阿波羅尼斯圓與蒙曰圓七大題型匯總

題型1芮氏■!與軌跡

題型2阿氏圄與1律曲線

題型3k氏圄求非對卷型最值

題型4阿氏圄與向量

題型5k氏1與立體幾何

題型6捕圄中的親日圄

題型7雙曲線與粕物線中的蒙日圄

02

題型1阿氏圄與軌跡

中卜劃重點

阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點A,B,設P點在同一平面上且滿足祟=九當4>0且時，P點的軌跡是個圓，稱

riD

之為阿波羅尼斯圓.（4=1時P點的軌跡是線段AB的中垂線

回工（2021下?陜西寶雞?高三統考階段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發

現:“平面內到兩個定點的距離之比為定值；1（4W1）的點的軌跡是圓”.后來,人們將這個圓以他的

名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓在平面直角坐標系力。V中，4（—2,0）,6（4,0）,點P滿足需

-1.則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（）

A.4兀B.8兀C.12兀D.16兀

【答案】。

【分析】設P（x,y）,則由=-y結合距離公式化簡可得3+4）2+才=16,從而可知點P的軌跡是以（

\PB\2

-4,0）為圓心，4為半徑的圓，進而可求出面積

_1_J(/+2)2+才

【詳解】設點P3,u）,則

\PB\~2"

化簡整理得力2+d+8%=0,即（比+4）2+才=16,

所以點P的軌跡是以（一4,0）為圓心，4為半徑的圓，

所以所求圖形的面積為16兀，

故選：。

孌式他1紙

I題目1（2023上?浙江金華?高三階段練習）已知圓。的直徑AB=6,點M■滿足LMA|=2|MB|.記點〃■的軌

???

跡為W,設W與。交于P,Q兩點，則|PQ|=.

【答案】■

【分析】首先建立坐標系，分別求圓。和圓W的方程，兩圓相減后求直線PQ的方程，再根據弦長公式求解

弦長.

【詳解】以線段AB的中點為原點，以AB所在直線為立軸，線段4B的中垂線為沙軸建立平面直角坐標系，

則圓。的方程為x2+y2=9,

力（-3,0）,8（3,0）,設Af（a：,y）,

由題意可知，J（c+3y+娟=2V（a：-3）2+y2,

整理為（①一5）2+才=16,,

則圓W的方程為(/—5)2+d=16；

兩圓相減得直線PQ的方程為田=2，

5

圓心(0,0)到直線力=■的距離d=1,

O3

所以線段|PQ|=2J9-償了24

T

故答案為：與

5

題目可(江蘇省海高三模擬考試數學試題)在平面直角坐標xOy中，已知點4(1,0),6(4,0)，若直線x-y

+機=0上存在點P使得\PA\=-y|PB|，則實數小的取值范圍是.

【答案】［―

【分析】根據\PA\=y|PB|得出點P的軌跡方程，又點P在直線2；—9+WZ=0上，則點P的軌跡與直線必

須有公共點，進而解決問題.

【詳解】解:設。(居5

則|B4|=1)2+(沙-0)2,\PB\=V(s-4)2+(y-0)2,

因為\PA\^^\PB\,

所以有1)2+(。-0)2=-yV(:E—4)2+(y—O)2,

同時平方，化簡得/+才=4,

故點P的軌跡為圓心在(0,0),半徑2為的圓，

又點P在直線力一g+m=0上，

故圓/2+才=4與直線力—g+m,=o必須有公共點，

所以J加W2,解得一

V1+T

【點睛】本題考查了點的軌跡問題、直線與圓的位置關系的問題，解題的關鍵是能從題意中轉化出動點的軌

跡，并能求出點的軌跡方程.

題目§(2021?湖南衡陽?校聯考一模)阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題:平面內到

兩定點距離之比為常數府代＞0,用力1)的點的軌跡是圓，后人將此圓稱為阿氏圓.若平面內兩定點4、8間

的距離為4,動點P滿足目=V3，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為；PA-PB最大值是

【答案】127r24+16V3

【分析】以經過A,B的直線為名軸，線段AB的垂直平分線為？/軸，建立直角坐標系，求出阿氏圓方程，可得

半徑，從而得面積.由P(x,y),利用向量數量積的坐標表示求出用?屈，結合P在圓上可得最大值.

【詳解】以經過力，B的直線為立軸，線段AB的垂直平分線為沙軸，建立直角坐標系，如圖，

則4(—2,0),8(2,0),設P(⑨g),=V3,=用,

\PB\J(力-2丫+才

得：力2+4—&c+4=0=>(%一4)2+4=12,點P的軌跡為圓(如圖),

其面積為12兀.

刀?4=/—4+/=|OP『—4,如圖當P位于點。時，|OP|2最大，QP『最大值為(4+2V3)2=28+

16V3，故兩?屈最大值是24+16V3.

故答案為：12兀；24+16V3.

題目⑷(2019上?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學校考階段練習)己知AB是平面上兩個定點,平面上

鉆一+,上「、-口\CA\\DA\

的動點。,。滿足——>=.——>.=m，若對于任意的m>3,不等式|也|W司恒成立，則實數用的最小

\DB\

值為_

【答信

【分析】建立坐標系，得點的軌跡方程，分離參量求范圍即可求解

【詳解】不妨設區⑹=1,以人為原點，AB所在直線為名軸建立直角坐標系，則A(0,0),B(l,0),

設。=mn(x--+才=

(a:,y),V(^-l)2+y21病(rn72-l),2

故動點C,D的軌跡為圓，由|團|<N笈同恒成立，則k>|GD|max=2T=—>4

mrn---4

-1m

故答案為慧

【點睛】本題考查圓的軌跡方程，平面問題坐標化的思想，是難題

：題1回(2023上.山東.高三沂源縣第一中學校聯考開學考試)我們都知道:平面內到兩定點距離之比等于定

值(不為1)的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點4(-1,0)和

5(2,1).且該平面內的點P滿足\PA\=V2\PB\，若點P的軌跡關于直線mx+ny-2=0(m,n>0)對稱,

則2+5的最小值是()

mn

A.10B.20C.30D.40

【答案】B???

【分析】點P的軌跡為圓，直線mx+ny—2=0過圓心，得5m+2n=2,利用基本不等式求—+立的最小

mn

值.

【詳解】設點P的坐標為（①辿），因為|a4|=2|PB|,貝打24|2=2|?刊2,

即3+以+）=2]（土—2y+（u—1）2],

所以點P的軌跡方程為3-5）2+（y-2）2=20,

因為P點的軌跡關于直線mx-\-ny-2=對稱，

所以圓心（5,2）在此直線上，即5m+2n=2,

所以2+苴=《_（5m+2"）（2+立）=[（20+迫+組巧近=20,

當且僅當生1=即6=*，九=《時，等號成立，

mn52

所以2+旦的最小值是20.

mn

故選:B.

題目回（多選）（2023上?貴州貴陽?高三清華中學校考階段練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里

得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點A,B的距離之比為定

值火4>0,且421）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系①中，A（—2,0）,

B（4,0）,點P滿足*=].設點P的軌跡為曲線C,則下列說法正確的是（）

A.。的方程為（2+4）2+才=16

B.點AB都在曲線。內部

C.當A,B,P三點不共線時，則/APO=/BP。

D.若。（2,2）,則\PB\+2\PD\的最小值為電后

【答案】ACD

【分析】對于A,通過直接法求出點P的軌跡方程即可判斷;

對于利用點到圓心的距離，判斷點與圓的位置關系;

對于C,由題意，結合三角形內角平分線定理進行判斷即可;

對于。，將\PB\+2\PD\轉化為2\PA\+2\PD\進行判斷即可.

【詳解】設P（。,/（P不與重合）,

22

由4(—2,0),5(4,0)，有|B4|=jQ+2)2+婿,\PB\=V(?-4)+y,

\PA\

制，即化簡得（…）―,

\PB\

所以點P的軌跡曲線。是以。（一4,0）為圓心，半徑r=4的圓，如圖所示,

對于A選項，由曲線。的方程為（2+4）2+/=16,選項A正確;

對于B選項，由BC=8,點B在曲線。外，選項B錯誤；?M

對于。選項，由|。4|=2,|。目=4,有球=9=總，

\UJD\/I卜”I

則當4,B,P三點不共線時，由三角形內角平分線定理知，PO是4APB內角AAPB的角平分線,

所以AAPO=/BP。,選項。正確；

對于。選項，由焉=得|P8|=2|24],

I/為/

則|PB|+2|PL>|=2|B4|+2\PD\=2(\PA\+\PD\)>2\AD\=2xV(-2-2)2+(0-2)2=475,

當且僅當P在線段AD上時，等號成立，

則\PB\+2\PD\的最小值為4/5,選項。正確.

故選：ACD.

題型2阿氏町與m維曲線

阿波羅尼斯圓的證明

【定理1】設P(c，9),4(—a,0)，B(a,0).若篇=4(4>0且4A1),則點P的軌跡方程是

"得"+「=(=)：其軌跡是以(含明。)為圓心泮徑為「T閣的圓?

222

證明：由Q4=止3及兩點間距離公式，可得(c+a)+才=7[(2—a)+y],

化簡可得(1—矛)/+(1—/l2)y2+2(1+/l2)aa;+(1—4，滔=0①,

⑴當4=1時，得t=0,此時動點的軌跡是線段的垂直平分線;

2a(1+*加

⑵當421時,方程①兩邊都除以1—才得/+才++a2=0,化為標準形式即為:

1-A2

6WH+娟=(碧)；點？的軌跡方程是以(碧明。)為圓心泮徑為T碧頤?

血]2(2021上?北京?高三北京市八一中學校考期末)古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世

界光輝的科學成果,它將圓錐曲線的性質網羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地，他證明過這樣一個命題：

平面內與兩定點距離的比為常數用(k>0且%R1)的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓,現有橢

圓+A=l(a>b>0),人、B為橢圓r長軸的端點,C、D為橢圓r短軸的端點，動點河滿足

=2,△MAB的面積的最大值為8,的面積的最小值為1,則橢圓r的離心率為.

【答案】

2???

【分析】設點M(x,y),根據=4=2可得出點M的軌跡方程,根據已知條件可得出關于a、b的方程組，解

|7WB|

出Q、b的值，求出。的值，進而可得出橢圓「的離心率的值.

【詳解】設點M(x,y)，設點A(—a,0)>B(a,O),

由?nmi=2可得\MA\=2\MB\,即y/(j;+a)2+?/2=2J(n—。了+#,

整理可得/+才一華工+/=0,即(工―學)2+才=#_a2,

所以，點V的軌跡是以點(等,0)為圓心，以號a為半徑的圓，

點到x軸的距離的最大值為?a,則4MAB的面積的最大值為X2ax3a=當-=8,

解得a=V6;

點”到沙軸距離的最小值為當一等=告，則ZWCD的面積的最小值為Jx2bx^=l,

OOO/J

可得6=乎.

c=Va2—62=3?，因此，橢圓「的離心率為e=￡"=

故答案為：鳥.

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

⑴定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據離心率的定義求解離心率e的值;

(2)齊次式法：由已知條件得出關于a、c的齊次方程，然后轉化為關于e的方程求解；

(3)特殊值法:通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

變鄴訓‘級

題目Q(2021?安徽黃山?統考一模)在平面上給定相異兩點A,B,設點P在同一平面上且滿足國=九當

4>0且4W1時，P點的軌跡是一個圓,這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故我們稱這個圓為

阿波羅尼斯圓.現有雙曲線宅―S=l(a>0,6>0),可耳分別為雙曲線的左、右焦點，力，B為雙曲線虛

ab一

軸的上、下端點，動點P滿足嗎=2,△PAB面積的最大值為4.點河，N在雙曲線上，且關于原點O對

稱，Q是雙曲線上一點，直線和QN的斜率滿足%獷3可=3,則雙曲線方程是；過月的

直線與雙曲線右支交于兩點(其中。點在第一象限),設點朋;N分別為△CEE、△。用E的內心，則

|7WN|的范圍是.

?M

【答案】i一￡=1[2,胃)

【分析】設40，?,B(0,—b),PQ,力根據黑^=2,求得/+儲—半結合△R4B的最大面積得

到d=3,再根據初兇?%N=3,得出/一(=1,設邊CE，CE，E區上的切點分別為R,S,T,根據內心的性

質，得至IAW_Lc軸，設直線CD的傾斜角為。，在AMHN中，得到\MN\=-^―，進而求得\MN\的取值范

sine*

圍.

【詳解】設A(O,b),B(O,—b),PQ,。)，

由題意知=2,可得|PB|=2|B4|,即y/x2+(y+bY=2/而F,

整理得/+(y—學?=(當)：可得圓心為(0,等)，半徑發=當，

所以△JR4B的最大面積為/x2b義當=4,解得*=3,即考■+(■=：!,

設。(電g),M(g,m),則N(-Xi,—yj,

則口2+3=1，可得%=「

，同理V=

223(—一力2)3(Q2-斕

m,17_y—yi7_y+y?.,)71_y一及_心~滔_

貝」kQM——，LQN———T，貝」kQM?“QN——~22~22—,

X-Xi*/+gX-xlX-Xi

整理得(?=1,所以雙曲線的方程為/一冬=L

O

如圖所示，設邊。后,C&RE上的切點分別為R,S,T,

則跖T橫坐標相等，則|CR|=|CS|,|卻M=|ET|,|ES|=|即,

由|。同一月|=2,即\CR\+|畫—(|CS|+%)=2,即|凡用一|S￡|=2,

即㈤T|—網T|=2,即點的橫坐標為g,則T(g,0),

于是g+c—(c—g)=2,可得g=1,

同樣內心N的橫坐標也為1,則的V_Lz軸，

設直線CD的傾斜角為仇則/O￡N=-y,^MF2O=90°—1,

sin4COSy

———+

cos-|-sin-1-,

sin24-+cos2g9

=(c—a)?—今~/n；,

sin,eos'sm。

由雙曲線的方程，可得a=1,b=V3，則c=Va-2+fe2=2,

2

可得\MN\^

sin。'

又由直線CD為雙曲線右支上的點，且漸近線的斜率為小■=通,傾斜角為60°,

a

可得60°<。W90°,即卓<sin。W1,

可得\MN\的取值范圍是[2,3咨).

故答案為：/—行=1；曾，

JL

H

【點睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：

（1）幾何轉化代數法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、

幾何性質來解決；

（2）函數取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求這個函數的最值（或

值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調性法；（4）三角換元法；（5）導數法等，要特別注意

自變量的取值范圍.

題目口（2021上.吉林通化.高三梅河口市第五中學校考期末）古希臘數學家阿波羅尼斯（約公元前262-

190年），與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數學家;他的著作《圓錐曲線論》是古代數學光輝的科學成

果，它將圓錐曲線的性質網絡殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他發現“平面內到兩個定點的距離

之比為定值44W1）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿

氏圓.比如在平面直角坐標系中，4（0,1）、B（0,4）,則點P滿足4=。所得P點軌跡就是阿氏圓；已知點

。（—2,4）,Q為拋物線靖=8,上的動點,點Q在直線。=—2上的射影為H,為曲線（c+2）2+才=4上

的動點，則^\MC\+\QH\+的最小值為.貝+\QH\+的最小值為.

【答案】V17;4V5-2V2

（分析］（1）先利用阿氏圓的定義將91Moi轉化為初點到另一個定點。的距離，然后結合拋物線的定義容

易求得+\QH\+\QM\的最小值；

（2）由⑴知\MC\+\QH\+\QM\=\MC\+\QF\+\QM\>\MC\+\MF\,又當過點”的圓的切線與直線

FC平行且離直線FC近時，+\MF\取得最小值即可求解.

【詳解】解:設P（x,y），由題意累=J,即夕+①T）：=4,整理得/+d=4.

PB27?+（y-4）2

因為圓3+2）2+/=4可以看作把圓/+/=4向左平移兩個單位得到的，那么4點平移后變為

。（一2,1）,所以根據阿氏圓的定義，M滿足|7WD|=；|MC1，

結合拋物線定義\QH\^\QF\,

^\MC\+\QH\+\QM=\MD\+\QM\+\QF\）|FD|（當且僅當D,M,Q,F四點共線，且Q,M在D,F

之間時取等號），此時\FD\=V（-2-2）2+（l-0）2=V17,

故+\QH\+\QM\的最小值為V17.

8

\MC\+\QH\+|QM=|^|+\QF\+\QM\>\MC\+（當且僅當M,Q,F三點共線時等號成立），

根據光學的最短光程原理，我們從。點發出一束光，想讓光再經過F點，光所用的時間一定是最短的，由于

介質不變，自然可以把時間最短看作光程最短。

而光的反射性質為法線平分入射光線與反射光線的夾角，并且法線垂直于過這一點的切線。于是我們得

到，當過點河的切線與/CMF的角平分線垂直，即當過點加的圓的切線與直線FC平行且離直線FC近

時，+\MF\取得最小值，此時切線方程為y=-x+22一2,聯立（/+2）2+/=4可得，此時

M（V2-2,V2）,

所以\MC\+\MF\>2V（V2-4）2+（V2-0）2=4〃5-2魚.

故答案為：47;4V5-2V2.

【點睛】關鍵點點睛：⑴問解題的關鍵是根據阿氏圓的定義，得州滿足\MD\^y\MC\;

（2）問解題的關鍵是當過點M的圓的切線與直線FC平行且離直線FC近時，|MC|+\MF\取得最小值.

題目0（2022下.浙江.高三校聯考開學考試）公元前3世紀，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中明確給出了

橢圓和圓的一個基本性質：如圖,過橢圓（或圓）上任意一點P（不同于4B）作長軸（或直徑）力B的一條垂

線段,垂足為Q，則J注萬為常數及若此圖形為圓，則用=;若k=],則此圖形的離心率為

\AQ\-\BQ\

【分析】若圖形為圓，根據相似三角形可解；當圖形為橢圓時，建立坐標系，將問題坐標化，然后計算可得.

【詳解】若為圓，則AABP為直角三角形,

因為PQLAB,所以△APQ?APEQ,于是有/里=，所以EQ?

\AQ\\PQ\\AQ\-\BQ\

當為圖形為橢圓時，如圖建立平面直角坐標，設橢圓方程為fH——=1,點P(m,n),

ab

則|_AQ|=m+Q,|BQ|二a—?72,|PQ|二n，所以|AQ||BQ|=a2—m2

又4+4=1,得/=/—即|PQ|2=&2-

abaa

題目⑷（2022.湖北.荊門市龍泉中學校聯考二模）歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375

年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐

曲線的光學性質:如圖甲，從橢圓的■個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一

個焦點，其中法線I'表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線,如圖乙，橢圓。的中心在坐標原點,焦

點為兄（―60）,￡億,0）（。＞0）,由勾發出的光經橢圓兩次反射后回到~經過的路程為8以利用橢圓的光學

性質解決以下問題：

（1）橢圓。的離心率為.

（2）點P是橢圓。上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為I倒在I上的射影H在圓/+才=8上,

則橢圓。的方程為.

10

【答案】-J-/0.55+整=1

286

【分析】(1)由題意得到關于a,c的等式，然后結合離心率的定義即可確定橢圓的離心率；

(2)由題意利用幾何關系求得a力的值即可求得橢圓方程.

【詳解】設橢圓。的長軸長為2a(a>0),則由尸1發出的光經橢圓兩次反射后回到F1,經過的路程為2a+

2a,=4a=8c,從而e=看；

如圖示：

延長交于點F0.

在△PE或中,PHLF0F2,由反射角等于入射角，可得：4F2PH=4FoPH,則爐第=|P聞且H為其其中

點.

在ZW眄中OH=4㈤用|=y(|F^|+|P耳|)=y(|P^|+|F^|),

貝I|PE|+\PF^—4A/2=2a,a=2V2,c=A/2,62=a2—c2=8—2=6,

所以橢圓方程為岑+/=L

86

故答案為：<;(+《=L

2o0

題型3阿氏質求非對稱型最值

中:量If占

當題目給了阿氏圓和一個定點，我們可以通過下述方法快速找到另一個定點，便于計算，令圓。與直線04

相交于河，N兩點設點E為OA上一點，且滿足昌=九由阿氏圓定理第=九"條=九則AN=ANE

PENEME

^OA-R^A(R-OE),AOE=(1+/1)72—。4①

同理人"=/1^=7?+04=/1(0￡；+7?),；/0￡；=(1—/1)_R+OA②

由①②消。4得：2AOE=2A,即惡=九即R=4OE,由①②消R得：OA=7OE,

Ok/

因此,滿足條件的點E在阿氏圓的圓心和定點力的連線上，且條=4或騫?=才.

?M

網]3(2022?全國?高三專題練習)已知點P是圓(，—4)2+⑨―4)2=8上的動點，A(6,-l),。為坐標原點，則

PO+2PA的最小值為.

【答案】10

【分析】解法1:借助阿波羅尼斯圓的逆用，得到PO+224=2(7以+24),進而根據三點共線即可求出最

值；

解法2:將PO+2〃=y/x2+y2+2雇-6)2+(沙+1)2轉化為=

2(V(?-3)2+(y-3)2+V(a：-6)2+(y+l)2)，進而結合進而根據三點共線即可求出最值.

【詳解】解法1:阿波羅尼斯圓的逆用

假設A'(m,n)，使得PO=2PA',

則Jx2+y2—2y/(a;—m)2+(y-n)2,

從而可得3d—8mx+4m2+3y2—8ny+4n2=0,

從而可知圓心坐標為(挈,萼)，

\DO7

所以^^=4,^^=4,解得7?2=九=4,即4(3,3).

OO

所以PO+2PA=2(PA'+PA')>2A'A

=2V(6-3)2+(-l-3)2=10.

即PO+2a4的最小值為10.

解法2:代數轉逆法

由(￡—4)2+(y—4)2=8,得a;2+y2=8x+8y—24.

PO+2B4=JC+娟+2V(^-6)2+(y+l)2

=2(V(a；-3)2+(y-3)2+J(c-6f+(y+l)?)

?70—3)2+(。-3)2+，0—6)2+(2/+：1)2表示的是動點(①,切與(3,3)和(6,-1)之間的距離之和，當且僅

當三點共線時，和最小，

故PO+2a4>2V(6-3)2+(3+l)2=2x5=10.

變鄴訓‘級

遨目TJ(2022.全國.高三專題練習)已知圓。：(z-l)2+(沙一1)2=1,定點P是圓。上的動點，B(2,0),。是

坐標原點,則V2PO+PB的最小值為.

[M1V5

【分析】解法1:阿波羅尼斯圓的逆用，設0(nz,n)，使得PB=,利用兩點間的距離公式化簡可求得

，得直線BB，與圓C相交，則V2PO+PB=V2(PO+PB,)>,從而可求得其最小值,解

法2:代數轉逆法，A/2PO+PB=V2+才+(rc—2)2+?/2=[i/a;2+y2+不(x—1")~+(y—,可

得當點。。出居3)共線，且「在OB，之間時取得最小值.

【詳解】解：解法1:阿波羅尼斯圓的逆用

設，使得PB=V2PB',

12

則(/一2丫+#=2[(4一772丫+(g—71)2],

整理，得/—4(m—1)力+#一Any+2(m2+n2—2)=0,

即[劣—2(m—1)]2+(?/—2n)2=2m2+2n2—8m+8=2(m—2)2+2n2

所以2(772—1)=1,2九=1,從而8(母,.).

經驗證，知直線，與圓。相交.

從而V2PO+FB=V2(FO+FBQ>V2OBf

所以J^PO+PB的最小值為，5.

解法2:代數轉逆法

A/2PO+PB=-\/2J/+#+個(力—2)2+才

=+YJ，(劣之+才)—2/+2)]

=V2^x2-]-y2+J(%2+婿)一5(力2+必)-2/+2]

=A/2[J/?+4+J力旺仁—1_(2/+2g—1)—2/+2]

=V2^y/x2-\-y2+Jx2+y2-3x-y-\-^

=V2^y/x2+y2+J(力-等丁+3一\)[

>方，7?弓二~,71=西?

所以gPO+PB的最小值為V5.

故答案為：逐

【點睛】關鍵點點睛：此題考查點與圓的位置關系，考查阿波羅尼斯圓的逆用，解題的關鍵是根據阿波羅尼

斯圓，設B'(m,n),使得PB=,化簡后將問題轉化為2PO+PB=2(PO+PB')>2。0,考查

數學轉化思想，屬于較難題.

題目句(2021?全國?高三專題練習)阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他對圓錐曲線有深刻系統的研究，主

要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點

州與兩定點A,B的距離之比為4(4>0"￥1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面我們來研究與

此相關的一個問題，已知圓O：x2+y2=l上的動點河和定點A(-y,0),3(1,1),則2\MA\+\MB\的最小

值為()

A.V6B.V7C.VioD.Vn

【答案】。

【分析】討論點附在z軸上與不在x軸上兩種情況，若點M不在土軸上，構造點K(-2,0),可以根據三角形

的相似性得到衛駕=單皿=2,進而得到21K4|+=|上?|+|MK|,最后根據三點共線求出答案.

\MA\\OA\

【詳解】①當點M在re軸上時，點M的坐標為(-1,0)或(1,0).

若點河的坐標為(-1,0),則21AMi+|MB|=2Xy+V(l+1)2+12=1+75;

若點M的坐標為(1,0),則2\MA\+\MB\=2x-1+V(l-1)2+12=4.

②當點“不在c軸上時，取點K(—2,0),如圖，

13

連接OM,皿K,因為\OM\=1,|OA|=y,\OK\=2,

因為4MOK=24W,

所以AMOK?△AOM,則半萼=乎”=2,

\MA\\OA\

所以|MK|=2|AM|,則21AMi+\MB\=\MB\+\MK\.

易知|皿

所以\MB\+\MK\的最小值為\BK\.

因為B(1,1),K(—2,0),

所以⑵AM|+|MB|)min

——-\/(—2—1)2+(0—I)2—V10.

又，*<1+同<4,所以21AMi+|MB|的最小值為，HL

故選：C

邂亙巨(2023下?廣東東莞?高三東莞實驗中學校考開學考試)對平面上兩點A、B,滿足品■=的

點P的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現,命名為阿波羅尼斯圓，稱點力，B是此

圓的一對阿波羅點.不在圓上的任意一點都可以與關于此圓的另一個點組成一對阿波羅點，且這一對阿波

羅點與圓心在同一直線上，其中一點在圓內，另一點在圓外，系數4只與阿波羅點相對于圓的位置有關.已

知A(l,0),B(4,0),D(0,3),若動點P滿足=之，則2爐。+\PB\的最小值是

【答案］

【分析】根據阿波羅尼斯圓定義可確定4?，利用三角形三邊關系可知當A,P,。三點共線時，2|PD|

+2|B4|=2\AD\,即為所求最小值.

A2\PD\+|PB|=2|PD|+2|#4|>2|AD|(當且僅當AP,。三點按順序共線時取等號)，

又\AD\=Vl2+32=Vl0,2\PD\+\PB\的最小值為;

故答案為：2函.

題目0(2021?江西贛州?統考模擬預測)阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞

歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：

己知動點“與兩定點A,B的距離之比為>0,4豐1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.

已知在平面直角坐標系中，圓O：/+/=1、點入（_/,0）和點B（of河為圓。上的動點，則21AMi

-\MB\的最大值為（）

A.4B.馬巳C.—D.卓

2222

【答案】B

【分析】令21AMi=則誓。=由阿氏圓的定義可知：0（—2,0）,由數形結合可知21K4HMB|=

\MC\-\MB\的最大值.

【詳解】設河出沙），令21AMi=,則

由題知圓/+d=1是關于點4、。的阿波羅尼斯圓，且』=:，

者占\ad\MA\-.（c+J）2+._1

\MC\（re—m）2+（y—nf2

整理得：工2+才+絲戶工+冬夕=病+/T,

ooJ

比較兩方程可得：2/=0,冬=o,77r+.T=1,即m,=—2,n=0,點。（一2,0）,

OOO

當點Af位于圖中M的位置時，2\MA\-\MB\=\MC\-\MB\的值最大，最大為陽。|=*尹.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛:本題主要考查直線和圓的位置關系，圓上動點問題，解題的關鍵是通過數形結合知兩

線段距離差的最值是在兩端點為起點的的射線上，屬于一般題.

、題目可（2022上?湖北恩施?高三恩施土家族苗族高中校聯考期末）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里

得、阿基米德齊名他發現:“平面內到兩個定點AB的距離之比為定值4（4片1）的點的軌跡是圓”.后來，人

們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，4-2,1）,

B（—2,4）,點P是滿足4=J的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為；若點Q為

拋物線E：婿=42上的動點，。在沙軸上的射影為則］5冏+爐口|+|口司的最小值為.

【答案】（/+2）2+d=4;VW-1/-1+V10.

［分析】設點P坐標，根據題意寫出關于加與沙的關系式化簡即可；

由=|QH|=|QF|-1,代入。PB|+|PQ+|QH|中，即可取出最小值.

【詳解】設點PQ,y）,

15

.以=13jQ+2)2+(y—1)2=1

"PB~2V(^+2)2+(y-4)22

=>(6+2)?+4=4.

拋物線的焦點為點F,由題意知尸(1,0),|QH|=|QR|—1,

22

???\PA\=^\PB\,/.fypB\+\PQ\+\QH\)=(\PA\+\PQ\+\QF\-l)min=\AF\-1=V(-2-l)+l-

i=Vio-i.

故答案為：(*+2)2+才=4；師一1.

題型4阿氏B0與向量

幽&（2022.全國?高三專題練習）己知BC=6,AC=24B,點。滿足超=+方，設

"x+y2（z+y）

/（2,y）=|力|,若/（2,?）＞/（環％）恒成立,則/（&,2）的最大值為.

【分析】將已知由5=’^泰+---丞？變形為^^（2毋）+」一（《不5）,設延長至點F,

x+y2（*+"）①+夕'）立+9’2）

使得\AF\=2\AB\，取AC的中點E,并通過+=1得出點。在EF上，再通過&AEF\

x-\-yx-\-y

△4BC與已知條件得出于（Xo，n。）—M0|min=|AG|,設|AB|=?n,再通過面積法與正、余弦定理得出\AG\

即可利用一元二次方程最值與根式性質得出答案.

【詳解】延長4B至點F,使得|AF|二2|AB|,取的中點E,連接EF,

則助二上戲+二^砂

x+y2(工+夕)

=^^(2屆)+二(；前)，

冠

x-\-yx-\-y

??力?y=、

?x-\-yx+y

???點。在EF上，過點4作AG_LEF于點G,

由“邊角邊”公理可得：/\AEF^/\ABC,

:.EF=BC=6,

?：f{x,y)=|國5|,且/(c,y)>/(?),%)恒成立,

"(3,%)=|AD|min=|AG|,

設|4B|=m,根據面積法知：

\AE\\AF\^A

\EF\

_m-2m9sin