專題34最值模型之阿氏圓模型

最值問題在中考數學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉化與化歸等的

數學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進

行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航

1

6

例題講模型］

模型1.阿氏圓模型

模型解讀

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B,動點尸滿足PA/PB=k（左為常數，且厚1））,

那么動點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

模型證明

如圖1所示，。。的半徑為廣，點A、8都在。O夕卜，P為。。上一動點，已知（即1=左），連

0B

接PA、PB,則當“PA+hP8”的值最小時，尸點的位置如何確定？最小值是多少呢？

OPOBOBOP

'：ZPOC=ZBOP,J.APOC^ABOP,.,.生=左，IPk-PB=PCo

PB

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉化為“PA+P。'的最小值。

其中與A與C為定點，尸為動點，故當A、P、C三點共線時，“P4+PC，值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內取點（系數小于1）；點在圓內：向外取點（系數大于1）；一內

一外：提系數；隱圓型阿氏圓等。

注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“八％+尸6’最值問題，其中P點

軌跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

模型運用

例1.（2024?安徽合肥?二模）在44BC中，ZACB=90°,AC=6,3c=8,點。是平面上一點，且CD=4,

連接AD、BD,則下列說法正確的是（）

A.4。長度的最大值是9B.|AD+即的最小值是|加

C.ZCBD=30°D.△ABD面積的最大值是40

例2.（2024?廣東?模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點P是圓B上的一個動

點，則PD--PC的最大值為

2

例3.（2023?北京?九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為。O,P是。。上一動點，則0

PA+PB的最小值為.

例4.（2024?江蘇?無錫市九年級期中）如圖，。。與y軸、x軸的正半軸分別相交于點/、點N,。。半徑

為3,點A（0,1）,點8（2,0）,點P在弧MN上移動，連接B4,PB,則3P4+PB的最小值為一.

例5.（2024.山東.模擬預測）如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,P在以3為圓心

3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為

例6.（2024?廣東?模擬預測）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,5C=8,D、石分別是邊區。、

AC上的兩個動點，且DE=4,P是DE的中點，連接上4,PB,則的最小值為.

B

例7.（2024?福建?校考一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，〃為AB上一點，且3M=2,N為邊BC

上一動點.連接肱V,將沿；W翻折得到一MN,點尸與點8對應，連接PAPC,貝IJP4+2PC的

最小值為?

例8.（2024?廣東?校考二模）（1）初步研究：如圖1,在△必8中，已知以=2,AB=4,。為AB上一點且AQ=1,

證明：PB=2PQ；（2）結論運用：如圖2,已知正方形的邊長為4,0A的半徑為2,點P是。A上的

一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,ZA=60°,的

半徑為2,點P是。A上的一個動點，求2PC-PB的最大值.

DC

DC

圖1圖2圖3

例9.（2023?山東煙臺?統考中考真題）如圖，拋物線y=ad+6x+5與x軸交于兩點，與>軸交于點

C,AB=4.拋物線的對稱軸尤=3與經過點A的直線、=履-1交于點。，與x軸交于點E.

（1）求直線AD及拋物線的表達式；（2）在拋物線上是否存在點使得△AD似是以AD為直角邊的直角三角

形?若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以點8為圓心，畫半徑為2的圓，點、P為OB

上一個動點，請求出尸C+；尸4的最小值.

習題練模型

1.（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，在矩形A3CD中，已知AB=3,18c=6,E為AD邊上一動點，將△ME

沿BE翻折到AEBE的位置，點A與點尸重合，連接DECF,則。的最小值為（）

2.（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形ABCD中AB=8,AD=6,點E是矩形ABCD內部一個動

點，且EB=4,連接CE,則DE+三分之二CE的最小值為（）

A.8B.—C.—D.9

33

3.（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=6,E為AD邊上一動點，將AABE

沿BE翻折到AEBE的位置，點A與點產重合，連接ORCF,則。尸+:b的最小值為（）

A.-B.叵C.4D.

222

4.（2024?山東泰安?二模）如圖，在吊AABC中，NACB=90。，CB=2gAC=9,以C為圓心，3為半

徑作G）C,尸為。C上一動點，連接釬、BP,則［AP+B尸的最小值為（）

A

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AZ）=9,點P為邊CO的中點，點E在邊AD

上，連接3尸，點P為3尸上的動點，則￡尸+典8歹的最小值為.

10

6.（2024.安徽合肥?模擬預測）如圖所示，正方形ABCD邊長為8,M為8C中點，E為AC上的動點，F為

班上的點，且昉=3,連接DE,貝！J2MF+DE的最小值是（）

A.病B.3幣C.2V14D.2歷

7.（2024?江蘇鎮江?二模）如圖，邊長為2的正方形ABC。中，E、尸分別為3C、CD上的動點，BE=CF,

連接AE、BF交于點P,則PD+多C的最小值為一.

8.（2024?浙江溫州?模擬預測）如圖，在正方形ABC。中，點M,N分別在邊A3,2C上（不與頂點重合），

且滿足=連接AN,DM交于點P.E,歹分別是邊AB,2C的中點，連結接PE,PF.若正方

形的邊長為8,則PE+/的最小值為

F

N

AMEB

9.（2024.廣西?一模）圖所示，在半徑為6的扇形ABC中，/3AC=60。，點。，E分別在半徑AB,

3

AC上，且8O=CE=2,點尸是弧8C上的動點，連接。REF,則。尸+不歷的最小值為.

BDA

10.（23-24九年級上?江蘇徐州?階段練習）如圖正方形ABCD的邊長是4,。4的半徑是2,點E是。A上一

動點，連接E3,EC.則EC+14的最小值=__________.

2

11.（2024九年級.廣東.專題練習）如圖，在VABC中，ZACB=9Q°,AC=BC=4,?C的半徑為2,。是。C

上一動點，點E在CB上，CE=l,連接A。,DE,則,4。+2。石的最小值_____

2

12.（2024.四川?校考一模）如圖，為。。的直徑，3=2,點C與點。在的同側，且3C_LAB,

AD=1,BC=3,點尸是。。上的一動點，則正尸。+PC的最小值為

2

13.（23-24九年級上.江蘇鹽城?期末）已知：等腰RtaABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。是AB上一

點，以。為圓心的半圓與AC、均相切，P為半圓上一動點，連尸C、PB,如圖，則PC+交尸8的最小

2

值是.

14.（2024?江蘇鎮江?二模）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E、歹分別為3C、CD上的動點，BE=CF,

連接AE、BF交于點、P,則PD+%C的最小值為一.

15.（2024?江蘇??？级＃┤鐖D，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點C為圓心，6為半徑的圓

上有一個動點D連接A。、BD、CD,則2AD+38D的最小值是

c

16.（23-24九年級上?江蘇南京?期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=S,D、E分別是

邊BC、AC上的兩個動點，且止=4,尸是。E的中點，連接2,PB,則PA+!PB的最小值為

17.（2024?江蘇?無錫市九年級階段練習）問題提出：如圖①，在Rt^ABC中，/C=90。，CB=4,CA=6,

0c的半徑為2,P為圓上一動點，連接AP、BP,求AP+gBP的最小值.

（1）嘗試解決:為了解決這個問題,下面給出一種解題思路:如圖①,連接CP,在CB上取一點D,使CD=1,

CDCP1PDCD1

貝!J*上=匕=士.又ZPCD=ZBCP,所以APCDS^BCP.所以0二士=士.

CPCB2BPCP2

所以PD=；PB,所以+=AP+尸。.

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+；8P的最小值為；

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求gA?+BP的最小值；

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，ZCOD=90",0C=6,OA=3,OB=5,P是CO上一點,

求2上4+尸8的最小值.

18.（2023春?江蘇宿遷?九年級?？奸_學考試）

圖4圖5

【問題呈現】如圖1,ZAOB=90°,OA=4,。2=5,點尸在半徑為2的。。上，求』4尸+8尸的最小值.

2

OC1OP

【問題解決】小明是這樣做的：如圖2,在上取一點C使得。。=1,這樣可得±=±=匕，又因為/

OP2OA

CPOP111

COP=ZPOA,所以可得ACOPsZVPOA,所以一=一=-,得CP=-A尸所以一+=

APOA222

又因為CP+3P2CB=yJOC2+OB2，所以;4尸+BP最小值為一.

【思路點撥】小明通過構造相似形（圖3）,將;AP轉化成CP,再利用“兩點之間線段“最短“求出CP+BP

的最小值.

2

【嘗試應用】如圖4,ZAOB=60°,04=10,。2=9,點P是半徑為6的。。上一動點，求最小值.

【能力提升】如圖5,ZABC=120°,BA=BC=8,點。為平面內一點且3CD,連接A。，則AAB。面積

的最大值為一.

19.(2023?江蘇連云港?統考一模)如圖1,平面內有一點尸到AABC的三個頂點的距離分別為R4、PB、PC,

若有PA2=PB2+PC2,則稱點P為AABC關于點A的勾股點.

圖1圖2圖3圖4

(1)如圖2,在5x5的網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B、C、D、E均在小正方形的格點上，則

點。是AABC關于點的勾股點；若點尸在格點上，且點E是△ABb關于點歹的勾股點，請在方格紙

中畫出△ABF；(2)如圖3,菱形A3CD中，AC與30交于點。，點E是平面內一點，且點。是△口￡關于

點E的勾股點.①求證：OE=AB；②若=OB