高考數學總復習《二次函數及指、對、塞數函數的問題的探究》專項

測試卷（含答案）

學校:.,班級:.姓名:考號:

真題在線

1、（2023年新課標全國回卷）1.設函數/（力=2小甸在區間（0,1）上單調遞減，貝U〃的取值范圍是（）

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+8)

2

2、（2023年全國甲卷數學（文））5.已知函數〃x）=e-g）.記。=/,6=㈤2，則（）

27IJ

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

3、【2022年全國甲卷】已知9巾=10,a=IO771—=8771—9,則（

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

4、（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測

量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據￡和小數記錄表的數據V的滿足

L=5+lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據為（)

（啊。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5、（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）設a=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=A/L04-1.則

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

6、（2020北京卷】已知函數/（%）=2%—%—1,則不等式/（％）＞。的解集是)

A.B.-co,-l)U(l,+°o)c.(0,1)D.(~°O,0)U(l，+8)

7、(2020全國I理12)若2"+log2a=4"+210g4人，貝U)

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

8、(2020全國H文12理11)若2"-2>則)

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.Inj.r-y|>0D.ln|x-y|<0

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9、（2020全國III文理4）Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域.有學者根據公布數據

K

建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數/（/）的單位：天）的Logisic模型：/（?）=-023（一53）,其中K

為最大確診病例數.當/，*）=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則f*約為（lnl9M3）（）

A.60B.63c.66D.69

2

10、(2020全國III文10)設〃=log32,b=log53,C=y,則()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

11、(2020全國III理12)已知55<8,134V85.設〃=log53,力=log85,c=logi38,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

題［型］痢完

題組一指、對數的比較大小

1-1、（2022?湖南婁底?高三期末）若a=log?石，b=2log4"，c=24;則a,b,c的大小關系為（）.

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

1-2、（2023?安徽銅陵?統考三模）已知。=叫75,Z?=log97,c=logn9,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

1-3、（2023?吉林白山?統考三模）設〃=10853,、=「,。=108169108278,則的大小關系為（）

A.c<a<bB.b<a<c

C.c<b<aD.b<c<a

1-4、（2023?江蘇徐州?徐州市第七中學校考一模）已知。=&，b=2冊，?=咚（其中e為自然常數），

則。、b、c的大小關系為（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

題組二一元二次、指、對、暮數的運算與性質

2-1、（2023?安徽安慶?校考一模）函數〃x）=log22x與g（x）=2-1］在同一直角坐標系下的圖象大致是（）

A.B.

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c.D.

2-1、（2022年深圳市高三月考模擬試卷）“幕函數/（%）=（病+根在（0,+”）上為增函數”是“函數

晨司=2一相2.2-、為奇函數,，的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

2\x<l

2-3、.（2022年閩江學院附中高三月考模擬試卷）已知函數〃x）=log]%%〉]，則函數y=41-x）的

、2

2-4、（2022?江蘇通州?高三期末）函數y=印廣泛應用于數論、函數繪圖和計算機領域，其中印為不超過實

數尤的最大整數，例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函數於）=[log詞,則11）+人3）+八5）+…+式21。+1）=

（）

A.4097B.4107C.5119D.5129

題組三指、對數函數的情景問題

3-1、（2023?江蘇?統考三模）星載激光束與潛艇通信傳輸中會發生信號能量衰減.已知一星載激光通信系統

在近海水下某深度的能量估算公式為4=1與x10々，其中E尸是激光器輸出的單脈沖能量，切是水下潛艇

接收到的光脈沖能量，s為光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積（單位：km2,光斑面積與衛星高度有關）.若

水下潛艇光學天線接收到信號能量衰減T滿足「=10館爭（單位：dB）.當衛星達到一定高度時，該激光

第3頁共22頁

器光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積為75km2,則此時「大小約為（）（參考數據：lg2=0.301）

A.-76.02B.-83.98C.-93.01D.-96.02

3-2、（2023,福建漳州?統考三模）英國物理學家和數學家牛頓曾提出物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型.

如果物體的初始溫度是4,環境溫度是％,則經過fmin物體的溫度e將滿足e=%+（a-q）e”,其中上是

一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數.現有9（FC的物體，若放在10P的空氣中冷卻，經過lOmin物

體的溫度為5（rc,則若使物體的溫度為2（rc,需要冷卻（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

3-3、（2023?安徽合肥?校聯考三模）"學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收"（明?《增廣賢

文》）是勉勵人們專心學習的.如果每天的"進步”率都是1%,那么一年后是0+1%產5=1.01365；如果每天的

“退步”率都是1%,那么一年后是a-l%嚴=0.99365.一年后“進步”的是“退步”的匕鼻=（匕巴嚴。1481倍.

0.993650.99

如果每天的"進步"率和"退步"率都是20%,那么大約經過（）天后“進步"的是"退步"的一萬倍.

（lg2?0.3010,lg3?0.4771）

A.20B.21C.22D.23

3-4、（2022?山東棗莊?高三期末）良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區瓶窯鎮、良渚街道境內.1936年浙江省立

西湖博物館的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚鎮一帶發現.這里的巨型城址，面積近63。萬平方米，

包括古城、水壩和多處高等級建筑.國際學術界曾長期認為中華文明只始于距今3500年前后的殷商時期，

2019年7月6日，中國良渚古城遺址被列入世界遺產名錄，這意味著中國文明起源形成于距今五千年前，

終于得到了國際承認！2010年，考古學家對良渚古城水利系統中一條水壩的建筑材料（草裹泥）上提取的

草莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%.已知經過龍年后，碳14的殘

余量y=k（l-pY（keR,k>O,O<p<l;x..O）,碳14的半衰期為5730年，則以此推斷此水壩大概的建成年代

是（）.（參考數據：log20.552?-0.8573）

A.公元前2893年B.公元前2903年

C.公元前2913年D.公元前2923年

題組四指對數函數的綜合性問題

4-1、（2023?江蘇南京?南京市秦淮中學校考模擬預測）設函數〃x）=l°g!X,下列四個命題正確的是（）

2

A.函數川x|）為偶函數

B.若〃"）=/他其中a>0,b>0,a'b,則ab=l

C.函數/（-爐+2*在（1,3）上為單調遞增函數

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D.若0<a<l,則V(l+a)|<|"l-a)|

4-2、（2022年河北高三月考模擬試卷）已知函數/（x）=ln(J(j_l)2+]-x+1),g(x)=；，則下列

說法正確的是（）

A./（無）是奇函數

B.g（x）的圖象關于點（1,2）對稱

C.若函數尸（幻=/（尤）+g（尤）在xe[l—肛1+詞上的最大值、最小值分別為/、N,則4+N=4

D.若函數尸（%）=/（尤）+g。）滿足尸（a）+F（—2a+1）>4,則實數。的取值范圍是（—2,+8）

固[提升

1、（2023.江蘇南通?統考一模）己知函數〃尤）=[：：的；一"）'龍（1,則〃〃-2））=__________.

[2,%>1

2、（2022?江蘇海門?高三期末）已知Q=log328/=*°2,c=sinL則a,2c的大小關系是（）

A.c〈b〈aB.c〈a〈bC.a〈b〈cD.a〈c〈b

3、（淮安、南通部分學校2023-2024學年高三上學期11月期中監測數學試題）咖啡適度飲用可以提神醒腦、

消除疲勞，讓人精神振奮.沖咖啡對水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度

是。空氣的溫度是％℃,經過，分鐘后物體的溫度為滿足e=q+（a—q）e4°8’.研究表明，咖

啡的最佳飲用口感會出現在65c.現有一杯85℃的熱水用來沖咖啡，經測量室溫為25C,那么為了獲得

最佳飲用口感，從沖咖啡開始大約需要等待分鐘.（結果保留整數）（參考數據：

ln2?0.7,ln3?l.l,lnll?2.4）

4.（2023?江蘇,統考三模）已知log?"=log?6,log2b=log3c（b>l），則I（）

A.2a+1>2b+2cB.2b+1>2a+2c

C.210g5b<logsa+log4cD.log5b>log4a+log5c

5、（2023?黑龍江牡丹江?牡丹江市第三高級中學校考三模）血氧飽和度是呼吸循環的重要生理參數.人體的

血氧飽和度正常范圍是95%~100%,當血氧飽和度低于90%時，需要吸氧治療，在環境模擬實驗室的某段

時間內，可以用指數模型：S?）=S°e”描述血氧飽和度S⑺隨給氧時間/（單位：時）的變化規律，其中S。

為初始血氧飽和度,K為參數.已知S。=60%,給氧1小時后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達到90%,

則至少還需要給氧時間（單位：時）為（）

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（精確到0.1，參考數據：hl2。0.69,In3。1.10）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

6、（2022.山東泰安?高三期末）若函數/（x）="-尸（。＞0且aH1）在R上為減函數，則函數y=logo（|x|-l）

的圖象可以是（）

7、（2023?全國校聯考三模）已知”“是定義在區上的奇函數,且滿足“2-司-"2+力=0,又當彳目-2,0）

（1、

時，/（x）=2r+2,貝廳log,—=.

參考答案

1、（2023年新課標全國回卷）1.設函數/（*）=2中旬在區間（0,1）上單調遞減，則”的取值范圍是（）

A.（Y,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+8）

【答案】D

【詳解】函數y=2，R上單調遞增，而函數〃元）=22“）在區間（0,1）上單調遞減，

2

則有函數^=》（》-°）=（彳-@）2-幺在區間（0,1）上單調遞減，因此解得。22,

242

所以。的取值范圍是[2,+oo）.

故選：D

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2、（2023年全國甲卷數學（文））5.已知函數/（力=。3）2.記〃=/三,b=f千,c=f三，則（）

I2JI2JI2J

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【詳解】令g（x）=-（%T）2,則g（X）開口向下，對稱軸為1=1,

而（遙+后-42=9+6后-16=6后-7>0,

而［“痛1fi指+04A/6A/3

所以----1-1----=------------>0,g0Np^——1>1-2L_

2（2）2222

由二次函數性質知g（2）<g吟）,

因為,FFI（A/6+A/2）2—42=8+4A/3—16=4^/3—8=4（\/3—2）<0,

即日-1<1-孝，所以g（日）>g（￥）,

綜上'g《）<g（§<g（#）,

又>=6'為增函數，故a<c<>，即力>C>4.

故選：A.

3、【2022年全國甲卷】已知9帆=10,a=10機一ll,b=8機一9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

2

【解析】由9m=10可得爪=log910=置>1，而lg91gli<（吧羅?=（等丫<1=（IglO）,所以詈>

黑，即?n>lglL所以a=107n-11>10311—11=0.

又lg81gio<（38膏。）2=（啜2<（幽2,所以盤>需，gpiog89>m,

所以b=8m—9<8MgB9-9=0.綜上，a>0>b.

故選：A.

4、（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測

量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V的滿足

L=5+lgV.己知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據為（）

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(<0?1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】由L=5+lgV,當L=4.9時，lgV=-0」，

11

則v=IO-01=10*0q0.8.

1.259

故選：c.

5、（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）設a=21nl.01,/?=lnl.O2,0=而正—1.則（

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=/7,

所以

下面比較。與風。的大小關系.

t己/(x)=21n(l+x)-Vl+4x+l貝!]/(。)=0,=22

1+xJl+4x(1+x)J1+4%

由于1+4龍一(1+尤)2-2x-x2=%(2—％)

所以當0a<2時，l+4x—(l+x)2>0,即J1+4%>(1+尤)，/'(十)>0,

所以〃龍）在［。，2］上單調遞增,

所以/(0.01)>/(O)=0,即21nl.01>—1，即a>c；

22(Vl+4x-l-2x

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,則g(0)=O,g，(%)=2

l+2xJ'l+4x(1+2x)Jl+4%

由于1+4x—(1+2x)~=—4x?,在x>0時,1+4x—(1+2x)<0.

所以g'G)<0,即函數g(x)在[0,+8)上單調遞減,所以g(0.01)<g(0)=0,BPIn1,02<T，即b<c;

綜上，b<c<a,

故選：B.

第8頁共22頁

6、(2020北京卷】已知函數/(X)=2'-X-1,則不等式/(x)>0的解集是()

A.(—1,1)B.(―co,—1)U(1,+8)C.(0,1)D.(^o,0)U(l,+8)

【答案】C

【解析】不等式/(X)>0化為2、>x+l,在同一直角坐標系下作出y=2x,y=x+l的圖象(如圖)，得不等式

/。)>0的解集是(0,1),故選C.

7、(2020全國I理12)若2"+log2a=4"+210g涉，則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

2b

【解析】設/(x)=2'+log2X,則f(x)為增函數，???2a+log,。=4"+2log4b=2+log2b,

2b2b2fe

：./(?)-f(2b)=2°+log,a-(2+log22b)=2+log2b-(2+log22Z?)=log21=-l<0,

/.于(a)</(2Z?),a<2b.

222b22b

???f(a)~f(b)=2“+log2a-(2*+log2b)=2+log2b—(2廬+log2b)=2-2^-log,b，

當1=1時,/(a)—/(/)=2〉0,此時/(a)>/(/),有口>/；當b=2時，/(a)-/(Z?2)=-1<0,

此時/(a)</(/),有，C、D錯誤，故選B.

8、(2020全國II文12理11)若2*-2了<3T-37，則()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

【解析】由2*—2><3T—37得：2*-3-*<2>—3->，令/。)=2'-3—'，

?.?丁=2工為R上的增函數，>=3-工為R上的減函數，.,./(1)為H上的增函數，二x<y,

Qy-x>0,y-x+l>l,.\ln(_y-x+l)>0,則A正確，B錯誤；Qk-y|與1的大小不確定，故

CD無法確定，故選A.

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9、（2020全國III文理4）Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域.有學者根據公布數據

K

建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數a的單位：天）的Logisic模型：/?）=—《23（一53），其

中K為最大確診病例數.當/，*）=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則/*約為（Ini9n3）（

A.60B.63c.66D.69

【答案】c

【解析】???()=J…?.?W)=i+e2f=895K,則戶…=9

：.0.23(f-53)=lnl9?3,解得/*它上-+53土66,故選C.

170.23

2

10>(2020全國111文10)設。=10832,。=10853,。=1,則)

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

3325==c

【解析】因為口=g1。8323＜；k）g39=g=c,b=^°g5＞f,

所以a＜c＜》，故選：A.

11、(2020全國III理12)己知55<8=134<85.設口=10853,/?=10885,。=108138,貝!!()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】解法一：由題意可知。、b、ce(O,l),

t/_log53^1g3lg81_fIg3+lg8V=(Ig3+lg8Y=(lg24V<

2

blog85lg5lg5(lg5)12J121g5)^lg25j'

4

由〃=log85,得歙=5，由55<8’，得85”<8匕可得

4

由C=logi38,得13c=8，由134<85,得134<135°,「.5。>4,可得c〉］.

綜上所述，a<b<c.故選A.

解法二易知由廣修|=心38＜（仁產8）、電富廣"知

bc4e45445

a<b.,.,Z?=logg5,c=log138,：，S=5>13=8,即8%=55,13=8XV5<8-13<8>

：,134C=84>55=85fe>134*，即T<c.綜上所述：a<b<c,故選A.

第10頁共22頁

題組一指、對數的比較大小

1-1、（2022?湖南婁底?高三期末）若￡1=104百,c=2±則。，b,c的大小關系為（）.

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】由題意：.=2*=2%孝=gc=/=顯,故b>c.

22

又評<2；20<3，即26<3，所以k^Z點<log43,BP<log43,

因為a=log2>/3=log43,所以c<〃.

因為28=256>243=35,S^log23<|<^,即評〉3,

所以log42白>log43,所以乎>k）g43,

所以&>a,所以6>4>C,

故選：B.

1-2、（2023?安徽銅陵?統考三模）已知a=log75,&=log97,c=logu9,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

【答案】A

因為log75m7聿-旦…

【詳解】解:

lg7lg9Ig71g9

又因為1g51g9W，g5；lg9）=［等）<［等）=lg27;

^fl^log75-logg7<0,即q<6；

lg7lg9lg71gll-lg29

S^log7-log9=

9nlg9IglTlglllg9

又因為等:〈管

所以log97-log“9<0,即6<C,

所以。<b<c,

故選：A

1-3>（2023?吉林白山?統考三模）設。=10853,6=0,。=逆169-108278,則"c的大小關系為（）

第11頁共22頁

A.c<a<bB.b<a<c

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

11

【詳解】a=log53>log5A/5=1,Z?=e=-<|,c=log1691og278=-^-^-=|^|-|^|=|

2e2lgl6lg2741g231g32

所以bVC<Q.

故選：D.

1-4、(2023?江蘇徐州?徐州市第七中學校考一模)已知。=1nb=20c=^~(其中e為自然常數),

則〃、b、。的大小關系為()

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

i4

1n2

e2,ec=+構造函數/(x)=￡(x>0),利用導數得/(X)在(0,1)上

【分析】將。，"C變形，得。=J°］，

In2_X

23

為減函數，在(1,+⑹上為增函數，根據單調性可得〃g)>/(ln2),/(ln4)>/(1),再根據/(In2)=/(In4)可

得答案.

1［Cc］n2____—

11Ze_2oIAe3

［詳解］〃=啟=不=而=而，6=2五=T，c=也=W，

—inz_4—

223

設〃x)=M(x>0),則:(x)=e*.無je*

XXX

令廣㈤>0,得X>1,令/'(x)<0,得0<尤<1,

所以一(X)在(0,1)上為減函數，在(1,")上為增函數，

1e?In2

因為0<—<ln2<l,所以>/(ln2),即6=不〉J=〃

2_LIn2

2

224

因為8〉e2,所以2>/，所以1口2〉彳，所以ln4〉彳〉1,

/X33

所以/(In4)>/(1),即/(In4)>/(1)=c,

ln442

因為/(In4)=-e----=--------=-~—=a,所以4>0,

In42In2In2

綜上所述：b>a>c.

第12頁共22頁

故選：D.

題組二一元二次、指、對、基數的運算與性質

2-1、（2023?安徽安慶?校考一模）函數〃x）=log22x與g（x）=2j；j在同一直角坐標系下的圖象大致是（）

0/12%

【答案】B

【分析】根據/⑴=1，g（O）=l,結合對數函數與指數函數的單調性判斷即可.

【詳解】???/■（x）=log22元=l+log2^,為定義域上的單調遞增函數

=故A不成立;

?.?g（x）=2-1g],為定義域上的單調遞增函數,

故C和D不成立.

故選：B.

2-k（2022年深圳市高三月考模擬試卷）“幕函數/（X）=（療+"L1）x'n在（0,+8）上為增函數”是“函數

g（x）=2'—m2為奇函數”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【詳解】要使函數/（%）=（加+7徨-1."是暴函數，且在（0,+8）上為增函數，

第13頁共22頁

-2

-fYi+772—2—1

則《，解得：m-1,當根=1時，g(x)=2x-2Tx,x￡R,

則g(—x)=2——2工=—(2，—2-*)=—g(x),所以函數g(x)為奇函數，即充分性成立；

“函數g(x)=2*—m2-2T為奇函數”，

貝!Ig(x)=-g(-x),即2X-nr-Tx=-(2-m2-2X)=m2-2V-2T,

解得：m=±l,故必要性不成立，

故選：A.

2\x<l

2-3、.(2022年閩江學院附中高三月考模擬試卷)已知函數〃x)=log]%%〉]，則函數y=41-x)的

大致圖象是()

【答案】C

【解析】

【詳解】當1—xVLxNO時，y=f（l-x）=21-x,此時21T>0；

當1—x>l,x<0時，y=/（l—力=1。8』（1一九），此時log!。—九）<0.

22

f2'"\x>0

所以y=/（l—x）=log/i-x）,x<0，

所以C選項的圖象符合.

故選：C

第14頁共22頁

2-4、(2022?江蘇通州?高三期末)函數y=印廣泛應用于數論、函數繪圖和計算機領域，其中國為不超過實

數x的最大整數，例如：[―2.1]=—3,[3.1]=3.已知函數式x)=[log2%],則共1)+八3)+八5)+…+式21。+1)=

)

A.4097B.4107C.5119D.5129

【答案】B

【解析】由題意2'+1WXW2'M-1時，f(x)=i,ZGN*,在⑵+1,2川一1]上奇數共有2T個,

/(1)=0,〃3)=1,

/(1)+/(3)+/(5)+---+/(2100+1)=0+1+2X2+3X22+..-+9X28+10,

設7=1+2x2+3x22+…+9x28,則2T=2+2x2?+3x23+…+8x2'+9x29,

相減得：-T=l+2+22+---+28-9x29=29-l-9x29=-l-8x29,

所以7=1+8x29=4097,

所以/(D+/(3)+/(5)+…+/(210+1)=4097+10=4107.

故選：B.

題組三指、對數函數的情景問題

3-1、(2023?江蘇?統考三模)星載激光束與潛艇通信傳輸中會發生信號能量衰減.已知一星載激光通信系統

在近海水下某深度的能量估算公式為耳=?EpX10-7,其中砂是激光器輸出的單脈沖能量，Er是水下潛艇

接收到的光脈沖能量，s為光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積(單位：km2,光斑面積與衛星高度有關).若

水下潛艇光學天線接收到信號能量衰減T滿足「=1。3去(單位：dB).當衛星達到一定高度時，該激光

器光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積為75km2,則此時「大小約為()(參考數據：lg2=0,301)

A.-76.02B.-83.98C.-93.01D.-96.02

【答案】B

【詳解】因為耳二下與乂10-7,該激光器光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積為75km2,

3

所以‘-=3x1。-7=—xlO7=4x10-9

iEPS75

貝I]r=101g4xl0-9=101g4-90=10x0.602-90=-83.98,

故選：B.

3-2、(2023?福建漳州?統考三模)英國物理學家和數學家牛頓曾提出物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型.

如果物體的初始溫度是4,環境溫度是為，則經過/min物體的溫度e將滿足e=4+(a-q)e",其中％是

一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數.現有9CTC的物體，若放在10°C的空氣中冷卻，經過lOmin物

體的溫度為5(FC,則若使物體的溫度為2(TC,需要冷卻()

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A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

【答案】C

【詳解】由題意得：5O=lO+（9O-lO）e-lo\即eT0*=g,.?"='ln2,

10

.-.6>=6?）+（<91-6>0）e，

由20=10+（90-10）得：e10=g,即-Rln2=In"=-31n2,解得：1=30,

二.若使物體的溫度為2（yc,需要冷卻30min.

故選：C.

3-3,（2023?安徽合肥?校聯考三模）"學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收"（明?《增廣賢

文》）是勉勵人們專心學習的.如果每天的"進步"率都是1%,那么一年后是a+l%）365=L0F65；如果每天的

“退步”率都是1%,那么一年后是（1-1%嚴=0.99365.一年后"進步"的是"退步"的"^=（31嚴”1481倍.

0.99365099

如果每天的"進步"率和"退步”率都是20%,那么大約經過（）天后“進步"的是"退步"的一萬倍.

（lg2?0.3010,lg3?0.4771）

A.20B.21C.22D.23

【答案】D

【詳解】設經過x天"進步"的值是"退步"的值的10000倍，

貝I]10000x（1-0.2），=1.2,，

19

即（一），=10000,

.IglOOOO444

x=log.10000=?,丁=--=-----------x---------?23

92

裝IgL近3]g3-lg20.1761

0.82

故選：D.

3-4,（2022?山東棗莊.高三期末）良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區瓶窯鎮、良渚街道境內.1936年浙江省立

西湖博物館的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚鎮一帶發現.這里的巨型城址，面積近630萬平方米，

包括古城、水壩和多處高等級建筑.國際學術界曾長期認為中華文明只始于距今3500年前后的殷商時期，

2019年7月6日，中國良渚古城遺址被列入世界遺產名錄，這意味著中國文明起源形成于距今五千年前，

終于得到了國際承認！2010年，考古學家對良渚古城水利系統中一條水壩的建筑材料（草裹泥）上提取的

草莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%.已知經過尤年后，碳14的殘

余量y=-1-p『（左eR,k>0,0<p<1;工.0）,碳14的半衰期為5730年,則以此推斷此水壩大概的建成年代

是（）.（參考數據：log20.552?-0.8573）

A.公元前2893年B.公元前2903年

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C.公元前2913年D.公元前2923年

【答案】B

1X

【解析】???碳14的半衰期為5730年，.?.2=封1_°嚴=（1_°）=出嬴=》=廣，當y=55.2%%時,

(1A?73OX

=log10.552=-log0.552,x=-5730log0.552?4912,

k\-\=55.2%左,22???2010年之前的4912

年是公元前2902年，以此推斷此水壩大概的建成年代是公元前2903年.

故選：B.

題組四指對數函數的綜合性問題

4-1、（2023?江蘇南京?南京市秦淮中學校考模擬預測）設函數/（力=1°81工，下列四個命題正確的是（）

2

A.函數/（N）為偶函數

B.若/⑷=，（留，其中。＞0,b＞0,a'b,則而=[

C.函數/'（-f+Zx）在（1,3）上為單調遞增函數

D.若。則+

【答案】ABD

【分析】A選項，由川-尤|）=/（胤，即可得出了（國）為偶函數；

3選項，由已知可得〃。）=|/伍）|=-/伍），利用對數的運算性質可得：bgjbn。，可得而=1；

C選項，由-尤2+2尤＞o,解出可得函數的定義域為（0,2）,即可判斷出正誤；

°選項，由0<a<1,可得l