2024年秋季期末學業質量監測九年級數學試題（全卷共24小題，滿分120分，考試時間120分鐘）注意事項：本試卷分試題卷和答題卡兩部分，請將答案寫在答題卡上每題對應的答題區域內，寫在試題卷上無效．考試結束時，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：（共10題，每題3分，共30分，在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.下列事件中，是確定事件的是（）A. B.的圖像開口向上C.是負數 D.任畫一個，它是2.下列圖案是我國國產汽車的標識，在這些圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.3.已知點與點Q關于原點對稱，則點Q的坐標是（）A. B. C. D.4.對聯是中國特有的一種文學形式，廈門鼓浪嶼就有一幅有名的對聯“霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天”，在這幅對聯中任選一個漢字，與這個字是“山”的概率不同的漢字為（）A.霧 B.頭 C.水 D.天5.某廠今年一月總產量為500噸，三月的總產量為720噸，平均每月增長率為，可列方程為（）A. B.C D.6.下列一元二次方程中，有兩個互為相反數的實數根的是（）A. B.C. D.7.如圖，點C是中優弧的上一點，過P點的兩條切線夾角，A，B為切點，則的度數是（）A B. C. D.8.把拋物線先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，則平移后拋物線的頂點坐標為（）A. B. C. D.9.在矩形中，，，點為對角線，的交點，以點為圓心，為半徑作，則（）A.點在上 B.點在內C.點在外 D.點與位置關系不能確定10.一次函數（）與二次函數（）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B.C. D.二、填空題11.若關于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是______．12.拋物線與x軸兩交點間的距離為______．13.如圖，正六邊形的中心為原點O，頂點A的坐標為，則頂點B的坐標為______．14.已知二次函數的y與x的部分對應值如下表：下列結論：x012y131①拋物線的開口向下；②其圖象的對稱軸為；③當時，函數值y隨x的增大而增大；④拋物線與x軸有兩個不同交點．其中正確的結論有______．15.如圖，將繞點A順時針旋轉，旋轉角為（），得到，這時點C旋轉后的對應點D恰好在直線上，則用含的式子表示為______．三、解答題16解方程：17.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，．（1）求實數k的取值范圍；（2）若，求k的值及方程的兩根．18.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點為，，．（1）以A為旋轉中心，將繞A點逆時針旋轉，畫出旋轉后對應的，C點的對應點為，寫出點的坐標；（2）求（1）中，點C旋轉到點所經過的路徑長．（結果保留根號和）19.如圖是一條隧道的橫截面，它的“拱頂”部分是以點O為圓心的圓的一部分，如果的半徑為，跨度為．（1）求“拱頂”部分表示拱高的線段的長度；（2）若要在離隧道中心處（即）安裝一支柱（垂直于），求支柱的長度．20.某校在學生中對“預防諾如病毒相關知識”知曉情況進行專項調查，采取隨機抽樣的方式抽取50人進行問卷調查，問卷調查分為A、B、C、D四個選項．每人必選且只選其中一項，A類表示“非常了解”，B類表示“比較了解”，C類表示“基本了解”，D類表示“不太了解”．調查后的數據整理成不完整的統計表和四個選項所占比的扇形統計圖如下：類別頻數（1）表中的，；（2）若該校有學生名，根據調查結果估計該校學生中對預防諾如病毒相關知識“比較了解”的人數約為多少？（3）若王老師和李老師要到選擇某一選項的學生中進一步了解情況，試用“列表或畫樹狀圖”的方法求兩人選擇同一選項的學生了解情況的概率．21.如圖，已知，其中A、B、C三點在上，分別連接，，延長交于點M，交過點C的直線l于點P，．（1）求證：是的切線；（2）若直線l與相切，已知，半徑是5．求的面積．22.某地某網店專門銷售甲乙兩種兒童套裝，乙每件的進價比甲多5元，某次用1300元購進兩種兒童套裝各20件．銷售中發現：甲種每天銷售件數y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數關系，如圖所示．（1）求甲種兒童套裝每件的進價；（2）求y與x之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（3）網店每天甲種套裝的銷售量不低于250件，當甲種套裝銷售單價為多少元時，每天銷售甲種套裝獲取的利潤最大，最大利潤是多少？23.在矩形中，，連接和的中點，，把四邊形繞點逆時針旋轉（）到四邊形的位置，的延長線交于點．（1）當點落在線段邊上時，如圖，直接寫出的度數、與的數量關系；（2）當，，在同一直線上時，如圖，交于點，求與的數量關系；（3）當，，在同一直線上時，如圖，交于點，探究與數量關系．24.在平面直角坐標系中，拋物線過的三個頂點．其中點坐標是，C點坐標是．（1）求a和c的值；（2）若Q點在拋物線圖像上，平分，求Q點坐標；（3）在直線上，是否存在一點E，過E點且互相垂直的兩條直線分別與拋物線有唯一公共點，若存在，求出點E的坐標；若不存在，說明理由．

2024年秋季期末學業質量監測九年級數學試題（全卷共24小題，滿分120分，考試時間120分鐘）注意事項：本試卷分試題卷和答題卡兩部分，請將答案寫在答題卡上每題對應的答題區域內，寫在試題卷上無效．考試結束時，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：（共10題，每題3分，共30分，在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.下列事件中，是確定事件的是（）A. B.的圖像開口向上C.是負數 D.任畫一個，它是【答案】A【解析】【分析】本題考查了確定事件和隨機事件的定義，二次函數圖象的性質代數式的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．根據確定事件和隨機事件的定義來區分判斷即可，必然事件和不可能事件統稱確定性事件；必然事件：在一定條件下，一定會發生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會發生的事件稱為不可能事件；隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件．【詳解】解：A.，是確定事件，故該選項符合題意；B.的圖像開口向上，是隨機事件，故該選項不符合題意；C.是負數，是隨機事件，故該選項不符合題意；D.任畫一個，它是，是隨機事件，故該選項不符合題意；故選：A．2.下列圖案是我國國產汽車的標識，在這些圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形，熟練掌握定義是解題的關鍵．根據把一個圖形繞某一點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，逐項判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；B、是中心對稱圖形，故符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：B．3.已知點與點Q關于原點對稱，則點Q的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，可以直接得到答案．本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特點，兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點關于原點O的對稱點是．【詳解】解：平面直角坐標系中，已知點與點Q關于原點對稱，則Q點坐標為．

故選：C．4.對聯是中國特有的一種文學形式，廈門鼓浪嶼就有一幅有名的對聯“霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天”，在這幅對聯中任選一個漢字，與這個字是“山”的概率不同的漢字為（）A.霧 B.頭 C.水 D.天【答案】B【解析】【分析】本題考查了概率公式求概率，根據先求得隨機選一個字是“山”的概率為，進而逐項分析判斷，即可求解．【詳解】這段內容是關于概率的，對聯“霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天”中，總共有14個漢字，其中“山”字出現了2次，，所以隨機選一個字是“山”的概率為而“霧”“頭”“尾”“水”“天”這四個字在對聯中分別出現的次數為、、、、，與“山”字出現的次數不同的是“頭”或“尾”的概率為，“霧”“水”“天”這3個字出現的概率為故選：B．5.某廠今年一月總產量為500噸，三月的總產量為720噸，平均每月增長率為，可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關系是解題的關鍵．設平均每月增長率是x，則二月份的總產量為噸，三月份的總產量為噸，據此列出方程即可．【詳解】解：設平均每月增長率是x，由題意得，．故選B．6.下列一元二次方程中，有兩個互為相反數的實數根的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查根與系數的關系，根據兩個根互為相反數，得到兩根之和為，進行判斷即可．【詳解】解：A、，方程沒有實數根，不符合題意；B、，兩根之和為，符合題意；C、，方程沒有實數根，不符合題意；D、，且兩根之和為4，不符合題意；故選：B．7.如圖，點C是中優弧的上一點，過P點的兩條切線夾角，A，B為切點，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，切線的性質，根據切線的性質得，再利用四邊形的內角和得到，根據圓周角定理可計算出．【詳解】解：∵和為的兩條切線，∴，∴，∴，∴．故選：C．8.把拋物線先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，則平移后拋物線的頂點坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數的平移規律，再根據“左加右減，上加下減”的原則寫出平移后的拋物線的解析式，再求出頂點坐標即可．【詳解】解：把拋物線先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得∴平移后拋物線的頂點坐標為，故選：A9.在矩形中，，，點為對角線，的交點，以點為圓心，為半徑作，則（）A.點在上 B.點在內C.點在外 D.點與位置關系不能確定【答案】C【解析】【分析】本題考查勾股定理，矩形的性質，點與圓的位置關系，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．利用勾股定理求出，再結合矩形的性質得到，最后根據點到圓心的距離與半徑的數量關系判斷到點與圓的位置關系判斷，即可解題．【詳解】解：∵矩形中，，，∴，∴，∵以點為圓心，為半徑作，∴點在外故選：C．10.一次函數（）與二次函數（）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題可先由一次函數圖象得到字母系數的正負，再與二次函數的圖象相比較看是否一致．本題考查了二次函數圖象，一次函數的圖象，應該熟記一次函數在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．【詳解】解：A、一次函數與y軸交點應為，二次函數與y軸的交點也應為，圖象不符合，故本選項錯誤；

B、由拋物線可知，，由直線可知，，a的取值矛盾，故本選項錯誤；

C、由拋物線可知，，由直線可知，，a的取值矛盾，故本選項錯誤；

D、由拋物線可知，，由直線可知，，且拋物線與直線與y軸的交點相同，故本選項正確．

故選：D．二、填空題11.若關于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的定義．通過化簡后，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟記相關定義即可．【詳解】解：由題意得：，∴，故答案為：．12.拋物線與x軸兩交點間的距離為______．【答案】2【解析】【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點，通過解方程得拋物線與x軸的兩交點的坐標，從而得到兩交點間的距離．【詳解】解：當時，，解得，，所以拋物線與x軸的兩交點的坐標為，，所以拋物線與x軸的兩交點間的距離為．故答案為：2．13.如圖，正六邊形的中心為原點O，頂點A的坐標為，則頂點B的坐標為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查正多邊形與圓、等邊三角形的性質與判定及勾股定理、圖形與坐標，熟練掌握正多邊形與圓、等邊三角形的性質與判定及勾股定理、圖形與坐標是解題的關鍵；連接，過點B作軸于點H，由題意易得是等邊三角形，則有，然后問題可求解．【詳解】解：連接，過點B作軸于點H，如圖所示：∵正六邊形的中心為原點O，頂點A的坐標為，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴點B的坐標為；故答案為．14.已知二次函數的y與x的部分對應值如下表：下列結論：x012y131①拋物線的開口向下；②其圖象的對稱軸為；③當時，函數值y隨x的增大而增大；④拋物線與x軸有兩個不同交點．其中正確的結論有______．【答案】①②③④【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質，拋物線與x的交點，解答本題的關鍵是掌握二次函數的圖象及性質，根據圖象上兩點得出拋物線的對稱軸．由表中數據運用待定系數法可得出二次函數的解析式，根據開口方向可判斷①；根據解析式得出對稱軸，可判定②；根據函數圖形的性質和增減性可判斷③；對于，令，則，其判別式，據此判斷④；【詳解】把，，代入，得到，解得：，所以函數解析式為．①由，可得拋物線的開口向下，故①正確；②由函數的解析式，可得對稱軸為，故②正確；③由函數的對稱軸以及二次項系數，可得當時，隨的增大而增大，故③正確；④對于一元二次方程，，所以拋物線與軸有兩個不同交點，解得，故④正確．正確的結論有①②③④．故答案為：①②③④．15.如圖，將繞點A順時針旋轉，旋轉角為（），得到，這時點C旋轉后的對應點D恰好在直線上，則用含的式子表示為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的判定，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．根據旋轉的性質得到，得到，最后結合三角形內角和定理出推導與旋轉角的關系．【詳解】解：點C旋轉后的對應點恰好在直線上，，，，，，故答案為：．三、解答題16.解方程：【答案】【解析】【分析】把右邊的項移到左邊，用提公因式法進行因式分解求出方程的根．【詳解】3x（x+1）-（2x+2）=0，

3x（x+1）-2（x+1）=0，

（x+1）（3x-2）=0，

∴x+1=0，3x-2=0，

∴x1=-1，x2=；【點睛】本題考查的是用因式分解法解方程，根據題目的結構特點，用提公因式法因式分解求出方程的根．17.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，．（1）求實數k的取值范圍；（2）若，求k的值及方程的兩根．【答案】（1）（2），【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解題的關鍵；（1）根據一元二次方程根判別式直接進行求解即可；（2）由題意易得，則有，進而求解即可．【小問1詳解】解：由題意得：，解得：；【小問2詳解】解：根據一元二次方程根與系數的關系可知：，∵，∴，解得：，∵，∴，∴，解得：．18.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點為，，．（1）以A為旋轉中心，將繞A點逆時針旋轉，畫出旋轉后的對應的，C點的對應點為，寫出點的坐標；（2）求（1）中，點C旋轉到點所經過路徑長．（結果保留根號和）【答案】（1）見詳解，（2）【解析】【分析】本題考查了旋轉作圖點的坐標，勾股定理以及求弧長，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據旋轉性質畫出，再讀取點的坐標，即可作答．（2）運用勾股定理求出，再求出弧長，即可作答．【小問1詳解】解：如圖所示：，∴點的坐標為；【小問2詳解】解：，則點C旋轉到點所經過路徑長．19.如圖是一條隧道的橫截面，它的“拱頂”部分是以點O為圓心的圓的一部分，如果的半徑為，跨度為．（1）求“拱頂”部分表示拱高的線段的長度；（2）若要在離隧道中心處（即）安裝一支柱（垂直于），求支柱的長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，矩形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）先證明，然后在用勾股定理即可得到答案；（2）作于，連接不妨設，先證明四邊形是矩形，然后推出，，，然后在中用勾股定理即可得到答案．【小問1詳解】解：，的半徑為，【小問2詳解】解：作于，連接不妨設，四邊形是矩形，，在中，，，，（舍）20.某校在學生中對“預防諾如病毒相關知識”知曉情況進行專項調查，采取隨機抽樣方式抽取50人進行問卷調查，問卷調查分為A、B、C、D四個選項．每人必選且只選其中一項，A類表示“非常了解”，B類表示“比較了解”，C類表示“基本了解”，D類表示“不太了解”．調查后的數據整理成不完整的統計表和四個選項所占比的扇形統計圖如下：類別頻數（1）表中的，；（2）若該校有學生名，根據調查結果估計該校學生中對預防諾如病毒相關知識“比較了解”的人數約為多少？（3）若王老師和李老師要到選擇某一選項的學生中進一步了解情況，試用“列表或畫樹狀圖”的方法求兩人選擇同一選項的學生了解情況的概率．【答案】（1），（2）人（3）【解析】【分析】本題考查的是頻數分布表，樣本估計總體，扇形統計圖，用樹狀圖法求概率．（1）根據扇形統計圖用選項的占比乘以得出的值，進而根據頻數分布表求得的值，即可求解；（2）用乘以選項的占比，即可求解；（3）根據畫樹狀圖法求概率，即可求解．【小問1詳解】解：，故答案為：，．【小問2詳解】解：（人）答：根據調查結果估計該校學生中對預防諾如病毒相關知識“比較了解”的人數約為人【小問3詳解】解：畫樹狀圖如圖，共有16種等可能結果，其中王老師和李老師兩人選擇同一選項的學生了解情況，有4種，∴王老師和李老師兩人選擇同一選項的學生了解情況的概率為．21.如圖，已知，其中A、B、C三點在上，分別連接，，延長交于點M，交過點C的直線l于點P，．（1）求證：是的切線；（2）若直線l與相切，已知，半徑是5．求的面積．【答案】（1）見詳解（2）54【解析】【分析】本題主要考查切線的性質與判定、平行四邊形的性質及垂徑定理的推論，熟練掌握切線的性質與判定、平行四邊形的性質及垂徑定理的推論是解題的關鍵；（1）由垂徑定理的推論可得，然后可得，進而問題可求證；（2）連接，由題意易得，然后根據勾股定理可得，則有，然后問題可求解．【小問1詳解】證明：∵過圓心O，且，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：連接，如圖所示：∵直線l與相切，∴，∵，半徑是5，∴，∵，∴，∴，，∴，∴．22.某地某網店專門銷售甲乙兩種兒童套裝，乙每件的進價比甲多5元，某次用1300元購進兩種兒童套裝各20件．銷售中發現：甲種每天銷售件數y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數關系，如圖所示．（1）求甲種兒童套裝每件的進價；（2）求y與x之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（3）網店每天甲種套裝的銷售量不低于250件，當甲種套裝銷售單價為多少元時，每天銷售甲種套裝獲取的利潤最大，最大利潤是多少？【答案】（1）30元（2）（3）當銷售單價為45元是，每天銷售利潤最大，最大利潤是3750元【解析】【分析】對于（1），設甲種兒童套裝每件的進價為x元，可知乙每件的進價為元，再根據總價相等列出方程，求出解即可；對于（2），將點代入關系式，求出答案；對于（3），先列出利潤和銷售單價的二次函數關系式，再結合銷售量不低于250件得出自變量的取值范圍，討論極值即可．【小問1詳解】解：設甲種兒童套裝每件的進價為x元，可知乙每件的進價為元，根據題意，得，解得，所以甲種兒童套裝每件的進價是30元；【小問2詳解】解：設函數關系式為，根據題意，得，解得，所以一次函數的關系式為；【小問3詳解】解：設每天銷售甲種套裝的總利潤為w，根據題意，得，且，解得．∵，∴拋物線的開口向下，有最大值，對稱軸是，當時，函數值w隨著x的增大而增大，即當時，元．所以當甲種套裝銷售單價為45元時，每天銷售甲種套裝獲取的利潤最大，最大利潤是3750元．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，求一次函數的關系式，一元一次方程的應用，求二次函數的極值，一元一次不等式的應用，根據不等式求出自變量取值范圍得出最大值是解題的關鍵．23.在矩形中，，連接和的中點，，把四邊形繞點逆時針旋轉（）到四邊形的位置，的延長線交于點．（1）當點落在線段邊上時，如圖，直接寫出的度數、與的數量關系；（2）當，，在同一直線上時，如圖，交于點，求與的數量關系；（3）當，，在同一直線上時，如圖，交于點，探究與的數量關系．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）連接，依題意得出邊形，是正方形，根據正方形的性質可得，進而得出；證明四邊形是平行四邊形，得出；（2）設，則；連接，，根據題意得出是等邊三角形，得出，根據含度角的直角三角形的性質，勾股定理得出，進而求得，即可求解；（3）證明得出，設，則，勾股定理可得；進而求得，設，則，，勾股定理可得，進而求得，即可求解．【小問1詳解】解：∵在矩形中，，連接和的中點，，∴四邊形是矩形，∴四邊形是正方形，同理可得四邊形是正