湖北省學年秋季學期高二期末聯考數學試卷命題單位：荊州市教科院審題單位：恩施州教科院本試卷共4頁，題，全卷滿分分考試用時分鐘.★祝考試順利★注意事項：題卡上的指定位置.選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.題卡上的非答題區域均無效.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線y2=4x的焦點坐標是A.（0,2）B.（0,1）C.（2,0）D.（1,0）【答案】D【解析】【詳解】試題分析：的焦點坐標為，故選D.【考點】拋物線的性質【名師點睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學數學的一個重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內容，它們的定義、標準方程、簡單幾何性質是我們要重點掌握的內容，一定要熟記掌握．2.已知，，且，則（）A.0.5B.0.4C.0.9D.0.2【答案】B【解析】第1頁/共16頁【分析】由A與B之間的包含關系可直接得到答案.【詳解】因為，所以,故選：B.3.設數列，都是等比數列，則在4個數列，，，中，一定是等比數列的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B【解析】【分析】取，可判斷；取，可判斷；利用等比數列的定義可判斷，.【詳解】對于，不妨取，則數列、都是等比數列，但對任意的，，故數列不是等比數列；對于，不妨取，則數列、都是等比數列，但當時，，故數列不是等比數列；設等比數列、的公比分別為，其中，對任意的，，對于，，即數列為等比數列；對于，，故為等比數列，故，一定是等比數列.故選：B.4.直線的一個方向向量的坐標為，直線過點且與垂直，則的方程為（）第2頁/共16頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意得直線的方向向量為直線的法向量，列出點法式方程即可求解.【詳解】由題意得直線的方向向量為直線的法向量，由點法式方程可得，所以.故選：A.5.已知是等差數列，，，則的前10項和為（）A.90B.100C.D.120【答案】D【解析】【分析】根據已知條件求出的公差和首項，代入前項和公式可得答案.【詳解】設的公差為，因為，，所以，解得，則的前10項和為.故選：D.6.已知正三棱柱的中點為與直線所成的角的余弦值為（）A.0B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求出，，計算二者的第3頁/共16頁數量積，即可得答案.【詳解】設中點為，中點為，由正三棱柱性質知底面，底面，則，，又底面是等邊三角形，是中點，則．以為原點，，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設正三棱柱的棱長都為2，則，，，，∴，，則∴，即異面直線和成角的余弦值為0,故選：A.7.柜子里有紅、黃、藍三種顏色的鞋子各一雙，從6只鞋子中隨機地取出3只，則取出的3只鞋子顏色均不相同的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出從6只鞋子中隨機地取出3只的取法，求出取出的3只鞋子顏色均不相同的取法即可求解.詳解】從6只鞋子中隨機地取出3只有種取法，要使取出的3只鞋子顏色均不相同，第4頁/共16頁則每種顏色都要取一只，共有種取法，所以取出的3只鞋子顏色均不相同的概率為.故選：C.8.圓與橢圓有密切聯系，將圓在同一方向等比例“壓縮”或者“拉伸”，圓會變形為橢圓；同樣的，將橢圓在同一方向等比例“壓縮”或者“拉伸”，橢圓會變形為不同的橢圓或圓.已知二面角的大小為，半平面內的圓在半平面上的投影是橢圓，在半平面上的投影是橢圓，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】不妨設圓與二面角的棱切于點，過作與垂直的平面分別交半平面，于射線，，的中心分別為，，，，平面幾何知識可求得，進而可求得離心率.【詳解】不妨設圓與二面角棱切于點，過作與垂直的平面分別交半平面，于射線，（如圖）.設圓的半徑為，橢圓，的中心分別為，，長短半軸分別為，，，，則，，，由平面幾何知識易得，，故橢圓的離心率.故選：36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目第5頁/共16頁要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.“點數不大于2”；“點數大于2”；“點數大于5”；“點數為奇數”.則下列說法正確的有（）A.B.，為對立事件C.與互斥D.【答案】BD【解析】【分析】根據對立事件、互斥事件，并事件，積事件的概念及事件之間的關系，逐項判斷即可.【詳解】對于A，“點數大于2”“點數大于5”“點數大于2”，故A錯誤；對于B，點數大于2與點數不大于2不可能同時發生，且必有一個發生，即為對立事件，故B正確；對于C，點數為奇數與點數大于2可能同時發生，即與不是互斥事件，故C錯誤；對于D，點數為奇數與點數大于5不可能同時發生，故，故D正確.故選：BD.10.已知，交點的軌跡為曲線的有（）A.當時，曲線是橢圓的一部分，且橢圓焦點在軸上B.當時，曲線是橢圓的一部分，且橢圓焦點在軸上C.當時，曲線是橢圓的一部分D.當時，曲線是雙曲線的一部分【答案】ABD【解析】【分析】先聯立兩直線方程消去參數，得到曲線C的方程為，再根據橢圓和雙曲線的標準方程的條件逐一分析選項即可.【詳解】當時，聯立直線與的方程，此時無解，當時，聯立直線與的方程，第6頁/共16頁可得，所以，兩式平方相加可得,選項A：當時曲線C的方程，這是橢圓去掉時的點，且橢圓焦點在x軸上，所以該選項A正確；選項B：當時，曲線C的方程為，這是橢圓去掉時的點，且橢圓焦點在y軸上，所以該選項B正確；選項C：當時，假設,曲線C的方程為，表示圓去掉時的點，不表示橢圓的一部分，所以C選項錯誤；選項D：當時，曲線C的方程是焦點在x軸的雙曲線的一部分，D選項正確；故選：ABD.已知正方體的棱長為4在面；點在面到直線的距離與其到平面的距離相等.若平面，則下列說法正確的有（）A.B.直線不可能與平面垂直C.的軌跡為拋物線的一部分D.線段長度的取值范圍為【答案】ACD【解析】A的中點P的軌跡為橢圓的一部分，得到在坐標平面內的方程；進而得到的軌跡為拋物線的一部分，得到在第7頁/共16頁坐標平面內的方程判定C；設，求出判定D；當即，時直線與平面垂直判定B.【詳解】由于平面，根據正方體性質，知道，A選項顯然正確；以的中點為原點建立空間直角坐標系，由橢圓定義，P的軌跡為橢圓的一部分，其在坐標平面內的方程為；到直線的距離即為的長，到平面的距離即為到直線的距離，由此的軌跡為拋物線的一部分，其在坐標平面內的方程為，故C選項正確；由平面知，，橫坐標相等，設為，設，，，，，故D選項正確；當即，時直線與平面垂直.故B選項錯誤.【點睛】關鍵點點睛：立體幾何中，計算和證明比較難時，可通過建立空間直角坐標系，利用向量法，結合圓錐曲線，函數等知識解決即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知，，且，則_____.【答案】【解析】【分析】根據求出，由求出坐標，再利用向量模長公式計算可得答案.第8頁/共16頁【詳解】因為，，且，所以，可得，解得，所以，又，則.故答案為：.13.雙曲線的左右焦點分別為，為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，若，則_____.【答案】【解析】間的距離公式結合，可得，求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，兩焦點為，以線段為直徑的圓的方程為，聯立，消去，得，整理得，因為在第一象限，所以取，代入，得，所以點，由，得，所以，整理得，所以，所以，兩邊平方得，所以，解得.第9頁/共16頁故答案為：.14.數列中，且滿足，，則數列的前2024項的和為_____.【答案】【解析】【分析】根據題意得到，，，，以及，，，分別是公比為的等比數列，再分奇偶討論，結合分組求和計算即可.【詳解】解析：由，，得，，得所以，，，以及，，，分別是公比為的等比數列，當為奇數時，，當為偶數時，所以，當為奇數時，，當為偶數時，，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列滿足，且，設.（1）求證：數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）結合已知等式構造后應用等比數列定義證明即可；第10頁/共16頁（2）應用分組求和再分別應用等差數列求和公式及等比數列求和公式計算.【小問1詳解】由已知，，且，，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列；【小問2詳解】由（1）知，，，所以，.16.已知圓內有一點，過作直線與圓交于，兩點.（1）若弦被點平分，求直線的方程.（2）若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1被點與直線得到直線的斜率，再利用點斜式求出直線的方程.（2）已知弦長，先根據圓的半徑和半弦長以及圓心到直線的距離的關系求出圓心到直線的距離，然后分直線斜率存在和不存在兩種情況進行討論，分別求出直線的方程.【小問1詳解】圓的方程為，圓心，已知.根據兩點間斜率公式，可得.第11頁/共16頁弦被點平分時，，設直線斜率為，則，所以.已知直線過點，斜率為，根據點斜式方程，可得直線的方程為，即.【小問2詳解】設圓心到直線的距離：圓的半徑，已知.根據圓的弦長計算公式，可得，所以.當直線的斜率不存在時：直線的方程為.此時圓心到直線的距離為，滿足圓心到直線的距離，所以是直線一個方程.當直線的斜率存在時：設直線的方程為，即.圓心到直線的距離.即，兩邊平方得.展開得，移項，解得.所以直線的方程為.綜上所得，線的方程為或.17.如圖，平行六面體的所有棱長均相等，，，平面平面，點，滿足，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析第12頁/共16頁（2）【解析】1）取的中點，連接交于，證得，結合線面平行的判定定理即可得證；（2為原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】證明如圖，取的中點，連接交于，連接，因為，，所以，又，所以由于，，所以，從而有又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】設平行六面體各條棱長為6.因為平面平面，且，所以平面，由于，所以，，，由余弦定理得，，所以，以為原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，由得，從而設平面的一個法向量為，第13頁/共16頁則，可取，故.18.已知橢圓軸上且焦距為2的直線（不與軸重合）交橢圓于，兩點，當直線與軸垂直時，.（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線，的斜率之積為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1C的標準方程為，，即可求解；（2）設，設點，，聯立和消元求出韋達定理，求出.【小問1詳解】設橢圓C的標準方程為，,由，解得，，因此橢圓C的方程為；【小問2詳解】第14頁/共16頁證明：因為直線不與軸重合，設，設點，，聯立，消元得，得（*恒成立，所以，將（*）代入化簡得，所以直線，的斜率之積為.19.已知，兩個盒子里分別有，.重復進行次如下操作：每次從，中隨機選取一個盒子，向里面放入1個球或放入2個球，從剩下的另一個盒子里取出1個球或取出2個球.每一次操作中某個盒子里“放入1個球”“放入2個球”及“取出1個球”“取出2個球”均是等可能的，這次操作結果均相互獨立.（1）若，，求第一次操作后，盒子里球的個數多于盒子里球的個數的概率；（2）求完成