專題10對數與對數函數

【考點預測】

1,對數式的運算

⑴對數的定義::一般地，如果。、=N(a>0且awl),那么數X叫做以。為底N的對數，記作x=log“N,

讀作以。為底N的對數，其中。叫做對數的底數，N叫做真數.

(2)常見對數:

①一般對數：以。(。>0且為底，記為log"讀作以。為底N的對數;

②常用對數：以10為底，記為IgN；

③自然對數：以e為底，記為InN；

(3)對數的性質和運算法則：

①log；=0；log：=l；其中〃>0且awl；

②3°g%=N(其中0>0且awl，N>0)；

③對數換底公式：log6集;

④log.(MN)=\ogaM+log”N-

M

⑤log,W=log"M-log”；

V!

⑥logbn=—log“b(m,n&R).

m

⑦a{ogab=6和log。a'=6；

⑧log/=7^—；

log/

2、對數函數的定義及圖像

(1)對數函數的定義：函數y=log“x(a>0且OR1)叫做對數函數.

值域：R

過定點（1，0）,即x=l時，y=0

在（0,+8）上增函數在（0,+8）上是減函數

當0<x<l時，y<0,當時，當0cx<1時，y>0,當XZI時，y<0

y>0

【方法技巧與總結】

1、對數函數常用技巧

在同一坐標系內，當時，隨a的增大，對數函數的圖象愈靠近x軸；當0<。<1時，對數函數的圖

象隨a的增大而遠離x軸.（見下圖）

a增大

a增大

【典型例題】

例1.（2024?廣東?一模）假設甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值''都在前一天的

基礎上進步2%,而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎上退步1%.那么，大約需要經過（）天，

甲的“日能力值”是乙的20倍（參考數據：lgl02?2.0086,lg99?1.9956,lg2?0.3010）

A.23B.100C.150D.232

【答案】B

【解析】令甲和乙剛開始的“日能力值”為1,〃天后，甲、乙的“日能力直'分別（1+2%）",（1-1%）",

依題意，、卷=20,即（膏）"=20,兩邊取對數得〃lg器=lg20,

1+咆21+0.3010

因止匕〃=-100

lgl02-lg992.0086-1.9956

所以大約需要經過100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.

故選：B

例2.（2024?高三?江西?開學考試）研究表明，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級/之間

的關系為旗=4.8+1.5M.2023年12月18日在甘肅積石山縣發生了里氏6.2級地震，2024年1月4日在斐

濟群島發生了里氏5.7級地震，若前后這兩個地震釋放的能量之比是"，則〃的整數部分為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】設前后兩次地震釋放的能量分別為耳,用，

IgK=4.8+1.5x6.2[6___

由已知得:「,Q…e兩式相減得lg±=1l.5x0.5=0.75,

[lg￡2=4.8+1.5x5.7E2

貝ij"=互=]O075=]0彳=4/n）oo,

E2

因為5,<1000<6。則5<的000<6,即〃=班000e（5,6）,

所以"的整數部分為5.

故選：C.

例3.（2024?高一?河南?開學考試）已知函數/（x+l）=log/+2—3,貝！|〃2）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】令無+1=2,得x=1,貝l]〃2）=log21+2-3=-L

故選：A

例4.（2024?全國?模擬預測）在等差數列｛。"｝中，已知生與。9是方程2x2-x+加=0的兩根，則

\log4(a1+a2+---+a11)

-=(：）

A,亞2和「vn11

B.D.一

111142

【答案】B

【解析】因為的與。9是方程2/一%+冽=0的兩根，由韋達定理得生+。9=/，

因為數列｛。“｝為等差數列，所以為+%]=電+%0=%+。9=2&=g，&=；，

*=2kls幫=6L

11

故選：B.

例5.（2024?廣東佛山?模擬預測）已知加1,10gli"7=2,log；,m=3,貝Ulog"〃？=()

D.IE.均不是

【答案】D

【解析】由題意知，，">0,?>0,b>0,

因為log.加=2,log6m=3,

所以由換底公式可得log,”a=；,log,，=g,

又因為log-+log“*=log.ab(abfl),

所以logma6=；+；='|，

236

所以由換底公式可得log"?=|.

故選：D.

例6.（2024?高一?廣東江門?階段練習）若函數y=〃x）是函數y=優（?>0,且awl）的反函數，且滿足

/2）=1,則〃的=（）

,1,

A.logxB.一C.logxD.2X

2205

【答案】A

【解析】函數y=（a>0且awl）的反函數為y=log“x,

即〃x）=log,x,又/（2）=1,所以log,2=l,所以a=2,

則/（x）=log2x.

故選：A

?

例7.（2024?高一?全國?專題練習）已知函數①了=4*；②y=k>g.、.2；（§）>=-log3A：；@y=log02Vx；⑤

y-log3x+l;⑥y=log2（x+l）.其中是對數函數的是（）

A.①②③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

【答案】C

【解析】根據對數函數的定義，只有符合y=bg°x（a>0且awl）形式的函數才是對數函數，

其中x是自變量，a是常數，

易知，①是指數函數；②中的自變量在對數的底數的位置，不是對數函數；

③中y=Tog3X=bg；x,是對數函數；④中y=log026=log（wx，是對數函數；

⑤⑥中函數顯然不是對數函數，由此可知只有③④是對數函數.

故選：C.

例8.（2024?高三?全國?專題練習）已知函數①y=logQx；②y=logbx；③y=logcx；④y=logdx的大致圖

象如圖所示，則下列不等關系正確的是（）

C.6+cVa+dD.b+d<a+c

【答案】A

【解析】解析：由已知可得6>a>l>d>c,則a+6>a+c,b+d>a+c,故A正確，D錯誤；又a+d與

b+c的大小不確定，故B,C錯誤.故選A.

例9.（2024?高一?青海西寧?開學考試）函數片旭。+1）|的圖象是（）

B.

D.

【解析】因為夕=旭（》+1）卜0,故排除D；

當x=0時，7=|lg(0+l)|=0,故排除BC；

結合對數函數的性質可知A正確.

故選：A.

例10.（2024?天津南開?一模）已知°=2一」6=loglQ，c=log23,貝U()

A.a〈b〈cB.c<b<aC.b<a〈cD.b〈c〈a

【答案】A

【解析】由指數函數與對數函數的性質可得,

c-log23>log22=1,

所以Q<Z?<C,

故選：A.

例11.（2024?重慶?模擬預測）若函數〃x）=ln'-2依+3。）在［1,+8）上單調遞增，則實數”的取值范圍是

()

A.(-oo,l]B.(-1,1]C.[-1,+<?)D.[1,+<?)

【答案】B

【解析】因為函數/（x）=ln（/-2ax+3a）在［1,+s）上單調遞增,

1

所以"^F-，解得一

1—2。+3。>0

故選：B.

例12.(2024?高一?上海?開學考試)設。，瓦c都是非零常數，且滿足4。=6〃=9。，則1+-.(結果用

ac

b表示)

【答案】1

b

【解析】由4,6,c都是非零常數，設4“=6b=9,=￡〉1,JJ!lJa=k)g4￡,b=log6LcTog9￡，

11?

所以一+—=log4+log9=log,36=21og6=-

acrfzb

故答案為：-7

b

例13.(2024?高三?全國?專題練習)函數/(x)=lnx+x,xe[l,e]的值域為.

【答案】[Le+l]

【解析】函數/(x)=lnx+x,xe[l,e]為增函數，故其值域為[l,e+l].

故答案為：+

例14.(2024?陜西西安?二模)已知定義域為R的函數"X)滿足/(x+2)=-/(x),且當0<x<2時,

〃x)=3X—lnx,貝！1/(211)=.

【答案】-3

【解析】由已知可得/(x+2)+/(x)=0,所以/(x+4)+/(x+2)=0,

所以/(尤+4)=/(x),即7=4是函數/(x)的一個周期，

所以〃211)=〃3)=-〃1)=_(3|-山1)=_3.

故答案為：-3

例15.(2024?高一?安徽蚌埠?期末)(1)若3"=5"=15,求*+?的值；

ab

、2

(2)求值：(27尸+(1g5)2+1g2Fig50T3_訃

【解析】(1)因為3"=56=15,所以。=log315,b=log515,;二=|

alog315blog515

則9+3=5[丁'+丁']=5(10*3+噫9=51o%(3x$土；

ab^log315logs15)

(2)(27)3+(lg5)"+lg2xlg50-|3-7i|=(33)3+(lg5)+lgyxlg(10x5)-7i+3

=32+(lg5)2+(l-lg5)x(l+lg5)-7i+3=12-7r+(lg5)2+l-(lg5)2=13-TT.

例16.(2024?高一?江蘇常州?期末)(1)計算：31O832+(0.125)^-0.25xf-11；

(2)已知3、=5'=15,計算工+’的值并證明孫〉4.

【解析】(1)3嘀2+(0.125尸-0.25、1：

21

=2+83--x(-2)4

=2+4-4

=2

(2)因為3'=5〉=15，

所以x=logs15,y=logs15,

1

-+\+..=log153+log155=logls15=l,

xylog315logs15

因為工+工=1,x>0,j/>0,xy>0,

xy

所以盯=x+>,且x〉0j〉0,xwy,

所以孫='+^>2y［xy,即盯>4.

例17,(2024?高一?全國?課后作業)計算：

,251…1

⑴1°§4—+1°§23-Iog05-；

2

(2)(log32+log23)-^jlog?3

logs2.

251

log2log:

［解析］(1)log4+10g23-log051=9+lo3_5

962

'log24log20.5

；

=log21+log,3-log25=log2|x3-5Ulog2l=0

⑵（噫2+噫3）2-置|log?3

logs2

(ln2In3yIn2In2In3In3

〔In3In2JIn3In3In2In2

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?河北滄州?模擬預測）某企業的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污

染物數量逐漸減少.已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數量為2.25g/m）首次改良工藝后排放的廢

水中含有的污染物數量為2.21g/m3，第〃次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量卻滿足函數模型

/二4+儲-0口*""JeR,〃eN*),其中為為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數量，4為首次改

良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量，〃為改良工藝的次數.假設廢水中含有的污染物數量不超過

0.65g/m3時符合廢水排放標準，若該企業排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少為()(參考

數據：1g2*0.30,lg3?0.48)

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

3

【解析】由題意知力=2.25g/n?,rt=2.21g/m,

當”=1時，1為+(「為)X3°2”,故3。如=1,解得"-0.25,

所以乙,=2.25-0.04x3°2""f.

由/40.65,得3°—)240,即0.25(〃-1)2臂,

1g3

得心”登義+1。14.33,又〃eN*,

1g3

所以"215,

故若該企業排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要15次.

故選：D

2.(2024?高三?四川?期末)蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的大數之間的計算而

發明了對數.利用對數運算可以求大數的位數.已知lg5=0.699,則231是()

A.9位數B.10位數C.11位數D.12位數

【答案】B

【解析】記23i=M，貝|31xlg2=lgM,

則lgM=31x(l-lg5)=9.331,則"=1()93314io、］0io),

故231是10位數.

故選：B

3.(2024?青海?一模)已知集合/=卜,=炫(-/+2X+3)},8=舊/一4<0},則/口8=()

A.(-1,3)B.(-1,2)C.(-2,3)D.(-2,2)

【答案】C

【解析】由-x?+2x+3>0得：/-2x-3=(x+l)(x-3)<0,.\-l<x<3,，N=(-1,3)；

由4<0得：(x+2)(x—2)<0,-2<x<2,3=(-2,2),/U3=(―2,3).

故選：C.

4.(2024?高一?山西大同?階段練習)函數/(x)=lg(4-|x|)的單調遞增區間為()

A.（-4,0）B.（-8,0）C.（0,4）D.（0,+<?）

【答案】A

【解析】對于函數〃"=愴（4一附，令41kl>0,即國<4,解得一4〈尤<4,

所以函數的定義域為（-4,4）,

（4—xx20

又了=4-卜卜'",所以尸4-國在（0,+“）上單調遞減，在（-。,0）上單調遞增，

I1+X,X<U

函數y=igx在定義域（0,+8）上單調遞增，

所以/"（x）=lg（4-附的單調遞增區間為（-4,0）,單調遞減區間為（0,4）.

故選：A

5.（2024?江西九江?二模）若函數/'（x）=ln（ax+l）在（1,2）上單調遞減，則實數。的取值范圍是（）

【答案】C

【解析】函數/3=In（依+1）在（1,2）上單調遞減，

由函數V=Inx在定義域內單調遞增,所以函數g（尤）="+1在（1,2）上單調遞減且恒大于0,

則有［g⑵<0=2〃+12。,解得一六1"°?

故選：C

1

6.（2024?高三?全國?專題練習）函數於）=+ln（3x—1）的定義域為（）

【答案】B

（）

【解析】要使函數人x）=%gj+ln（3x—1）有意義，則］；；：；；）="4<3，；.函數的定義域為（g,

7.（2024?全國?模擬預測）已知函數/（x）=3，，若a=〃log36）,6=/（log510）,c=/gj,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【解析】依題意，Iog36=l+log32>l+log36=g,Iog510=l+log52<l+log5石=］,

3

因此log510<-<log36,而函數/'(x)=3,在R上單調遞增，

3

所以/(log510)</(-)</(log36),即6<c<。.

故選：D

8.(2024?高一,湖南?階段練習)已知。=0.338=3°3,。=10&30-。6,則。，瓦c的大小關系為()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

【答案】c

【解析】由指數幕的運算性質，可得0<0,33<0.3°=1，即0<”1,

又由1=3°<3必<3心=J5<2,即1<6<2,

又由對數的運算，可得。=1暇30.06>1幅投09=2,即c>2,

所以c>b>a.

故選：C.

9.(2024?高一?廣東茂名?期末)若指數函數"X)經過點(2,4),則它的反函數g(x)的解析式為()

2

A.g(x)=log2JCB.g(x)=log05xC.g(x)=2'D.g(x)=x

【答案】A

【解析】設指數函數/(耳=屋(。>0且。片1),點(2,4)在/(x)的圖象上，

所以4=/,解得a=2.

所以/(x)=2”,故反函數g(x)=log2X.

故選：A

10.(2024?高二?貴州遵義?期末)1909年一位丹麥生物化學家提出溶液pH值，亦稱氫離子濃度指數、酸堿

值，是溶液中氫離子活度的一種標度，其中P源自德語，意思是濃度，H代表氫離子.pH的定義式為：

pH=-lgc(H+),c(H+)指的是溶液中氫離子活度.若溶液甲中氫離子活度為31622776.60168379,溶液乙中

氫離子活度為31622.77660168.則溶液甲的pH值與溶液乙的pH值的差約為()

1,1

A.—B.—4C.—3D.—

33

【答案】C

【解析】由題意可知，溶液甲的pH值與溶液乙的pH值的差為

21久久/so

-1g31622776.60168379+1g31622.77660168=lg----------:----------------~lg103=-3.

31622776.60168379

故選：C.

11.(2024?高三?江蘇揚州?期末)2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國89歲高齡的著名數

學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數學界的震動.在1859年，德國數學家黎曼向科

學院提交了題目為《論小于某值的素數個數》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前

著名的數學家歐拉也曾研究過這個何題，并得到小于數字X的素數個數大約可以表示為Mx）的結論.

Inx

若根據歐拉得出的結論，估計10000以內的素數個數為（）（素數即質數，Igep0.43,計算結果取整數）

A.1079B.1075C.434D.2500

【答案】B

【解析】因為7T（10000）=10000==25001ge?2500X0.43=1075,

''In1000041nl0

所以，估計10000以內的素數個數為1075.

故選：B.

12.（2024?貴州貴陽,一模）純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅動車輪行駛，符合道路交通、安全

法規各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發動.因其對環境影響較小，逐漸成為當今世界的乘用

車的發展方向.研究發現電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年Peukert提出鉛酸電池的容量C、放

電時間,和放電電流/之間關系的經驗公式：C=/"，其中彳為與蓄電池結構有關的常數（稱為Peukert常

數），在電池容量不變的條件下，當放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當放電電流為25A時，放電時間

為15h,則該蓄電池的Peukert常數彳約為（參考數據：lg2?0.301,lg3?0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

【答案】D

【解析】由題意矢口C=7.5“x60=25/xl5,

所以=[]]=[=4,兩邊取以10為底的對數，W^lgy=21g2,

21g22x0.301

所以2=21.15

l-lg31-0.477

故選：D.

二、多選題

13.（2024?高一?河南省直轄縣級單位?期末）下列說法正確的是（）

A.幕函數的圖象都過（1,1）點

B.函數y=，與y=（6）4是同一函數

C.函數了=2*與y=log2x的圖象關于直線了=x對稱

D.y=sinx,xe[-2024兀,2024兀]是以2兀為周期的函數

【答案】AC

【解析】對于A,易知幕函數＞=x"（ceR）,顯然恒過定點（1,1）,故A正確；

對于B,由y=（?＞可知即其定義域為[0,+"）,而y=Y的定義域為R,所以兩函數定義域不同,

故B錯誤；

對于C,由反函數的定義易知函數7=2,與y=log2X互為反函數，

故其函數圖象關于直線了=尤對稱，故C正確；

對于D,根據周期性定義知對于定義域內x=2024兀，2024兀+2兀任-2024私2024可，不滿足周期性定義,

故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題

14.(2024?高一?山東威海?期末)已知10"=2,10〃=3，則J.

【答案】3

【解析】因為10"=2,10。=3，所以。=lg2,b=lg3,

,,bJg3

"2。=21g2—2log23=3?

故答案為：3

15.(2024?高一?福建漳州?期末)設工=log27,則7?"-7一。的值為.

a

7

【答案】-/3.5

【解析】由L=log27,貝I]a=log72,所以7"=2,

a

故72"_7一"=(7")2_(7"[=22—2-二：,

故答案為：j7

16.(2024?四川廣安二模)已知函數〃x)=<：gXj：>0.則/卜(-2)]的值為.

【答案】-4

【解析】Q/(-2)=4-2=^>0,

4

■■?/[/(-2)]=/^=log2W=log22-=-4.

故答案為：-4.

17.(2024?高三?上海?階段練習)方程lg(2-x)+lg(3-x)=lgl2的解是.

【答案】x=-l

【解析】由方程lg(2-x)+lg(3-x)=lgl2,可得lg[(2-x)(3-x)]=lgl2,

2-x>0

:.<3-x>0,解得x=-l.

(2-x)(3-x)=12

故答案為：X=-l

14

18.(2024?高一?云南?階段練習)計算：^(log^^-^og^+e"-log23=.

【答案】2-210g23

1114

［解析］^(log^y-mog^+e-log23

2

=^(log23)-41og23+4-log23

2

=^(10§23-2)-10^3

=|log23-2|-log23

=2-log23-log23=2-21og23.

故答案為：2-21og23

19.(2024?高一?山西呂梁?期末)設了=/(x)是定義在R上的函數，滿足/(-x)-/■(無)=0,且

/(l+x)-/(l-x)=0,當0<xVl時；/(x)=ln(xe)+2-\則/(2023)=.

【答案】1/0.5

【解析】片"X)是定義在R上的函數滿足/(T)=/(X),所以析=

又因為+尤)=〃l-x),所以/(1+x)—,所以為2+x)=>(x),

則函數/(x)的周期為2,所以/(2023)=/(1)=2-1=1,

故答案為：

20.(2024?高一?山東青島?期末)寫出一個同時滿足下列①②③的函數的解析式.

①/⑴的定義域為(0,+功；②/(卒2)=/(再)+/(切；③當x>l時,/?>0.

【答案】/W=lnx(答案不唯一)

【解析】取/(x)=lnx,其定義域為(0,+<?),/(Xjx2)=In(x1x2)=In%1+lnx2=/小升/,)，

滿足了(百無2)=/(石)+/仁)，且當X>1時，/(x)>0,滿足所有條件，

故答案為：f(x)=lnx；(答案不唯一)

21.(2024?高一?北京東城?期末)函數〃x)=Vn+ln(x2)的定義域是.

【答案】(一00)。(0』

l-x>0

【解析】由題意得解得xe(-8,0)50』,

x

故定義域為(-8,0)口(0』.

故答案為：(一甩0)。(0』

22.(2024?云南?模擬預測)若〃x)=ln［l+以)為奇函數，則/,=.

【答案】-1

【解析】對于函數〃x)=ln(l+高］,

2

令1+------>0,解得x>-b^x<-b-2,

x+b

所以函數/(X)的定義域為(-8,-2)u(也+8),

又/(x)為奇函數，所以-6-6-2=0,所以6=7,

此時==定義域為(-8,-1)口(1,+8),

且/(-尤)=1《三］=1《言］=』1(苦=-〃尤)，滿足/'(x)為奇函數.

故答案為：-1

23.(2024?高一?上海閔行?階段練習)函數了=皿1(尤+2)-》-,丁目2,6］的最大值為_

2

【答案】-6

【解析】由題意，知產-/在［2,6］上單調遞減，了=1。8：卜+2)在［2,6］上單調遞減，

故>=1°8工(X+2)-/在［2,6］上單調遞減，

2

則當X=2時該函數取到最大值10§1(2+2)-22=-6,

2

故答案為：-6

24.(2024?高一?山西長治?期末)已知函數/(x)=log3(-x2+4x+a-1)的最大值為2,貝1］。=.

【答案】6

［解析】因為函數/(無)=1嗎(-x?+4x+“-1)由y=log3Z,f>0與(=_/+4x+°-1復合而成，

而了=log3f在定義域上單調遞增，所以當f=-x2+4x+a-l取最大值時，函數了=log3?取得最大值，

由二次函數的性質易知當x=2時，tmax=a+3,此時/'(x)1mx=logs(a+3),所以logs(a+3)=2,解得a=6.

故答案為：6

25.(2024?高一?四川綿陽?開學考試)函數/q)=屋(。>0且"1)的圖象經過點(l,e),則函數/'(x)的反

函數g(x)=.

【答案】y=hix

【解析】由題可得：a=e,故/(x)=e，，其定義域為R,值域為(0,+?)；

因為了=e"解得x=lny,故/(無)的反函數為了=lnx.

故答案為：y=lnx.

四、解答題

-ta2

26.(2024?高一?四川眉山?開學考試)(1)(log43+log23)log32+e+(7i-l)°

(2)已知02，=3,求:的值.

ax+a~x

ln2

【解析】(1)lM^=Qlog23+log23^1og32+e+1

3131

=-log23-log32+-+l=-+-+l=3；

(2)由于B=3,故原式=%-

\<a+ayaa+1

321

,+3_27+1_7.

3+1123

27.(2024?高一?廣西百色?開學考試)計算下列各式的值：

3_2_1

(1)(-3-)3+(0.002)2-10x(V5-2)-1+(V2-V3)°；

8

1n9

4

⑵(log32+log92)(log43+log83)-e-

q_21

【解析】(1)(-3-)3+(0.002)2-10X(V5-2)-1+(V2-V3)°

8

=(I)3""+(500A-10X(V5+2)+1

=-+10A/5-10A/5-20+1.

99

7

(2)(log32+log,2)(log43+log83)-e'"=(晦2+fogs2)(；log23+|log23)-1

355355

=-log32x-log23--=-x-xlog32xlog23--

55c

=-------=0.

44

28.(2024?高一?遼寧撫順?開學考試)求了=bg2，-4x+7)的定義域和值域.

【解析】設t=x2-4x+7，K'J/=(X-2)2+3