專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關系離不開數量的計

算。相似和勾股是產生等式的主要依據（其他依據還有面積法，三角函數等），因此要掌握相似三角形的基

本圖形，體會其各種演變和聯系。相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合

題的形式呈現，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8

（X）字模型.

目錄導航］

例題講模型

1

模型l.“A”字模型............................................................................1

模型2.，，》，字模型（“8”字模型）.............................................................4

模型3.“AT，字模型（“48”字模型）...........................................................6

習題練模型］

9

【知識儲備】A字型和8（X）字型的應用難點在于過分割點（將線段分割的點）作平行線構造模型，有的

是直接作平行線，有的是間接作平行線（倍長中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點在?？贾袩o論

小題還是大題都是屢見不鮮的。

例題講模型］

模型「％”字模型

模型解讀

“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾

這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似。

①“A”字模型②反“4”字模型③同向雙“A”字模型④內接矩形模型

模型證明

AD=AE=DE

①“A”字模型條件:如圖1,DE//BC；結論:△ADEsAABCaAB~AC~^C°

.ADAEDE

證明：：￡＞石〃BC,/.ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,：.^ADE^AABC,,,AB=AC=BCO

②反“A”字模型條件：如圖2,/AE,D=/B；結論：△A￡)ES^ACBQ/=^=阮

AT)AEDE

證明：：NAEQ=N8,(公共角)/.AADE^>/\ACB,?'?77；=弁=詬。

/.ZA=ZA,AC/\D￡>C

③同向雙“A”字模型條件：如圖3,EF//BC；

結論：AAEFsAABC,AAEGsAABD,△AGf's^Aoc=^=f2=生。

BDCDAD

證明：尸〃BC,ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,：.^AEF^^XABC,

,ADAEDE

同理可證：AAEGs^ABD,^AGF^AADC,,"7B=AC=BC"

④內接矩形模型條件：如圖4,AABC的內接矩形。EFG的邊EP在BC邊上，D、G分別在A3、AC邊

上，MAM±BC-,結論：^ADG^AABC,^ADN^AABM,^AGN^AACM<^>DG=AN=AN_o

BCABAM

證明是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^AABC,

同理可證：AADNs^ABM,KAGNS^ACM,:.吧="=處。

BCABAM

模型運用

例1.（2024?吉林長春?三模）如圖，在AABC中，點。、￡為邊A3的三等分點，點尸、G在邊5c上,

AC//DG//EF,CE交DG于點、H.若AC=12,則GH的長為

A

E

H

BFGC

例2.（2023?廣東廣州?模擬預測）如圖，正方形MNP。內接于點M,N在8C上，點P,。分別在

AC和A3邊上，且3C邊上的高AO=6,BC=12,則正方形MNPQ的面積為.

MDN,

例3.（2024?湖南永州?模擬預測）如圖：中，ZC=90°,BC=1,AC=2,把邊長分別為耳，巧，

w，...X“的”個正方形依次放在AABC中；第一個正方形CMAN的頂點分別放在RtZXABC的各邊上；第二

個正方形?！ǖ捻旤c分別放在RSA6Ml的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個正方形的邊長

CMlM4

例4.（2024?山東?中考真題）如圖，點E為YABCD的對角線AC上一點，AC=5,CE=1,連接DE并延長

至點、F,使得EF=DE,連接8尸，則所為（）

AB

57

A.—B.3C.—D.4

22

例5.（23-24九年級上?廣西南寧?階段練習）如圖，ADJ.BC,垂足為。，BEVAC,垂足為E,AD與BE

相交于點⑴判斷△ADC與"EC是相似三角形嗎？請說明理由；⑵連接ED,求證：CD-AB=ACDE；

（3）若A4=3C,DE=3,BD=5,求CD的長.

BDC

模型2.，，V，字模型（“8”字模型）

模型解讀

“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個

三角形相似.

①“8”字模型④斜雙“8”字模型

模型證明

①“8”字模型

ABOAOB

條件：如圖1,AB//CD；結論:△AOBsxCOD0

CD~OC~OD°

?ABOAOB

證明：AZA=ZC,/B=ND,AAOB^ACOD

f??CDOC~OD°

②反“8”字模型

ABOAOB

條件：如圖2,NA=N。；結論：AAOBs>DOC<

CD^OD~OC°

?ABOAOB

證明：ZAOB=ZDOC,（對頂角）J.^AOB^ADOC,

^CD~OD~OC°

③平行雙“8”字模型

條件：如圖3,AB//CD；結論：AE=BE=ABo

DFCFCD

證明/.ZA=ZD,ZAEO=ZDFO,：.AAEO^>/\DFO,

同理可證：XBEOsAcFO,LABO^^DCO,.?.絲=匹=空。

DFCFCD

④斜雙“8”字模型

條件：如圖4,N1=N2；結論：RAODs^BOC,KAOB^ADOC?ZS=Z4?

證明：：/l=N2,/A0￡>=N80C（對頂角），：.^AOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,AO:DO=BO:CO；

（對頂角），.".△AOB^ADOC,；.N3=/4。

模型運用

例1.（2024?吉林?中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC,3。相交于點。，點￡是。4的中點，點廠

FF

是。。上一點.連接收.若4EO=45。，則0的值為

BC

例2.（23-24九年級上?浙江杭州?期中）如圖，AD與BC交于點。所過點O,交43于點E,交CD于點

39CD

F,BO=1,CO=3,AO=-,DO=-.(1)求證：ZA=ZD.(2)若AE=2BE，求".

22DF

例3.（2024?四川眉山?中考真題）如圖,菱形ABCD的邊長為6,ZS4D=120°,過點。作DEL3C,交BC

的延長線于點E,連結AE分別交3。，CO于點P,G,則尸G的長為

例4.（23-24九年級上?安徽蚌埠?期中）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的

重心.（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為3的等邊AABC的重心為點。，求△O3C與AABC的面積；

（2）性質探究：如圖（二），已知的重心為點。，請判斷先、—是否都為定值？如果是，分別求出

OAS“BC

這兩個定值；如果不是，請說明理由;

（3）性質應用：如圖（三），在正方形A8C。中，點E是的中點，連接8E交對角線AC于點

①若正方形48C。的邊長為4,求EM的長度；②若S@E=2,求正方形ABC。的面積

模型字模型（“48”字模型）

模型解讀

①一“A”+“8”模型②兩“A”+“8”模型（反向雙字模型）③四“4”+“8”模型

圖2圖3

模型證明

①一“A”+“8”模型條件：如圖1,DE//BC-,

結論：AADESAABC,ADEF^/\CBF.,=—=—=—=—a

ABACBCFCBF

.ADAEDE

證明：：O￡〃8C,ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,：.^ADE^AABC,,,AB=AC=BCO

,JDE//BC,：.ZFDE=ZFCB,ZDEF=ZCBF,/.ADEF^ACBF,:.些="=莊

BCFCBF

,AD_AEDE_DF_FE

??瓦一花一二一百一而°

②兩“A”+“8”模型條件：如圖2,DE//AF//BC；

結論：MDAFsADBC,ACAF^ACED,=J_=J_+J_。

AFBCDE

證明：TA尸〃5C,；.NDAF=/B,ZDFA=ZDCB,ADAF^ADBC,，空二竺。

DCBC

*：DE//AF,:?/CAF=/E,ZCFA=ZCDE,：.LCAF^/\CED,?,.竺=竺。

CDDE

兩式相加得到：空+竺=4￡+4￡,即1=竺+竺，故工=_L+」_。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

③四“A”+“8”模型3條件：如圖3,DE//GF//BC.；結論：AF=AGf—+—=—=—=—o

BCDEAFAGGF

證明:同②中的證法，易證：_L+-L=_L,X+X=X

BCDEAFBCDEAG

BPAF=AG,故1?1二1二2。

AFAGBCDEGFGF

模型運用

例1.（2022?山東東營?中考真題）如圖，點。為AABC邊AB上任一點，OE〃3C交AC于點E,連接BE、CD

相交于點F,則下列等式中不或主的是（）

DEAEEFAE

.------------------D.---------------------D.蕓例2.（2023?安徽?三模）如圖，已知

DBECBCFC'~BC~~EC

AB1BC.DC.LBC,AC與3。相交于點。，作QM，3C于點M,點E是3。的中點，EF_LBC于點、G,

交AC于點/，若AB=4,8=6,則。EF值為（）

例3.（2024?湖北?模擬預測）（1）【問題背景】如圖1,ABIIEFI/CD,AD與3c相交于點E,點尸在5。上.求

、丁111

證：---1----=----；

ABCDEF

圖1圖2圖3

小雅同學的想法是將結論轉化為M+要=1來證明，請你按照小雅的思路完成原題的證明過程.

ABCD

（2）【類比探究】如圖2,AELAB,BDJ.AB,GH上AB,與3c相交于點G,點"在上，AE=A。.求

、十112

證：--------=.

GHACBD

（3）【拓展運用】如圖3,在AC四邊形ABCD中，AB//CD,連接，BD交于點M,過點M作印〃AB,

交AD于點E,交3C于點凡連接EC,ED交于點N,過點N作G”〃AB,交AD于點G,交BC于點、H,

若AB=3,CD=5,直接寫出G”的長.

例4.（2024江蘇泰州.三模）綜合與實踐

在初中物理學中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯系.請耐心閱讀以下材料：

【光學模型】如圖1,通過凸透鏡光心。的光線AO,其傳播方向不變，經過焦點歹的光線AE經凸透鏡L折

射后平行于主光軸沿EV射出，與光線AO交于點A,過點A作主光軸MN的垂線段A?,垂足為"，

即可得出物體AB所成的像A'B'.

圖1圖2

【模型驗證】設焦點P到光心的距離R?稱為焦距，記為了;物體A3到光心的距離3。稱為物距，記為";

像A'B'到光心的距離08'稱為像距，記為v.

已知A8=4，A'B'=h,,當/'<“<2/時，求證：一+一=二.

uvf

證明：VA'B'±MN,AB1MN,：.ZABO=ZAB'0=90°,

又,/ZAOB=ZAOB',必OBs/\AOB',

、

.ABOBBnh_u同理可得

A'B'OB'h2v

即①，??一=②，

OEOFh2V

111

uv-vf=uf,：.---=-，即

fUVuVf

請結合上述材料，解決以下問題：

（1）請補充上述證明過程中①②所缺的內容（用含八/'的代數式表示）；（2）若該凸透鏡L的焦距為20cm,物體

距凸透鏡L的距離為30cm,物高為10cm,則物體AB所成的像的高度為cm；

（3）如圖2,由物理學知識知“經過點A且平行于主光軸的光線AC經凸透鏡L折射后經過點4"，小明在

做凸透鏡成像實驗時，不斷改變物距發現光線C4'始終經過主光軸上一定點.若該凸透鏡L的焦距為20

cm,物高為10cm,試說明這一物理現象.

習題練模型

1.（2024浙江溫州?三模）如圖，在YABCD中，AG平分，54。分別交3。，BC,OC延長線于點/，G,

E,記△ADP與ACEG的面積分別為S-邑，若AB：A￡>=2:3,則稱的值是（）

AD

S

一

A-iB-Ic11D-I

2.（2024.安徽合肥?三模）如圖，已知四邊形A3CD是平行四邊形，點E是AD的中點，連接BE,AC相交

于點尸，過尸作2。的平行線交48于點G,若FG=2,則BC的值是（）

A.6B.5C.8D.4

3.（2024.四川成都.中考真題）如圖，在YABCD中，按以下步驟作圖：①以點8為圓心，以適當長為半徑

作弧，分別交54,8C于點M,N；②分別以N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在—ABC

內交于點。；③作射線80,交AD于點E,交C。延長線于點若CD=3,DE=2,下列結論錯誤的是

（）

BE5

A.ZABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.——=-

EF3

4.（2024九年級下?廣東?專題練習）如圖，在"IBC中，BC=120,高AD=60,正方形EFGH一邊在BC上,

BHDGC

A.15B.20C.25D.30

5.（2024?云南楚雄?模擬預測）如圖，在中，￡線段AC上一點，且AE:CE=1:2,過點C作CD〃AB,

交班的延長線于點D若ABEC的面積為10,則AECD的面積為（）

A.10B.15C.20D.25

6.（2024?浙江?模擬預測）如圖，矩形ABCD中，E是8C上的點，連接DE交對角線AC于點P,若ZDAC=30。,

A.6B.72C.2D.1.5

7.（2024?河南?中考真題）如圖，在口/lBCD中，對角線AC,3。相交于點。，點E為OC的中點，EF//AB

交BC于點?若AB=4,則E尸的長為（）

8.（2024?山東威海?中考真題）如圖，在YABCD中，對角線AC,BD交于點O,點E在BC上，點尸在CD

上，連接AE,AF,EF,政交AC于點G.下列結論錯誤的是（）

BEC

A.若一=—,則￡■尸〃B.若AE_L8C,AFVCD,AE=AF,則E尸〃

CFAB

C.若EF〃BD,CE=CF,則/￡AC=NE4cD.若筋=">,AE=AF,則E尸〃BD

9.（2024?陜西西安?一模）如圖，在AABC中，D,M是邊的三等分點，N,E是邊AC的三等分點.連

接ND并延長與CB的延長線相交于點P.若DE=4,則線段CP的長為（）

10.（2024.江蘇南京?一模）如圖，AB,8分別垂直3。，垂足分別為8,D,連接AD,BC交于點E,

ba

作EF_LBD,垂足為尸.設AB=a,CD=b,EF=c,若----=1,貝！1下歹?。莸仁剑孩賏+c=b；@b+c-2a；

ab

③/=".c,其中一定成立的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

11.（2024?陜西?中考真題）如圖，正方形CEFG的頂點G在正方形ABC。的邊CO上，AF與DC交于點H,

若AB=6,CE=2,則斯的長為（）

12.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，AABC,ZACB=90°,CB=5,C4=10,點。，E分別在AC,AS邊

上，AE=45AD,連接DE,將VADE沿DE翻折，得到VFDE,連接CE,CF.若△CEF的面積是ABEC

面積的2倍，則AD=

13.（2024?云南?中考真題）如圖,A3與CO交于點。,且AC〃瓦）.若第WK,則器=-------

14.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，在平行四邊形A8CD中，AB=2,AD=4,E、尸分別是邊CD、AD上

的動點，且CE=O9.當AE+CF的值最小時，則CE=.

15.（23-24九年級上.河南駐馬店?期中）如圖，AB//GH//DC,點//在3C上，AC與RD交于點G,若

16.（2023?吉林長春?統考三模）【閱讀理解】構造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法,

我們常用這種方法證明線段的中點問題.例如：如圖，。是AABC邊A3上一點，E是AC的中點，過點C作

CF//AB,交DE的延長線于點尸，則易證E是線段￡＞尸的中點.

【經驗運用】請運用上述閱讀材料中所積累的經驗和方法解決下列問題.

（1）如圖1,在正方形ABC。中，點E在45上，點尸在BC的延長線上，且滿足AE=CF,連接E/交AC

于點G.求證：①G是跖的中點；②CG與BE之間的數量關系是：

【拓展延伸】（2）如圖2,在矩形ABCD中，AB=2BC,點E在A3上，點下在3C的延長線上，且滿足

AE=2CF,連接E尸交AC于點G.探究BE和CG之間的數量關系是：:

17.（2024?遼寧大連?二模）【問題初探】（1）在數學活動課上，李老師給出如下問題：

如圖1,在AABC中，點。是A2的中點，點E是AC的一個三等分點，且AC=3CE,連接CO,BE交于點

F,求證：CF=FD.

①如圖2,小鵬同學利用“三角形中位線的性質”的解題經驗，取EB的中點G,連接DG,再通過“全等三角

形的性質”解決問題；②如圖3,小亮同學利用“三角形相似的性質”的解題經驗，過點C作CG〃AB,交BE

的延長線于點G,再通過“全等三角形的性質”解決問題.

請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程.

【類比分析】（2）李老師發現之前兩名同學都運用了數學的轉化思想，將證明三角形線段的關系轉化為我

們熟悉的角度去理解.為了幫助同學們更好地感悟轉化思想，李老師又提出了一個問題，請你解答：如圖4,

在AABC中，點。是A3的中點，點、E,G是AC的三等分點，BG,BE與8分別交于點H,F,求HD.HF

的值.

【學以致用】（3）如圖5,在AABC中，AC=BC,在射線A2上取點O,使BD=2AB,連接CO,在C。上

取點E,射線EB,C4相交于點/，當EB=ED時,求旗:族的值.

18.（2023?湖北隨州?模擬預測）［初步嘗試］（1）如圖①，在三角形紙片A3C中，ZACB=90°,將VABC折

疊，使點B與點C重合，折痕為MN,則AM與BM的數量關系為；

［思考說理］（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC^BC=6,AB=10,將VA3C折疊，使點8與點C重

合，折痕為"N,求黑的值；

［拓展延伸］（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB=9,BC=6,ZACB^2ZA,將VABC沿過頂點C的

直線折疊，使點B落在邊AC上的點夕處，折痕為CM.①求線段AC的長；②若點。是邊AC的中點，點

產為線段03'上的一個動點，將△轉〃沿折疊得到AAFM,點A的對應點為點A,AM與CP交于點F,

求空的取值范圍.

MF

圖①圖②圖③

19.（2024?江蘇泰州?二模）圖算法是根據幾何原理，將某一已知函數關系式中的各變量，分別編成有刻度

的直線（或曲線），并把它們按一定的規律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數式中的未知量，這樣的

圖形叫諾模圖.設有兩只電阻，%=6千歐，尺=4千歐，問并聯后的總電阻值R是多少千歐？

我們可以利用公式求得R的值，也可以設計一種圖算法（如圖1）直接得出結果：我們先來畫出一個120。的

角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進行刻度，這樣就制好了一張算圖.我

們只要把角的兩邊刻著6和4的兩點連成一條直線，這條直線與角平分線的交點的刻度值就是并聯后的總

電阻值R

圖1圖2圖3

(1)①用=6千歐，&=4千歐，計算R=千歐；②如圖1,已知NAO3=120。，OC是的角平

分線，。4=片，。8=&,OC=R.用你所學的幾何知識說明：)=5+!；

KK11\7

(2)如圖2,已知Z4O3=90。，OC是NAO5的角平分線，OA=RX,OB=R2,OC=R.此時關系式可以寫

成"1=」"+3-,其中相。。的常數,求加的值;

K/K2

(3)如圖3,若/4。3=&,(2)中其余條件不變，請探索Rp4,R之間的關系.(用含a的代數式表示)

20.(2024?湖北武漢?中考真題)問題背景：如圖(1),在矩形ABCD中，點、E,F分別是AB,BC的中點,

連接BD,EF,求證：△BCD^AFBE.

問題探究：如圖(2),在四邊形A8C。中，AD//BC,/BCD=90。，點E是45的中點，點尸在邊BC上,

AD^ICF,EF與BD交于點G,求證：BG=FG.

FG

問題拓展：如圖(3),在“問題探究”的條件下，連接AG,AD=CD,AG=FG,直接寫出胃的值.

GF

專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關系離不開數量的計

算。相似和勾股是產生等式的主要依據（其他依據還有面積法，三角函數等），因此要掌握相似三角形的基

本圖形，體會其各種演變和聯系。相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合

題的形式呈現，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8

（X）字模型.

目錄導航］

例題講模型］

.......................................................................................................................................................18

模型L“A”字模型...........................................................................18

模型2.，，￡，字模型（“8”字模型）.............................................................23

模型3.字模型（“A8”字模型）..........................................................27

習題練模型］

.......................................................................................................................................................33

【知識儲備】A字型和8（X）字型的應用難點在于過分割點（將線段分割的點）作平行線構造模型，有的

是直接作平行線，有的是間接作平行線（倍長中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點在?？贾袩o論

小題還是大題都是屢見不鮮的。

例題講模型n

模型字模型

模型解讀

字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾

18

這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似。

①“A”字模型②反“A”字模型③同向雙字模型④內接矩形模型

模型證明

ADAEDE

AADEs

①字模型條件:如圖1,DE//BC；結論:<4B=AC=BC°

?A。AEDE

證明:石〃8C,；?/ADE=/ABC,ZAED=ZACB,：.AADES^ABC,?*AB=AC=BCO

ADAEDE

②反“A”字模型條件：如圖2,ZAE,D=ZB；結論：AADEsAACB^AC=AB=BC°

證明:???NAED=N8AZA=ZA,（公共角）AAADE^AACB,???7A7C；=A宣n=訴nC。

③同向雙“A”字模型條件：如圖3,EF//BC-,

結論：^AEF^AABC,AAEGS^ABD,AAGF^AADC^^2==^2o

BDCDAD

證明：：EF〃BC,ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,：.AAEF^AABC,

,ADAEDE

同理可證：AAEGsAABD,^AGF^AADC,"'AB=AC=BC°

④內接矩形模型條件：如圖4,AABC的內接矩形。EFG的邊EF在8C邊上，D、G分別在AB、AC邊

上，且結論：△A￡）GSZ\ABC,AAD^AABM,^AGN^AACM<^DG=AN_=AN_a

BCABAM

證明是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^AABC,

同理可證：AADNs叢ABM,AAGNs^ACM,;.空=絲=則。

BCABAM

模型運用

例1.（2024?吉林長春.三模）如圖，在AABC中，點。、E為邊AB的三等分點，點/、G在邊BC上,

AC//DG//EF,CE交DG于點、H.若AC=12,則GH的長為.

19

A

D

BFGC

【答案】2

【分析】本題主要考查了平行線的性質，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握

平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質是解題的關鍵.利用平行線的性質得到ABEFS^BAC,利

用相似三角形的性質求得EE的長度，利用平行線分線段成比例定理求得CG=FG,再利用相似三角形的判

定與性質解答即可得出結論.

BF1

【詳解】???點O,E為邊A3的三等分點，

BA3

EFBE1

?;AC〃EF...△BEFSABAC,：-—=—=一，vAC=12,:.EF=4,

ACBA3

???點。，E為邊A3的三等分點，AC〃DG〃EF,.,.點尸，G為邊8C的三等分點，

1.'DG||EF,:.ACGHSACFE,==—,CG——FE=2.故答案為：2

FECF22

例2.（2023?廣東廣州?模擬預測）如圖，正方形MNP。內接于融。，點N在8C上，點P,。分別在

AC和A3邊上，且邊上的高">=6,BC=12,則正方形肱VPQ的面積為.

【答案】16

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，正方形的性質，線段的和與差等知識.解題的關鍵是根據比

例表示出相應線段列方程.根據三角形相似，找到對應線段成比例列方程求解即可.

【詳解】解：設正方形MNP。的邊長為無，則即=x,AE=AD-x^（6-x）

?.,四邊形MNP。是正方形，-.-PQ//BC,:.AAPQ^^ACB,

■.■ADLBC,PQ=ED=x,AE=6-x,BC=12,AD=6,

ADBC

6—XY

.??一=去解得：x=4,正方形MNP。的面積為Y=16故答案為：16

o12

例3.（2024?湖南永州?模擬預測）如圖：例ZVIBC中,ZC=90°,BC=1,AC=2,把邊長分別為毛，4，

20

%，…無"的"個正方形依次放在AABC中；第一個正方形的頂點分別放在RtZXABC的各邊上；第二

個正方形且小的頂點分別放在Rt△A用乩的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個正方形的邊長

龍2024為?

【答案】

【分析】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質與判定，圖形類的規律型問題.先由正方形的

性質得到RN\//CM,CN]=PM=CM=6M，貝UVB叫qsVBCA,BN、=BC-CN,,即可推出處=型％,

BCAC

即上千％=容，從而求出CM=1,同理可證v^N^sv用％A,片區=片陷-得到符=翳

即^^上二當馬，推出加|憶=1，即可得到規律可推出第〃個正方形的邊長（gj,由此即可得到答案.

33

【詳解】解：???四邊形是正方形,

PM//CM.,CNi=PN=CM.=PXMX,NBNRKBCA,BN.=BC-CN1

."1=里%即i-CN-CM224

ACN,=-,AM,A=AC-CM}

9BCAC912131133

同理可證《

V[N2gsvM]A,P{N2=P[M{-MXN2

2

P.N,PN3-"17V2MM48

???加?=意?,即^^=十,同理可求得知川3=藥,

33

（\2。24（、2。24

2

???可以推出第九個正方形的邊長為???第2024個正方形的邊長々024為:，故答案為：；.

例4.（2024.山東.中考真題）如圖，點石為YABCD的對角線AC上一點，AC=5,CE=1,連接并延長

至點尸，使得EF=D后，連接砥，則■為（）

21

Dr_______________C

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助

線是解題關鍵.

作輔助線如圖，由平行正相似先證石，再證△灰而小水花，即可求得結果.

【詳解】解：延長。尸和A3,交于G點，

???四邊形ABCD是平行四邊形，ADC//AB,DC=AB^DC//AG,：.^DEC^GAE

CEDEDCCEDEDC1

,VAC=5,CE=1,：.AE=AC-CE=5-1=4,：

AEGEAGAEGEAG4

DEDE1EF1

又＜EF=DE,

GEEF+FG4FG3

DCDC1DC1EFDC1

,DC=AB,：

AGAB+BG4BG3FGBG3

.BGFG3.BFFG_3

AE〃BF,：.小BGFs*GE,9：AE=4,：.BF=3.故選：B.

*AG-EG-49AE~EG~4

例5.（23-24九年級上?廣西南寧?階段練習）如圖，AD1BC,垂足為。，BEVAC,垂足為￡,AD與BE

相交于點/，（1）判斷幾位）。與是相似三角形嗎？請說明理由；（2）連接即，求證：CDAB=ACDE；

(3)若班=BC,DE=3,BD=5,求8的長.

BDC

22

【答案】（D^AOCSMEC,理由見解析；（2）證明見解析；（3）。。="/7.

2

【分析】（1）由垂直的定義得到NADC=N5EC=90。，再利用兩角對應相等的兩個三角形相似即可求解；

（2）根據相似三角形的性質和判定定理即可得到求證；（3）利用等腰三角形的“三線合一”定理可得

AE=EC,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出AC長，最后代入=解

方程即可；本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和相似三角形的判定

和性質的應用，能熟練地運用定理進行推理是解題的關鍵.

【詳解】（1