專題6.7平面向量的綜合應用大題專項訓練【七大題型】【人教A版（2019）】姓名：___________班級：___________考號：___________題型一\o"向量坐標的線性運算解決幾何問題"\t"/gzsx/zsd28612/_blank"向量坐標的線性運算解決幾何問題題型一\o"向量坐標的線性運算解決幾何問題"\t"/gzsx/zsd28612/_blank"向量坐標的線性運算解決幾何問題1．（24-25高一下·河北石家莊·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，點A?1,2，B1,1，記OA=(1)設a在b上的投影向量為λe（e是與b同向的單位向量），求λ(2)若四邊形OABC為平行四邊形，求點C的坐標．【解題思路】（1）根據投影向量的定義，即可求解；（2）根據平行四邊形的性質，得到OA=【解答過程】（1）設a與b的夾角為θ，則λ=a（2）設點Cx,y，因為四邊形OABC為平行四邊形，所以OA又OA=?1,2，CB所以1?x=?11?y=2，解得x=2故C2,?12．（24-25高一上·安徽馬鞍山·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，OA=2AB=2，∠OAB=（1）求點B，點C的坐標；（2）求四邊形OABC的面積.【解題思路】（1）設B(xB,yB)，根據題中條件，得到xB（2）先用向量的方法，證明四邊形OABC為等腰梯形；連接OC，延長CB交x軸于點D，得到△OCD，△ABD均為等邊三角形，進而可求出四邊形面積.【解答過程】（1）在平面直角坐標系xOy中，OA=2AB=2又∠OAB=2π3，設則xB=2+cos所以點B5又BC=(?1,3)即點C3（2）由（1）可得，OC=32所以OC=3AB，即又BC=所以四邊形OABC為等腰梯形；連接OC，延長CB交x軸于點D，則△OCD，△ABD均為等邊三角形.∴S=S3．（23-24高一下·湖北荊州·期中）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分別為AB，BC的中點，點P在以A為圓心的圓弧DE上運動，若AP=xED+y【解題思路】設P(cosθ,sinθ),θ∈0,π2【解答過程】設P(cosθ,則AP因為AP=xED即?x+32y=cos所以2x?y=因為θ?π4即2x?y∈?1,14．（24-25高一·湖南·課后作業）如圖，已知A（－2，1），B（1，3）．(1)求線段AB的中點M的坐標；(2)若點P是線段AB的一個三等分點，求點P的坐標．【解題思路】（1）根據中點坐標公式進行求解即可；（2）根據平面共線向量的性質進行求解即可.【解答過程】（1）設M(x,y)，因為A（－2，1），B（1，3），所以x=?2+12=?（2）設P(x,y)，當AP=13當AP=235．（24-25高一下·湖北十堰·階段練習）某公園有三個警衛室A?B?C，互相之間均有直道相連，AB=2千米，AC=23千米，BC=4千米，保安甲沿CB從警衛室C出發前往警衛室B，同時保安乙沿BA從警衛室B出發前往警衛室A(1)保安甲從C出發1.5小時后達點D，若AD=xAB+yAC，求實數(2)若甲乙兩人通過對講機聯系，對講機在公園內的最大通話距離不超過2千米，試問有多長時間兩人不能通話？【解題思路】（1）先根據勾股定理確定這是一個直角三角形，然后可以建立平面直角坐標系，寫出各點的坐標，根據坐標運算可以計算出實數x?y的值；（2）表示出點E的坐標之后可以把DE坐標表示，立出不等式解不等式即可.【解答過程】（1）因為AB2+A因此建立如圖所示的平面直角坐標系，A(0,0),B(2,0),C(0,23設保安甲從C出發t小時后達點D，所以有CD=設D(x1,即D(t,23?3t)，當由AD?3（2）設保安乙從B出發t小時后達點E，所以點E的坐標為(2?t,0)，于是有DE=(2?2t,因為對講機在公園內的最大通話距離超過2千米，兩人不能通話，所以有DE>2，所以解之：t>2或t<67所以兩人約有67題型二題型二\o"用向量證明線段垂直"\t"/gzsx/zsd28634/_blank"用向量證明線段垂直

用向量證明線段垂直

用向量證明線段垂直6．（23-24高一·上海·課堂例題）如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上一點，PE垂直AB于點E，PF垂直BC于點F．求證：PD⊥EF．

【解題思路】設AP=λAC，借助正方形的性質與向量的線性運算可得PD=?λ【解答過程】設AP=λAC，由ABCD為正方形，則有AE=λ則PD=EF=故PD=λλ?1AB2+λ1?λ7．（23-24高一下·河南信陽·期中）已知在△ABC中，點M是BC邊上靠近點B的四等分點，點N在AB邊上，且AN=NB，設AM與CN相交于點P．記AB=

(1)請用m，n表示向量AM；(2)若n=2m，設m，n的夾角為θ，若cosθ=【解題思路】（1）結合圖形，根據平面向量的線性運算可得；（2）以m，n為基底表示出CN,AB，結合已知求【解答過程】（1）BC=AC?所以AM=（2）由題意，CN=∵n=2m，cosθ=∴CN?∴CN⊥8．（24-25高一下·山東濟南·階段練習）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A0,b，B?a,0，Ca,0(且ab≠0)，D為AB的中點，E為△ACD的重心，F(1)求重心E的坐標；(2)用向量法證明：EF⊥CD．【解題思路】（1）求出D的坐標，根據重心坐標公式即可求出E的坐標；（2）求出F的坐標，證明CD?【解答過程】（1）如圖，∵A0,b，B?a,0，∴D?a2（2）CD=易知△ABC的外心F在y軸上，可設為0,y．由AF=CF，得∴y=b2?∴EF=∴CD→∴CD⊥EF，即9．（23-24高一下·山東德州·階段練習）如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°,E,F分別為AC,BC上的點，且AE=

(1)求AF；(2)求證：AF⊥BE；(3)若線段BE上一動點P滿足2PB+PA【解題思路】（1）記AB=a,AC=（2）將BE表示為a,b的關系式，從而利用向量的數量積運算計算（3）利用向量的中點性質與共線定理即可得解.【解答過程】（1）依題意，記AB=因為AB=2,AC=4,∠BAC=60°，所以a=2,b=4因為BF=所以AF=則AF2故AF=（2）因為AE=12所以AF?則AF⊥BE，即（3）因為AE=12AC，所以E是因為2PB+PA+PC所以P是線段BE的中點.10．（24-25高一下·湖南常德·階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M．

(1)求∠EMF的余弦值．(2)若點P自A點逆時針沿正方形的邊運動到C點，在這個過程中，是否存在這樣的點P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長度，若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）如圖所示，建立以點A為原點的平面直角坐標系，由于∠EMF就是DE,（2）根據向量的共線表示聯立方程組可求解M187,67，分點P在AB【解答過程】（1）如圖所示，建立以點A為原點的平面直角坐標系．則D0,6由于∠EMF就是DE,

∴cos∠EMF=DE（2）設M∵AM∴x=18由題得EF=①當點P在AB上時，設Px,0∴3x?54②當點P在BC上時，設P6,y∴72綜上，存在P22題型三題型三\o"用向量解決夾角問題"\t"/gzsx/zsd28635/_blank"用向量解決幾何中的夾角問題11．（23-24高一下·山東菏澤·期末）如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【解題思路】根據向量線性運算結合已知PA+PB+PC=0可得故【解答過程】由題意得|AB|=3,|AC|=1，PA+PB+又AB=PB?故PA=?1于是|PA∴|PA|PC|∴cos∠APC=12．（23-24高一下·福建福州·期中）已知梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，E為BC的中點，F為BD與AE的交點，(1)求λ和μ的值；(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA與BD【解題思路】（1）由向量的運算得出AD=?32AB+2（2）由向量的運算得出EA=12CB+BA，BD=【解答過程】（1）根據題意，梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，E為則AD=AB又由AD=λAB+μAE（2）∠AFD是EA與BD所成的角，設向量EA與BD所成的角為θEA=EBBD=BC則|EA|=因為EA=?12所以EA與BD所成角的余弦值為?1013．（24-25高一·全國·課后作業）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于點F，連接DF，求證：【解題思路】以B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，證明DA,DB的夾角與【解答過程】如圖，以B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.設A0，2，C2，?0設AF=λAC，則又因為DA=?1，?2，所以?2λ+22?2λ=0，解得λ=所以DF=又因為DC=所以cos∠ADB=DA?又因為∠ADB，∠FDC∈0，π，所以∠ADB=∠FDC

14．（23-24高一下·福建廈門·期末）在四邊形ABCD中，AB=2m?2n，AD=?m+3(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；(2)若m=2，n=1，m與n的夾角為60°，F為BC【解題思路】（1）根據向量線性運算判斷AB,（2）利用向量數量積先求AB，AF和AF?【解答過程】（1）因為AD=?m+3所以DC=又因為AB=2m?2又因為A,B,C,D四點不共線，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四邊形ABCD為梯形．（2）因為AB=2所以AB=因為F為BC中點，所以AF=所以AF=m=2所以cos∠FAB=因為∠FAB∈0,π，所以

15．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）如圖，正方形ABCD中，E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M.(1)設EF=xBA+y(2)求∠AME的余弦值；(3)求DM：ME和【解題思路】（1）根據平面向量的線性運算可得EF=?（2）如圖，根據勾股定理和相似三角形的性質可得DM=67DE=35（3）由（2），根據AMMF【解答過程】（1）由題意知，EF=又EF=xBA+yBC，所以（2）如圖，過點E作EN//BC交于AF于點N，過A作AH⊥DE于點H，設正方形ABCD的邊長為a，則AE=BE=1由EN//BC，得EN//AD，EN=1所以DE=A由△AMD～△NME，得DMEM所以DM=6因為AH⊥DE，所以AD所以AD2?D解得MH=5所以cos∠AME=?（3）由（2）知，△AMD～△NME，得DMEM故DMEM題型四題型四\o"用向量解決線段的長度問題"\t"/gzsx/zsd28636/_blank"用向量解決線段的長度問題16．（23-24高一下·廣西河池·階段練習）如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM，BN

(1)求AM的長度；(2)求∠MPB的正弦值.【解題思路】（1）根據AM是中線，由AM=（2）易知∠MPB為向量AM,NB的夾角【解答過程】（1）解：因為AM是中線，所以AM=所以AM?則AM=（2）由圖象知：∠MPB為向量AM,NB的夾角因為NB=所以NB2=4?2?5?12+又AM?NB==1所以cos∠MPB=因為∠MPB∈0,所以sin∠MPB=17．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，cosA(1)求角B的值；(2)若a=2,c=5，邊AC上的中點為D，求BD的長度.【解題思路】（1）切化弦后，利用兩角和的正弦公式求解；（2）利用平面向量數量積可求出結果.【解答過程】（1）∵cosAsin∴sinA+Bcos∵sinC≠0，∵B∈0,（2）∵BD是AC邊上的中線，∴BD∴BD∴BD=3918．（24-25高一下·全國·課后作業）四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上一點(不包括端點)，E，F分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PA=EF.【解題思路】根據給定條件，建立坐標系，利用向量的坐標表示推理計算即得.【解答過程】在正方形ABCD中，建立如圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則D(0,0),C(1,0),B(1,1),A(0,1)，由P是對角線DB上一點(不包括端點)，令DP=λ而DB=(1,1)，則DP=(λ,λ)，即P(λ,λ)，由四邊形PFCE是矩形，得因此AP=(λ,λ?1),則|AP|=λ于是|AP所以PA=EF.19．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點，CE⊥AB,AD與CE(1)求CE和AD的長度；(2)求cos∠CFD【解題思路】（1）利用三角函數定義即可求得CE的長；利用向量法即可求得AD的長度；（2）利用向量夾角的余弦公式即可求得cos∠CFD【解答過程】（1）∵CE是高，∴∠AEC=π2，在Rt△AEC中，所以CE=ACsin∵AD是中線，∴AD∴AD2=∴CE=3,AD=19∴EC=AC?另解：過D作DG//CE交BE于∵D是BC的中點，∴G是BE的中點，∴AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位線，DG是△BCE的中位線，∴EF=1cos∠CFD=20．（24-25高一下·河北滄州·階段練習）如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD(1)求BC的長；(2)求AD的長.【解題思路】（1）確定DE=?13AC，DF=?（2）AD=23【解答過程】（1）DE=DF=DE?DF=BC=（2）AD=AD=2題型五題型五\o"向量與幾何最值"\t"/gzsx/zsd28637/_blank"向量與幾何最值（范圍）問題21．（23-24高一下·浙江寧波·期末）在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2DC=4，點F是(1)若點E滿足DE=2EC，且EF=λ(2)若點P是線段AF上的動點（含端點），求AP?【解題思路】（1）利用向量的加減運算法則，以AB,AD為基底表示出EF得出（2）法1：建立平面直角坐標系利用數量積的坐標表示即可得出AP?法2：利用極化恒等式得出AP?【解答過程】（1）如下圖所示：由DE=2EC可得所以EF=又EF=λAB所以λ+μ=?1（2）法1：以點A為坐標原點，分別以AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則A0,0,D0,2由點P是線段AF上的動點（含端點），可令AP=t所以AP=tAF=所以AP?由二次函數性質可得當t=110時取得最小值當t=1時取得最大值8；可得AP法2：取AD中點M，作MG⊥AF垂足為G，如下圖所示：則AP=PM2?MA2=PM2?1顯然當點P位于點F時，PM可得AP?22．（23-24高一下·江西九江·期末）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=π3，P為平面ABCD內一點，AC與BP相交于點(1)若AP=PD，AQ=xBA+y(2)求PA+【解題思路】（1）建立直角坐標系，利用向量的線性運算的坐標表示即可求解，（2）根據向量數量積的坐標運算，結合二次型多項式的特征即可求解最值.【解答過程】（1）當AP=PD時，則P為由于△APQ～△CBQ,所以APBCAQ=1

（2）由于四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC=π則A2,0取AB中點為M，連接PA,PB,則M1,0,設PPM=PA+PB故當x=1,y=32時，取最小值23．（24-25高一下·四川成都·階段練習）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，AB?AC=?1，CP=λCB0≤λ≤1，(1)當t=?1且λ=12，設PQ與AB交于點M，求線段(2)若PA?PQ+3=【解題思路】（1）用AB,AC表示（2）結合題目條件和向量積的公式，逐步化簡，可得到7λ【解答過程】（1）因為t=?1且λ=12，所以A是CQ的中點，P是BC的中點，則M是設AB=a所以CM=CM=（2）因為CP=λCB0≤λ≤1所以AP=PQ=AP?PA?由PA?PQ+3=所以t1?2λ=7λ2?9λ+5所以12<λ≤1，令m=1?2λ∈?1,0，則t=74(1?m)2?924．（24-25高一下·上海長寧·階段練習）如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，CD=mCA，CE=nCB，其中m，n∈(0,1)，設DE中點為(1)若m=n，求證：C、M、N三點共線；(2)若m+n=1，求|MN【解題思路】（1）根據平面向量基本定理，化簡得CM=m（2）根據MN=CN?CM，代入【解答過程】（1）當m=n時，CM=12故CM=mCN，故C、M、N（2）當m+n=1時，CM=12CD+故MN2=1故當m=182×25=925時，MN2取得最小值25．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）在銳角△ABC中，cosB=22，點O(1)若BO=xBA+y(2)若b=2（i）求證：OB+（ii）求3OB【解題思路】（1）由cosB=22推出∠AOC=π2，即OA?OC=0，由BO=x（2）（i）延長BO交圓O于E，則BO=OE，過E作EF⊥OC，垂足為F，過E作EG⊥OA，垂足為（ii）延長OA至M，使得|OM|=2，以OM,OC為鄰邊作矩形OCNM，延長OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，將3OB+2OA【解答過程】（1）因為cosB=22因為點O為△ABC的外心，所以∠AOC=2B=π2，即OA⊥OC，因為BO=xBA+y所以xOA設三角形ABC的外接圓的半徑為R，則|OA由xOA+yOC所以x2+y因為xy≤(x+y)24所以x+y?12≤得(x+y?2)2≥2，得x+y≥2+2因為三角形ABC為銳角三角形，其外心必在三角形ABC內，由BO=xBA+y再由xOA+yOC所以x+y≥2+2應舍去，所以x+y≤2?所以x+y的最大值為2?2（2）（i）延長BO交圓O于E，則BO=OE，過E作EF⊥OC，垂足為F，過E作EG⊥OA，垂足為

因為∠BOC=2A，所以∠EOC=π?2A，因為∠AOC=π2，且|AC|=b=2所以|OF|=|OE|?cos(π?2A)=?cos所以OE=OG+所以BO=所以OB+（ii）延長OA至M，使得|OM|=2，則OM=2OA，以OM,OC為鄰邊作矩形則ON=OM+延長OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，則OP=3

所以|3OB所以當N,O,P三點共線時，|3OB+2OA因為三角形ABC為銳角三角形，且B=π4，所以A+C=3所以∠BOC=2A∈(π當∠BOC=π2時，|=14?65?sin∠CON當∠BOC=π時，|OP+=14?65sin所以|OP+ON|∈[3?5題型六題型六向量在物理中的應用26．（24-25高一·上海·課堂例題）已知質點O受到三個力OF1、OF2、OF3的作用，若它們的大小分別為OF【解題思路】根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算求解即得.【解答過程】如圖，以質點O為坐標原點，向量OF3所在的直線為

則OF1=20cos于是合力OF=OF1+OF所以合力的大小為103N，與OF27．（24-25高一·全國·課后作業）如圖，重為4N的勻質球，半徑R=6cm，放在墻與均勻木板AB之間，A端固定在墻上，B端用水平繩索BC拉住，板長l=10cm，木板AB與墻夾角為α，如果不計木板重，當α

【解題思路】設球的重力為G，球對板AB的壓力為f1，繩BC對板的拉力為f2，根據力矩平衡可得出f2cos60°?l=【解答過程】設球的重力為G，球對板AB的壓力為f1，繩BC對板的拉力為f2，令球心為O，AB與球的切點為則OD⊥AB，∠OAD=30°，依題意，G?=4N，由AB處于平衡狀態，以A又f1cos30°=G，所以繩的拉力為9.6N

28．（23-24高一下·山西陽泉·期中）一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度d=1km，一艘游船從南岸碼頭A點出發航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小為v2=4km/h.設v1(1)若游船沿AA′到達北岸A′點所需時間為6min，求(2)當θ=60【解題思路】（1）設游船的實際速度為vkm/h，由速度合成得v（2）設到達北岸B點所用時間為th，根據AB2【解答過程】（1）設游船的實際速度大小為vkm

由AA′=1km,6如圖所示速度合成示意圖，由v12=|cosθ=?所以v1的大小為229km（2）當θ=60°,v1

AB2=|t在Rt△AA′C中，tv1cos30故游船的實際航程為21329．（24-25高一·全國·隨堂練習）如圖，質量m=2.0kg的木塊，在平行于斜面大小為10N向上的拉力F的作用下，沿傾角θ=30°的光滑斜面向上滑行2.0m的距離．

(1)分別求物體所受各力在這一過程中對物體做的功；(2)求在這一過程中物體所受各力對物體做的功的代數和；(3)求物體所受合外力對物體所做的功，它與物體所受各個力對物體做功的代數和之間有什么關系？【解題思路】（1）分析物體受力，按功的定義式求解每個力做的功；（2）將（1）中各值累加即可;（3）計算物體所受合外力對物體所做的功，與物體所受各力對物體做功的代數和比較即可.【解答過程】（1）木塊受三個力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如圖所示.

拉力F與位移s方向相同，所以拉力對木塊所做的功為WF支持力N與位移方向垂直，不做功，所以WN重力G對物體所做的功為WG（2）物體所受各力對物體做功的代數和為W=20+0?19.6=0.4(J（3）設物體所受合外力的大小為F1則F1故合外力做功為W=0.2×2=0.4.故物體所受合外力對物體做的功與物體所受各力對物體做功的代數和相等.30．（24-25高一·全國·課后作業）有一艘在靜水中速度大小為10km/h的船，現船沿與河岸成60°角的方向向河的上游行駛．由于受水流的影響，結果沿垂直于河岸的方向駛達對岸．設河的兩岸平行，河水流速均勻．(1)設船相對于河岸和靜水的速度分別為u,v，河水的流速為w，求(2)求這條河河水的流速．【解題思路】（1）根據題意可得v與u的夾角為30°，則u,v,（2）結合圖象，求出BC即可.【解答過程】（1）如圖，u是垂直到達河對岸方向的速度，v是與河岸成60°角的靜水中的船速，則v與u的夾角為30°，由題意知，u,v,由向量加法的三角形法則知，OC=OA+（2）因為OB=v=10所以這條河河水的流速為5km題型七題型七向量與解三角形綜合31．（23-24高一下·福建廈門·期中）在△ABC中a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，向量m=b+a,?c，n=(1)求A；(2)若b=4，△ABC的面積為3，求△ABC的周長．【解題思路】（1）根據條件得到a2（2）根據條件，利用面積公式得到c=1，進而求出a=21【解答過程】（1）因為m=b+a,?c，n=b+c,b?a且即b2?a又由余弦定理知a2=b2+又A∈0,π，所以（2）因為S=12bc又b=4，得到c=1，所以a2=16+1+4=21，得到所以△ABC的周長為5+2132．（23-24高一下·山西晉城·階段練習）在△ABC中，a，b，c分別是角A,B,C所對的邊，且滿足a2(1)求角C的大小；(2)設向量a=(3sinA,32)，向量b=(1,?2【解題思路】（1）由余弦定理即可求得；（2）由向量的數量積等于0列出方程，可求得角A，利用三角函數的定義求得邊b，最后運用三角形面積公式計算即得.【解答過程】（1）由余弦定理，cosC=a2+b（2）由a?因C=π3，則因0<A<π，且C=π3，則A=因c=2，則b=c則△ABC的面積為S=133．（23-24高一下·天津南開·階段練習）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若m⊥n，其中(1)求角B的大小；(2)若a<c,b=27,△ABC的面積為①求a,c的值；②求sin2C+B【解題思路】（1）由m⊥n便得到m?n=0（2）①利用余