專題6.12解三角形中的最值與范圍必考七類問題【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【類型1三角形面積的最值或范圍問題】 1【類型2三角形邊長的最值或范圍問題】 6【類型3三角形周長的最值或范圍問題】 9【類型4三角形的角的最值或范圍問題】 12【類型5利用基本不等式求最值（范圍）】 16【類型6轉化為函數求最值（范圍）】 19【類型7坐標法求最值（范圍）】 24【知識點1三角形中的最值與范圍問題及其解題策略】1．三角形中的最值（范圍）問題的常見解題方法：(1)利用正、余弦定理結合三角形中的不等關系求最值（范圍）；(2)利用基本不等式求最值（范圍）；(3)轉化為三角函數求最值（范圍）；(4)轉化為其他函數求最值（范圍）；(5)坐標法求最值（范圍）.2．三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的邊長、周長或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運用．解題時要結合正弦定理和余弦定理實現邊角互化，再結合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究其最值（范圍）．(2)轉化為三角函數求最值（范圍）問題的解題策略三角形中最值(范圍)問題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍.(3)坐標法求最值（范圍）求最值（范圍）問題的解題策略“坐標法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時，要充分利用題設條件中所提供的特殊邊角關系，建立合適的直角坐標系，正確求出關鍵點的坐標，將所要求的目標式表示出來并合理化簡，再結合三角函數、基本不等式等知識求其最值．【類型1三角形面積的最值或范圍問題】1．（24-25高一下·河南信陽·階段練習）在△ABC中，若AB=2,AC=3BC，則△ABC的面積S的最大值為（

）A．3 B．32 C．2 D．【解題思路】根據題意，利用余弦定理得到sinB關于a【解答過程】依題意，不妨設BC=a，AC=b，AB=c，則c=2，b=3由余弦定理得b2=a2+故cosB=4?2a所以sin2又因為S=1故S2當a2=4，即a=2時，S2取得最大值3，此時a=2，b=2所以Smax2=3故選：A.2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，已知2a?c6=cosCcosB且A．0,43 B．43,93 C．【解題思路】首先利用正弦定理求出角B，再利用三角形面積公式結合正弦定理化邊為角，再根據三角恒等變換轉化為三角函數求范圍即可.【解答過程】∵2a?c6=cosCcosB且根據正弦定理得，2sin即2sin整理得2sin∵A∈0,π2，∴sinA>0，∴2cos∵asin∴a=43sinA∴△ABC的面積S=∴S=123sinA32cosA+12sinA=1233∴π6<A<∴sin∴S=63故選：C.3．（24-25高一下·山東菏澤·期中）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，acosC+ccosA=2bsinB，且∠CAB=π3.若D是A．∠ABC=π6 C．四邊形ABCD面積有最小值 D．四邊形ABCD面積有最大值【解題思路】利用正弦定理化邊為角，結合兩角和的正弦定理可求出角B，進而求出∠ACB，即可判斷AB；先求出AC,BC的關系，再在△ACD中，利用余弦定理求出AC，再根據三角形的面積公式結合三角函數即可判斷CD.【解答過程】在△ABC中，因為acos所以sinA即sinA+C又sinB≠0，所以sin在△ABC中，因為∠CAB=π3，則所以B=π6，則在Rt△ABC中，BC=在△ACD中，AC四邊形ABCD面積S==12AC?BC+12AD?AC?sinD=1又0<D<π所以?φ<D?φ<π因為函數y=sinD?φ在?φ,π所以四邊形ABCD面積有最大值，無最小值，故C錯誤，D正確.

故選：ABD.4．（24-25高一下·上海金山·階段練習）在△ABC中，A、B、C三個內角所對的邊依次為a、b、c，且a2+c2=b2+ac，若【解題思路】使用余弦定理求出B后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面積公式求解即可.【解答過程】由余弦定理，cosB=∵B∈0,π，∴由余弦定理及基本不等式，b2∴ac≤b2=16∴當且僅當a=c時，△ABC的面積的最大值為Smax故答案為：435．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosC=2a?c2b，點D在AC上，且AD=2DC(1)求角B；(2)求△ABC面積的最大值．【解題思路】（1）利用余弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）向量化結合基本不等式求出ac的最大值，再根據三角形的面積公式即可得解.【解答過程】（1）因為cosC=由余弦定理可得a2整理得a2所以cosB=又B∈0,π，所以（2）因為AD=2DC，所以BD=故BD2即4=1所以ac≤6，當且僅當19c2所以S△ABC所以△ABC面積的最大值為33

【類型2三角形邊長的最值或范圍問題】6．（23-24高一下·廣東茂名·期中）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若cosBb+cosCA．32,3 B．32,3【解題思路】根據余弦定理化簡題中條件，得到b=32，再利用基本不等式求【解答過程】∵△ABC中，cosB∴a2+∵B=π3，由余弦定理得：34(a+c)2故選：D．7．（23-24高一下·寧夏石嘴山·期末）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若b2+c2?a2A．3，2 B．3,2 C．3【解題思路】先根據已知式子化簡得出角，再由余弦定理結合基本不等式求邊長和范圍即可.【解答過程】由余弦定理得b2所以cosAsinC所以cosA所以2sin所以2sin可得2由余弦定理可得3=b又因為基本不等式b+c≥2bc,所以所以3=b+c當且僅當b=c=1時，b+c取最大值2，因為a=3,所以b+c>所以3<b+c≤2故選：B.8．（23-24高一下·江蘇泰州·期中）在銳角△ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c可能的取值是（

）A．2 B．2 C．22 D．【解題思路】根據c邊最大邊或b最大邊，利用余弦定理的變形形式即可求解.【解答過程】若c邊為最大邊，則cosC>0∴a2+若b邊為最大邊，則cosB>0∴a2+所以3<c<所以邊長c可能的取值是2、132故選：BD.9．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）銳角△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足cosCc=cosB?cosC【解題思路】利用正弦定理的邊角變換與三角函數的和差公式得到sinA=sin2C，從而利用三角函數的性質與銳角三角形的特點推得C【解答過程】因為cosCc=所以2ccos由正弦定理得2sin又B+C=π?A，故因為在銳角△ABC中，0<A<π2,0<2C<π，所以當A=2C時，B=π所以0<π?3C<π當A=π?2C時，B=π綜上，π6又ac而22<cos則ac的取值范圍為2故答案為：2,10．（23-24高一下·重慶·期末）在銳角△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，已知2a?c=2bcos(1)求B的大小；(2)求a+bc【解題思路】（1）利用余弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）利用正弦定理化邊為角，再根據三角恒等變換化簡，結合三角函數的性質即可得解.【解答過程】（1）因為2a?c=2bcos由余弦定理得2a?c=2b?a整理得a2所以cosB=又B∈0,π，所以（2）由正弦定理得a+b=32因為0<C<π20<A=所以π12<C而tanπ所以2?3<tan所以a+bc【類型3三角形周長的最值或范圍問題】11．（24-25高三下·河南·開學考試）在△ABC中，若內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC的平分線交AC于點D，BD=1且b=2，則△ABC周長的最小值為（

）A．7 B．22 C．2+22【解題思路】先利用面積相等與三角形面積公式，結合正弦的倍角公式求得2accos∠ABC2=c+a，再利用余弦定理的推論與余弦的倍角公式得到【解答過程】由題可得，S△ABC=S又BD=1，所以2acsin∠ABC=csin因為0<∠ABC<π，所以0<∠ABC2所以2accos∠ABC2又因為cos∠ABC=c2所以2c+a2ac2所以(c+a)2解得(c+a)2≥8或所以a+c≥22，當且僅當a=c=則b+a+c≥2+22故△ABC周長的最小值為2+22故選：C..12．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosB?bcos2A=c且△ABC外接圓半徑為2，則△A．(43，63] B．(43【解題思路】根據題意，化簡得到cos2A+cosA=0，求得cosA=12，得到A=π3，且【解答過程】因為acosB?b又因為A+B+C=π，可得sin所以sinA即?sin因為B∈(0,π)，可得sinB>0，可得cos解得cosA=12因為A∈(0,π)，所以A=π又因為△ABC外接圓半徑為2，所以a=2rsin又由a+b+c=2=23因為△ABC為銳角三角形，且A=π3，所以0<B<π解得π6<B<π2，可得所以a+b+c∈(6+23故選：C.13．（23-24高一下·甘肅天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B=2π3，b=8A．若A=π6，則a=433C．△ABC面積的最大值為1633 D．△ABC【解題思路】對于AB，由正弦定理求解即可判斷；對于C，由余弦定理及基本不等式得ac≤643，代入三角形面積公式即可判斷，對于D，由余弦定理及基本不等式得【解答過程】對于A，若A=π6，又B=2π3對于B，由題意B=2π3，b=8，a=4對于C，由余弦定理b2=a所以ac≤643，當且僅當所以S△ABC所以△ABC面積的最大值為163對于D，由B=2π3，b=864=a2+當且僅當a=c=8所以△ABC的周長l=8+a+c≤8+16所以△ABC周長的最大值為163故選：BCD.14．（23-24高一下·四川瀘州·期中）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c=2,B=π3，則△ABC周長的取值范圍為(3+【解題思路】由正弦定理可以把a+b表示為角C的函數，由銳角三角形得出角C的取值范圍，進而可得a+b的取值范圍.【解答過程】在銳角△ABC中，c=2,B=π3，0<C<π2，由正弦定理，得a=csinA所a+b=3cosC+由π12<C2<π4因此1+3<a+b<1+32?3故答案為：(3+315．（23-24高一下·廣東惠州·期中）已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,a+b(1)求角B；(2)若△ABC外接圓的直徑為23，求△ABC【解題思路】（1）根據題意，利用正弦定理化簡得到ac=a（2）方法一：由正弦定理求得b=3，利用余弦定理和基本不等式，求得a+c≤6，進而求得△ABC周長的取值范圍；方法二：根據題意，利用正弦定理求得b=3，化簡得到a+b+c=3+6sin【解答過程】（1）因為a,b,c,a+b由正弦定理可得a+ba?b=a?c又由余弦定理得cosB=a2+c（2）方法一：因為△ABC外接圓的直徑為23由正弦定理得bsinB=2由余弦定理得9=a因為3ac=(a+c)2?9≤3×(a+c)2由三角形性質知3<a+c≤6，當且僅當a=c時，等號成立，所以6<a+b+c≤9，故△ABC周長的取值范圍為6,9.方法二：因為△ABC外接圓的直徑為23由正弦定理得bsinB=2a+b+c=3+23sinA+23sinC=3+23sinA+sin所以6<a+b+c≤9，故△ABC周長的取值范圍為6,9.【類型4三角形的角的最值或范圍問題】16．（2024·四川成都·模擬預測）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c．若a=1，b=2，則B+C的取值范圍是（

）A．2π3,5π6 B．2【解題思路】先根據邊的關系求出c的范圍，然后表示出cosA，求出其范圍，進而可得A的范圍i，則B+C【解答過程】根據三角形三邊關系可得a?b<c<a+b，即1<c<3又cosA=因為函數y=3x+x在1,所以c+3又1+31=4,3+所以32≤cos所以0<A≤π所以5π故選：C.17．（23-24高一下·四川成都·期中）在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(a+b+c)(a+b?c)=3ab．則sinAcosBA．32,+∞ B．233,+【解題思路】化簡(a+b+c)(a+b?c)=3ab為a2+b2?【解答過程】由(a+b+c)(a+b?c)=3ab，整理得a2+b又0<C<π，則C=π3sinA因為△ABC為銳角三角形，所以0<B<π20<2π即sinA所以sinAcosB故選：B.18．（23-24高一下·河北·期末）在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=2bcosB，且A．A=2BB．角B的取值范圍是0,C．cosA的取值范圍是D．ab的取值范圍是【解題思路】利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可判斷A選項的正誤；利用三角形的內角和定理以及已知條件求出角B的取值范圍，可判斷B選項的正誤；利用余弦函數的基本性質可判斷C選項的正誤；利用二倍角的正弦公式可判斷D選項的正誤.【解答過程】因為a=2bcosB，所以∵0<A<π2，0<B<π2，則0<2B<π，所以因為b≠c，所以B≠C，所以A+2B≠A+B+C=π，則A=2B，故A正確；因為A+B+C=π，所以C=π?A?B=π?3B．因為△ABC是銳角三角形，所以0<A<π20<B<π2所以22<cos因為A=2B，所以π3<A<π故選：ACD.19．（24-25高一下·全國·課后作業）在△ABC中，三邊a，b，c互不相等，且a為最長邊，若a2<b2+c2【解題思路】利用余弦定理即可判斷角A的范圍，從而集合a為最長邊，即可得出答案.【解答過程】∵a2<b則cosA=b2又∵a為最長邊，∴A>60°.所以A的取值范圍是A60°<A<90°故答案為：A60°<A<90°20．（23-24高一下·河南鄭州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=π2，AD=DC=2，

(1)當∠BCD=π3時，求四邊形(2)當∠ABC∈π4,【解題思路】（1）連接BD，在△BDC中利用余弦定理求出BD，再利用勾股定理求出AB，結合三角形面積公式求解即可；（2）連接AC，作DE⊥AC于點E，利用正弦定理和二倍角公式求解．【解答過程】（1）如圖，連接BD，則當∠BCD=π

在△BDC中，由余弦定理可得BD所以在△ABD中，由勾股定理可得AB2=B所以S四邊形（2）如圖，連接AC，作DE⊥AC于點E，

則由AD=DC，可得E為AC的中點，設AC=x，則cos∠DAE=在△ABC中，由正弦定理可得BCsin所以sin∠ABC=又因為sin∠ADC所以cos∠ADC=1?2由∠ABC∈π4,所以cos【類型5利用基本不等式求最值（范圍）】21．（2024·江西·二模）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若ac=8,sinB+2sinCcosA．1 B．3 C．2 D．4【解題思路】根據sinB+2sinCcosA=0利用三角恒等變換和正余弦定理得到2b2=a2?【解答過程】∵sin∴sin即sinA即sinA則a?b整理得2b∴cosB=當且僅當a2∴B∈0，則S△ABC故選：C．22．（2025高三·全國·專題練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足b2+c2?a2=bc，A．1,3 B．3,23 C．3【解題思路】由余弦定理與基本不等式求出b+c≤23，再由三角形三邊關系得到b+c>a=3，從而求出b＋【解答過程】依題意得b2＋c2－bc＝3，即b+c2解得：b+c2≤12，b+c≤23又b+c>a=3，因此b＋c的取值范圍是3故選：B.23．（23-24高一下·浙江·期中）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=π3，內角B的平分線交AC于點D且BD=3A．1a+1cC．a+3c的最小值是43 D．△ABC的面積最小值是【解題思路】由三角形面積公式尋找a，c關系，再利用基本不等式判斷．【解答過程】解：由題意得：S△ABC由角平分線以及面積公式得12化簡得ac=a+c，所以1a∴ac=a+c≥2ac，當且僅當a=c∴ac≥2，∴ac≥4所以S△ABC=1由余弦定理b=a+c2?3ac=ac2?3ac≥42?3×4=4對于選項C：由ac=a+c得：1a+1當且僅當1a+1故選：ABD．24．（23-24高一下·福建莆田·階段練習）已知△ABC的外接圓O的半徑為733，AC的長為7,△ABC周長的最大值為【解題思路】根據給定條件，利用正弦定理求出角B，再利用余弦定理結合基本不等式求解即得.【解答過程】由△ABC的外接圓O的半徑為733且AC=7，得而0<B<π，則B=π3或B=當B=π3≥(AB+BC)2?3因此當AB=BC=7時，(AB+BC)max=14，當B=2π3≥(AB+BC)2?因此當AB=BC=73時，(AB+BC)max=14而143+7<21，所以故答案為：21.25．（24-25高一上·全國·期中）已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若1?cos(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面積為43，求3【解題思路】（1）利用輔助角公式求解即可；（2）先利用三角形的面積公式求出ab，再根據余弦定理結合基本不等式求解即可.【解答過程】（1）由1?cosC=3所以sinC+因為C∈0,π，所以所以C+π6=（2）因為S△ABC=1由余弦定理得c2所以3a當且僅當4a2=所以3a2+【類型6轉化為函數求最值（范圍）】26．（23-24高一下·湖北武漢·期中）在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，a=4，且2S=a2?b?c2A．8,45+4 B．12,25+2 C．【解題思路】利用面積公式和余弦定理可得tanA2=12【解答過程】∵2S=a∴S=bc?bccos∴1?cosA=12sin∴tanA2=由正弦定理可得asin所以b+c=5=5sinB+35sinB+因為△ABC為銳角三角形，所以π2?A<B<π即：π2所以cosA2<∴8<45sinB+φ故△ABC的周長的取值范圍是12,45故選：D.27．（23-24高一上·福建寧德·期末）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=2，圓心角∠POQ=π4，A是扇形弧上的動點，B是半徑OQ上的動點，AB//OP.則A．22?2 B．2?1 C．3【解題思路】設∠AOP=θ，利用正弦定理可表示出OB，代入三角形面積公式，結合三角恒等變換知識可化簡得到S△OAB【解答過程】設∠AOP=θ，則0<θ<π∵AB//OP，∠POQ=π4，∴∠ABO=3π在△OAB中，由正弦定理得：OB=OA?∴S△OAB=∵θ∈0,π4∴當2θ+π4=π2，即θ=故選：B.28．（23-24高一下·四川內江·期中）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且ccosB+bcosA．若A=π3，則△ABCB．若A=π4，且△ABC只有一解，則bC．若A=π3，且△ABC為銳角三角形，則△ABCD．若△ABC為銳角三角形，AC=2，則AC邊上的高的取值范圍為3【解題思路】根據正弦定理邊角互化可得a=1，即可根據余弦定理，結合不等式求解A；根據正弦定理即可求解B，根據正弦定理，結合三角恒等變換以及三角函數的性質即可求C，根據余弦定理得3<c【解答過程】由正弦定理可得sinCcos因為0<A<π，所以sinA≠0，所以對于A，若A=π由余弦定理得cosA=由b>0，c>0，可得b2即bc≤1，當且僅當b=c時等號成立，則△ABC面積12bcsinA≤1對于B，若A=π4，且a=1，由正弦定理得所以sinB=b當sinB=1時，即22b=1對于C，若A=π3，由正弦定理得a=1+2由于△ABC為銳角三角形，故0<B<π2且0<2π因此B+π6∈對于D，由于△ABC為銳角三角形，AC=b=2，a=1，所a2故AC邊上的高為asin故選：AC.29．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若c2+bc?a2=0，則4【解題思路】根據正弦定理和余弦定理可得A=2C，再由三角恒等變換可得4sinC+cosC2+1【解答過程】∵c2+bc?a∴b2?2bccos∴sinB?2sinC∴sinA?C∵A,C是銳角△ABC的內角，∴A?C=C或A?C+C=π（不符合題意舍去），∴A=2C∴4sinC+=4+4sin2C+cosCsin設sinA=t∵△ABC是銳角三角形，∴0<A<π20<C=∴sinA=t∈32由雙勾函數的性質可得函數ft在t∈32∴4sin故答案為：8330．（23-24高一下·重慶·階段練習）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且sinC+3cos(1)若a+c=2，求邊AC上的角平分線BD長；(2)求邊AC上的中線BE的取值范圍.【解題思路】（1）先根據正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡求B，再依據余弦定理及已知得ac=1（3）利用向量的加法運算及數量積模的運算得BE=14【解答過程】（1）因為sinC+3cos所以sinC+即sinBsinBsinB即sinBsinC=所以tanB=3，因為B∈0,由B=π3及余弦定理得即3=c又因為a+c=2，所以ac=1所以S△ABC所以BD?a+c?sin所以BD=（2）因為E是AC的中點，所以BE=則BE2因為B=π3，b=3即c2+由正弦定理得：ac=b即ac=23因為A∈0,π,C=所以2A?π6∈所以ac=2sin2A?π所以BE∈32,32，即邊AC【類型7坐標法求最值（范圍）】31．（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知平行四邊形ABCD中，∠ADC=60°，E，F分別為邊AB，BC的中點，若DE?DF=13，則四邊形ABCDA．2 B．23 C．4 D．【解題思路】建立適當的平面直角坐標系，設DA=a,DC=c，寫出各個點的坐標，將DE?DF=13【解答過程】以點D為原點，DA所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

設DA=a,DC=c，則D0,0所以DE=所以DE?從而13=a22+5ac四邊形ABCD面積的表達式為S=2?1從而S=3ac2所以四邊形ABCD面積的最大值為43故選：D.32．（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形OAB中，半徑OA=4，∠AOB=90°，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是（

）A．8,12 B．8C．8,82 D．【解題思路】由于點E在弧上運動，引入恰當的變量∠AOE=2θ，從而表達∠ABE=θ，再利用正弦定理來表示邊，來求得周長關于角θ的函數，然后求出取值范圍；也可以建立以圓心為原點的坐標系，同樣設出動點坐標E4cos2θ,4【解答過程】（法一）如圖，連接OE，AB．設∠AOE=2θ，則∠BOE=π2?2θ故∠OBE=θ+π4．在△OBE中，由正弦定理可得則BE=OEsinπ在Rt△ODE中，由正弦定理可得DEsin2θ平行四邊形BCDE的周長為2=?16cos因為0<2θ<π2，所以0<θ<π4，所以所以0≤cosθ+π即平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是8,12．（法二）以O為原點，OB，OA所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系．設∠BOE=2θ，則E4cos2θ,4從而DE=4cos2θ，OD=4sinDC=O故平行四邊形BCDE的周長為2DE+DC因為0<θ<π4，所以0<sin則8<?16sinθ?122故選：A.33．（23-24高一下·四川宜賓·期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BE=3EC，CD=233，BE=3，若點F為邊AD上的動點，則