專題28解直角三角形（58題）

一、單選題

1.（2024?吉林長春?中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在

黃海海域成功發射.當火箭上升到點A時,位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為。千米，仰角

為，，則此時火箭距海平面的高度AL為（）

C.次os。千米D.T千米

cos6*

2.（2024?天津?中考真題）V^cos45。-1的值等于（）

C.顯—1

A.0B.1D.72-1

2

4,,

3.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC=5,sinB=-,則BC的長是（）

A.3B.6C.8D.9

4.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，等邊融。鋼架的立柱CDLAB于點，長12m.現將鋼架立柱

縮短成ZBED=6Q°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12退）mB.（24-8?）mC.（24-6⑹mD.（24-4V3）m

5.（2024.四川德陽?中考真題）某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物8的高度，在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房AB，小李同學在小樓房樓底3處測得C處的仰角為60。,在小樓房樓頂A處測得C處

的仰角為30。.（AB、CD在同一平面內，在同一水平面上），則建筑物CD的高為（）米

A.20B.15C.12D.10+5A/3

6.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高L8m的測量儀所測得的仰角為

45。，小軍在小明的前面5m處用高L5m的測量儀CD測得的仰角為53。，則電子廠A8的高度為（）（參

434

考數據：sin53°?—,cos53°?-,tan53°?—）

A

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

7.（2024?內蒙古包頭?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，瓦尸是邊3。上兩點，且BE=EF=FC,連接

。及AfO石與.相交于點G,連接3G.若AB=4,BC=6,則sin/GBb的值為（）

8.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）如圖，菱形ABCD中，點。是50的中點，AMA.BC,垂足為M,

AM交BD于點、N,O暇=2,30=8,則的長為（）

2

A.75B.述C.西D.也

555

9.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，在菱形A3CD中，ZABC=60°,AB=1,點尸是BC邊上一個動點，

在BC延長線上找一點。，使得點尸和點。關于點C對稱，連接。P、AQ交于點當點P從8點運動到

C點時，點M的運動路徑長為（）

A.正B.3C.WD.73

632

10.（2024.山東泰安?中考真題）如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,點E是AB邊上的點，AE=4,BE=8,

點廠是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，/EFG為30。角的直角三角形，連結AG.當點尸在

直線2C上運動時，線段AG的最小值是（）

A.2B.46-2C.273D.4

11.（2024?四川瀘州?中考真題）寬與長的比是叵1的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱

2

的美感.如圖，把黃金矩形ABC。沿對角線AC翻折，點B落在點9處，AB，交CD于點E,貝|sin/D4E的

值為（）

12.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在正方形A3CD中，點X在邊上（不與點A、。重合），

ZBHF=90°,HF交正方形外角的平分線。尸于點E連接AC交于點連接昉交AC于點G,交

CD于點、N,連接50.則下列結論：①NHBF=45。；②點G是8尸的中點；③若點X是AD的中點，則

sin/NBC=叵;④BN=叵BM;⑤若AH=gnD,則△麗，其中正確的結論是（）

1022

AHD

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

二、填空題

13.（2024.黑龍江綏化?中考真題）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓

頂部點C的仰角為60。，測得底部點B的俯角為45。，點A與樓的水平距離AD=50m,則這棟樓的高度

為m（結果保留根號）.

14.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹的高度.如圖，點C處

與古樹底部A處在同一水平面上，且AC=10米，無人機從C處豎直上升到達。處，測得古樹頂部8的俯

角為45。，古樹底部A的俯角為65。，則古樹的高度約為米（結果精確到0.1米；參考數據：

sin65°?0.906,cos65°?0.423,tan65°它2.145）.

缽一

;\\

!\\

1\、、

：\、B

I\\

「\

C'--------U

15.（2024?湖北武漢?中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽.在一次

綜合實踐活動中，某數學小組用無人機測量黃鶴樓A8的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升

至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45。，底端B的俯角為63。，則測得黃鶴樓的高度

4

是m.（參考數據：tan63°82）

16.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,點E在。C上，將矩形ABCD沿

AE折疊，點。恰好落在8C邊上的點尸處，那么tan/EFC=.

17.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面30m的

點P處，測得教學樓底端點A的俯角為37。，再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6m至點。處，測得教

學樓頂端點B的俯角為45。，則教學樓A3的高度約為m.（精確至Ulm,參考數據：sin37°?0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75）

PQ

；'<37°二鄰。

I、、、

I、、

,、X

'、'、、'、B

''、、1

18.（2024?北京?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E在A8上，AF1DE于點尸，CGLOE于點G.若

AD=5,CG=4,則的面積為

19.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABCD,。〃為折痕，以點。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,尸兩點，則斯的長度為（結果保留兀）.

AED

20.（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花

朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形02C置于平面直角坐標系中，點。的坐標為（0，。），點8的坐標為（1,0）,

點C在第一象限，ZOBC=120°.將△O3C沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與無軸重合，第

一次滾動后，點。的對應點為。'，點c的對應點為C"OC與O'C'的交點為A，稱點A為第一個“花朵”

的花心，點4為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，△Q5C滾動2024次后停止滾動，則最后一個“花

疊，折痕交直線BC于點尸（點P不與點8重合），點B的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則尸C長

為.

22.（2024.山東泰安.中考真題）在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，

他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點尸處測得瞭望臺

正對岸A處的俯角為50°,測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6。，己知瞭望臺2C高12米（圖中點A,B,

30

C,P在同一平面內），那么大汶河此河段的寬A5為米.（參考數據：sin4O0^-,sin63.6°=—,

tan50°ag,tan63.6°?2）

23.（2024?四川達州?中考真題）如圖，在中，NC=90。.點。在線段上，ZBAD=45°.AC=4,

CD=1,則AABC的面積是.

6

24.（2024?貴州?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，點區廠分別是3C,8的中點，連接AE,AF.若

4

sinZEAF=-,AE=5,則AB的長為.

25.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖,在AABC中，AB=3C,tanZB=巨，。為BC上一點，且滿足—

12CD5

CF

過。作OE1AD交AC延長線于點E,則就=

26.（2024?黑龍江綏化?中考真題）在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,點E在直線AD上，且DE=2cm,

則點E到矩形對角線所在直線的距離是cm.

三、解答題

27.（2024?內蒙古通遼?中考真題）計算：*-2|+2sin6（T-（F）°.

28.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37。方向，距離燈塔100海里的A處,

它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔尸的南偏東45。方向上的3處.這時，B處距離A處有多遠?

（參考數據：sin37°?0.60,cos37。70.80,tan37。70.75）

29.（2024?北京?中考真題）計算：（萬一5）°+而-2sin3（r+\

30.（2024?湖南長沙?中考真題）計算：（；尸+卜百卜2cos30。-（兀-6.8）°.

31.（2024?廣東深圳?中考真題）計算：-2.cos45°+（%—3.14）°+"0[+]；）.

32.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）先化簡，再求值：一丁「十/--1,其中〃?=cos60。.

m-1Im~+mJ

33.（2024?吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機于空中A處探測到吉塔，

此時飛行高度AB=873m,如圖②，從直升飛機上看塔尖C的俯角㈤C=37。，看塔底。的俯角

/E4D=45。，求吉塔的高度CZX結果精確到0.1m）.（參考數據：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

34.（2024?青海?中考真題）計算：炳一tan45°+萬。一卜也|.

35.(2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題)計算：+tan60°+|A/3-2|+(TI-2024)°.

36.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）綜合實踐活動中，數學興趣小組利用無人機測量大樓的高度.如圖，

無人機在離地面40米的。處，測得操控者A的俯角為30。，測得樓樓頂C處的俯角為45。，又經過人

工測量得到操控者A和大樓3C之間的水平距離是80米，則樓8C的高度是多少米？（點AB,C,。都

在同一平面內，參考數據：A/3?1.7）

8

D

-30017^50—

37.（2024?內蒙古通遼?中考真題）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度.如圖，從C

點測得楊樹底端B點的仰角是30。，2C長6米,在距離C點4米處的。點測得楊樹頂端A點的仰角為45。，

求楊樹48的高度（精確到0.1米，AB,BC,。在同一平面內，點C,。在同一水平線上.參考數據：

73?1.73).

38.（2024?湖南?中考真題）某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動.

活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積

測量工具皮尺、測角儀、計算器等

某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形其示意圖如下：

模型抽象

活動GEFH

過程

①在水池外取一點E,使得點C,B,E在同一條直線上；

②過點E作GHLCE,并沿E”方向前進到點尸，用皮尺測得跖的長為4米；

測繪過程與

③在點F處用測角儀測得NaU=60.3。，ZBFG=45°,/AFG=21.8。；

數據信息

④用計算器計算得：sin60.3°?0.87,cos60.3°?0.50,

tan60.3°?1.75.sin21.8°?0.37,cos21.8°?0.93,tan21.8°?0.40.

請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）:

（1）求線段CE和的長度：

（2）求底座的底面A3CD的面積.

39.（2024.貴州?中考真題）綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜

合性學習.

【實驗操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部8處，入射光線與水槽

內壁AC的夾角為2A；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水.（直線MV'為法線，49為入射光線，OD

為折射光線.）

【測量數據】

如圖，點A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面內，測得AC=20cm,ZA=45°,折射角/DON=32。.

【問題解決】

根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：

（1）求BC的長；

（2）求2,。之間的距離（結果精確到0.1cm）.

（參考數據：sin32°?0.52,cos32°?0.84,tan32°?0.62）

40.（2024.河南?中考真題）如圖1,塑像A3在底座3c上，點。是人眼所在的位置.當點B高于人的水平

視線OE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數學家研究發現：當經過

A,8兩點的圓與水平視線OE相切時（如圖2）,在切點尸處感覺看到的塑像最大，此時/APB為最大視

角.

⑴請僅就圖2的情形證明NAPBANADB.

10

⑵經測量，最大視角/AP3為30。，在點P處看塑像頂部點A的仰角4PE為60。，點P到塑像的水平距

離尸”為6m.求塑像AB的高（結果精確到0.1m.參考數據：小1.73）.

41.（2024.天津?中考真題）綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔48的高度（如

圖①）.某學習小組設計了一個方案：如圖②，點C,D,E依次在同一條水平直線上，DE=36m,EC±AB,

垂足為C.在。處測得橋塔頂部8的仰角（NCDB）為45。，測得橋塔底部A的俯角（/QM）為6。，又

在E處測得橋塔頂部B的仰角（NCEB）為31。.

圖①

（1）求線段的長（結果取整數）;

（2）求橋塔的高度（結果取整數）.參考數據:tan31°?0.6,tan6°?0.1.

42.（2024?四川樂山?中考真題）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道

與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的:

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長有幾?

詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時,踏板離地1尺，將它往前推進10

尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺.（假設秋千的繩索拉的很直）

地面地面

圖1

（1）如圖1,請你根據詞意計算秋千繩索的長度;

（2）如圖2,將秋千從與豎直方向夾角為a的位置OA釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為4的地方

OA",兩次位置的高度差尸Q=〃.根據上述條件能否求出秋千繩索。4的長度？如果能，請用含a、/和耳

的式子表示；如果不能，請說明理由.

43.（2024?山東?中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點尸之間的距離

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具

【實踐活動】某班甲小組根據湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點3.測量A,3兩點間的距離以及

和NPBA,測量三次取平均值，得到數據：AB=60米，/PAB=79°,ZPBA=M°.畫出示意圖，如圖

圖1

【問題解決】（1）計算A,尸兩點間的距離.

（參考數據：sin64°?0.90,sin79°?0.98,cos79°?0.19,sin37°?0.60,tan37°?0.75）

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2,選擇合適的點。，E,F,使得A,D,E在同一條直線上，且AD=DE,NDEF=NDAP,當

F,D,尸在同一條直線上時，只需測量所即可.

圖2

（2）乙小組的方案用到了.（填寫正確答案的序號）

①解直角三角形②三角形全等

12

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據現場地形狀況選擇可實施的方案.

44.（2024.北京?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，E是A8的中點，DB,CE交于點F,DF=FB,

AF//DC.

（1）求證：四邊形APCD為平行四邊形；

⑵若N￡FB=90°,tan/FEB=3,EF=1,求BC的長.

45.（2024?甘肅臨夏?中考真題）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內，共九級，為硅框架式結

構，造型獨特別致，遠可眺太子山露骨風月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹.某校數學興

趣小組在學習了“解直角三角形，，之后，開展了測量乾元塔高度AB的實踐活動.A為乾元塔的頂端，

點C,。在點B的正東方向，在C點用高度為1.6米的測角儀（即CE=L6米）測得A點仰角

為37。，向西平移14.5米至點。，測得A點仰角為45。，請根據測量數據，求乾元塔的高度（結果保

留整數，參考數據：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

圖1圖2

46.（2024.安徽?中考真題）科技社團選擇學校游泳池進行一次光的折射實驗，如圖，光線自點8處發出,

經水面點E折射到池底點A處.已知3E與水平線的夾角a=36.9。，點B到水面的距離BC=1.20m,點A處

水深為1.20m,到池壁的水平距離AD=2.50m,點3,C,。在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平

面內.記入射角為/，折射角為九求任史的值（精確到0.1,參考數據：sin36.9°?0.60,cos36.9°-0.80,

sin/

tan36.9°?0.75）.

池底

47.（2024?浙江?中考真題）如圖，在中，AD1BC,AE是邊上的中線,

AB=10,=6,tanZACB=1.

（1）求BC的長；

（2）求sin/ZME的值.

48.（2024?甘肅?中考真題）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實

現碳中和.甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，

“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐

活動.如圖，已知一風電塔筒A”垂直于地面，測角儀CO,E尸在AH兩側，。。=毋=1.6111,點C與點

E相距182m（點C,H,E在同一條直線上），在。處測得簡尖頂點A的仰角為45。，在尸處測得筒尖頂

434

點A的仰角為53。.求風電塔筒AH的高度.（參考數據：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-.）

49.（2024?河北.中考真題）中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最高

點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離8。=4m,仰角為a；淇淇向前走了3m后到達點。，

透過點尸恰好看到月亮，仰角為夕，如圖是示意圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m,

點尸到8。的距離尸0=2.6m,AC的延長線交尸Q于點￡（注：圖中所有點均在同一平面）

（1）求產的大小及tana的值；

（2）求CP的長及sinZAPC的值.

G—2|+tan60。—出.

50.（2024?四川廣元?中考真題）計算：（2024-兀）°+

14

51.（2024.四川廣元.中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發生折射時，入射角a的正

eina

弦值與折射角P的正弦值的比值一7叫做介質的“絕對折射率”,簡稱“折射率”.它表示光在介質中傳播時,

sinp

介質對光作用的一種特征.

⑴若光從真空射入某介質，入射角為折射角為6且=爭尸=3。。，求該介質的折射率；

（2）現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點A,B,C,。分別是長方體棱的中點,

若光線經真空從矩形A224對角線交點。處射入,其折射光線恰好從點C處射出.如圖②，已知a=60。,

CD=10cm,求截面ABCD的面積.

52.（2024.內蒙古包頭.中考真題）如圖，學校數學興趣小組開展“實地測量教學樓A5的高度”的實踐活動.教

學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達的

兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大小）.

（1）請你設計測量教學樓的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應測數據標記在所畫的圖形上（測

出的距離用孤，等表示，測出的角用d夕等表示），并對設計進行說明；

（2）根據你測量的數據，計算教學樓A8的高度（用字母表示）.

53.（2024?甘肅?中考真題）馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術

精品，體現了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位

的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知O。和圓上一點〃.作

法如下：

①以點M為圓心，長為半徑，作弧交O。于A,8兩點；

②延長MO交。。于點C；

即點A,B,C將。。的圓周三等分.

彩陶紋樣三點定位法三等分圓周

圖1圖2

（1）請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將。。的圓周三等分（保留作圖痕跡,不寫作法）；

（2）根據（1）畫出的圖形，連接AB,AC,BC,若。。的半徑為2cm,則AABC的周長為cm.

54.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，某數學活動小組用高度為1.5米的測角儀BC,對垂直于地面8

的建筑物AD的高度進行測量，于點C.在B處測得A的仰角/A3E-45。，然后將測角儀向建筑

物方向水平移動6米至FG處，FGLCD于點G,測得A的仰角NAEE=58。，郎的延長線交AD于