點的動態(tài)問題

典例精析

[題1]★★★已知數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為-2和4,P為數(shù)軸上一動點，對應的數(shù)為X.

⑴若P為線段AB的三等分點，求P對應的數(shù)；

(2)數(shù)軸上是否存在點P,使P點到A點B點距離和為10?若存在，求出x值，若不存在，請說明理由.

(3)若A、B兩點和P點(P點在原點)同時向左運動，它們的運動速度分別為1、2、1個單位長度/分，則第幾

分鐘時，P為線段AB的中點？第幾分鐘時P到A和B的距離相等？

【題2】★★★已知數(shù)軸上順次有A、B、C三點，分別表示數(shù)a、b、c,并且滿足(a+12y+|b+5|=0,b.與c

互為相反數(shù).甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，甲的速度為2個單位/秒，乙的速度為3個單位/秒.

(1)求A、B、C三點分別表示的數(shù)，并在數(shù)軸上表示A、B、C三點.

(2)運動多少秒時，甲、乙到點B的距離相等？

(3)當點B以每分鐘一個單位長度的速度向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點C以每分鐘

20個單位長度向左運動，問它們同時出發(fā)，幾分鐘后B點到點A、點C的距離相等?

【題3】★★★如圖，已知A、B、C是數(shù)軸上三點，O為原點，點C表示的數(shù)為6,BC=4,AB=12.

AOBC

(1)寫出數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)；

⑵動點p、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒3

個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，M為AP的中點，點N在線段CQ上，且CN=(CQ,設運動時間為t(t>0)

秒.t為何值時,OM=2BN.

[題4]★★★如圖，A是數(shù)軸上表示-30的點，B是數(shù)軸上表示10的點，C是數(shù)軸上表示18的點，點A、

B、C在數(shù)軸上同時向數(shù)軸的正方向運動，點A運動的速度是6個單位長度每秒，點B和C運動的速度是3個單

位長度每秒.設三個點運動的時間為t(秒).

1111r

AOBC

⑴當t為何值時線段AC=6(單位長度)？

(2)t力5時,設線段OA的中點為P,線段OB的中點為M,線段OC的中點為N,求2PM-PN=2時t的值

【題5】★★★如圖①，已知數(shù)軸上兩點A、B對應的數(shù)分別為-1、3,點P為數(shù)軸上的一動點，其對應的數(shù)為

X.

AB

-*6T

圖①

⑴如果點P是AB的中點，則x=;

(2)如圖②，點P以1個單位長度/s的速度從點O向右運動，同時點A以5個單位/s的速度向左運動，點B以

20個單位/s的速度向右運動，在運動過程中，M、N分別是AP、OB的中點，問：喘的值是否發(fā)生變化？請

說明理由.

5/人1.20./

AMAOPN3B

圖②

【題6】、★★★如圖，在射線OM上有三點A、B、C,滿足OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm,點P從點O出發(fā),

沿OM方向以lcm/s的速度勻速運動，點Q從點C出發(fā)在線段CO上向點O勻速運動，兩點同時出發(fā).

OAB_CM

⑴當PA=2PB時，點Q運動到的位置恰好是線段AB的三等分點，求點Q的速度；

(2)若點Q運動速度為3cm/s,經(jīng)過多長時間P、Q兩點相距70cm?

(3)當點P運動到線段AB上時，分別取OP和AB的中點E,F,求吟”的值.

EF

【題7】★★★★已知數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為a、b,且a、b滿足a+20|=-(b-13)2,點C對應的數(shù)為16,

點D對應的數(shù)為-13.

⑴求a、b的值;

⑵點A、B沿數(shù)軸同時出發(fā)相向勻速運動，點A的速度為6個單位/秒，點B的速度為2個單位/秒，若t秒時

點A到原點的距離和點B到原點的距離相等，求t的值；

(3)在⑵的條件下，點A、B從起始位置同時出發(fā).當A點運動到點C時，迅速以原來的速度返回，到達出發(fā)點

后，又折返向點C運動.B點運動至D點后停止運動,當B停止運動時點A也停止運動.求在此過程中,A、B

兩點同時到達的點在數(shù)軸上對應的數(shù).

【題8】★★★★已知a、b滿足|4a-b|+(a—4)2w0,asb分別對應著數(shù)軸上的A、B兩點.

(l)a=,b=，并在數(shù)軸上畫出A、B兩點；

(2)若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向x軸正半軸運動，求運動時間為多少時，點P到點A的

距離是點P到點B的距離的2倍；

(3)數(shù)軸上還有一點C的坐標為30.若點P和點Q同時從點A和點B出發(fā)，分別以每秒3個單位長度和每

秒1個單位長度的速度向C點運動.P點到達C點后再立刻以同樣的速度返回運動到終點A.求點P和點Q運

動多少秒時，P,Q兩點之間的距離為4,并求此時點Q對應的數(shù).

1.【思路分析】從題目條件分析.數(shù)形結合，畫圖.

⑴注意分類討論，P點對應的數(shù)分別和A、B點對應數(shù)的差=AB長度的1/3.

(2)表示出線段PA和PB的長度，根據(jù)題中的等量關系PA+PB=10列方程，并解方程.

(3)設未知數(shù)，分別表示出點A、B和點P,根據(jù)題中的等量關系列方程，并解方程.

【答案解析】解:⑴:.點P為線段AB的三等分點，

???”=次或BP=lAB.

①當AP=豺B時,得到x+2=2得x=0.

②當BP=148時彳導至!)4-x=2得x=2.

AP對應的數(shù)為0或2.

⑵假設存在點P,則PA=|x+2|,

PB=|x-4|,

/.|x+2|+|x-4|=10,

解得,x=-4或x=6.因此存在點P,使點P到點A,點B的距離和為10.

⑶①設經(jīng)過t分鐘后,P為AB的中點，

則A表示的數(shù)為-2-t,B表示的數(shù)為4-2t,P表示的數(shù)為-t,

則由題意得，一2-廣21=t,

得到t=2.

②設經(jīng)過x分鐘后，P到A和B的距離相等.

則A表示的數(shù)為-2-x,B表示的數(shù)為4-2x,P表示的數(shù)為-x,

.,.PA=|-2-x+x|=2,

PB=|4-2x+x|=|4-x|

；.|4-x|=2解得x=2或x=6.

2.【思路分析】

(1)根據(jù)非負數(shù)之和=0求解.

(2)設未知數(shù)，分別表示出甲和乙；根據(jù)題中的等量關系列方程，并解方程.

⑶設未知數(shù)，分別表示出A、B和C；根據(jù)題中的等量關系列方程，并解方程.

【答案解析】解:(1)(<2+12)2+\b+5|=0,a+12=0,b+5=0,

解得a=-12,b=-5.

又-b與c互為相反數(shù),...c=5,，A、B、C三點分別表示的數(shù)是-12,-5,5.

表示在數(shù)軸上是：

ABC

I.111111611111tlii.,

-12-505

(2)設運動x秒時，甲、乙到點B的距離相等.則甲所表示的數(shù)為-12+2x,乙所表示的數(shù)為5-3x,則依題意彳導

|7-2x|=|10-3x|解得x=3或x=y.

答：運動3s或者非時，甲、乙兩點到點B的距離相等.

⑶設t分鐘后點B到點A和點C的距離相等.則點A所表示的數(shù)為-12-5t,點B所表示的數(shù)為St,點C所

表示的數(shù)為5-20t則由題意得,|5-20t+5+t|=卜5-t+12+5t|,解得：t=,或者t=葛所以套或卷分鐘后，點B到點A

和點C的距離相算.

3.【答案解析】解:⑴：C表示的數(shù)為6,BC=4,；.OB=6-4=2,；.B點表示2.

AB=12,AO=12-2=10,；.A點表示-10;

(2)由題意得，點P表示的數(shù)為-10+6t,點Q表示的數(shù)為6-3t,

；

則點M表示的數(shù)為T°-o+6t=—10+3、又：.=久(2,.；1^^表示的數(shù)為6-1,由題意可得|-10+3t|=2

|4+t|,即卜10+3g8-2t|,解得1=號或1=2.

這里詳細描述：N的表示.

VCQ即Q表示的數(shù)—C表示的數(shù).

；.CQ=6-3t-6=-3t

???CN=|c<2，

1

CN=-x(-3t)=-t.

???CN為N表示的數(shù)一C表示的數(shù)，

/.N-6=-t

；.N為6-t.

4.【答案解析】

解:(1)A表示的數(shù)為-30+6t,B表示的數(shù)為10+3t,C表示的數(shù)為18+3t,AC=|48-3t|=6解得t=18或t=14.故當t為14

或18秒時，線段AC=6.

(2)P表示的數(shù)為-15+3t,M表示的數(shù)為5+|t,N表示的數(shù)為9+|t,

貝！1PM=||t-20|,PN=||t-24|

由題意得,2PM-PN=|3t-40|-||t-24|=2,解得t=g或g

5.【答案解析】解:⑴x=l;

(2)*的值不發(fā)生變化.

由題意，O為原點，設運動時間為t分鐘.

貝」P表示的數(shù)為LA表示的數(shù)為表示的數(shù)為20t+3,則M表示的數(shù)為y,N表示的數(shù)為等.

則AB=25t+4,OP=t,MN=12t+2,.則與卜=2為定值.

6.【答案解析】解：⑴設O為原點,則A表示的數(shù)為20,B表示的數(shù)為80,C表示的數(shù)為90,設經(jīng)過時間t

秒后,PA=2PB.

則P表示的數(shù)為1,勖=|20臼邱=性80|,；.|20川=2性80],可得1=60或t=140.

當t=60s時，可得Q的速度為504-60=I(cm/s)或者30+60=；(cm/s).

當t=140s時，可得Q的速度為50口40=W(czn/s)或者304-140=—(cm/s).

⑵設經(jīng)過ts,P、Q兩點相距70cm,則P表示的數(shù)為t,Q表示的數(shù)為90-3t,；.PQ=[90-4t|=70,解得t=5或t=40.

At=5或t=40時，滿足P、Q兩點相距70cm.

(3)P表示的數(shù)為t,E表示的數(shù)為],F表示的數(shù)為50,EF的長度為50-1(20<t<80),OB=80,AP=t-20,所以

OB-APr

-------=Z.

EF

7.【答案解析】解:⑴a=-20;b=13;

運動t秒之后,A對應的數(shù)為:-20+6t,

B對應的數(shù)為:13-2t,AO斗20+6t|=BO=|13-2t|,

解得t=1或,

依題意知，總的運動時間為胃曳=13,運動t秒B對應的數(shù)為:132,

當0<t<6時,A第一次由A向C運動,t秒后所對應的數(shù)為：-20+6t.

-20+6t=13-2t,解得”斗,此時數(shù)軸上對應的數(shù)為13-2x?=g

884

當6Vts12時,A第一次由A向C運動,t秒后對應的數(shù)為:16-6(t-6),

16-6(t-6)=13-2t解得t=?，此時數(shù)軸上對應的數(shù)為13-2x?=爭

當12<t<13時，第二次由A向C運動,t秒后對應的數(shù)為:-20+6(t-12尸132,

解得1=竽(不合題意舍去)

O

綜