復合函數以及嵌套函數的零點問題-2025年高考數學

復合善撤以及城杰篇劇的零點同題

---------------------------------------------------------------0°---------------------------------------------------------------

題型探析................................................................................1

題型01復合函數的應用..................................................................1

題型02內外自復合型，(/3)).....................................................................................................................4

題型03內外雙函數復合型f(g(c))..............................................................................................................6

題型04二次型因式分解型a[/3)『+">(￡)+c........................................................................................9

題型通關...............................................................................13

----------------------------------------------------------O(題型探析O

題型01復合函數的應用

【解題規律?提分快招】

1.復合函數定義:兩個或兩個以上的基本初等函數經過嵌套式復合成一個函數叫做復合函數。

復合函數形式：g=/[g(a：)]，令：力=g(c)，則g=/(g(c))轉化為y=/(￡)”=g(rr)其中t叫作中間變量.

g(%)叫作內層函數，沙=/(。叫作外層函數.

2.求復合函數單調性的步驟：

①確定函數的定義域

②將復合函數分解成兩個基本函數g=/[g(，)]分解成9==g(aj)

③分別確定這兩個函數在定義域的單調性

④再利用復合函數的“同增異減”來確定復合函數的單調性。

y=f(g(x))在(a,b)上的單調性如下表所示,簡記為“同增異減”

【典例訓練】

一、單選題

1.(24—25高三上?江蘇常州?期中)已知函數/(2)=loga(2—ac)(a>0,且a1).BxE[1,2],使得/(c)

>1成立,則實數a的取值范圍是()

A.B.[-1,1)U(1,2]C.(1,2]D,[1<2]

2.(24-25高三上?山西?期中)已知函數/(乃=a^-2x(a>0,且a21)在區間[4,7]上單調遞增，則實數

a的取值范圍為()?M

A.(0,y]U(1,4]B.["，十]U(1,+oo)

C.(。,"[久學+⑹D.(0,y]U(1,+<?)

3.(2024.河北.模擬預測)已知函數/(c)=ln(c+Va?2+1)+爐—2,若/(log3a)+/(logLa)4—4,則實數

a的取值范圍為()

A.[y,3]B.(0,y]u[3,+co)C.[y,l)U(l,3]D.(0,+oo)

(-azv?Q

4.(2024.湖北武漢.模擬預測)已知a>0且a/1,若函數/Q)=,'、、的值域為凡則

[loga(￡c+a)+l,x>a

a的取值范圍是()

A.(o,y]B.C.(1,2]D.[2,+8)

5.(24-25高三上?甘肅白銀?階段練習)在人工智能神經網絡理論中，根據不同的需要，設置不同激活神

經單元的函數，其中函數tanhQ)是比較常用的一種，其解析式為tanhQ)=之二二.關于函數

e^+e-^

tanhQ),則下列結論正確的是()

A.tanh(a?)的值域為_RB.tanhQ)是偶函數

C.tanh(c)不是周期函數D.tanh(rr)是單調遞減函數

c2i—4_1

6.(2024?陜西榆林?模擬預測)已知函數/(為=~甘+力一1在區間［a,切上的值域為若a+

ex~z

b=4,則?n+V的值為()

A.8B.6C.4D.2

題型02內外自復合型f(/Q))

【解題規律?提分快招］

對于嵌套型復合函數沙=/肉3)］的零點個數問題，求解思路如下：

⑴確定內層函數〃=gQ)和外層函數沙=/(〃)；

⑵確定外層函數沙=/(〃)的零點〃=%(i=1,2,3,....n)；

⑶確定直線〃=M(i=1,2,3,....九)與內層函數a=g(2；)圖象的交點個數分別為，aisg.

....，冊則函數沙=/［gQ)］的零點個數為的+a2+(Z3.........+an.

注意:抓住兩點：(1)轉化換元；(2)充分利用函數的圖象與性質.

【典例訓練】

一、單選題

，二:，若方程川⑺）=.有且僅有一根，則

7.（24—25高三上?廣東?期中）已知函數/Q）=

2",x<02

實數人的取值范圍是（）

A.（一,，。）B.[一年,。）C.[0,+00）D.（一爭+8）

2—3/>0

8.（24—25高三上?江蘇無錫?階段練習）已知函數/Q）='?，若函數g=/（/Q））—k有3個

[―N+1,rc<0

不同的零點，則實數卜的取值范圍是（）

A.（1,4）B.（1,4]C.[1,4）D.[1,4]

（?2/T*—3T0

9.（24—25高三上?福建泉州?階段練習）已知函數〃乃=,'，則方程/（/（為）=人的實

[log2ir—2,力>0

數解的個數至多是（）

A.5B.6C.7D.8

題型03內外雙函數復合型/SQ））

【典例訓練】

一、單選題

fQX-4-IJ?40

10.（24—25高三上?天津武清?階段練習）已知函數/（力）=（‘，9（2）=/2-。%+1,若夕=

U2—4/+3],3>0

g（/（M）有6個零點，則Q的取值范圍為（）

A.（2>）B.C.（3,+co）D.（1,3]

二、填空題

工d―2/rc>0

11.（24—25高三上?福建莆田?階段練習）已知函數/（為=2'，若函數0=/（/3）—小）+

21,x<0

!■有3個不同的零點，則實數m的取值范圍為.

12.（24—25高三上?福建寧德?期中）已知/（/）=ex—ax（a￡R）,g（x）=，若函數.=/（g（t））—a恰

有三個零點，則a的取值范圍為.

題型04二次型因式分解型a[f（x）f+kf（x）+c

【典例訓練】

一、單選題

13.（24-25高三上?江蘇南京?期中）已知/（力）——X1+2\x\，若關于力的方程［/（rr）］2+mf（x）+n—

恰好有三個互不相等的實根，則實數小的取值范圍為（）

A.m<—1B.m&UC.nzV—1或?n>0D.m=0或mV—1

14.（24-25高三上?福建泉州?階段練習）已知函數/（久）=磯,若關于x的方程嚴0）—

［一方一43+1,/40

2時儂）+a2—1=0有8個不相等的實數根,則實數a的取值范圍為（）

A.[2,4]B.[2,4)C.(2,4)D.(2,4]

15.（24—25高三上?寧夏石嘴山?階段練習）已知函數/（乃=衛，且關于力的方程"（為『+時（乃+小=

ex

0有3個不等實數根，則下列說法不正確的是（）

A.函數/（1）的最大值是eB.f（x）在（1,+8）上單調遞減

C.巾的取值范圍是（―4,0）D.小的取值范圍是（—一二,0）

\2'\e+e7

二、填空題

r

21nxX>Q

16.（24—25高三上?天津河西?期中）已知函數/（乃='若2產（宓）—3/（支）+1

sin（0：r+寺），一兀WrrWO,

=0恰有6個不同的實數解,則正實數3的取值范圍是.

一、填空題

17.（23-24高三上?上海靜安?開學考試）若函數/（0=（lg|X-m1,”>1在區間［0,+8）上嚴格增，則

［力2—2,

實數項的取值范圍為.

18.（24-25高三上?浙江?期中）若函數/（久）=ax+^,（a>0,且a/1）在區間（］,2）上單調遞增，則a的

取值范圍是

（zy>22T/T,0fP/70

19.（24—25高三上?廣東廣州?階段練習）已知函數/（乃=L,；、gQ）=」則

［//一4力+3,%>0l|ln磯①>0

函數八（力）=g（/Q））—1的零點個數為個.

20.（24-25高三上?廣東深圳?階段練習）已知函數/（力）=〈：，則函數g⑸=產（力）—3/Q）+

（Jin磯x>0

2零點的個數是.

21.（24—25高三上?天津?階段練習）設山是不為0的實數，已知函數"，若函

廿2-10立+24,x>2

數尸（①）=2[/（必）『—何（⑼有7個零點，則m的取值范圍是.

22.（24-25高三上?廣東惠州?階段練習）已知函數,為=。⑺=[/⑺

[lOg?（—Xj）XVIU

（2a+2）/O）+a2+2a有3個不同的零點如電,必3,則實數a的取值范圍是.

’—+4Q2

23.（24—25高三上?福建福州?階段練習）已知函數/⑸=/,，若對任意的[2,+8）,

〔2人司x<2

都存在唯一的（―8,2）,滿足/（電）=/（曲），則實數a的取值范圍是.

24.（24-25高三上?廣西?階段練習）設aCR,函數/（必）=<'，當a=l時，函數0=

（—x+ax,x<0

f（f（x））有個零點;若函數夕=/（/（/））恰有3個零點，則實數a的取值范圍為.

‘5—2f（心0）

25.（24—25高三上?天津?階段練習）已知函數〃乃=2,+3,、，若函數。（乃=產（乃—

[卻，"0）

（巾+2）70）|+2小有9個不同的零點，則實數m的取值范圍為

26.（2024.北京通州.三模）已知函數/（切=孱的值域是[—1,1],若"G0,々，則

他2一3」-3,n<x<mL27

館的取值范圍是.

（2x-l,xE[0,l）

27.（2023?湖南長沙?模擬預測）已知函數/Q）的定義域為[0,+8）,且/（宓）=log（3-T）,T6[1,2）,函

12/Q—22）,[2,+8）

z-1

數gGc）=/（c）—2M在區間[0,a]內的所有零點的和為16,則實數a的取值范圍是

復含占率4A或套占率的東JL網發

-----------------------°(KES°-----------------------

題型?#................................................................................1

題型01復合函數的應用..................................................................1

題型02內外白復合型f(/Q))...............................................................................................................4

題型03內外雙圖數復合型,3勸).........................................................6

題型04二次型因式分解型aHM+WQHc...................................................................................9

慝型通關

O(題型探析)

題型01復合函數的應用

01題規律?提分快招]

1.復合函數定義:兩個或兩個以上的基本初等函數經過嵌套式復合成一個函數叫做復合函數。

復合函數形式：g=/[g(a：)]，令：力=g(c)，則g=/(g(c))轉化為y=/?),、=g)其中t叫作中間變量.

9(力)叫作內層函數，y=/(t)叫作外層函數.

2.求復合函數單調性的步驟：

①確定函數的定義域

②將復合函數分解成兩個基本函數g=/[g(，)]分解成9=/(￡),￡=g(aj)

③分別確定這兩個函數在定義域的單調性

④再利用復合函數的“同增異減”來確定復合函數的單調性。

y=f(g⑸)在(a,b)上的單調性如下表所示,簡記為“同增異減”

【典例訓練】

一、單選題

1.(24—25高三上?江蘇常州?期中)已知函數/(立)=10go(2—ac)(a>0,且a1).BxE[1,2],使得/(c)

>1成立,則實數a的取值范圍是()

A.B.[-1,1)U(1,2]C.(1,2]D,[1<2]

【答案】A

【分析】根據復合函數的單調性以及函數的最值進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】夕=2—az在[1,2]單調遞減，.,.,=2時，2-2a>0,即a<l,

另外，0<a<l時，y=logat單調遞減，.?./(：!：)在[1,2]單調遞增，?M

9

=10^(2-2^>1,/.2-2a<a,：.a>—.

o

綜上所述，a的取值范圍是序1).

故選：A

2.(24-25高三上?山西?期中)已知函數/Q)=a金融(a>0,且a￥1)在區間[4,7]上單調遞增，則實數

a的取值范圍為()

A.(0,"]U(1,4]B.[",[]U(1,+co)

C.(0,y]U[^，+°°)D.(o,y]U(1,+co)

【答案】。

【分析】分兩種情況討論，當OVaVl和Q>1分別對函數的單調性進行討論.

【詳解】由題意可知，該函數為指數型復合函數，

當OVaVl時，令g(力)=a4—2力，對稱軸為力=工，則要使/(力)=aax2~2x(a>0,且aW1)在區間[4,7]上

單調遞增，則工>7,則0<aW5；

a7

當a>l時，要使/(力)=Qa/-23Q>0,且QW1)在區間[4,7]上單調遞增，

則--&4,則a>--，綜上，a>1.

a4

綜上，實數a的取值范圍為(O,：]U(l,+oo).

故選：D

3.(2024.河北.模擬預測)已知函數/(非)=ln(cc+Vs2+1)+爐一2,若/(log3a)+/(logj_a)W—4,則實數

a的取值范圍為()

A.[y,3]B.(0,|]”3,+8)C.[y,l)U(l,3]D.(0,+8)

【答案】D

【分析】構造g(i)=/(力)+2并研究其奇偶性和單調性，由/(log3a)+/pog±a^<-4等價于^(log3a)+g(

-log3a)40,結合對數的性質即可確定參數范圍.

【詳解】令g(力)=/(C)+2=ln(T+A/存+1)+x3,易知其定義域為R,

g(一=ln[—a;+^/(―re)24-1]—x3=1II(VT2+1—X)—=—ln(Vx2+l+x)—x3——g[x),

所以g(G為奇函數,且在(0,+oo)上g=6+Vrr2+1、y=In力、g=爐均遞增，

所以gQ)在(0,+oo)上單調遞增，且函數在7?上連續，故g(x)在定義域上遞增，

由y(log3a)+f(log.)<-4^>/(log3a)+2+/(-log3a)+240,

所以^(log3a)+^(—log3a)&0,顯然該式在aE(0,+oo)上恒成立，

所以aG(0,+oo).

故選：。

ax-a,

4.(2024.湖北武漢.模擬預測)已知a>0且aW1,若函數/(①)=的值域為五，則

logaQ+a)+l,x>a

a的取值范圍是()

A.(o,y]B.e,1)C.(1,2]D.2+8)

【答案】A

【分析】利用對數函數和指數函數的單調性，對a進行分類討論，可得答案.

(n^~ax<a

【詳解】?."3)=:、的值域為R,

UogJ>+a)+l,x>a

當a>1時，

則cWa,/(①)=ax~a為增函數，/(①)&/(a)=1,

而立>a時，，(①)=loga(c+a)+1為增函數，

此時，/(⑼>/(a)=loga2a+1=loga2+2>2,不符題意;

當0<a<1時，

則2Wa,/(2)=ax~a為減函數，/(rc)>/(a)=1,

而a;>a時，/(c)=loga(z+a)+1為減函數，

此時，/(c)</(a)=loga2a+1=loga2+2,

因為/(①)的值域為欠，當且僅當log“2+2>l時，滿足題意，

此時，log7>-1,則界>一1,整理得，ln2<-lna,解得aW《；

ma2

綜上，0<z~~時滿足題意.

故選：A

5.(24—25高三上?甘肅白銀?階段練習)在人工智能神經網絡理論中，根據不同的需要，設置不同激活神

經單元的函數，其中函數tanhQ)是比較常用的一種，其解析式為tanhQ)=更二^二.關于函數

e^+ex

tanhQ),則下列結論正確的是()

A.tanh(為)的值域為AB.tanhQ)是偶函數

C.tanh(力)不是周期函數D.tanhQ)是單調遞減函數

【答案】。

【分析】tanh(6)=1---—，求函數tanhQ)的值域可判斷A;由tanh(—力)與tanh(x)的關系可判斷

e2x+l

B;由e2|+1是增函數且恒為正數，知tanh(力)的單調性,可判斷。，進而可判斷。.

【詳解】由tanh(%)=ei-=1_2b=1——

6宓+e-*e^+e-^e2:r+l

因為e2*+l>l,所以OV2劣j]<2,可得一1<1---VI,即tanh(力)E(―1,1),故4項錯誤；

因為tanh(力)的定義域為凡且tanh(—力)=J————=—tanhQ),所以tanh(力)是奇函數，

ex+e~x

故B項錯誤；

tanhQ)=-=i——，因為e2。是增函數，e?。+1是增函數且恒為正數,所以-^―是減函數，

e^+e^e2x+le2x+l

故tanh(力)是增函數，故。項錯誤；

由。項可知函數tanh(x)在H上單調遞增，所以當TW0時，tanhQ+T)豐tanh(力)，所以函數tanh(a?)

不是周期函數，故。項正確.

故選：c.

c2oi—4_1

6.(2024.陜西榆林.模擬預測)已知函數/(①)=~9+工一1在區間［a,b］上的值域為［硯河］.若a+

ex

b=4,則7n+Al的值為()

A.8B.6C.4D.2

【答案】。

【分析】根據題意可得函數/(力)在［。向上遞增，利用a+b=4可得館+M的值.

_.,「2/一4—1

【詳解】解法1：因為/(力)=-------Fa;-1=ex~2—e2~x+x—1,

ex~2

所以/(4一力)+/(i)=2,

所以/(宏)關于(2,1)對稱.

因為a+b=4,函數/(力)在區間［a,b］上的值域為［m,M］，所以m+M=2.

Q2C—4_i

解法2:因為f⑸=----------\-x—l=ex~2—e2~x+x—1在［a,b］上遞增，

呼一2

所以7n+7W=/(a)+f(b)=/(4—a)+/(a)=2.

2/—4i

解法3:取a=0,b=4,因為f(x)=————----FT—1=ex~2—e2~x+x—1在［0,4］上遞增，

ex~2

所以nz+M=/(0)+/(4)=2.

故選D.

題型02內外自復合型f(73))

【解題規律?提分快招]

對于嵌套型復合函數y=/[gQ)]的零點個數問題，求解思路如下：

⑴確定內層函數a=g(c)和外層函數g=/(〃)；

⑵確定外層函數沙=/(〃)的零點〃=W(i=1,2,3,....n)；

⑶確定直線〃=%(i=1,2,3,....n)與內層函數〃=g(2)圖象的交點個數分別為，o1,&2,&3.

....,?則函數y=/[gQ)]的零點個數為的+電+(I3.........+an.

注意:抓住兩點：(1)轉化換元；(2)充分利用函數的圖象與性質.

【典例訓練】

一、單34s

7.(24-25高三上?廣東?期中)已知函數/(*)=[y+2，，若方程/(/(乃)=J有且僅有一根，則

x<0N

實數R的取值范圍是()

A.(-j,0)B.[-1,0)C,[0,+co)D.(一卷,+8)

【答案】A

【分析】分別討論k>0及％V0,根據/(，)的值，確定實數k的取值范圍.

【詳解】若后)0,則/(/(2))=<O/Q)=-1,

而當力>0時/(力)>2,當力V0時/(力)>0,所以于(x)=—1無解；

若k<0,則/(/(2))=]0/3)=-1或/(2)=—表，

其中于(x)——1有一根為一7"，則由題意知/(。)—~~^r無解，

k2k

而當220時/(M42,當cVO時/(2)VI,所以/Q)的值域為(-00,2],

從而--\>2,解得左〉一3,所以-與<&<0.

2k44

綜上，k的取值范圍是(號,0),

故選：A.

f2_o7>0

8.(24-25高三上?江蘇無錫?階段練習)已知函數/(2)=T'?，若函數g=/(/(/))—k有3個

[―re+1,rc<0

不同的零點,則實數A;的取值范圍是()

A.(1,4)B.(1,4]C.[1,4)D.[1,4]

【答案】B

【分析】先求出f(f(G)的解析式，畫出函數圖象，根據"=/(/(/))和g=k有3個不同的交點可得出.

【詳解】當a;<0時，/(力)>0,則/(/(/))=f(—x+l)=(—X+1)2—3=X2—2X—2,

當04力<〃^時，/(力)VO,

則/(/㈤)=/(爐一3)=-x2+4,

當rc>V3時，/(力)>0,/(/("))=f(x2—3)=>—662+6,

x2—2x—2,x<0

所以/(/(/))=<—/+4,0<a?<V3,

T4—6rr2+6,

當力〉V3時，y—xA—6〃+6=(x2—3)2—3,

因為方="-3單調遞增且亡>0時0="一3單調遞增，

所以g=(〃—3)2—3在[通，+8)單調遞增，且Umin=-3,

故畫出函數g=/(70))圖象如下圖所示，

函數y=f(J(x))—k有3個不同的零點等價于g=/(/(力))和。=左有3個不同的交點，

所以由圖象可得1VkW4.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于將函數g=/(/Q))—k有3個不同的零點轉化為"=/(/(/))和y=k有

3個不同的交點的分析，樹形結合簡化問題的難度.

rzy?2I-370

9.(24—25高三上?福建泉州?階段練習)已知函數/(，)=,'，則方程/(/(為)=k的實

[log2c—2,力>0

數解的個數至多是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根據復合方程問題,換元力=/(，)，作函數圖象分別看內外層分別討論方程/(/(，))=k根的個數情

況，即可得答案.

【詳解】設力=/(2),則/(/(c))=%化為/⑴=k,

x2+2x—3,cWO

又/(土)=

log2T—2,力>0'

所以f(0)=-3=/(-2)=//)J(-L)=-4=哈),

作出函數/(力)的大致圖象，如圖

由圖可得，當k>—3時，/⑴=k有兩個根力iV—2,力2>],

即t=/(a?)<—2或t=/(力)>],此時方程/(/(力))=%最多有5個根；

當一4Vk4-3時，f(t)—k有三個根一2&t\V-1,—1V大2&。，34,

即一24力=y(rc)<—1或一1Vt=f(x)<0或1<力=f(x),

此時方程/(/(c))=A;最多有6個根；

當k=-4時，/(力)=k有兩個根ti=-1,%2=?,即/(2)=-1或/(C)=；,

此時方程/(/(2))=&有4個根；

當k<—4時,/(t)=k有一個根0ctV：,即0</(x)<.,

此時方程/(/(乃)=A;有2個根；

綜上，方程/(/(2))=用的實數解的個數至多是6個.

故選:B.

【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用

數形結合的方法求解.

題型03內外雙函數復合型fS3))

【典例訓練】

一、單選題

QX-4-XX<0

10.(24—25高三上?天津武清?階段練習)已知函數/(%)=((5.，9(2)=/2—。力+1,若夕=

[|力一4力+3],力>0

g(/3))有6個零點，則Q的取值范圍為()

B.(y-y-)C.⑶+8)D.(-|-(3]

【答案】B

【分析】作出函數圖象，進行分析，g(c)=x2—ax+1最多有兩個零點，根據/(力)最多4個零點，用數形結合

討論各種情況，根據一元二次方程根的分布即可得出結果.

【詳解】由題可得函數圖象，當k=0或2VkV3時，/(%)=k有兩個解；

當0VkV1時，/(%)=k有4個解;

當時，/(/)=k有3個解；

當k>3時，/(力)=%有1個解；

因為g(x)=x2—ax1=0最多有兩個解.

因此，要使g=g(/(力))有6個零點，則g(x)="—QN+1=0有兩個解，設為k19k2.

則存在下列幾種情況：

/(X)=自有2個解,/(x)=的有4個解，即自=0或2V自V3,0Vk2Vl，顯然g(0)*0,

5(0)>01>0

5(1)<0即；一，解得建5_10

則此時應滿足<g⑵"

5—2a<0

,5(3)>010—3a>0

/3)=自有3個解,/(°)=用有3個解,設自〈的即14自〈2,1〈飽42,

<7(1)=2—a>0

g(2)=5—2a>0

則應滿足，，無解，舍去,

△=a2—4>0

l<f<2

綜上所述，a的取值范圍為信用.

【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法:

⑴直接法:直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

(2)分離參數法:先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

(3)數形結合法:先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用

數形結合的方法求解.

二、填空題

工/2—23力＞0

11.(24—25高三上?福建莆田?階段練習)已知函數/(為=9'，若函數"=/(/(*)—小)+

2X,x＜0

!■有3個不同的零點，則實數m的取值范圍為.

【答案】{―3}U[—2,0)

【分析】令力=/(/)—小,根據函數解析式以及零點解得力=1或力=3,分析可知y=/(力)與y=m+\、y=

館+3共有3個不同的交點，結合圖象分析求解即可.

【詳解】令力=/(%)一＞,則y=fS+y=0,

若力＞0,可得[■力2—2力+,=o,解得力=1或力=3;

若力＜0,可得2。+等＞得＞0,無解；

綜上所述：/(力)—m=l或/(力)-771=3,即/(力)=771+1或/(力)=771+3,

由題意可知：y=f(x)與g=7n+l、g=?n+3共有3個不同的交點，

作出n=f(oc)的圖象，如圖所示，

顯夕戈7n+1＜館+3可得(山+1=_21-2＜m+l＜l

''十十」仔[―2＜小+3＜1雙Vn+3'l'

解得nz=—3或一2V0,所以實數nz的取值范圍為{-3}U[—2,0).

故答案為：{—3}U[—2,0).

12.(24—25高三上?福建寧德?期中)已知/(比)=ex—ax(aER),g(x)=，若函數:=/(g(t))—a恰

有三個零點，則a的取值范圍為.

【答案】

【分析】先通過導數研究g(c)的單調性與最值，結合換元法將問題化為d=a(t+l)的零點問題，根據導數

的幾何意義計算參數即可.

【詳解】設g(c)=t，則/(t)=a,g'(x)=e1——野^=0,得rz：=e,

x2

當力e(0,e)O(/)＞0,g(力)單調遞增，

當力e(e,+00)0(力)v0,g(%)單調遞減,

當力二e時，函數g(力)取得最大值1,

如圖1,畫出函數t=g{x)的圖象，

由f（t）=Q，即二一威=Q，則e，=o1（%+l）,g=a（力+1）恒過點（—1,0）,

如圖，畫出函數g=e”的圖象,設過點（一1,0）的切線與g=e%相切于點（加小）,

則［=e"。,得/o=0,即切點（0,1）,所以切線方程為y-x-\-\,

力o+1

如圖2,則y=a（t+l）與g=e%有2個交點，a>1,

如圖可知，若函數p=/（g（力））+a恰有三個零點，則一1<力1<0,0V力2V1,

則6/>0（1+1）,所以。〈5，

綜上可知，1VQV.

故答案為：（l,5）

【點睛】思路點睛：對于復合函數的零點問題，通常利用換元法與數形結合的思想.

題型04二次型因式分解型a［f（x）T+VQ）+c

【典例訓練】

一、單選題

13.（24-25高三上?江蘇南京?期中）已知/（力）=—x2+2\x\，若關于力的方程［/（x）］2+mf（x）+n—

0（nz,7zeR）恰好有三個互不相等的實根，則實數m的取值范圍為（）

A.m<—1B.m&UC.mV—1或nz>0D.7n=0或?nV—1

【答案】。

【分析】分方程廿+m1+九=0的兩根是否相等，結合/（劣）的函數圖象討論即可.

【詳解】記方程/+沅+n=0的兩根為方1也（右力2），

當打W力2時，［/（力）『+^+口=0（館,九ER）恰好有三個互不相等的實根，

等價于/（力）與^=力1和沙=力2共有三個不同的交點，

由圖可知，此時有力1=0也>1,

9

71=力止2=0

—m=/；i+力2=力2>1,得館V—1；

{m2—4n>0

當力1=力2時，，[/(劣)了+時(力)+九=0(m,?ie_R)恰好有三個互不相等的實根,

等價于/(x)與g=11有三個不同的交點，

n=力止2=0

—772=力1+力=20，得m=0.

{m2-4n=0

綜上，實數m的取值范圍為M=0或772V—1.

故選：。

【點睛】方法點睛：一般地，判斷形如/(gQ))的嵌套函數的零點個數或根據函數的零點求參數的取值范圍

時，可采用換元法，先令gQ)=力，求解當f(t)=0時力的值，然后根據函數g(x)的圖象及性質確定當g(力)=

t時，x的值的個數即為/(g(6))的零點個數.解答時注意數形結合，側重對函數/(力)與gQ)圖象性質的分

析.

14.(24-25高三上.福建泉州.階段練習)已知函數小)=匕二+],7>>Q

，若關于工的方程產(為一

力40

24Q)+a2—1=0有8個不相等的實數根,則實數a的取值范圍為()

A.[2,4]B.[2,4)C.(2,4)D.(2,4]

【答案】B

【分析】設/(，)=￡，將方程產⑸—2a/(a?)+a?—1=0有8個不相等的實數根,轉化為關于t的方程乎一

2at+/—1=0有兩個不相等的實根1V5,設g(t)=￡2—2at+a2—1,根據二次函數圖象的性質,

g⑴川

)〉?，解不等式組即可求出實數的取值范圍.

得出k5a

l<a<5

4=(-2a)2-4(a2-l)>0

【詳解】作出f{x}的圖象如下,

?M

設/(2)=t,則關于工的方程產(2)—2af(x)+4—1=0化為t2—2at+a2—1=0,

觀察圖象知，直線y