黔南州2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測九年級數(shù)學(xué)注意事項：1．本試卷共6頁，滿分100分，考試時間120分鐘．2．答題前將姓名、準考證號、座位號準確填寫在答題卡指定的位置上．3．選擇題須使用2B鉛筆將答題卡相應(yīng)題號對應(yīng)選項涂黑，若需改動，須擦凈另涂；非選擇題在答題卡上對應(yīng)位置用黑色墨水筆或黑色簽字筆書寫．在試卷、草稿紙上答題無效．一、選擇題（本大題共12小題，每小題2分，共24分．在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.祥蛇納福，瑞氣盈堂．愿君新歲似靈蛇，身姿矯健躍高峰．祝福所有九年級學(xué)子6月勇奪桂冠．現(xiàn)將祥蛇納福圖繞某點旋轉(zhuǎn)得到的圖形是（）A. B. C. D.2.一元二次方程的一個根是（）A. B. C. D.3.下列成語反映的事件中，發(fā)生的可能性最大的是（）A.守株待兔 B.大海撈針 C.返老還童 D.旭日東升4.如圖，在中，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.5.若點都在拋物線上，則與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定6.如圖，在矩形中，，以點為圓心，4為半徑作圓，下列說法中，正確的是()A.點在圓內(nèi) B.點在圓上 C.點在圓外 D.點在圓內(nèi)7.拋物線與軸的交點情況為（）A.沒有交點 B.只有一個交點 C.有兩個交點 D.不能判斷8.若是方程的兩個根，則的值為（）A. B. C. D.9.在同一平面直角坐標系中，拋物線與直線的大致圖象可能是（）A. B.C. D.10.如圖，已知是的直徑，平分弦，交于點，若，，則的長為（）A. B. C. D.11.用一金屬圓柱體材料切削加工成橫截面是正六邊形的螺帽，其形狀和尺寸如圖所示，則該金屬圓柱體材料的底面直徑長至少是（）A.2 B. C. D.12.在修建貴南高鐵某路段時，需對鐵路旁邊某一斜坡進行加固，現(xiàn)用混凝土噴射機將混合料噴射到坡面，如圖是噴射機工作時的截面圖，以噴出口為原點建立平面直角坐標系，若混合料的噴出路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，混合料的落點是，則點到噴出口所在水平面的垂直距離是（）A.6 B. C.8 D.12二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標是_______．14.一個不透明的袋子中裝有個紅球和個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個球，若摸到白球的概率是，則的值為__________．15.國產(chǎn)某品牌無人機憑借它在和精準飛控方面的強大技術(shù)優(yōu)勢，使其在銷量上獨占鰲頭．該品牌無人機在某次的方陣表演中，如圖，無人機原來排成行列，后又增加了架，使得方陣增加的行、列數(shù)相同，則增加了多少行？設(shè)方陣增加的行數(shù)為行，根據(jù)題意可列方程為__________．16.如圖，為矩形外一點，，，，則的最大值為______．三、解答題（本大題共9小題，共64分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）．18.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．（1）畫出繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的；（2）求中點經(jīng)過的路徑的長（結(jié)果保留）．19已知拋物線經(jīng)過點．（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）當時，的取值范圍是___________．20.某校理科社團決定采用抽卡片的方式對招募來的學(xué)生進行分組，制作了除圖片內(nèi)容不同外，其他完全相同的四張卡片：．積土成山．蠟炬成灰．物腐蟲生．木已成舟．每個同學(xué)從這四張卡片中隨機抽取一張，抽到表示化學(xué)變化的卡片，就加人化學(xué)魔法社；抽到表示物理變化的卡片，就加入物理小天團．（物理變化和化學(xué)變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)生成）（1）從四張卡片中隨機抽取一張，抽到卡片的概率是___________；（2）有同學(xué)說抽到每種卡片的可能性不一樣，于是老師組織同學(xué)進行大量重復(fù)試驗．以抽到卡片為例，數(shù)據(jù)記錄如下：試驗次數(shù)10030050010002000抽到卡片次數(shù)3070126251500抽到卡片頻率03000.2330.2520.2510.250根據(jù)以上數(shù)據(jù)，抽到卡片的頻率越來越穩(wěn)定于__________（精確到0.01），所以該同學(xué)的說法__________；（用“正確”或“錯誤”填空）（3）小娜隨機抽取一張卡片記錄后，放回并混在一起，再由小菲隨機抽取一張，請用列表法或畫樹狀圖法求她們恰好在同一個社團的概率．21閱讀下列材料：為解方程，可將方程變形為，然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得，．當時，無意義，舍去；當時，，解得，原方程的解為，．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解方程：．22.某種商品的銷售單價（元/件）與銷售月份（月）之間的關(guān)系如圖1所示（圖象呈線段）每件的成本（元/件）與銷售月份（月）之間的關(guān)系如圖2所示（圖象呈拋物線），且8月份該商品的成本達到最低．（1）求5月至7月該商品銷售單價月平均降價率；（2）求該商品銷售單價關(guān)于銷售月份函數(shù)解析式；（3）在5月至8月中，哪個月銷售這種商品，每件獲得的利潤最大？（利潤售價成本）23.某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了圓的切線判定定理后，討論了過圓外一點，用尺規(guī)作的切線和的方法：①連接，分別以點和點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于，兩點；②作直線交線段于點；③以點為圓心，的長為半徑作圓，與相交于，兩點；④連接，．和即是所求的切線．（1）根據(jù)上述作法，求證：，是的切線；（2）若，，求的長．24.排水渠的橫截面常常被設(shè)計成拋物線形狀，其中蘊含的原理很多．從結(jié)構(gòu)力學(xué)角度看，拋物線形狀能夠使排水渠更好地承受來自土壤和水的壓力．從水力學(xué)角度講，拋物線形狀有利于水流的快速通過．如圖，某一排水渠的橫截面呈拋物線形，水面寬度，建立如圖所示的平面直角坐標系，該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式是．（1）求此時水面的最大高度；（2）若水面上升，則水面寬度將增加多少米？25.如圖1所示，在等腰三角形中，，是邊上一點，過點作，交于點．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．連接．（1）當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，求證：；（2）當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到三點在一條直線上時，如圖3．①和還相等嗎？___________（用“”或“”填空）；②若，猜想的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

黔南州2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測九年級數(shù)學(xué)注意事項：1．本試卷共6頁，滿分100分，考試時間120分鐘．2．答題前將姓名、準考證號、座位號準確填寫在答題卡指定的位置上．3．選擇題須使用2B鉛筆將答題卡相應(yīng)題號對應(yīng)選項涂黑，若需改動，須擦凈另涂；非選擇題在答題卡上對應(yīng)位置用黑色墨水筆或黑色簽字筆書寫．在試卷、草稿紙上答題無效．一、選擇題（本大題共12小題，每小題2分，共24分．在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.祥蛇納福，瑞氣盈堂．愿君新歲似靈蛇，身姿矯健躍高峰．祝福所有九年級學(xué)子6月勇奪桂冠．現(xiàn)將祥蛇納福圖繞某點旋轉(zhuǎn)得到的圖形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意做即可．【詳解】解：將祥蛇納福圖繞某點旋轉(zhuǎn)即可得到，大小不變，故選：B．2.一元二次方程的一個根是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程—直接開平方法，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．利用直接開平方法解方程即可解答．【詳解】解：，則，解得：，，故選：A．3.下列成語反映的事件中，發(fā)生的可能性最大的是（）A.守株待兔 B.大海撈針 C.返老還童 D.旭日東升【答案】D【解析】【分析】本題考查了可能性大小的判斷，一般地必然事件的可能性大小為1，不可能事件發(fā)生的可能性大小為0，隨機事件發(fā)生的可能性大小在0至1之間，熟練掌握在一定情況下有可能發(fā)生，有可能不發(fā)生的事件是隨機事件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解∶A．守株待兔是極小概率事件，不符合題意；B．大海撈針是不可能事件，不符合題意；C．返老還童是不可能事件，不符合題意；D．旭日東升是必然事件，符合題意；故選：D．4.如圖，在中，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角；注意：①“內(nèi)對角”是圓內(nèi)接四邊形的專用名詞，圓內(nèi)接四邊形的某一外角的內(nèi)對角是指與其相鄰的內(nèi)角的對角；②若四邊形的一組對角互補，則這個四邊形內(nèi)接于圓；③若四邊形的一個外角等于與其相鄰的內(nèi)角的對角，則這個四邊形內(nèi)接于圓．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理即可直接得出答案．【詳解】解：四邊形為的內(nèi)接四邊形，且，，故選：．5.若點都在拋物線上，則與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定【答案】A【解析】【分析】本題考查了利用二次函數(shù)的增減性比大小，熟記二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．首先確定拋物線的開口方向及對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，的大小關(guān)系．【詳解】解：∵拋物線，∴拋物線開口向上，有最小值，對稱軸為直線，∵當時，隨的增大而減小，，∴；故選：A．6.如圖，在矩形中，，以點為圓心，4為半徑作圓，下列說法中，正確的是()A.點在圓內(nèi) B.點在圓上 C.點在圓外 D.點在圓內(nèi)【答案】A【解析】【分析】本題考查了點與直線的三種位置關(guān)系，根據(jù)題意確定點與圓心之間的距離是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點與直線的三種位置關(guān)系：點在圓上，點在圓外，點在圓內(nèi)進行判斷．【詳解】解：因為，，，所以點在圓內(nèi)；因為在矩形中，，，如圖，連接所以，，，所以點在圓外；因，，，所以點在圓上．故選：A．7.拋物線與軸的交點情況為（）A.沒有交點 B.只有一個交點 C.有兩個交點 D.不能判斷【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，涉及一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握一元二次方程根的判別式．根據(jù)的情況，即可判斷求解．【詳解】解：∵Δ=∴拋物線與軸有兩個交點，故選：C．8.若是方程的兩個根，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后直接代入求解即可．【詳解】解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，，故選：C．9.在同一平面直角坐標系中，拋物線與直線的大致圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確函數(shù)圖象與、的關(guān)系．根據(jù)各個選項中的函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)與中、的正負，從而可以得到哪個選項是正確的．【詳解】解：A、由一次函數(shù)圖象可知，，，由二次函數(shù)圖象可知，，，故A選項不符合題意；B、由一次函數(shù)圖象可知，，，由二次函數(shù)圖象可知，，，故B選項不符合題意；C、由一次函數(shù)圖象可知，，，由二次函數(shù)圖象可知，，，故C選項不符合題意；D、由一次函數(shù)圖象可知，，，由二次函數(shù)圖象可知，，，故D選項符合題意；故選：D．10.如圖，已知是的直徑，平分弦，交于點，若，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查垂徑定理、圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．由圓周角定理得，由垂徑定理得，從而得，根據(jù)三角函數(shù)求出，再根據(jù)垂徑定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，是的直徑，，平分弦，，，，，，，故選：B．11.用一金屬圓柱體材料切削加工成橫截面是正六邊形的螺帽，其形狀和尺寸如圖所示，則該金屬圓柱體材料的底面直徑長至少是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題考查了圓與正六邊形的相關(guān)知識，解直角三角形，掌握圓內(nèi)接正六邊形的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)如圖所示的螺帽，可得到該螺帽的邊心距，再通過構(gòu)造直角三角形和利用正六邊形的性質(zhì)，求出半徑的長，即可求出直徑的長．【詳解】解：如圖，設(shè)點O為正六邊形的中心，過點O作垂直于正六邊形的邊，C為垂足，連接，由題意得，∴∴該金屬圓柱體材料的底面直徑長至少是，故選：C．12.在修建貴南高鐵某路段時，需對鐵路旁邊某一斜坡進行加固，現(xiàn)用混凝土噴射機將混合料噴射到坡面，如圖是噴射機工作時的截面圖，以噴出口為原點建立平面直角坐標系，若混合料的噴出路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，混合料的落點是，則點到噴出口所在水平面的垂直距離是（）A.6 B. C.8 D.12【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，聯(lián)立兩解析式，可求出交點的坐標；即可求解．【詳解】解：聯(lián)立解得：（舍去）或∴點到噴出口所在水平面的垂直距離是故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)解答．【詳解】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標是，故答案為：．【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，熟記關(guān)于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．14.一個不透明袋子中裝有個紅球和個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個球，若摸到白球的概率是，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了概率公式和解分式方程，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)概率公式列方程計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得：，經(jīng)檢驗：是分式方程的解，故答案為：．15.國產(chǎn)某品牌無人機憑借它在和精準飛控方面的強大技術(shù)優(yōu)勢，使其在銷量上獨占鰲頭．該品牌無人機在某次的方陣表演中，如圖，無人機原來排成行列，后又增加了架，使得方陣增加的行、列數(shù)相同，則增加了多少行？設(shè)方陣增加的行數(shù)為行，根據(jù)題意可列方程為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)方陣增加的行數(shù)為行，則新方陣增加了列，根據(jù)增加了架，使得方陣增加的行、列數(shù)相同，列出一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)方陣增加的行數(shù)為行，則新方陣增加了列，由題意得：．故答案為：．16.如圖，為矩形外一點，，，，則的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，取的中點，連接，由可得點在上運動，即可得，據(jù)此解答即可求解，由得出點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，∵，∴點在上運動，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，即點共線時，取最大值，最大值為，故答案為：．三、解答題（本大題共9小題，共64分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題考查了直接開方法、公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握一元二次方程的解法．（1）根據(jù)直接開方法，即可求解，（2）根據(jù)公式法，即可求解．【小問1詳解】解：，∴，或，∴；【小問2詳解】解：，。方程有兩個不等的實數(shù)根，即．18.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．（1）畫出繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的；（2）求中點經(jīng)過的路徑的長（結(jié)果保留）．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、弧長公式、平面直角坐標系中兩點之間的距離公式．分別作點、、繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的對應(yīng)點、、，連接點、、，得到即為所求；根據(jù)平面直角坐標系中兩點之間的距離公式，得到，根據(jù)弧長公式計算出的長度即可．【小問1詳解】解：如下圖所示，分別作點、、繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的對應(yīng)點、、，連接點、、，得到，即為所作；【小問2詳解】解：，的長為．19.已知拋物線經(jīng)過點．（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）當時，的取值范圍是___________．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）把已知點的坐標代入中求出a的值，從而得到拋物線解析式；（2）先利用配方法得到頂點式，則當時，y有最小值2，再分別計算出和對應(yīng)的函數(shù)值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【小問1詳解】∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得．∴這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為；【小問2詳解】∵，∴當時，y有最小值，最小值為2，當時，；當時，，當時，y的取值范圍為．故答案為：．20.某校理科社團決定采用抽卡片的方式對招募來的學(xué)生進行分組，制作了除圖片內(nèi)容不同外，其他完全相同的四張卡片：．積土成山．蠟炬成灰．物腐蟲生．木已成舟．每個同學(xué)從這四張卡片中隨機抽取一張，抽到表示化學(xué)變化的卡片，就加人化學(xué)魔法社；抽到表示物理變化的卡片，就加入物理小天團．（物理變化和化學(xué)變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)生成）（1）從四張卡片中隨機抽取一張，抽到卡片的概率是___________；（2）有同學(xué)說抽到每種卡片的可能性不一樣，于是老師組織同學(xué)進行大量重復(fù)試驗．以抽到卡片為例，數(shù)據(jù)記錄如下：試驗次數(shù)10030050010002000抽到卡片次數(shù)3070126251500抽到卡片頻率0.3000.2330.2520.2510.250根據(jù)以上數(shù)據(jù)，抽到卡片的頻率越來越穩(wěn)定于__________（精確到0.01），所以該同學(xué)的說法__________；（用“正確”或“錯誤”填空）（3）小娜隨機抽取一張卡片記錄后，放回并混在一起，再由小菲隨機抽取一張，請用列表法或畫樹狀圖法求她們恰好在同一個社團的概率．【答案】（1）；（2），錯誤；（3）．【解析】【分析】本題考查了用頻率估計概率、用樹狀圖求概率，會用樹狀圖列出所有可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式，即可求解，（2）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可，（3）根據(jù)列表法，得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【小問1詳解】解：從四張卡片中隨機抽取一張，抽到B卡片的概率是；【小問2詳解】解：表格中抽到的頻率在0.25上下波動，且隨著抽卡的次數(shù)增加，頻率逐漸穩(wěn)定于，所以該同學(xué)的說法錯誤故答案為：；錯誤；【小問3詳解】解：列表如下小菲小娜ABCDABCD由表可以看出，共有16種等可能的結(jié)果，其中小娜和小菲恰好在同一個社團的結(jié)果有4種，∴（恰好在同一社團）．21.閱讀下列材料：為解方程，可將方程變形為，然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得，．當時，無意義，舍去；當時，，解得，原方程的解為，．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解方程：．【答案】，，，【解析】【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵：1、換元法：把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化；2、換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．利用換元法解一元二次方程即可．【詳解】解：將原方程變形為，設(shè)，則，原方程化為，解得：，，當時，，解得：；當時，，解得：或；原方程的解為，，，．22.某種商品的銷售單價（元/件）與銷售月份（月）之間的關(guān)系如圖1所示（圖象呈線段）每件的成本（元/件）與銷售月份（月）之間的關(guān)系如圖2所示（圖象呈拋物線），且8月份該商品的成本達到最低．（1）求5月至7月該商品銷售單價的月平均降價率；（2）求該商品銷售單價關(guān)于銷售月份函數(shù)解析式；（3）在5月至8月中，哪個月銷售這種商品，每件獲得的利潤最大？（利潤售價成本）【答案】（1）5月至7月該商品銷售單價的月平均降價率為；（2）；（3）5月銷售這種商品，每件獲得的利潤最大．【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一元二次方程的應(yīng)用，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)5月至7月該商品銷售單價的月平均降價率為x，根據(jù)題意得：，然后進行計算即可；（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，即可得出答案；（3）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，然后設(shè)銷售這種商品每件獲得的利潤是w元．再根據(jù)利潤=售價-成本進行計算，即可得出答案．【小問1詳解】解：設(shè)5月至7月該商品銷售單價的月平均降價率為，根據(jù)題意，得，解得（不符合題意，舍去）．答：5月至7月該商品銷售單價的月平均降價率為；【小問2詳解】解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為．把點與點代入中，得，解得∴關(guān)于的函數(shù)解析式為；【小問3詳解】∵拋物線的頂點坐標是，∴設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為．把點代入，得，解得，∴．設(shè)銷售這種商品每件獲得的利潤是元．則．∵該拋物線開口向下，對稱軸是，∴在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小．∵，∴當時，取最大值，∴當時，取最大值，∴5月銷售這種商品，每件獲得的利潤最大．23.某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了圓的切線判定定理后，討論了過圓外一點，用尺規(guī)作的切線和的方法：①連接，分別以點和點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于，兩點；②作直線交線段于點；③以點為圓心，的長為半徑作圓，與相交于，兩點；④連接，．和即是所求的切線．（1）根據(jù)上述作法，求證：，是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析