重難點11平面向量中的最值與范圍問題【八大題型】

【新高考專用】

平面向量是高中數學的重要內容，平面向量中的最值與范圍問題是高考的熱點問題，也是難點問題，

此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合；從近幾年的高考情況來看，其基本題型是根據已知條件求某

個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等.

?知識梳理

【知識點1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值(范圍)問題的兩類求解思路：

(1)“形化"，即利用平面向量的相關知識將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結合平面圖

形的特征直接進行判斷；

(2)“數化"，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決.

2.平面向量中的最值(范圍)問題的常用解題方法：

(1)定義法

①利用向量的概念及其運算將所求問題進行轉化，得到相應的等式關系；

②運用基木不等式、二次函數求其最值(范圍)問題，即可得出結論.

(2)坐標法

①建立適當的直角坐標系，把幾何圖形放在坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標；

②將平面向量的運算坐標化，進行相應的代數運算和向量運算；

③運用適當的數學思想方法如：二次函數、基本不等式、三角函數等思想方法來求解最值(范圍).

【知識點2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

⑴平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|a+^|2+|a-S|2=2(|a|2+|^|2).

證明：不妨設在=Z,?=5,貝1|工=3+B,DB=a-b,

2

因2=宓=(￡+印管+2a-S+|zj|①,

網2=加=(］閩y7叫邛②,

①②兩式相加得：

|狗2+廊『=2(@+W卜2(畫2+1囹］.

(2)極化恒等式:

上面兩式相減，得：:j=+B『一--------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^AC^-\DB^.

2.幾何解釋：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

線長”平方差的;，即:?刃一或］(如圖).

(2)三角形模型：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即4?旅=

~AM2—應評(W為的中點)(如圖).

A

BMC

極化恒等式表明，向量的數量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系.

【知識點3等和(高)線定理】

1.等和(高)線定理

(1)由三點共線結論推導等和(高)線定理：如圖，由三點共線結論可知，若5?+〃方Q,〃eR),

則4+〃=1,由△048與A0AE相似，必存在一個常數k,k&R,使得OP'=kOP,則

OP'=kOP=kAOA+k/j.OB,又OP'=xOA+yOB(x,j?eR),.■-x+y^kX+k^k；反之也成立.

(2)平面內一個基底｛5X3｝及任一向量蘇，OP'^^OA+^OB^eR),若點P在直線A8上或在平

行于42的直線上，貝~+〃=?定值)；反之也成立，我們把直線以及與直線N8平行的直線稱為等和(高)

線.

①當等和線恰為直線48時，k=l；

②當等和線在。點和直線AB之間時，住(0,1)；

③當直線4B在。點和等和線之間時，在(1,+8)；

④當等和線過。點時，k=0；

⑤若兩等和線關于。點對稱，則定值自，與互為相反數；

⑥定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（2024?四川瀘州?一模）已知平面向圜=4,|赤|=3,|玩|=1,而?旗=0,則|刀+無|的最小

值是（）

3

A.1B.2C.-D.3

【解題思路】由題設AB,C分別在以。為原點，半徑為4,3,1的圓上運動，且萬？1赤，數形結合及向量加法的

幾何意義確定|石？+而帕勺范圍，即可得答案.

【解答過程】由題設，45C分別在以。為原點，半徑為4,3,1的圓上運動，且雨?麗=0,

所以瓦51麗，若。是的中點，貝lJ|0D|=/4B|=|,而|OC|=1,如下圖示，

由圖知，向+國=2而而|OQ|—|OC|W|CD|W|OD|+|OC|,Bp|<|CD|<|.

所以|石？+而|的最小值是3.

故選：D.

【變式1-1］（2024?四川內江?三模）已知點/、B、C在圓久2+y2=i上運動，且4B1BC,若點P的坐標為

（0,2）,則|西+方+麗|的最大值為（）

A.3B.5C.7D.9

【解題思路】由題意可得4c為直徑，且|西+麗+麗|=|2萬+麗|,當而，方共線且方向相同時模長最長，

即可得出答案.

【解答過程】因為AB18C,所以4C為直徑且過原點，4C的中點為原點。，

所以由平行四邊形法則可得：PA+PC^2PO,

所以|港+而+元|=\2PO+~PB\,

所以當PO,PB共線且方向相同時模長最長，即當B運動至IJD（O,-1）時,

\PA+~PB+~PC\=\2P0+麗|取得最大值為2x2+3=7.

故選：C.

【變式1-2]（2024?福建?模擬預測）在△4BC中，點。是邊BC上一點，若前=而，則等的最小

值為（）

A.7-2V10B.7+2V10C.-2V10D.7

【解題思路】根據給定條件，利用共線向量定理的推論求得x+y=L%>0,y>0?再利用基本不等式

“1”的妙用求出最小值.

【解答過程】在中，點。是邊BC上一點，AD^xAB+yAC,則x+y=l,x>0,y>0.

（"6+；）（x+y）=7+F+■7+2曰=7+2師

當且僅當?=￡,即》=手）=牛時取等號，

所以等的最小值為7+2V10.

故選：B.

【變式1-3]（2024?江西鷹潭?二模）在RSZBC中，角所對應的邊為見瓦c/=也c=2,尸是△ZBC

外接圓上一點，則麗?（可+而）的最大值是（）

A.4B.2+V10C.3D.1+V10

【解題思路】先判斷△ABC外接圓圓心。是4B的中點，將無?（園+麗）化簡為2玩?麗，再將正分解整理

得2而2+2而,瓦，結合圖形，利用向量數量積的定義式進行分析，即得麗?@7+而）的最大值.

【解答過程】

c

p

如圖，設RtaZBC的外心為0,則點。是的中點，

由PC?（P4+PB）=2PC-P0=2（P。+oc）-P0=2P0+2P0-0C,

因c=2,故|而|=|沆|=1,而麗?瓦=cos〈而,玩〉，

故元?（刀+麗）W2+2=4,當且僅當而與沆同向時取等號.

故選：A.

【題型2坐標法求最值（范圍）問題】

【例2】（2024?寧夏?一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一

個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正八邊形力BCDEFGH的邊

長為2,P是正八邊形2BCDEFGH八條邊上的動點，則Q-樂的最小值為（）

圖2

0C.-2V2D.-4V2

【解題思路】根據P的位置進行分類討論，根據向量數量積運算求得正確答案.

【解答過程】設（而,而）=仇

當P與4重合時，AP-AB=0；

當P在線段4B（除4）、線段BC、線段C。，線段線段EF（除F）點上運動時,

0<9<1,cos0>0,所以4P-AB=|AP|'\AB\-cos0>0,

當p與尸重合時，e=*所以Q?而=|Q|?|說

以4為原點，AB,4F分別為%,y軸建立平面直角坐標系，

根據正八邊形的性質可知力F=2+(2Xsin?x2=2+2\[2,2cos：=V2,

則F(0,2+2V2),G(-V2,2+V2),W(-V2,V2),B(2,0),

直線GF的方程為y=x+2+2魚，直線GH的方程為x=-近，直線4H的方程為丫=-x,

當P在線段GF(除F)上運動時，設P(x,x+2+2&)(—&Sx<0),

所以而-AB=(x,x+2+2V2)-(2,0)=xe[-V2,0),

當P在線段GH上運動時，設P(-VIt)(迎WtW?+2),

所以而?AB=(-V2,t)?(2,0)=-2V2,

當P在線段AH(除4)上運動時，設P(x,-x)(-?Wx<0),

所以而■AB=(%,-x)-(2,0)=2xe[-272,0).

綜上所述，而?荏的最小值為-2魚.

故選：C.

【變式2-1](2024?江蘇南通?二模)如圖，點C在半徑為2的通上運動，"OB4若配=mOA+nOB,則機+n

的最大值為()

A.1B.V2C.竽D.V3

【解題思路】建立適當的坐標系，設乙4OC=a,利用向量的坐標運算得到加，"與a的關系，進而得到

關于a的三角函數表達式，利用輔助角公式整理后，根據三角函數的性質求得其最大值.

【解答過程】以。為原點、旗的方向為x軸的正方向，建立平面直角坐標系，

則有訶=(2,0),OB=(1.V3).

設ZJIOC=a,貝iJOC=(2cos%2sina).

,日古上r%

由感恩可知｛f2n?l+n==2s2icnoasa

所以TH+九=cosa+手isna=^^sin(a+g),

因為ae[o閭,所以a+今喏用,

故山+n的最大值為竽.

故選：C.

【變式2-2](2024?四川成都?三模)在矩形力BCD中，AB=5,4D=4,點E滿足2荏=3而，在平面4BCD

中，動點P滿足麗?方=0,則而?標的最大值為()

A.V41+4B.74116C.2、13+4D.2V13-6

【解題思路】建立直角坐標系，利用向量的坐標運算即可結合三角函數的性質求解.

【解答過程】以。為坐標原點(。是BE中點)，建立如圖所示的直角坐標系，

因為在矩形4BCD中，AB=5,AD=4,2AE=3EB,PE-PB=0,

所以動點P在以。為圓心，1為半徑的圓上運動，故設P(cose,sin。)，

則A(0,4),D(4,4),C(4,-l),

DP-AC=(cos0-4,sin0-4)?(4,-5)=4(cos0—4)—5(sin0-4)=V41cos(0+<p)+4,

c---?--->__

其中銳角3滿足tanR=Q故DPSC的最大值為WT+4,

故選：A.

【變式2-3](2024?北京?三模)已知點N在邊長為2的正八邊形442，-/8的邊上，點”在邊4"2上，則

ArMMiN的取值范圍是()

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2A/2]

C.[-2V2,4+2V2]D.[-2V2,4]

【解題思路】以公為原點，建立平面直角坐標系，表示出點M、N的坐標，計算而?而即可.

【解答過程】以心為原點，4遇2為工軸，4遇6為y軸建立平面直角坐標系，

設N(n，yi),M(%2,0)，則4也=(%2,0)4N=(均,％),

所以AM-A-^N—>

由于正八邊形的每個外角都為：；

則工26[O,2],X16[-V2,2+V2],

所以41M?&N=XiX2e[-2V2,4+2V2].

故選：C.

【題型3與平面向量基本定理有關的最值（范圍）問題】

【例3】（2024?四川遂寧?模擬預測）在△力BC中，點尸為線段8C上任一點（不含端點）,^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,貝葉+和勺最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

【解題思路】先根據共線向量基本定理得到x+2y=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解答過程】因為點尸為線段上任一點（不含端點），

所以設衣=4近，i^AF-AB-XAC-AAB,

即赤=4而+（1-4）福

又而=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

故久+2y=1—A+A=1,

故1++今（x+2y）=l+4+孑+■5+2后g=9,

當且僅當孑=￡,即x=y=g時，等號成立，

故?+和勺最小值為9.

故選：D.

【變式3-1］（2024?寧夏銀川?模擬預測）在△ABC中，BD=WC,過點。的直線分別交直線AB、AC于點

E、F,5.AE=mAB,AF=nAC,其中Tn>0,n>0,則租+2九的最小值為（）

O

A.2B.V2C.3D.-

【解題思路】根據題意以4B/C為基底表示出AC,再根據E,凡。三點共線，利用共線定理可得聶+會=1,

再由基本不等式即可求得m+2兀的最小值為3.

【解答過程】如下圖所示：

因為說=2DC,易知前=AB+BD=AB+^BC=AB+|（XC-XB）=9+押,

又族=小四,左=n前，所以而=癡+|而=親族+《初，

易知E,F,D三點共線，利用共線定理可得++總=1,

又m>0,n>0,

所以加+2n=S+2n）（3+9="架+言+公2序器+|=2*|+|=3；

當且僅當票=粉，即爪=72=1時，等號成立，

所以巾+2n的最小值為3.

故選：C.

【變式3-2](2024?重慶?模擬預測)在正方形A8CD中，動點E從點B出發，經過C,D,到達4AE=XAB+n

AC,貝IM+〃的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,2]D.[0,2]

【解題思路】建立平面直角坐標系，寫成點的坐標，分點、E在BC,CD,4。三種情況，求出2+〃的取值范圍.

【解答過程】以B為坐標原點，AB,BC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，

設48=1,則8(0,0)/(1,0>C(0,1),

當點E在BC上時，設

貝1](一l,m)=4(-1,0)+〃(一1,1),即｛入/二林1，故4+4=1,

當點E在CD上時,設

則(t—1,1)=4(—1,0)+火一1,1),即「圈tT，解得｛)=7，

故a+〃=1—16[o,i],

當點E在4。上時，設

則即｛一丑;°，故4+〃=0

綜上，a+〃的取值范圍是a+〃w

故選：B.

【變式3-3](2024?內蒙古呼和浩特?一模)在中，。為線段4C的一個三等分點，MD|=2|DC|.連接

BD,在線段BD上任取一點E,連接4E,若族=a而+b方，則(^+廿的最小值為()

,1342

A.—Bc——D.

4-1135

【解題思路】根據E在線段8。上得到族=4前+Q-Q同，結合已知條件得到a,b和4的關系式，最后轉

化為二次函數求最小值.

【解答過程】???E在線段8。上，AE^AAD+(l-A)XB,Ae[0,1],

。為線段4c的一個三等分點,\AD\=2\DC\,AD=^AC,

AE=—AAC+(1一=aAC-i-bAB,

由平面向量基本定理得a=|2，b=1—2,

a2+b2=^A2+(1-2)2=yA2-22+1=y(A-+,,

當2=總時，a2+/取得最小值3

故選：C.

【題型4與數量積有關的最值(范圍)問題】

【例4】(2024?全國?模擬預測)已知圓C的半徑為1,過圓C外一點P作一條切線與圓C相切于點4

\PA\=2,Q為圓C上一個動點，則同?所的取值范圍為()

A.[2,4]B.[2,6]C.[0,4]D.[4,6]

【解題思路】方法一：建立合適的坐標系，設Q(cose,sin8),根據余弦函數的范圍即可得到數量積范圍；方

法二：根據數量積與投影向量之間的關系進行轉化即可.

【解答過程】方法一：不妨設圓心C(0,0),24(0-1),P(-2,-l),Q(cos0,sin0),

所以麗■PQ=(2,0)?(cos。+2,sin0+1)=2cos0+4,

因為一1<cos3<1,

所以2W百?所W6.

方法二：如圖，過圓心C作MNIIP4,且與圓C交于點N,連接PM,PN,

過N分別作MG1P4NH1PA,垂足分別為G,H,過Q作QT1P4垂足為7,

則所在或方向上的投影向量為所，

則可.所=可?可而|而|=2,

又1W|而|W3,所以2W方?所W6.

故選：B.

【變式4-1](2024?海南?三模)勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊

長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三

角形中，已知4B=2,尸為弧NC上的一點，且NPBC=*則而?麗的值為()

A.4—B.4+

C.4-2V3D.4+2V3

【解題思路】根據數量積的坐標運算即可求解.

以8為坐標原點，直線8c為x軸，過點8且垂直于8c的直線為了軸，建立平面直角坐標系，貝!]8(0,0),

C(2,0),由=?得P(乃1),所以麗=(V3.1),CP=(73-2,1),所以而-CP=V3(V3-2)+1X1=4-2

V3.

故選：C.

【變式4-2](2024?浙江?一模)如圖，點C在以為直徑的圓上，其中|力引=2,過4向點C處的切線作垂

線，垂足為P,則就?麗的最大值是()

A.2B.1C.0D.-1

【解題思路】連接BC,貝ij乙4cB=9。。,貝u有尼?麗=|無匕由RtaapcsRtaacB可得仍。|=史詈，又由

\AC\2+\CB\2=|4B|2,可得＜2,即可求出無-麗的最大值.

【解答過程】解：連接BC,貝此力CB=90。，

■：AP1PC,

.?前-TB=AC■(PC+CB)=AC-PC=(AP+JC)-JC=~PC2=\PC\2,

依題意可證Rt△力Pt>Rt△4CB,則昌=器，即|PC|=吏磬，

■.■\AC\2+\CB\2=\AB\2,

.?.|ZC|2+|C8|2=4N2|ac|￡B|,即|4C||CB|W2,當且僅當|4C|=|CB|時取等號,

：.\PC\<1,

：.AC-~PB=|PC|2<1,

??.樂?麗的最大值為1,

故選：B.

【變式4-3］（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖所示，A48C是邊長為8的等邊三角形，P為NC邊上的一個

動點，￡廠是以8為圓心，3為半徑的圓的直徑，則而?麻的取值范圍是（）

A.[28,46]B.[32,58]C.[39,55]D.[42,60]

【解題思路】利用已知條件，把而，而用基底｛麗，而｝表示，再利用向量數量積公式可得方?而=|麗『-

|BE|2,再根據I而I的范圍便可求出而?方的取值范圍.

【解答過程】如圖可知，而=方+聲，PF=~PB+~BF,

因為B是EF的中點，所以族=麗=一而，

所以而■PF=（RB+RE）-（PB+BF）,

即而-~PF=（PB+~BE}-（PB-BE},

所以麗?麗=麗2—前2=?麗前『，

由條件可得，|而|=3,|同|=|照|=|麗|=8,

因為尸為NC邊上的一個動點，

故當尸為NC中點時，|麗|最小，此時|麗|=4行，

當尸為/或C時，|方|最大，|而|=8,

所以|麗|€[4V3.8],

所以|麗12C[48,64],又因為|旗|=3,

所以|而『-1前『e[39,55].

故選：C.

【題型5與模有關的最值（范圍）問題】

【例5】（2024?河北保定?二模）如圖，圓01和圓。2外切于點P，A,B分別為圓。1和圓。2上的動點，己知圓

。1和圓。2的半徑都為1，且刀?麗=—1,則|您+而『的最大值為（）

【解題思路]由瓦??PB=（西+0^4）■（花+4）=1,化簡得到|日?森卜|西?（a^B-a[A）\<

|森一亞|,兩邊平方化簡可得：一1一gW日?森W-1+遮，由|而+而『=

|PO1+。送+PO2+O2B\化簡即可得到答案.

【解答過程】PA-~PB=（西+0^4）■（布+森）=西.西+西.森+m.西+亳.4

=-1+POi,（2B-0遇）+O^A?。2夕=-1,

所以|乖?森|=|西?（森一女）|<|森一女

■>------->12I?12I------>12------->------->I------>>12--->>

所以|。1/?。2回<\02B\+|。1川一2。遇?。28,即］。遇.。2司+2Oii4?O2B-2<0,

解得—1—工。遇,。2鳥m-1+V3.

\PA+ps|2=|西+0^4+西+森『=+0^|2=|o^4|2+|O1B|2+2m?森

=2+20M-02S<2+2x（-1+V3）=2V3.

故選：D.

【變式5-1］（2024?全國?模擬預測）已知向量落石滿足|五+同=3,a-b=0,若工=43+（1—4）3（2eR）,

且工?方=2?1，則?的最大值為（）

13

A.3B.2C.-D.-

【解題思路】令五=麗，b=MB=AN,根據題意作出圖形，結合圖形將已知條件轉化，得到府1麗，然

后數形結合求|可的最大值.

【解答過程】如圖:令匯=府，b=MB=AN,則a+各=病+耐=荏，故|四|=3.

因為不力=0,所以府1M，記AB的中點為。，所以點M在以為直徑的圓。上.

設工=而，連接MN,因為不=疝+（1-2?,所以點C在直線MN上.

因為",3="i,所以云YH—刃）=0,即而?N航=0,所以而1N疝

結合圖形可知，當麗1卷時，|而|即?取得最大值，且伍|max=l而1=*

故選：D.

【變式5-2]（2024?河南鄭州?模擬預測）已知△力BC中，AB=AC=242,+A5C|min=2（AeR）,

AM^^MB,AP=sin2cr-AB+cos2cr-AC,a&則|麗|的取值范圍為（）

/L63」

A?照，唱B.白胡

C.圖，苧]D.曲亨]

【解題思路】根據已知可得2到BC的距離為2,△ABC為等腰直角三角形，若，E為BC的兩個四等分點，N

為中點，P在線段0E上運動，且4V=2,數形結合求|而|的取值范圍.

【解答過程】由|樂+4麗|mm=2(4eR),結合向量加法法則知：4到BC的距離為2,

又AB=AC=2?則8C=4,^AB2+AC2=BC2,故△ABC為等腰直角三角形，

由力P=sin2a?AB+cos2a?4C,則siMa+cos2a=1,所以P,B,C共線,

又ae卜⑶，則Sin2a,cos2ae的，若0,E為BC的兩個四等分點，N為BC中點，如下圖示，

所以P在線段0E上運動，且4N=2,BD=1,BE=3,

由圖：若MP1BC,則MP〃4N,又麗二屈,此時BP=|BN=?e[1,3],

故上述情況|而lmin=lAN=^易知ME=JMP2+(BE—BP)2=J"+會年,

由圖知：P與E重合時，I而5|max=ME=亨，

綜上，I而I的取值范圍為L字].

故選：D.

【變式5-3](24-25高三上?黑龍江大慶?期中)勒洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、

工業上應用廣泛.如圖所示，分別以正三角形N3C的頂點為圓心，以三角形/2C邊長為半徑作圓弧，由這

三段圓弧組成的曲邊三角形即為勒洛三角形.已知正三角形/8C邊長為60,點。，￡分別為線段/昆/C的

中點，點尸為圓弧而上的一動點，則|同+方+玩+方+而|的最小值為()

A

A.60-6V37B.300-30V37C.300—15歷D.60-3何

【解題思路】取三角形NBC的重心和。E中點，由平面向量線性運算化簡所求向量，再又三點共線的逆定

理得到點”在平面的位置，用勾股定理求出線段S長，從而求得所求向量的最小值.

【解答過程】取中點R三角形4BC的重心G,

■.-PG=!?C+|PD=|?C++PA）=|（PC+PB+PA）,PF=^PD+^PE,

則方+~PB+JC+~PD+RE=3PG+2PF=+1利，

設麗=|麗+河，則可得旗=I7沛，設3c中點為乂

則|4M|=,602—302=30V3,\FM\|A/602-302=15g,

\MH\=\FM\-\FH\=|FM|-||FG|=|FM|-|X（|-|）|^|=15V3-3V3=12V3,CH2=MH2+CM2

=1332,

在扇形CAB中，當C,H,P三點共線時，|麗|最小，所以|而|的最小值為60-V1疑=60-6例,

\PA+PB+PC+PD+技|的最小值為300—30歷.

故選：B.

【題型6平面向量中參數的最值（范圍）問題】

【例6】（23-24高一下?河南信陽?階段練習）如圖，點C是半徑為1的扇形圓弧而上一點，且〃。B=g

4

若玩=拓1+、而，貝收+后的最大值是（）

C

A

OB

A.1B.孚C.V10D.4

【解題思路】以OB為x軸，過。作與OB垂直的線作為y軸建立平面直角坐標系，設C（cose,sin。）,。€乎卜

根據平面向量基本定理得到，再利用輔助角公式計算可得?

如圖所示，以。B為x軸，過。作與OB垂直的線作為y軸,

???〃08=拳|明=|國=1,.??從一日，陰,5(1,0),

貝位=（_多乎）,而=（1,0）,

設C(cose,sin。),。E［仇平

一/V2V2\/V2V2\

OC=(cos^sin?)=xI——I+y(l,0)=I——x+y,—xj

Acos9=-^-x+y...rx=V2sin0

sinO=—x，ty=cosJ+sinJ，

2

???x+V2y=V2sin0+V2(cos0+sin。)=2V2sin0+V2cos0=VlOsin(0+<p),

其中tamp=Xtan(p=|<^=tanp所以0<w<也

???sin（e+卬）=L即e+0=5時，％+魚丫取得最大值，即（％+&y）max=

故選：C.

【變式6-1]（23-24高一下?河南?階段練習）已知口45。。中，點尸在對角線4C上（不包括端點4,C）,

點。在對角線上（不包括端點3,D）,若羽=九荏+的而，而=彩荏+〃2近，記2盾一〃1的最小

12

值為冽，彳+丁的最小值為力則（）

林2

.19h19

A.m=n=-B.m=n=-

oZ4Z

【解題思路】由四邊形48CD為平行四邊形，得力P=+“iBC=X1AB+4送。及冊=%且汨e（0,1）,

再通過二次函數求最小值小；由而=小同+%而及點0在對角線5。上，得幾2+42=1，再通過基本不

等式求最小值兀

【解答過程】因為四邊形4BCD為平行四邊形，所以而=冊荏+%麗=汨同+〃i而，

又點尸在對角線/C上（不包括端點/,C）,所以加=%且％6（0,1）,

貝1|2淤一出=2淤—41=2（汨一"）當心=*時，m=-1.

同理而=而南+如而，因為點0在對角線AD上（不包括端點5,D）,

所以入2+42=1且入2＞。,〃2＞。，

則套+后=（/+￡）。2+〃2）=升翁+普濘+2氏弓=/

當且僅當而=最”2號時取得等號，所以n

故選：A.

【變式6-2］（23-24高一下?上海?期中）如圖，△48。的三邊長為|/切=3,伊。|=7,|4。=5,且點8C分別

在X軸，y軸正半軸上移動，點a在線段BC的右上方.設瓦？=久而+＞瓦Q,yeR）,記”=布?瓦

,N=x+y,分別考查M,N的所有可能結果，則（）

A.M有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值

C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值

【解題思路】設NBCO=ae（01）,NaC8=S，用a,0表示出M,N,然后利用三角函數的性質求最值.

[解答過程】設NBC。=ae(0,^ACB=￡,

由余弦定理得cos￡==K⑼邛=J1—COS20=筆，

過4點作ly軸，設垂足為。，

在△BOC中，\0C\=\BC\cosa=7cosa,\0B\=\BC\sina=7sina,

所以B(7sina,0),C(0,7cosa)

在△ZDC中，

\AD\=\AC\sinzACD=5sin(a+￡),|C0=\AC\cosZ-ACD=5cos(a+/?),

所以Z(5sin(a+￡),7cosa-5cos(a+/?))

由。4=xOB+yOC

即(5sin(a+S),7cosa—5cos(a+0))=(7%sina,0)+(0,7ycosa)

,曰_5sin(a+/?)_7cosa—5cos(a+/?)

~,y=~，

7sina,7cosa

5sin(a+0)7cosa-5cos(a+0)15V3、(,15A/3

所以N=%+y--------------1-----------------------=1H------------>1H---------

7sina7cosa49sin2a49

當且僅當a=?時取最小值，沒有最大值.

M=0A-0C=7cosa[7cosa-5cos(a+/?)]=、+ysin(2a+y)，

其中siny=|i,cosy=等,yG(0,^),

11

因為y<2a+yV7i+y,所以一R=sin(n+y)<sin(2a+y)<1,

所以Me(0,r],當且僅當sin(2a+y)=1即a=；苫時取最大值，沒有最小值.

【變式6-3](23-24高二上?上海黃浦?期中)在△ZBC中，AC=3,BC=4,4c=90。.P為△所在平面

內的動點，且PC=2,^CP=ACA則給出下面四個結論：

①a+〃的最小值為T；②PA,PB的最小值為—6；

③a+〃的最大值為*④麗?麗的最大值為io.

其中，正確結論的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】建立以C為原點，C4cB所在的直線分別為居y軸，平面直角坐標系，設P(2cose,2sin。)，然后

C2A

一＞一＞一＞A=-cosU

表示出CP,C4cB的坐標，得出彳.A,再逐個分析即可.

V11=-2sm6

【解答過程】

如圖，以C為原點，C4cg所在的直線分別為%,y軸，建立平面直角坐標系,

則C(0,0)/(3,0)以0,4),因為PC=2,所以設P(2cose,2sine),

則CP=(2cosa2sin。),&4=(3,0),CB=(0,4)

所以CP=ACA+林CB=(3尢4〃)，

2

而2cos8=32A=-cos0

V2

所以A+〃=|cos9+|sin8=|sin(0+(p),其中sin?=1,cos(jp=|,

所以(A+〃)min=-+〃)max=]

所以①③錯誤；

PA=(3—2cos0,—2sin0),PB=(-2cos0,4—2sin0)

.??凡廂=-2cos0(3-2cos0)-2sin6>(4-2sin0)=4-lOsin(0+a),

其中sina=|,cosa=

??.-10<-lOsin(0+a)<10,

-6<4-lOsin(0+a)<14,

-6<PA-TB<14,

所以②正確，④錯誤；

故選：A.

【題型7極化恒等式】

【例7】（23-24高一下?北京?階段練習）在直角梯形4BCD中，AD\\BC,AABC=90°,

4D=24B=2BC=2,點P為梯形力BCD四條邊上的一個動點，則西?麗的取值范圍是（）

A-[~|<4]B-[-1-2]C.[一1,4]D.

【解題思路】此題可以先證明一下極化恒等式，再使用，輕松解決此題.

【解答過程】如圖4ABP中，。為4B中點，

JA-PB=（而+OAy（PO+OB）=（PO+OAy（PO-OA'）=PO2-OA2（極化恒等式）

共起點的數量積問題可以使用.

如圖，取4B中點。，則由極化恒等式知，

7A-7B=PO2-OA2=PO2-^,要求麗?麗取值范圍，只需要求PM最大，最小即可.

由圖，可知2。2最大時，尸在。點，即P02=。。2=4。2+4。2=止匕時

4P4PB=P02—I4=4,

P02最小時，尸在。點，即「。2=0,止匕時麗?麗=2。2—]=一3

綜上所得，刀?而取值范圍為：[-i,4].

故選：D.

【變式7-1]（2024高三?全國?專題練習）如圖，在等腰直角三角形4BC中，斜邊4C=2,M為線段4B上的

動點（包含端點），。為4C的中點.將線段4C繞著點D旋轉得到線段EF,則麗?麗的最小值為（）

A

■F

BC

3

A.-2B.--

i

C?—1D.——

【解題思路】利用轉化法，將何?麗轉化為麗之—反?或何2_萍2,進而求得標?標的最小值.

【解答過程】解法一：

連接MC,則何?MF=（MD+~DE）-（MD+DF）

=（MD+函?（MD-D￡）=~MD2-DE2,

當MO148時，MC最小，即I麗Imin=￥，

結合而2=1,得靛,而的最小值為-（

解法二（極化恒等式法）：

依題意BC=VL￡?為線段EF的中點，

則砒+MF=2MD.ME-~MF=^ME+MF）2-（ME-MF）2]

->2i--->2

=MD--FE,

由于|麗京=￥，而之=%所以何?而的最小值為一!

故選:D.

A

BC

【變式7-2]（2024?湖北省直轄縣級單位?模擬預測）如圖直角梯形/5CD中，跖是CD邊上長為6的可

移動的線段，4。=4,AB=8V3,BC=12,則靛?市:的取值范圍為[99,148].

【解題思路】首先在BC上取一點G,使得BG=4,取EF的中點P,連接CG,BP,根據題意得到盛?麗=；

［（而+即『-（而-而H=前2一%再根據|喬|的最值求解即可.

【解答過程】在BC上取一點G,使得BG=4,取EF的中點P,連接DG,BP,

如圖所示：

則DG=88，GC=8,CO=182+（8-）2=16,

tanzSCD=啦=遮，即/BCD=60°.

8

BE-BF=*族+而）2-（旗-而）］=i［（2BP）2-FE2］=#-9,

當BP1CD時，|而|取得最小值，此時|麗|=12xsin6（T=6V^,

所以（麗?麗）mg=（6V3）2-9=99.

當F與。重合時，CP^13,BC=12,

貝加麗『=122+132-2X12x13x|=157,

當E與C重合時，CP=3,BC=12,

貝加明,=122+32-2x12x3x1=117,

所以（旗?灰）max=157—9=148,即旗-加的取值范圍為［99,148］.

故答案為：［99,148］.

【變式7-3］（2024?全國?模擬預測）如圖所示，A43c是邊長為8的等邊三角形，點P為NC邊上的一個

動點，長度為6的線段斯的中點為點2,則而?兩的取值范圍是［39,55］.

APC

【解題思路】由向量的數量積公式得出而?麗=|麗『-9,求出|方|的最大值和最小值即可得出結果.

【解答過程】由線段￡尸的中點為點8,得出麗=-族.

而.丙=（而+而）.（而+麗）=（而+而）.（麗一麗）=|PF|2-|BE|2=I而--9.當點P位于點A或點

C時，|麗|取最大值8.

當點尸位于4C的中點時，|麗|取最小值，即=8sin?=4四，

???I麗|的取值范圍為[4篇8],???盛?而的取值范圍為[39,55].

故答案為：[39,55].

【題型8等和（高）線定理】

【例8】（2024?山東煙臺三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點，若麗=》

9+y而，貝IJ2久+2y的最大值為（）

84

A.-B.2C.-D.1

【解題思路】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.

【解答過程】

作3c的平行線與圓相交于點P,與直線相交于點￡,與直線NC相交于點凡

設而=4族+〃而，貝!U+4=1,

.BC//EF,；.設若=爺=匕則ke[O,勺，

/itjZiC5

.■.AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+^AF=AkAB+[ikAC,

■?■x=A.k,y=(ik,

：.2x+2y=2(4+〃)fc=2/c<|,

故選：A.

【變式8-1](24-25高二上?浙江臺州?開學考試)如圖所示，0A,而是兩個不共線的向量(4408為銳

角)，N為線段。B的中點，M為線段。力上靠近點4的三等分點，點C在MALL,且無=乂6？+y而eR),

【解題思路】先根據三點共線得沆=疝而+〃而(x,yeR),且兀+〃=1,再根據平面向量基本定理得x=|

A,y=|(l-2),最后根據二次函數性質求最值.

【解答過程】解：???點GMN共線，.?.存在實數尢4，使沆=2麗+〃麗(x,yeR),且4+4=1,

因為赤=話=與麗+2y而，.-.X=|A,y=)=*l-4),0<A<1.

故/+y2=(|。+1(1-2)2=融-，+1

=!!(，—段)+噌0<2<1-

當4=葛時，%2+*取得