學年湖南省長沙市部分學校高二下學期開學聯考數學試題8小題，每小題5分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合，，則()A.B.C.D.2.在數列中，若，，則()A.B.1C.3D.43.已知，，，則()A.B.C.D.4.若球O被一個平面所截，所得截面的面積為，且球心O到該截面的距離為2，則球O的表面積是()A.B.C.D.5.已知函數是定義在R上的奇函數，在的解集為()A.B.C.D.6.函數在上的值域為()A.B.C.D.7.過點作的切線PA，PB，切點分別為A，B，則()A.B.C.D.28.已知數列滿足，的前n項和為，，成等差數列，則()A.10B.11C.12D.133分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.在空間直角坐標系中，已知點，，，，則()A.B.與夾角的余弦值為C.在上的投影向量為D.點A到直線BC的距離為第13頁，共13頁10.已知等比數列的公比不為1，設的前n項和為，若，且，，成等差數列，則下列說法正確的是()A.B.數列為等比數列C.D.11.已知ABC是拋物線上不同的動點，F為拋物線Wl為拋物線W的準線，AB的中點為，則()A.當時，的最大值為32B.當時，的最小值為22C.當時，直線AB的斜率為D.當A，F，B三點共線時，點P到直線l的距離的最小值為14三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分。12.用0，1，2這三個數字組成一個三位數每個數字只能用一次，則這個三位數是偶數的概率為.13.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，直線l經過，且與C的右支交于A，B兩點，若，則C的離心率為.14ABCDEF的每條棱長均為AF與BD交于點O，M為正八面體ABCDEF內部或表面上的動點.若，則的最小值為.5明過程或演算步驟。15.本小題12分記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知求若，求的面積的最大值.第13頁，共13頁16.本小題12分在直三棱柱中，M是的中點，，，證明：平面求平面與平面夾角的余弦值.17.本小題12分已知正項數列的前n項和為，且滿足，證明：為等差數列.求m的值和的通項公式.若數列滿足，其前n項和為，證明：18.本小題12分已知橢圓的短軸長為，且離心率為求C的方程.過點作斜率不為0的直線與橢圓C交于ST作直線ST的平行線與橢圓C交于G，H不同的兩點.①證明：為定值.②求面積的取值范圍.19.本小題12分在數列中，若存在項之和等于中的某一項，則稱是“k和數列”.第13頁，共13頁若，判斷是否為“3和數列”，是否為“4和數列”，并說明理由.在正項數列中，，且，證明：①可能是等比數列;②若為等比數列，則不是“k和數列”.第13頁，共13頁答案和解析1.【答案】C【解析】解：依題意得，又，則故選：2.【答案】D【解析】解：由題意得，所以，則3.【答案】A【解析】解：，且，，故4.【答案】C【解析】解：因為球O一截面的面積為，所以該截面圓的半徑為又因為球心O到該截面的距離為2，所以球O的半徑，所以球O的表面積為故選5.【答案】D【解析】解：由題可知在上單調遞減，又是定義在R上的奇函數，所以在上單調遞減，又，所以，所以當或時，，當或時，，則不等式等價于或解得或，所以滿足不等式的實數x的取值范圍為第13頁，共13頁6.【答案】A【解析】解：，由，可得，所以7.【答案】B【解析】解：由題可知，，，則，故8.【答案】B【解析】解：因為，且，所以當時，；因為也滿足，所以；因為，所以，若，，成等差數列，則，即，得9.【答案】ABD【解析】解：因為，，所以，故A正確;因為，，所以，，故B正確;因為，，所以在上的投影向量為，故C錯誤;因為，所以的一個單位方向向量為，第13頁，共13頁因為，所以點A到直線BC的距離為，故D正確.10.【答案】BCD【解析】解：設等比數列的公比為由，，成等差數列，得，整理得，則，則，，，所以，數列是等比數列.，當n為奇數時，，單調遞減，所以，當n為偶數時，單調遞增，所以，故11.【答案】ACD【解析】解：設，因為，所以當A，F，B三點共線時，有最大值32，故A正確;因為P在拋物線W內側，所以的最小值為點P到直線l的距離，所以，故B錯誤;由得，所以，故C正確;當A，F，B三點共線時，點P到直線l的距離，第13頁，共13頁而，所以，故D正確;本題選：12.【答案】【解析】解：0，1，2這三個數字組成一個三位數共有4種情況，其中偶數有3種情況，故所求概率為13.【答案】【解析】解：設，則，，因為，所以，解得，即，，，，則，所以在中，，即，得，所以雙曲線C的離心率為14.【答案】【解析】解：設過點H且與直線DF垂直的平面為因為，所以點M的軌跡是平面截正八面體ABCDEF的截面.如圖，連接OC，以O為坐標原點，OD，OC，OA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.設AD的中點為T，則，，，，，第13頁，共13頁設，則，，所以，得，，因為，所以，當，時，取得最小值，且最小值為15.【答案】解：因為，所以，則，即，所以，故由余弦定理可得因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立.故的面積的的最大值為【解析】詳細解答和解析過程見【答案】16.【答案】證明：連接，交于點D，連接因為三棱柱為直三棱柱，第13頁，共13頁所以四邊形為矩形，所以D為的中點.又M是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面解：如圖，過點在平面內作因為三棱柱為直三棱柱，所以，，兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.又，，，則，，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則令，得，，故為平面的一個法向量.設平面的法向量為，則解得，令，得，故為平面的一個法向量.設平面與平面的夾角為，則因為，第13頁，共13頁所以平面與平面夾角的余弦值為【解析】詳細解答和解析過程見【答案】17.【答案】證明：由，可得，相減可得，因此，則因為為正項數列，所以，則，所以，故數列為等差數列，且公差為解：因為，，所以，當時，，解得，證明：因為，所以，，兩式相減得，所以【解析】詳細解答和解析過程見【答案】第13頁，共13頁18.【答案】解：設C的半焦距為，則因為，所以故C的方程為設直線ST的方程為，則直線GH的方程為聯立得，由，得設，，則聯立得設，，則①證明：因為，所以，是定值②因為的面積，且，所以，設，則因為函數在上單調遞增，所以，故【解析】詳細解答和解析過程見【答案】19.【答案】解：是“3和數列”，不是“4和數列”.理由如下：因為，所以第13頁，共13頁又，所以是“3和數列”.由題可知中的每一項均是奇數，則中的任意4項之和肯定為偶數，與中的任何一項均不相等，故不是“4和數列”.證明：①由，，得若是等比數列，則的公比，則，則，，符合，故可能是以2為公比的等比數列.②由①可得，假設是“k和數列”，則存在，，，，，使得，不妨令若，則，且，則，因為，所以為正偶數，則為大于1的正奇數