+l)；

對于B,/(x)=log2x,則/(2x)=log22x=l+log2X,/(x+l)=log2(x+l),

不滿足〃2x)=〃x+l)；

對于C/(x)=2\則〃2X)=22X=4)〃X+1)=2㈤=2X2"不滿足/(2x)=〃x+l)；

/\fl.XGQ,,

對于D,/(》)=：當xeQ時，2xeQM+leQ,故/(2x)=〃x+l)=1；

當xeQ時，2xeQx+leQ,故/(2x)=/(x+l)=0,

/\\\,XGQ/、/、

即此時f(x)=：、滿足f(2x)=f(x+l),D正確，

I0,X任Q

故選：D

4.(2024?山東棗莊?一模)已知集合M={x|log3x<0},N=^xy=4x+，貝U"U時N)=

()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]C.(-oo,0)u(0,l)D.(-oo,0)U(0,l]

【答案】D

【分析】首先解對數不等式求出集合M,再根據函數的定義求出集合N,最后根據補集、

并集的定義計算可得.

【詳解】由bg3X<0,可得k^xvlogjl,所以0cx<1,

即W=|x|log3x<0}=|x|0<x<1},

L1IX>0

對于函數y=Vx+--,則｛,八，解得ov尤<1或x>l,

x-1X-17^0

所以N=1尤卜=五+^^:=[O,lp（1,+-?）,

所以<N=（-8,0）U{1},

所以Mu晶N）=（-8,0）30』.

故選：D

/、flO2X+l,X>1/、

5.（2023?全國?模擬預測）已知函數/（x）=2?'，若/（。）=2,則。的值為（）

IX,X<1

A.2或一收B.2或&C.血或一0D.1或收

【答案】A

【分析】根據分段函數的解析式，討論。的范圍，明確方程，解出即可.

【詳解】當時，皿2。+1=2,解得<2=2,

當a<1時，a2=2,得a=-6，

所以。的值是2或一逝.

故選：A.

6.（2024?全國?模擬預測）已知函數/（x）=尸'""x+l'E是R上的減函

1-a,x>l

數，則。的取值范圍是（）

A.（1,3]B.[2,3]C.[2,+功D.[3,+s）

【答案】B

【分析】根據分段函數的單調性和指數函數的單調性列出不等式組，解之即可直接得出結果.

【詳解】因為函數y=1-優（。>0,。*1）是減函數，所以。>1.

又因為函數了=/+（。-5）x+1圖像的對稱軸是直線x=1,

所以函數V=/+僅-5）x+1在1-8，一）上單調遞減，在（寧，+"上單調遞增.

a>\

5—CL

又函數“X）是R上的減函數，所以亍,解得24OW3,

a—321—a

所以。的取值范圍是[2,3].

故選:B.

7.(23-24高三上?四川遂寧?期中)函數＞=1。8.(2彳-1)+3(。＞0,。31)的圖象恒過點(見")，

函數/。)=(己『的定義域為[0,2],g(x)=/(2x)+/。)，則函數g(x)的值域為()

m

A.[2,90]B.[2,6]C.[2,12]D.[2,20]

【答案】C

【分析】由題可知，當2x-l=l時，即可求出定點坐標。",”)，即可求得Ax)的解析式，進

而可得g(x)的解析式，再結合抽象函數的定義域求得g(x)的定義域，結合函數的單調性即

可求解.

【詳解】當2x-l=l時，HPx=1,則y=l0gli1+3=3,

所以V=log.(2x-1)+3(。＞0,aw1)恒過定點(1,3),

則"x)=3"定義域為[0,2],由042xW2,得04x41,

則g(x)=f(2x)+/(x)的定義域為[0,1],

貝IJg。)=/(2x)+=32,+3"，xe[0,l]

又＞==32,在[0,1]上單調遞增，則g(x)=32工+3,在[0,1]上單調遞增，

則g(x)min=g(0)=3°+3°=2,

gOOmax=g(l)=32+31=12,

所以函數g(x)的值域為[2,12].

故選：C

8.(2024?浙江溫州?二模)已知定義在(0,1)上的函數

，/、口,x是有理數巴仇”是互質的正整數)川大利任、人工儂,曰,、

nv7,則下列結論正確的是()

13是無理數

A.“X)的圖象關于x=g對稱B.的圖象關于對稱

C.〃x)在(0,1)單調遞增D.〃x)有最小值

【答案】A

【分析】利用特殊值可排除B、C,利用函數的性質可確定A、D.

【詳解】對于BC,由題意可知：亞=+=

顯然〃x）的圖象不關于O對稱，而一行+|<收_g,故B、C錯誤；

對于D,若x為有理數，則/卜）=,，顯然函數無最小值，故D錯誤；

n

對于A,若x=%是有理數，即私〃（加<"）互質，則〃一加，〃也互質，即

nynJn\n

若X為無理數，貝也—X也為無理數，即/（無）=/（1-力=1,

所以/（X）的圖象關于X=g對稱，故A正確.

下證：加〃互質，則〃-加〃也互質.

反證法：若加，〃互質，〃-冽〃不互質，不妨設幾-冽二3,〃=/，

貝|]加=左9-。）,"=粕，此時與假設矛盾，所以"也互質.

故選：A

【點睛】思路點睛：根據抽象函數的對稱性結合互質的定義去判定A、B,而作為抽象函數

可以適當選取特殊值驗證選項，提高正確率.

二、多選題

9.（2022?安徽合肥?模擬預測）下列說法不正確的是（）

A.函數=：在定義域內是減函數

B.若g（x）是奇函數，則一定有g（0）=0

-%2_ax_5（xW]）

C.已知函數/（%）=〃/、在R上是增函數，則實數。的取值范圍是

[-3,一1]

r1Q-

D.若〃x）的定義域為卜2,2],則/（2x-l）的定義域為-點;

【答案】ABC

【分析】對于AB,取g（x）=/（x）=J-1<1即可說明；對于C,分段討論，但要注意結合

-l2-axl-5<1,由此即可判斷；對于D,由-242X-142即可判斷.

【詳解】對于AB,若g（尤）=〃x）=J,因為-1<1,g（x）是奇函數，但==

x=0時，g（x）無意義，故AB描述不正確，符合題意;

_/—ax-5(xV1)

對于C,已知函數〃無)=，在R上是增函數,

首先當x>l時，=￡單調遞增，則。<0,

其次當xVl時，f(x)=-x2-ax-5(對稱軸為x=-￡)單調遞增，貝即aV-2,

一%?—dx—5(%(1)

但若要保證函數/(%)=<S在R上是增函數，還需滿―5針,

即4>-3,

所以實數。的取值范圍是卜3,-2],故C描述不正確，符合題意；

對于D,若/'(X)的定義域為-2,2],則/(2x-l)的定義域滿足一2<2x-l<2，M-1<x<j,

故D描述正確，不符合題意.

故選：ABC.

10.(2024?湖南?模擬預測)己知函數“X)是定義域為R的偶函數，g(x)是定義域為R的奇

函數，且/(x)+g(x)=2e*.函數B(x)=/(2x)-2切'(X)在(,+紡)上的最小值為T1,則下列

結論正確的是()

A.=B.g@)在實數集R單調遞減

C.m=3D.冽二一3.3或一

4

【答案】AC

【分析】根據函數的奇偶性可得出關于/(x),g(x)的方程組，即可得/(x),g(x)的解析式，

從而得選項A；結合函數的單調性，可判斷選項B；根據/(尤)的解析式，求出產(X)的解析

式，利用換元法，將所求函數轉化為二次函數的最值問題，結合二次函數的對稱軸和二次函

數的定義域，即可求出其最小值，從而解得加=3,即可判斷選項C與選項D.

【詳解】A,因為/(x)為偶函數，所以/(f)=/(x),又g(x)為奇函數，所以g(-x)=-g(x),

因為/(%)+g(x)=2e工①,所以/(-x)+g(-x)=2ef,即/(x)-g(x)=2eT②,

由①②得：/(x)=ex+e-\g(x)=e，-尸，所以選項A正確；

B,因為函數〉=e*,y=在R上均為增函數,

故g（無）=e，-b在R上單調遞增，所以選項B錯誤;

C、D,因為/(2x)=e2*+e3=(e*+eTj-2,

所以尸(x)=(e，+e-')-2m(eJ+e^)-2,

又[卜)=3+片，22后廠=2,當e*=e-"即尤=0時等號成立，/=e'+仁工e[2,+s),

設〃?)=/-2mt-2=(/-zw)2-m2-2(Z>2),對稱軸t=m,

當冽>2時，函數〃⑺在［2,勿）上為減函數，在（加,+8）上為增函數，

則〃?濡=〃（加）=-療-2=-11,解得%=3或加=-3（舍）；

13

當加V2時，在［2,+00）上單調遞增，〃⑺血n=〃⑵=2-4刃=-11,解得：m=—>2,

不符合題意.

綜上皿=3,所以選項C正確，D錯誤.

故選：AC.

sin7ix,xe［0,2］

IL（23-24高三上嘿龍江大慶?階段練習）對于函數〃x）=1、.下列結

-/（x-2）,xe（2,+OO）

論正確的是（）

A.任取士,尤2?［2,+00）,都有|/（再）-/（々）歸1

B.函數N=/（x）-ln（x-l）有2個零點

C.函數了=/3在［4,5］上單調遞增

D.若關于x的方程/（x）=7〃（m<0）有且只有兩個不同的實根三戶2，則占+%=3.

【答案】AD

【分析】利用分段函數及三角函數的圖象與性質一一判定選項即可.

V=1

J

二=0.5

8=0.25

少

二=-0.5

一-^=m

J=-1

根據分段函數的性質可知：尤e(2,4]時，/(x)=|sin[n(x-2)]=|sin7u,

當xe(4,6]時，/(x)=1sin7LX,…可作出函數了=/(x)的部分圖象，如上所示,

對于選項A,易知轉2時,/(x)e-1,1,

故任取不，Ze[2,+oo),都有|/(西)-/(戈2)歸1,

當/(占)=；,/仁)=-；或=時取得等號,故A正確;

對于選項B,V=/(x)-ln(x-l)的零點即y=ln(x-l)與了=〃x)的交點橫坐標，

易知了=ln(x-l)在(1,+s)上單調遞增，

1-5兀1，一r

sm——=-1=In—<In—sin-=—=In-^e>ln|

e

/(2)=0=ln(2-l),

利用零點存在性定理及三角函數的單調性結合圖象可知,

y=「(x)Tn(x-l)在[I,]大3上分別各一個零點,

又x=2也是其一個零點，故B錯誤；

對于C項，易知》6[4,5]=>/卜)=$11口，此時了=/(x)在4,|上單調遞增，故C錯誤；

對于D項，由圖象可知加e1-1,-/1時滿足題意，由三角函數的對稱性可知%=3,故D

正確.

故選：AD

【點睛】方法點睛：本題利用函數的“類周期"性質，作出函數草圖，根據數形結合及三角函

數的性質、函數與方程的關系一一判定選項即可.

三、填空題

12.(2024?北京平谷?模擬預測)函數〃x)=±+ln(l-x)的定義域是

【答案】(-吟-2)。(-2.1)

【分析】根據分數和對數有意義的條件即可求解.

/、1/、fx+2w0

【詳解】函數/(x)=—+ln(l-x)有意義的條件是?C，解得尤<1且g2,

x+2