專題24二次函數綜合壓軸題（55題）

一、解答題

1.（2023?北京?統考中考真題）在平面直角坐標系中，Af（占,％）,?/優,%）是拋物線＞=依2+法+＜?（。＞0）

上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x=J

⑴若對于占=1,&=2有%=%，求/的值；

⑵若對于。＜西＜1,1＜X2＜2,都有％＜%，求f的取值范圍.

2.（2022?北京?統考中考真題）在平面直角坐標系xQy中，點（L"）,（3,〃）在拋物線y=a/+/+以。＞0）上,

設拋物線的對稱軸為x=t

（1）當c=2,%=〃時，求拋物線與y軸交點的坐標及/的值；

⑵點（x0,m）（x0豐1）在拋物線上，若根＜〃＜G求/的取值范圍及號的取值范圍.

3.（2021?北京?統考中考真題）在平面直角坐標系xS中，點和點（3,"）在拋物線》="2+笈（。＞。）上.

（1）若〃?=3,〃=15,求該拋物線的對稱軸；

（2）已知點（-1,%）,（2,%）,（4,%）在該拋物線上.若根〃＜0,比較%，%，%的大小，并說明理由.

4.（2020?北京?統考中考真題）在平面直角坐標系X。7中，”（玉,3）,陽丈2，%）為拋物線y=以2+6x+c（a>0）上

任意兩點，其中占<馬.

（1）若拋物線的對稱軸為尤=1,當不，三為何值時，%=%=<?;

（2）設拋物線的對稱軸為x="若對于X|+X2>3,都有％<%，求f的取值范圍.

5.（2019?北京?中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=/+bx-』與V軸交于點A,將點A向右

a

平移2個單位長度，得到點B,點B在拋物線上.

（1）求點B的坐標（用含。的式子表示）；

（2）求拋物線的對稱軸；

（3）已知點尸（上-工），2（2,2）.若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結合函數圖象，求。的取值范圍.

2a

6.（2023?北京海淀?清華附中?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺擞萇y中，點（4,2）在拋物線〉=0?+笈+2（。>0）上.

（1）求拋物線的對稱軸；

⑵拋物線上兩點網%,%）,。（9，%），且%<r+l,4-t<x2<5-t.

①當”;時，比較％,%的大小關系，并說明理由；

②若對于毛，巧，都有％片內，直接寫出f的取值范圍.

7.（2023?北京西城?統考一模）已知拋物線＞=依2+法+4的對稱軸為直線x=[.

（1）若點（2,4）在拋物線上，求r的值；

⑵若點（占⑶，（程6）在拋物線上，

①當r=l時，求。的取值范圍；

②若，＜％＜三,且%-王\1,直接寫出a的取值范圍.

8.（2023?北京東城?統考一模）已知拋物線丁=依2-2依（470）.

⑴求該拋物線的頂點坐標（用含a的式子表示）；

⑵當a＞0時，拋物線上有兩點（Ts）,（k,t）,若s＞r時，直接寫出左的取值范圍；

⑶若A（〃I，X）,3（機力），C（〃z+3,%）都在拋物線上，是否存在實數"2,使得％＜為＜%VF恒成立？

若存在，求出能的取值范圍；若不存在，請說明理由.

9.（2023?北京朝陽?統考一模）在平面直角坐標系x0y中，拋物線丫=加+（2加-6卜+1經過點（1.2〃—4）.

⑴求a的值；

（2）求拋物線的對稱軸（用含機的式子表示）；

（3）點（-肛％）,（加,%），（加+2,%）在拋物線上，若%＜為?乂，求相的取值范圍.

10.（2023?北京海淀?統考二模）在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線〉=依2+陵+。+2（。＞0）過點

（1,4。+2）.

（1）求該拋物線的頂點坐標；

（2）過該拋物線與y軸的交點作）軸的垂線/，將拋物線在y軸右側的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變,

得到圖形G,N（-1+。,%）是圖形G上的點，設/=必+%.

①當4=1時，求r的值；

②若6<t<9,求。的取值范圍.

11.（2023?北京海淀?統考一模）在平面直角坐標系xOy中，點A5,7辦3d+4,〃）在拋物線y=f-2bx+l

上.

（1）當6=5,毛=3時，比較相與”的大小，并說明理由；

⑵若對于3Vx°W4,都有旭<〃<1,求6的取值范圍.

12.（2023?北京房山?統考二模）平面直角坐標系xOy中，拋物線y=依?-4x+3a的對稱軸為直線％=".

（1）若拋物線經過點（W）,求。和〃的值；

⑵若拋物線上存在兩點和B（W，〃z+l），匕=".

①判斷拋物線的開口方向，并說明理由；

②若1%-占區1,求a的取值范圍.

13.（2023?北京西城?統考二模）在平面直角坐標系尤帆中，點（國,%）,（%，％）都在拋物線

1r

y=ax-2ar+8（a<0）_h,且-1<西<2,\-m<x1<m+l.

⑴當機=_2時，比較%,%的大小關系，并說明理由;

（2）若存在巧,巧，滿足%=%，求機的取值范圍.

14.（2023?北京海淀??？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，拋物線y=Y-2皿+/+1與＞軸交于點人.點

3（%,必）是拋物線上的任意一點，且不與點A重合，直線'=&+優左片0）經過A,8兩點.

（1）求拋物線的頂點坐標（用含根的式子表示）；

⑵若點C。"-2,幻，￡＞（m+2,力在拋物線上，則“b（用“＜”，"=”或“＞”填空）；

⑶若對于玉＜-3時，總有人＜0,求機的取值范圍.

15.（2023?北京豐臺?統考一模）在平面直角坐標系xOy中，點A（-3,yJ,3（a+l,%）在拋物線y=爐-2ar+1

上.

⑴當。=2時，求拋物線的頂點坐標，并直接寫出%和%的大小關系；

⑵拋物線經過點C（m,%）.

①當m=4時，若％=%，則。的值為;

②若對于任意的4＜根＜6都滿足%＞%＞%,求a的取值范圍.

16.（2023.北京石景山?統考一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a?+樂+。（”＞（））的對稱軸為工=/,

兩個不同的點（3,m），。+1，”）在拋物線上.

⑴若機=〃，求f的值；

⑵若“<s<c,求f的取值范圍.

17.（2023?北京東城?統考二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=cvc+bx+^a^0）的對稱軸是直線x=3.

（1）求出該拋物線的頂點坐標（用含〃的式子表示）；

⑵當a>0時，對于任意的正數乙若點（3T，x）,（3+2/,%）在該拋物線上,則X%（填“或

（3）已知點4（0,3）,3（7,3）.若該拋物線與線段A3恰有一個公共點，求。的取值范圍.

18.（2023?北京門頭溝?統考一模）在平面直角坐標系無0y中，拋物線丫=依2一2依+“一4（。20）.

4-

3-

2-

1-

1111_____________L□—?—

-4-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

-4-

⑴求該拋物線的頂點坐標；

（2）當拋物線y=ax2-2m;+tz-4（<7w。）經過點（3,0）時，

①求此時拋物線的表達式；

②點%）,N（2〃+3,%）在拋物線上，且位于對稱軸的兩側，當為時，求〃的取值范圍.

19.（2023?北京通州?統考一模）在平面直角坐標系xOy中，已知點（T"）,（2,p）在二次函數y=-/+法+2

的圖象上.

（1）當〃=P時，求匕的值;

⑵當（2-〃）（〃一0）>0,求6的取值范圍.

20.（2023?北京昌平?統考二模）在平面直角坐標系xQy中，點（2。+1,加）0〃）是拋物線

y=ax2-2a2x+c（a0,c>0）上的點.

（1）當a=l時，求拋物線對稱軸，并直接寫出機與c大小關系；

（2）若對于任意的2W6V4,都有機>c>",求〃的取值范圍.

21.（2023?北京平谷?統考一模）在平面直角坐標系尤帆中，點（1,%）,（3,%）在拋物線y=V-2的+療上.

（1）求拋物線的對稱軸（用含機的式子表示）；

⑵若%<%，求相的取值范圍；

（3）若點（七,%）在拋物線上，若存在使％<%<%成立，求力的取值范圍.

22.（2023?北京朝陽?統考二模）在平面直角坐標系xS中，點（-1,乂）在拋物線y=-—ax上.

⑴求X的值（用含。的式子表示）；

（2）若。<一1,試說明：乂<0；

⑶點。，%），S-2,%）在該拋物線上，若為,%，%中只有一個為負數，求a的取值范圍.

23.（2023?北京?統考一模）在平面直角坐標系中，拋物線y=依?-4依+5（。*0）與>軸交于點C.

（1）求點C的坐標及拋物線的對稱軸；

⑵已知點（-1，%）,（2,%），（6,%）在該拋物線上，且%,%，%中有且只有一個小于0,求。的取值范

圍.

24.（2023?北京房山?統考一模）已知拋物線丁=尤2-2內+6經過點（1,1）.

（1）用含。的式子表示6及拋物線的頂點坐標；

⑵若對于任意a-lWa+2,者B有貯1,求。的取值范圍.

25.（2023?北京朝陽?清華附中校考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線

y=mx2-3（m-l）.r+2/M-l（niw0）.

（1）當根=3時，求拋物線的頂點坐標；

⑵已知點41，2）.試說明拋物線總經過點A；

（3）已知點2（0,2）,將點8向右平移3個單位長度，得到點C,若拋物線與線段3c只有一個公共點，求加

的取值范圍.

26.（2023?北京大興?統考一模）在平面直角坐標系xQy中，點（-2,%），（2,%），（3,%）在拋物線

y=x~-2tx+廠+1H.

（1）拋物線的對稱軸是直線（用含，的式子表示）；

（2）當％=%時，求r的值；

（3）點（租,%）。-3）在拋物線上.若必＜%＜必，求f的取值范圍及”?的取值范圍.

27.（2023?北京東城?北京市廣渠門中學校考二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=，-4以+2（a＞0）

與y軸交于點A.

（1）求點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）當0VxV5時，y的最小值是一2,求當04x45時，y的最大值；

（3）拋物線上的兩點P（,，%）,Q（巧，為），若對于，＜藥＜f+l,f+2＜%＜/+3,都有直接

寫出，的取值范圍.

28.（2023?北京西城?北師大實驗中學?？寄M預測）在平面直角坐標系中，拋物線丁=加-（a+2）x+2經

過點A（-2j）,B（m,p）.

⑴若1=0,

①求此拋物線的對稱軸；

②當時，直接寫出機的取值范圍;

⑵若，<0,點c（“，4）在該拋物線上，m<n^_3m+3n<-4,請比較p,q的大小，并說明理由.

29.（2023?北京順義?統考一模）已知：拋物線丁=62-4以-3（4>0）.

（1）求此拋物線與y軸的交點坐標及拋物線的對稱軸；

（2）已知點4（“,％）,3（〃+1,%）在該拋物線上，且位于對稱軸的同側.若|%-乂區4,求a的取值范圍.

30.（2023?北京豐臺?二模）在平面直角坐標系xQy中，點（4,3）在拋物線、=加+法+3（中0）上.

（1）求拋物線的對稱軸；

⑵若點（七,5）,伍,-3）在拋物線上，求a的取值范圍；

（3）若點（〃?,％）,（機+1,%）在拋物線上，對于任意的m23,都有卜-引23,直接寫出a的取值范圍.

31.（2023?北京海淀??？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼禑oOy中，點（4,3）在拋物線丁=加+法+3（。>0）上.

（1）該拋物線的對稱軸為.

⑵已知〃2>0,當2-//IVXV2+2〃2時，y的取值范圍是-IVyW3,求的值.

⑶在（2）的條件下，是否存在實數小當〃-2<x<〃時，y的取值范圍是3〃-3<y<3"+5,若存在，求出

〃的值，若不存在，請說明理由.

32.（2023?北京延慶?統考一模）在平面直角坐標系中，點44加），在拋物線y=f—2"+1上.

》八

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1O2345^

-2

-3

-4

-5

⑴當機=1時，求。的值；

⑵點（知九）在拋物線上，若存在。＜不＜〃，使得機=〃，直接寫出b的取值范圍.

33.（2023?北京海淀?北理工附中?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼狄酥浦校魏瘮刀?〃%2+2奴—〃—1的圖象

經過原點.

3y

2-

1-

-3-2-1O1~~23^

T-

-2-

-3-

⑴求該二次函數的解析式以及頂點坐標；

⑵將該二次函數的圖象在y軸左側的部分記作W,將W繞原點旋轉180。得到W',W與卬’組成一個新函數

的圖象.

①若點3（6,1）（。*-1）在該新函數圖象上，求6的值；

②若點（根,%）,（〃[+〃,%）是新函數圖象上兩點，若存在“22+0,使得%＞必，直接寫出〃7的取值范圍.

34.（2023?北京門頭溝?二模）在平面直角坐標系xOy中，設二次函數,=依2-2依+1（。中0）的圖象為拋物線

G.

備用圖

（1）求拋物線G的對稱軸及其圖象與y軸的交點坐標；

（2）如果拋物線G'與拋物線G關于X軸對稱，直接寫出拋物線G'的表達式；

（3）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.記拋物線G與拋物線G'圍成的封閉區域（不包括邊界）為W.

①當。=3時，直接寫出區域W內的整點個數；

②如果區域W內恰有5個整點，結合函數圖象，求。的取值范圍.

35.（2023?北京平谷?統考二模）已知拋物線y=*+2優，若點尸（-1,乂），”（加,為）在拋物線

上.

⑴該拋物線的對稱軸為（用含方的式子表示）；

⑵若當7"=2時，％=°，貝V的值為;

(3)若對于2〈〃/V3時，都有％<%<%，求t的取值范圍.

36.(2023?北京石景山?統考二模)在平面直角坐標系無。y中，拋物線y=依?-2x+c(aw0)與y軸交于點A,

將點A向右平移4個單位長度，得到點B.

(1)若c=4,點。(-2,4)在拋物線上，求拋物線的解析式及對稱軸；

(2)若拋物線與線段A3恰有一個公共點，結合函數圖像，求。的取值范圍.

37.(2023.北京順義.統考二模)在平面直角坐標系中，已知拋物線》=狽2一2片x-3(aH0).

(1)求該拋物線的對稱軸(用含。的式子表示)；

(2)若。=1,當一2<%<3時，求y的取值范圍；

⑶已知A(2a-l,yj,C(a+2,%)為該拋物線上的點，若％<%<%，求a的取值范圍.

38.(2023?北京大興?統考二模)在平面直角坐標系xOy中，點(2,1)在拋物線y=內2+版+1(“>0)上.

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)已知點AO。,"?)，點8(3,〃)在拋物線上，若對于區及Vt+1,都有求/的取值范圍.

39.（2023?北京海淀?北理工附中校考模擬預測）在平面直角坐標系北?中，拋物線丁=加-2片工（。工0）.

⑴當拋物線過點（2,0）時，求拋物線的表達式；

（2）求這個二次函數的對稱軸（用含〃的式子表示）；

⑶若拋物線上存在兩點A（aT,%）和8（。+3,%），當＞「丫2＜。，求。的取值范圍.

40.（2023?北京海淀?首都師范大學附屬中學?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，點（x“w）,（a-1,n）,是

拋物線y=上的點，x0^a-l.

（1）當方=2,時，求。和〃的值；

⑵若-44/W-3時，.＜0,求a的取值范圍.

41.（2023?北京東城?北京市廣渠門中學?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼禑oQy中，點A（-3,〃z）,3aM在拋物

線y=—X"+（2。-2）x—a~+2a上.

（1）求拋物線的對稱軸（用含。的式子表示）;

⑵若存在T＜不＜1,使得”?＜〃，求〃的取值范圍.

42.（2023?北京海淀?校聯考模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x-/7）2-4“的頂點為點A,且

0＜A＜3,

⑴若a-2,

①點A到x軸的距離為；

②已知點M（-L-6）,N（3,-6）,若拋物線與線段MN有且只有一個公共點，求力的取值范圍；

⑵已知點A到x軸的距離為4,此拋物線與直線y=2x+l的兩個交點分別為網士,%），C（%,%），其中玉（尤2,

若點￡）（%?,%）在此拋物線上，當為＜%＜當時，%總滿足％＜為＜%，求。的值和〃的取值范圍.

43.（2023?北京?校聯考一模）在平面直角坐標系xOy中，A（-3,yJ,C（m,%）在拋物線

y=-x2+lax+c{a＞0）_h.

（1）拋物線的對稱軸為直線x=_,直接寫出X和％的大小關系；

（2）若加=4,且％=%，則。的值是

⑶若對于任意1＜加44,都有％＜%＜%，求。的取值范圍.

44.（2023?北京??？寄M預測）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=狽?+法+4經過點（2,4）.

（1）求此拋物線的對稱軸；

（2）已知點（N，%）在此拋物線上，其中/＜石＜/+1,2-t＜x2＜3-t

①若f=g,比較%,%的大小，并說明理由.

②當。>0時，若存在4，X],使得％=%，直接寫出f的取值范圍;

45.（2023?北京?統考二模）在平面直角坐標系中，拋物線、=依2-4/尤（q/0）.

（1）求拋物線與x軸的交點坐標及拋物線的對稱軸（用含。的式子表示）；

⑵已知點P（a—1,%）,Q（a+5,%）在該拋物線上，若求。的取值范圍.

46.（2023?北京海淀??？寄M預測）在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線y=辦?+6尤-1（。>0）.

葉y

3-

2-

1

-4-3-2-1O-12~3~4~5~6~7_*

-1

-2-

-3-

-4-

（1）若拋物線過點（4,-1）.

①求拋物線的對稱軸；

②當-!<x<0時，圖像在x軸的下方，當5<x<6時，圖像在x軸的上方，在平面直角坐標系中畫出符合條

件的圖像，求出這個拋物線的表達式；

（2）若（T，x）,（-2,%）,（1,%）為拋物線上的三點且%>%>%，設拋物線的對稱軸為直線Xn,直接寫出

r的取值范圍.

47.（2023?北京?校聯考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=加一2/%一3（"0）.

（1）求該拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；

（2）若。=1,當一2Vx<3時，求y的取值范圍；

（3）已知4（2?！?,%）,8（。,%）,。（。+2,%）為該拋物線上的點，若（乂-%）（%-%）>。，求a的取值范圍.

48.（2023?北京海淀?北京市十一學校校考模擬預測）在平面直角坐標系xQy中，拋物線y=6?+bx+c交y

軸于點4點3（4,加）在拋物線上.設拋物線的對稱軸為直線x=J

⑴若48〃無軸，用含a的代數式表示6；

⑵記拋物線在A,B之間的部分為圖象G（包含A,B兩點），若圖象G上存在一點P（馬,力），使得力<Vc,

求f的取值范圍.

49.（2023?北京石景山??？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼涤萇y中，一次函數y=-6+3的圖象與〉軸交于點A,

與拋物線丫=辦2-2辦-3砍°二0）的對稱軸交于點B,將點A向右平移5個單位得到點C,連接AB,AC得到

的折線段記為圖形G.

（1）求出拋物線的對稱軸和點C坐標；

(2)①當。=-1時，直接寫出拋物線、=辦2一26-3a與圖形G的公共點個數.

②如果拋物線,=依2一2以-3a與圖形G有且只有一個公共點，求出a的取值范圍.

50.(2023?北京?校考模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，拋物線＞