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文檔簡介

1.1節矢量及其代數運算1.2節圓柱坐標系和球坐標系1.3節矢量場1.4節標量場1.5節亥姆霍茲定理本課件是可編輯的正常PPT課件全套教學課件第1章矢量分析與場論1.1矢量及其代數運算本節要點標量與矢量矢量的代數運算本課件是可編輯的正常PPT課件1.標量與矢量◆標量(scalar)--一個僅用大小就能夠完整地描述的物理量如:電壓、溫度、時間、質量、電荷等◆矢量(vector)----

一個有大小和方向的物理量如:電場、磁場、力、速度、力矩等本課件是可編輯的正常PPT

課件(1)矢量的表示◆矢量的一般表示A=aA代表矢量A

的方向◆a為單位矢量(unit

vector)◆

A=0,空矢(nullvector)或零矢(zerovector)本課件是可編輯的正常PPT課件矢量A的大小(2)位置矢量(positionvector)●從原點指向空間任一點P

的矢量,稱為位置矢量。o位置矢量能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定。直角坐標系中的一點P

的位置矢量●任一矢量可以表示為:本課件是

可編輯

E

PPT課件結論:矢量的加減運算同向量的加減,

符合平行四邊形法則。本課件是可編輯的正常PPT課件(3)矢量的代數運算加法和減法矢量的乘積1.矢量的加法和減法矢量的代數運算結論■如果兩個不為零的矢量的點積等于零,則這兩個矢量必然相互垂直。■在直角坐標系中本課件是可編輯的正常PPT課件也稱為標量積(scalar

product)。它等于一個矢量在

另外一個矢量上投影與該矢量大小之乘積。(1)點積(dotproduct)A·B=ABcosθ2.矢量的乘積0.785398矢量的標量積本課件是可編輯的正常PPT課件A=

{0.1}B={1.06066,1.06066}(2)叉積(cross

product)任意兩個矢量的叉積是一個矢量,故也稱為矢量積。方向垂直于矢量A

與B

組成的平面,且A

、B與C成右手螺旋關系A本課件是可編輯的正常PPT課件大小等于兩個矢量的大小與它們的夾角的正弦之乘積=Q

ABsinθoC=A×BBNotebook$$13

日a

1.76408AxB1.472071.5AxB

ABsin1.00.53.0本課件是可編輯的正常PPT課

件矢量的叉積(2)叉積(續)◆在直角坐標系中,叉積還可以表示為結論o如果兩個不為零的矢量的叉積等于零,則這兩個矢量

必然相互平行。o在直角坐標系中本課件是可編輯的正常PPT課件結論◆矢量的加減運算同向量的加減,符合

平行四邊形法則。◆任意兩個矢量的點積是一個標量,任

意兩個矢量的叉積是一個矢量◆如果兩個不為零的矢量的點積等于零,

則這兩個矢量必然相互垂直。◆如果兩個不為零的矢量的叉積等于零,則這兩個矢量必然相互平行。本課件是可編輯的正常PPT

課件●圓柱坐標系●球坐標系●與直角坐標系的關系1.2

圓柱坐標系和球坐標系本課件是可編輯的正常PPT課件本節要點XX本課件是可編輯的正常PPT課件1.1圓柱坐標系φ=常數yz=常數P點x=pcosφy=psinz=zp=

常數Z圓柱坐標系6.28319Z-0.655x=1.00,y=0.00,z=-0.66

p=1.00,φ=360.00,z=-0.661.2圓柱與直角坐標系的轉換關系本課件是可編輯的正常PPT課件(2)圓柱坐標系的拉梅系數◆圓柱坐標系中任意點P

沿p、φ和

z方向的長度增量它們與各自坐標增量之比分別為拉梅系數(lameconstant)本課件是可編輯的正常PPT課件z=常數dSφ=常數p

=常

數xX

dV

pd(

0本課件是可編輯的正常PPT課件(3)圓柱坐標系的積積分用拉梅系數表達是否更容易記憶?Z0Xr=rayX2.1球坐標系x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθyφ

=

數本課件是可編輯的正常PPT課件Z

θ=常數P點φr7球坐標系a2.55726

a2.48875x=-0.44,y=0.34,z=-0.832.2-1球坐標與直角坐標系的轉換(1)單位矢量之間的轉換本課件是可編輯的正常PPT課件(2)球坐標系的拉梅系數口空間一點沿r

、和φ方向的長度增量分別為◆球坐標中的拉梅系數為本課件是可編輯的正常PPT課件(3)球坐標系的積分XdV=r

2

sinθdrdodφ本課件是可編輯的正常PPT課件1.3矢量場(vectorfield)◆賦予物理意義的矢性函數稱為矢量場◆本節要點●矢量線o通量和散度●環量和旋度本課件是可編輯的正常PPT課件如:靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等矢量線的方程為A×dr=0在直角坐標系中,其表達式為力線圖PT課件1.矢量線(vectorline)所謂矢量線,乃是這樣一些曲線,在曲線上的每一

點處,場的矢量都位于該點處的切線上。設點電荷q位于坐標原點,它在空間任一點處所產生的電場強度矢量為式中,q和ε

線均為常數內場點的位置矢量。求的矢量方程并畫出矢量線圖。解:矢量線方程為得本課件是可編輯的正常PPT課件例1-2設無限長直線通有電流I,

方向沿z軸,它所產生的磁場在圓柱坐標系中的表達式為試畫出矢量線圖◆解:其矢量線圖為討論◆如果將產生場的物理量稱為源,有標量源和矢

量源;◆點電荷為標量源,它所產生的場是從源點出發

的發散場。◆我們是否可以得到結論:由標量源所產生的場

均為發散場,或者稱為無旋場?◆

電流源為矢量源,它所產生的場是連續的,或

者說是有旋的場?◆實際上,后面的分析就會證明上述結論的正確。本課件是可編輯的正常PPT

課件dS=ndSA·dS=AcosθdS矢量場A

與面元dS

的標量積---通量通過閉曲面的總通量可表示為本課件是可編輯的正常PPT課件2.通量(flux)單位矢量n為面元dS

的外法向矢量ndS面元矢量矢量場的通量本課件是可編輯的正常PPT課件1.19076a

-1.3577

a

0.3θφ

通量密度Fhux=0.094142討論假定矢量場A

為流體的速度,通量的物理意義:單位時間內流體從曲面S內穿出的正流量與從曲面S外流入的負流量的代數和。·

當Φ>0,流出多于流入,表示在S內必有產生流體的正源;·

當Φ<0,流入多于流出,表示在S內必有吸收流體的負源;·

當Φ=0,流入等于流出,表示在S內正源與負源的代數和為零,或者說S內沒有源。PPT課

件矢量場在閉合面S上的通量是由S內的源決定的,它是一個積分量3.散度(divergence)散度的定義divA為一數量,稱為該點處源的

強度。它表示場中一點處的通量

對體積的變化率。在直角坐標系中,散度的表達式本課件是可編輯的正常PPT課件·

當divA>0,稱為源點(source

point)---表

示矢量場在該點處有散發通量之正源;·

當divA<0,

稱之為匯點(sink

point)---表

示矢量場在該點處有吸收通量之負源;·

當divA=0,表示矢量場在該點處無源。討論divA=稱divA=0的場是連

續的(continuous)或

無散的(螺線管式)矢量場(solenoidal

vector

field)。本課件是可編輯的正常PPT課件源與匯4.哈米爾頓(Hamilton)算子矢性微分算子,在直角坐標系中本課件是可編輯的正常PPT課件矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的

閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分本課件是可編輯的正常PPT課件5.散度定理(divergencetheorem)高斯散度定理◆在矢量場A=a

x2+a

xy+a?yz中,有一個邊長為1的立方體,它的一個頂點在坐標原點上,試求矢量場A的散度

從六面體內穿出的通量,并驗證高斯散度定理。;解:本課件是可PPT課件編輯的正常的通量為2,且有本課件是可編輯的正常PPT課件環量(circulation)的定義●矢量的環量也是一數量·如果環量T≠0,則在內必然

有產生這種場的旋渦源;·如果環量I=0,則我們說在1

內沒有旋渦源。矢量的環量和矢量穿過閉合面的通量一樣都是描繪

矢量場性質的重要物理量,它同樣是一個積分量。本課件是可編輯的止常PPT

課件6.環量矢量場的環量9矢量場的線積分{x,y}line

segment

circle

sinusoidline

integral

=-2.50691×10fieldpath7.環量面密度環量面密度lim△S→P·

若極限存在,則稱它為矢量場在點P

沿

方向n的

環量面密度。·若面元與旋渦面間有一夾角,環量面密度總是小于最大值;·若面元與旋渦面的方向重合,則環量面密度最大;·若面元與旋渦面相垂直,則環量面密度等于零。本課件是可編輯的正常PPT課件必存在某一

固定矢量R,這個固定矢量在任意面元方向

上的投影就給

出該方向上的環量面密度!旋渦面在點P處沿n方向的環量面密度與旋度的關系旋渦面在直角坐標系中,旋度的表達式8.旋度(curl或rotation)矢量R稱為矢量A的旋度rotA=R

o

○本課件是可編輯的正常PPT課件矢量場的旋

度仍為矢量旋度和環量面密度θV×AA

隨角度θ變化7rotA若rotA=0,則稱此矢量場是無旋的(irrotational)或保守的場(conservative)矢量場的旋度表示該矢量每單位面積的環量,它描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規律。本課件是可編輯的正常PPT課件a旋度的一個重要性質:旋度的散度恒等于零!若rotA≠0,則該矢

量場是有旋的(rotational)討論龍卷風的旋度rotA·dS它表明矢量場A圍繞

曲線邊界的線積分等于該矢量場的旋度

沿此沿曲線所包圍曲面的面積分。本課件是可編輯的正常PPT課件9.斯托克斯定理(Stokes'theorem)·d已知一矢量場F■求該矢量場的旋度■求該矢量沿如圖所示的半徑為3的四分之一圓盤的線積分,驗證斯托克斯定理。■解:rot本課件是可編輯的正常PPT課件圓盤的線本件的正常FT課件課◆矢量場的性質可以用其散度和旋度來表征:■散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規律;■旋度描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規律。◆如果矢量場的散度為零,則該矢量場是連續的或無散的(螺線管式);如果矢量場的旋度等于零,則稱此

矢量場是無旋的或保守的。▽·B=0B=▽×A該矢量可以用另一個

矢量的旋度來表示討論本課件是可編輯的正常PPT

課件矢量場的散度等于零1.4標量場(scalarfield)一個僅用其大小就可以完整表征的場稱為標量場本節要點■等值面■方向導數■梯度■梯度的積分本課件是可編輯的正常PPT課件1.等值面u(x,y,z)=C稱為標量場u的等值面,隨著C的取值不同,得到一系列不同的等值面.◆例如,根據地形圖上等高線及其所標出的高度,我們就能了解到該地區的高低情況,根據等高線分布的疏密程度可以判斷該地區各個方向上地勢的陡度。本課件是可編輯的正常PPT

課件本課件是可編輯的正常PPT課件等值面與等值線標量場在不同方向上的變化率一般說來是不同的在直角坐標系中2.方向導數(directionalderivative)如果上式的極限存在,則稱它為

函數在點P?

處沿l方向的方向導數本課件是可編輯的正常PPT課件方向導數沿不同方向的變化率3.梯度(gradient)梯度就是變化率最大方向上的方向導數。gradu=Vu梯度的性質方向導數等于梯度在該方向上的投影即■標量場中每一點處的梯度,垂直于過該點的等值面,且指向函數增大的方向。也就是說,梯度就是該等值面的法向矢量。梯度的旋度恒等于零

V×Vu=0如果一個矢量場滿足V×F=0,即是一個無旋場,則該矢

量場可以用一個標量函數的梯度來表示,即F=Vu本課件是可編輯的正常PPT課件等值線與梯度4.梯度的積分由斯托克斯定理,無旋場沿閉合路徑的積分必然為零如在靜電場中,已知電場強度,就可求得電位函數(第二章介紹)本課件是可編輯的正常PPT課件假如選定始點P?

為不動

的固定點(參考點)沿閉合路徑的積

分為零等價于積

分與路徑無關,

僅與始點和終點的位置有關P?點為任意動點,則P?點的函數值可表示為無旋場沿閉合路徑的積分結論◆一個標量場,求其梯度得到的矢量場一定為無旋場;◆無旋場沿閉合路徑的積分一定等于零,或者說積

分與路徑無關;◆無旋場可以用一個標量函數的梯度來表示。◆無旋場也稱為保守場或有勢場。本課件是可編輯的正常PPT

課件1.5亥姆霍茲定理本節要點矢量場的散度、旋度和標量場的梯度都是場的重要量度,亥姆霍茲定理(Helmholtztheorem)是

矢量場共同性質的總結。本課件是可編輯的正常PPT課件亥姆霍茲定理◆矢量場的性質,完全可以由它的散度和旋度來表

明;標量場的性質則完全可由它的梯度來表明。◆如果一個場的旋度為零,則稱為無旋場;如果一個場的散度為零,則稱為無散場。◆就矢量場的整體而言,無旋場的散度不能處處為

零;同樣無散場的旋度也不能處處為零,否則場

就不存在◆源看作是場的起因◆散度對應發散源(divergence

source)◆旋度對應旋渦源(rotational

source)本課件是可編輯的正常PPT

課件設一個矢量場既有散度,又有旋度,則它可以表示為一個無旋場分量和無散場分量之和,即

A=A?+A?其中無旋場分量A?

的散度不等于零,設為p,

無散場分量A?的旋度不等于零,設為J,

則▽

·AA的散度代表著形成矢量場的一種源—標量源A

的旋度代表著形成矢量場的另一種源—矢量源。本課件是可編輯的正常PPT課件亥姆霍茲定理無旋部分a22a,3x2y

a2z矢量場a

3(22@32y

a27矢量場的分解本課件是可編輯的正岸亥姆霍茲定理告訴我們,研究任何一個矢

量場(如電場、磁場)等,

需要從散度和旋度兩個

方面去研究,或者是從

通量和環量兩個角度去

研究。一般來說,當一個矢量場的兩類源(p

、J在空間的分布確定時,

該矢量場就唯一地

確定了,這一規律稱為亥姆霍茲定理。亥姆霍茲定理本課件是可編輯的正常PPT課件標量源無旋場有勢場保守場V×A=0A=dl=0矢量源無散場有旋場連續場V·A0V×J=A=A=▽×F源和場的關系小結本課件是可編輯的正常PPT課件第2章靜電場與恒定電場2.1節電場強度與電位函數2.2節

真空中靜電場的基本方程2.3節電介質的極化及介質中的場方程2.4節導體的電容及電耦合2.5節靜電場的邊界條件2.6節恒定電場本課件是可編輯的正常PPT

課件2.1電場強度與電位函數◆靜電場(electrostatics):由靜止的且其電量不隨時間變化的電荷產生的電場。◆本節要點■點電荷的電場和電位分布電荷的電場和電位■電場與電位的關系■電偶極子的電位與電場本課件是可編輯的正常PPT

課件庫侖定律表明了兩個點電荷之間相互作用力的大小和方向點電荷的電場強度1.電場強度(electricfieldintensity)取極限是為了使引入試驗電荷

時不致影響源電荷的狀態庫侖定律(Coulom'slaw)本課件是可編輯的正常PPT課件(1)點電荷的電場場點(觀察點)P(x源點S(x',y′距離矢量

yX本課件是可編輯的正常PPT課件點電荷的電場◆在一個空間中存在兩個點電荷n個點電荷的電場:本課件是可編輯的正常PPT課件兩電荷的電力線本課件是可編輯的正常PPT課件線電荷密度:面電荷密度:體電荷密度:分布電荷的電場:(2)分布電荷的電場本課件是可編輯的正常PPT課件兩邊積分無限長的線電荷產生的電場強度是一個沿徑

向發散的場,這是由源的性質決定的電力線無限長線電荷例2-1(續)如果直線無限長,

則本課件是可編輯的正常PPT課件2.電位函數(electric

potential)◆若正試驗電荷q?

從P點到Q

點的過程中電場力所做

的功為W,則P點處的電位當電荷不延伸到無窮遠處時,一般把參考點Q

選在無窮

遠處,這時P點處的電位本課件是可編輯的正常PPT

課件3.電位與電場強度電場強度表達為某個標量函數的梯度本課件是可編輯的正常PPT課件體電荷分布的電位:面電荷和線電荷分布的電位:電場強度與電位關系本課件是可編輯的正常PPT課件4.

電位表達式點電荷產生的電位:參考點選在無窮遠點C=0,

若源延伸到無窮

遠處,參考點就要重新

選擇,以表達式簡捷、

有意義為原則。線電荷的電位與電場本課件是可編輯的正常PPT課件例2-2真空中一個帶電量為Q

的導體球,試計算球內外的電位與電場。解:孤立的帶電導體球的電荷必定均勻分布于球表面上,因而它在空間產生的電位是球對稱的。為了方便,我們將場點選在z軸上。球面上面元dS'在場點產生的電位為V

.2

+a2-2arcosθ'本課件是可編輯的正常PPT課件帶電導體球的電位分布E=0導體內帶電導體球的電場本課件是可編輯的正常PPT課件例2-2

(

續等位體導體球結論◆上述結果表明:■總帶電量為Q

的導體球產生的電位和電場與集中在球心處的電荷為Q的點電荷所產生的電位和電場相同;

電位在r=a處是連續的,導體是一等電位體,它的表面是等位面;

導體球的內部電場為零,在r=a處電由于球面上的存在面電荷的緣故;■在導體的表面上只有電場的法向分場有一躍變,這

是量,切向分量等于零。■這是對靜電平衡狀態下導體的普遍適用的結論。本課件是可編輯的正常PPT課件練習題一個半徑為a,帶電量為Q

的圓盤,試計算過圓心的軸線上任一點處的電位與電場.提示:ZX結果:本課件是可編輯的正常PPI課

件選擇面元dS',其上的電荷為ps

dS",由它所產生的電位為ZR偶極矩矢量(dipole

moment

vector)本課件是可編輯的正常PPT課件5.電偶極子(electricdipole)○相距很近的兩個等值異號的電荷。o

P

點的電位:電偶極子的場電偶極子的電力線與等位面根據亥姆霍茲定理,研究一個矢量,從積分的角度就是研究其通量

和環量,得到兩個基本方程的積分形式;從微分的角度就要研究其散

度和旋度,得到兩個基本方程的微分形式。高斯定律電場強度的環量

靜電場的性質本課件是可編輯的正常PPT課件2.2真空中靜電場的基本方程電通量與電通密度本節要點◆力線(line

offorce)或通量線(flux

line):

試驗電荷在電場中移動的路線人為地規定一個電荷產生

的力線條數等于用庫侖表

示的電荷的大小。力線(field

line)表示電通量。孤立正電荷的電通量線本課件是可編輯的正常PPT課件1.電通量和力線2.電通密度和電通量

電通量的性質:與媒質無關;大小僅與發出電通量的電荷有關;如果點電荷被包圍在半徑為R的假想球內,則電通

量必將垂直并均勻穿過球面;單位面積上的電通量,即電通密度反比于R2。除了第一條外,電通量的性質與電場強度相同,引入電通密度本課件是可編輯的正常PPT

課件電通量為練習題軸

上一個點電荷電量為q,

試計算穿過半徑為a

的圓盤的電通量.◆提示:X結果:本課件是可編輯的正常PPT

課件選擇面元dS,穿過dS的通量為RZ從封閉面發出的總電通量數值上等于包含在該

封閉面內的凈正電荷。本課件是可編輯的正常PPT課件3.高斯定律(Gauss'

law)高斯定律(Gauss'law)◆如果封閉曲面包圍的是分布電荷,則dV利用高斯通量定理▽空間任意存在正電荷密度的點都發出電通量線,如果電荷密度為負,電通量線指向電荷所在的點。本課件是可編輯的正常PPT課件[例2-3]●用高斯定律求無限長線電荷P?

在任意點P

產生的電

場強度。解:

過P點作一單位長度的高斯柱面由于上下底面的貢獻為零,且在圓柱

面電通量密度D=常數本課件是可編輯的正常PPT課件練習題已知同軸線的內外導體半徑分別為a和b,

求同軸線各區域的電場。本課件是可編輯的正常PPT課件本課件是可編輯的正常PPT課件小結◆已知電荷求電場強度有三種方法:■用電場強度的矢量積分式(最麻煩!!)■先求電位,再根據E=-Vφ■用高斯定理,但要想得到其解析解,要

求電荷必須對稱分布(最簡單!!!)本課件是可編輯的正常PPT

課件半徑分別為a和b,球心距離為c的兩球面間均勻分布有

體密度為pv的電荷,求空間各區域的電場強度。空腔本課件是可編輯的正常PPT課件練習題4.電場強度的環量和性質▽×E=0電場強度沿任意閉合路徑的積分等于零,電場強度為無旋

場或保守場。積分形式o

靜電場基本方程微分形式本課件是可編輯的正常PPT課件02.3電介質的極化及介質中的場方程本節要點◆極化的概念◆極化強度矢量◆束縛面電荷密度◆束縛體電荷密度◆本構方程◆介質中的場方程本課件是可編輯的正常PPT課件1.電介質的極化(polarized)無極分子正負電荷的作用中心重合有極分子

正負電荷的作用中心不相重合而形成一個電偶極子通常所有分子等

效電偶極矩的矢量和為零本課件是可編輯的正常PPT課件極化后介質中的合成電場E+E

'小于外加電場外加電場因因因因因士因士因士因因④因極化前不呈現電性本課件是可編輯的正常PPT課件(b)根化電介質等效電偶根矩在外加電場作用下,發生了極化極化的示意圖(a)正常狀態下正負

電荷中心重合束縛電荷

產生的場外加電場束縛面電荷E'極化和擊穿◆在外加電場力的作用下,它們的等效電偶極矩的矢量和不為零,這種情況稱為電介質的極化。◆極化的結果在介質的內部和表面形成極化電荷,這

些極化電荷在介質內激發與外電場方向相反的電場◆當加大外加電場,當電荷所受的電場力大于其內部

束縛力時,電子將擺脫內部束縛力而成為自由電子

,這種現象稱為擊穿。◆擊穿場強:電介質在擊穿前所能承受的最大電場強

度(也稱為電介質強度),如空氣的擊穿場強為本課件是可編輯的正常PPT

課件30kV/cm2.極化強度極化強度矢量(polarization

intensity

vector)某些聚合物材料極化后,即使去掉外加電場,極化強度

一直保留,可成為永久性極化體,稱為駐極體。在線性、均

勻、各向同性的介質中極

化強度與電場強度的關系單位體積內的電偶極知本課件是可編輯的正常PPT課件3.極化介質所產生的電位◆在極化介質中取一體積元dV,其內的電偶極矩

為dp=PdV,

它在P產生的電位R=r-

=RaR本課件是可編輯的正常PPT

課件極化介質的電位表達式對上式積分,并對第一項應用散度定理本課件是可編輯的正常PPT課件如果電介質中除了束縛電荷密度還有自由電荷密度,則自由

電荷的作用也必須考慮在內以決定電介質中的電場4.束縛電荷密度◆束縛面電荷密度◆束縛體電荷密度本課件是可編輯的正常PPT課件媒質的本構方程媒質的介電常數對于線性各向同性媒質

E,≥1相對介電常數在自由空間中ε=1,因此有D=

ε?E本課件是可編輯的正常PPT課件5.媒質的本構方程6.介質中的靜電場方程本課件是可編輯的正常PPT課件本節要點■電容器的電容■雙導體的電容■單導體的電容■多導體系統的電容本課件是可編輯的正常PPT課件2.4導體的電容C=Q./U

ab一個導體上的電荷量與此導體相對于另一導體的電位之比1.雙導體的電容電容器(capacitor)電容(capacitance)相互接近而又相互絕緣的任意形狀的導

體構成電容器本課件是可編輯的正常PPT課件任意形狀導體構成的電容器(1)雙導線的電容設雙導線單位長度上的電荷為p,

由高斯定理

P點處電場強度為平行雙導線單位長度…的電容本課件是可編輯的正常PPT課件平行雙導線的電場與電容本課件是可編輯的正常PPT課件平行雙導線單位長電容隨線間距的變化同軸線單位長度的電容(2)同軸線的電容(練習題)本課件是可編輯的正常PPT課件2.單導體電容◆以單導線為例。設導線單位長度上所帶電荷

為p,

則它在空間產生的電場為■則單導線與大地間的電位差為單位長度的單導線與大地間的電容為本課件是可編輯的正常PPT課件3.多導體系統的電容◆當有三個或三個以上導體存在時,稱之

為多導體系統。◆此時每兩個導體間的電壓要受到其余導

體上電荷的影響,這時要計算系統中兩

導體之間的電容時就必須考慮其它導體

的存在,◆引入部分電容的概念。本課件是可編輯的正常PPT

課件口若已知各導體的電位,則各導體上的電荷量可以表達為本課件是可編輯的正常PPT課件(1)電容系數◆在有N

個導體組成的系統中,若已知各導體的電荷,則

根據電位疊加原理,各導體上的電位φ;可以表示為◆所有部分電容都為正值,且C=C;i。從系統來看,

一個多導體靜電系統等效于一個多端電容網絡。本課件是可編輯的正常PPT課件導體與大地間的自有部分電容(2)部分電容導體與j互有部分電容(3)考慮大地時的雙導線和同軸線◆導

地體的2等兩效端輸、入導電容體分對地及導體2對2為2地后,由以上三式即可求得各部分電容。事實上,多導體之間分主要布

原電因容的存在也高是速信號相系互統串的擾(cross-talk)的之一。在數字設計中必須予以考慮。本課件是可編輯的正常PPT課件用實驗測得C

C

和C別2.5靜電場的邊界條件邊界條件(boundaryconditions)決定分界面兩側各場量變化關系的方程O

本節要點●電通量密度的法向分量●電場強度的切向分量●分界面上電場的方向●電位函數的邊界條件●兩種常用的媒質分界面本課件是可編輯的正常PPT課件分界面在兩種理想電介質之間分界面在理想電介質與導體之間(媒質2為導體)D?n=Ps本課件是可編輯的正常PPT課件1.電通量密度的法向分量在兩種媒質的分界面上作一高度趨于零的高斯面在兩種媒質的分界面上作一寬度h趨于零、長度為△l的矩形a,為分界面的切線方向,n

為分界面的法線,s為有向閉合路徑的法線方向,它們的關系為S×

n

=a2t本課件是可編輯的正常PPT課件2.電場強度的切向分量討論分界面為兩種理想電介質時,分界面上電場的方向滿足tanθ?/tanθ?=E?

C?一

般情況下,在兩種不同介質的分界面上,電場強度和電通量密度一定要改變方向;只有當θ?或θ?等于零時,分界面上的電場方向才不改變,象平行板、同軸線和同心球中的電場就是這種情況。本課件是可編輯的正常PPT

課件[例2-4]◆平行板電容器的長和寬分別為a和b,板間距離為d,

電容器的

一半厚度用介電常數為ε的玻璃介質填充,另一半為空氣,若板

上外加電壓為U?,

求■分別求出有介質填充區域和無填充區域

,■板上及分界面上的自由面電荷密度、束

縛電荷密度電容器的電容量

平行板電容器■若玻璃的相對介電常數ε=7,絕緣強度為60kV/cm,

氣的絕緣強度

為30kV/cm,

板間距離為d=0.5cm,

當兩極板間接電壓為10kV

時電容器是否會擊穿?解

件本課件是可編輯的正常PPT課件例2-4](續)域中的電場強度分別E?E?兩區為平行板電容器上極板(z=d)上自由電荷面密度下極板(z=0)上自由電荷面分界面上的自由電荷面密度為零介質中的極化強度本課件是可編輯的正常PPT課件[例2-4]續在z=d/2和z=0處介質上的束縛電荷面密度Z結論:介質中的電場強度小于真空中的電場強度,這是由于介質表面的束

縛電荷產生的電場與外加電場相反所致,且介質填充后電容器的電容增大。本課件是可編輯的正常PPT課件電容器的總電荷和電容d

E?

E?E?介質[例2-4]續將ε,=7

和d=0.5cm及U,代入電場的表達式得可

,E?大于空氣的絕緣強度,空氣介質被擊

穿。空氣擊穿后,玻璃板承受全部電壓,其場強為由于E′<60kV/cm,所

以玻璃介質不會被擊穿。

本課件是可編輯的正常PPT

課件兩層同軸線的電場兩層同軸線內的電力線與等位線兩層同軸持分界面上電場p=b邊界十

1

十EH

耳AJ

廠II

十2.6恒定電場(steady

field)恒定電場:恒定電流在空間中存在的電場。它是由作恒定運動但不隨時間變化的分布電荷所產生的。本節要點■電流與電流密度■恒定電場的基本方程■接地電阻

■電動勢■邊界條件■恒定電場與靜電場的比較本識設空間分布的電荷在電場作用下作定向運動,在該體積

空間中任取一個面積S,

若在時間內穿過△t的電量為△q,

則電流的大小定義為恒定電流(steady

current)-----若電荷流動的速度不變,即電流是一個標量,從場的觀點來看,它是一個具有通量概念的量,它沒有表明導體橫截面上每一點的電流分布狀況。1.電流本課件是可編輯的正常PPT課件■

J的方向規定為正電荷的運動方向電荷流動的空間是一個電流密度矢量場,場中任意面積上通過的電流量為2.電流密度(currentdensity)在垂直于電荷流動的方向上取一面積元△S,若

過△S的電流為△I,

電流密度矢量J的大小電流密度與電流的關系,就是一個

矢量場與它的通量的關系本課件是可編輯的正常PPT課件體電流密度線

流—

當電荷在一根很細的導線中流過或電荷通過的橫截

面很小時,可以把電流理想看作為線電流I。不論是體電流、面電流還是線電流,它們的大小都正比于相應電荷

的運動速度,方向均為正電荷的運動方向。本課件是可編輯的正常PPT課件則定義面電流的線密度矢量Js的大小為面電流與體電流的概念的區別!Js

的方向仍為正電荷的運動方向。電流密度(currentdensity)在垂直于電荷流動的方向上取一線元△l,

若流過△l線元的電流為△I電流方向△l對于恒定電流此時電流連續性方程簡化為·dS=0

▽.J=0通過任一閉合曲面的凈恒定電流為零,導電媒質通

過恒定電流時,其內部電流密度是無散或連續的。本課件是可編輯的正常PPT課件3.恒定電場的基本方程電流連續性方程(equation

of

current

continuity)從任意閉合面S

流出的電流應等于由S

所包圍

的體積V

中單位時間內電荷減少的數量微分形式任意閉合曲面。電流密度與電場強度的關系,對于線性媒質:

J=oE電導率越大,E

越小;σ→

α時,

E→0。

即只有理想導體內才

有E=0

與靜電場不同。◆焦耳定律(Joule's

law)的微分形式

p=J·E=σE2=J21σ本課件是可編輯的正常PPT課件恒定電場的基本方程(續)恒定電場(電源外空間)為保守場電流恒定時,電荷分布pv不隨時間變化,所以恒定電場必定與靜

止電荷產生的靜電場具有相同的性質,因此f,E·d=0V×E=0

(或E=-Vφ)討論當電流密度J已知時,

E=J/o—小結在電源外的空間,恒定電場所滿足的方程dS

=0

▽·J=0=0

▽×E=0導電媒質的本構方程

J=σE單位體積所消耗的功率

p=J

·E1)恒定電場與靜電場

有什么不同?2)能量來自何方?本課件是可編輯的正常Pr下4.接地電阻(groundresistance)將金屬導體埋入地內,而將設備中需要接地的部分與該導體連接,這種埋在地內的導體或導體系統稱為接地體或接地電極。接

:電流由電極流向大地時所遇到的電阻跨步電壓(

stepping

voltage):人跨一步的兩腳間的電壓我們來研究半徑為a的半球形良導體接地電極的接地電阻。設經引線由O

點流入半球形電極的電流為I,

則距球心為r處的地中任一點的電流密度為本課件是可編輯的正常PPT課件接地半球中的電流本課件是可編輯的正常PPT課件減小接地電阻的方法相應的電場強度為電流在大地中的電壓為接地電阻為■增大接地電極面積的具體辦法有:簡單采用大塊接地導體;或采用由

若干個具有一定粗細、一定長度的導體柱組成的一個接地系統;或采用

多根細長導體輻射狀散開平鋪于地下。本課件是可編輯的正常PPT課件接地電極尺寸越大,或者說接地體的表面積越大,接地電

阻越小,此時接地儀器設備的外殼越接近大地的電位。例[2-5]一個半

徑為10cm的半球形接地導體電極,電極平面與地面重合,如圖所示。已

知土壤的導電率為σ=0-2S/m。求:接地電阻;■若距腳有半短路球電中流心10點的0A

距流

地入為2電阻地

為,某求人此人正的以0跨.5米的步步電壓及土壤距向接地點

的損耗功率前。前地電極的接20.5解:

接F已知流入地中的電流為I,則在距球心r處的電場強度為跨步電壓損耗功率P=I2R=1.59×10?W本課件是可編輯的正常PPT課件進,中,在電源內部,有非靜電力即非庫侖場強E'(非靜電

力與電荷的比值)存在,使正電荷由負極向正極運動,它只存在于電源內部。■庫侖場強E:不僅存在于電源內部,還存在于電源外部,且在電源內部與E

'的方向相反。包含電源的歐姆定律的微分形式:要在導體中維持一恒定電流,就必須給導體接上電源。

電源是一種將其它形式的能量轉換為電能的裝置。5.電動勢(electromoti電流是靜電力

與非靜電力共

同作用的結果!自由電子在電場作

用下逆電場方向運

動形成電流;本課件是可編輯的正常PPT課件J=σ(電源電動勢本課件是可編電動勢(electromotiveforce)(續)◆這說明含電源的閉合回路中的總電場為E'+E,

若回路中有恒定電流I

且是均勻分布的,則相應的總功率為與靜電平衡

狀態下導體

電荷分布在非保守場沿閉合路徑的積

表面的結論一致!-在電源外的導體中,電場都具有無旋特性,可以用E=-Vφ米分析。假設導體是均勻的,導電率是常數,由基本方程V.J=0可得▽·D=0

這表明在均勻導體中不會有體電荷存在,即達到穩態時導體內自由電荷體密度處處等于零。本課件是可編輯的正常PPT課件6.邊界條件電流密度J的法向分量連續

J?n=J?n

電場強度E的切向分量連續

E?,=E用電位函數表示的邊界條件兩種媒質交界面上場的方向結論只要媒質2為理想導體,那么媒質1中的J?和E?一定垂直于交界面,此交界面可認為是等位面分界面上必有電荷分布本課件是可編輯的正常PPT課件[例2-6]兩層介質的同軸電纜,介質分界面為同軸的圓柱面,內導體半徑為a,分界面半徑為b,外導體半徑為c;

漏電導率為??和σ?。當外加電壓為U

時,計算介質中的電場強度、分界面上的自由面電荷密度及單位長度的

漏電導。解:設單位長度上同軸線的漏電流為I,

由電流密度的法向分量連續

保證了在兩種漏電媒質中半徑為p

處的電流密度為本課件是可編輯的正常PPT課件由此可求得由此可求得單位長度上的漏電導兩介質中的電場強度分別分界面上的面電荷密度本課件是可編輯的正常PPT課件恒定電場(電源外)靜電場(Pv=0的區域)本課件是可編輯的正常PPT課件7.恒定電場與靜電場比較練習題兩層介質的同軸電纜,介質分界面為同軸的圓柱

面,內導體半徑為a,

分界面半徑為b,

外導體半徑為c;兩層介質的介電常數分為c?和ε?、當外加電壓為U

時,計算單位長度的電容。答案:本課件是可編輯的正常PPT

課件兩層介質的同軸中的電場本課件是可編輯的正常PPT課件3.1邊值問題的提法.2

唯一性定理3

鏡像法.4

分離變量法◆3.5

有限差分法本課件是可編輯的正常PPT課件第3章邊值問題的解法◆所謂邊值問題就是給定邊界條件下,求解

電位函數所滿足的方程。◆就邊界條件而言,不同的問題有不同的給

定方式,通常可以分為三類;◆而求解區域電位函數所滿足的方程通常有

泊松方程和拉普拉斯方程本課件是可編輯的正常PPT

課件1.邊值問題的提法第一類邊界問題:已知場域邊界面S上各點電位的○,即第二類邊界問題:已知場域邊界面S上各點電位法向導數的值,即第三類邊界問題:已知場域邊界面S上各點電位和電位法向導數的線性組合值,即本課件是可編輯的正常PPT課件2.邊值問題的分類如果邊界面是導體,三類問題如何描述?3.泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程(Poisson'sequation)在線性、各向同性、均勻的電介質中對電荷分布在導體表面即pv=0,則拉普拉斯方程(Laplace'sequation)本課件是可編輯的正常PPT課

件圓上的拉普拉斯方程本課件是可編輯的正常PPT課件本節要點唯一性定理描述■唯一性定理證明■唯一性定理應用3.2唯一性定理本課件是可編輯的正常PPT課件給定邊界條件

給定邊界條件唯一性定理(uniqueness

theorem)描述靜電場中,在每一類邊界條件下,泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的。本課件是可編輯的正常PPT課件1.唯一性定理描述靜電場問題通常都可以歸結為:在給定邊值條件下,求解泊松方程或拉普拉斯方程的問題。即2.唯一性定理證明在第一類邊界條件下,來證明唯一性定理。由格林第一定理D,

同時考慮▽2φ=0;

則設在給定邊界上的電位時,拉普拉斯方程有兩解φ1和由于方程是線性的,兩個解的差φ=φ?

φ,也滿足方程,,即本課件是可編輯的正常PPT課件唯一性定理的證明

(

)在邊界上,φ'在邊界上的值而(Vφ')2非負,故只有Vφ'=0即φ'=常數,所以φ′=0,因而可以推得φ因此在第一類邊界條件下拉普拉斯方程的解是唯一的。o

唯一性定理也適合其它兩類邊界條件。本課件是可編輯的正常PPT課件3.唯一性定理的應用◆唯一性定理給出了拉普拉斯方程(或泊松方

程)定解的充分必要條件。◆這個定理啟發我們,不管采用什么方法,只

要能找到一個既能滿足給定的邊界條件,又

能滿足方程的電位函數,則這個解就是正確

的。◆鏡像法、分離變量法等求解方法就是唯一性

定理的具體應用。本課件是可編輯的正常PPT

課件本節要點■鏡像法■點電荷與平面邊界■點電荷與球面邊界■線電荷的鏡像3.3

鏡像法本課件是可編輯的正常PPT課件1.鏡像法(imagemethod)◆鏡像----暫時忽略邊界的存在,在所求的區域

之外放置虛擬電荷來代替實際導體表面上復

雜的電荷分布來進行計算,這個虛擬的電荷

被稱為實際電荷的鏡像。◆原電荷與鏡像電荷共同作用在邊界上滿足邊

界條件。◆鏡像法---唯一性定理的應用■

電荷產生的電位在源點外一定滿足拉普拉斯方程。■原電荷與鏡像電荷共同作用在邊界上滿足邊界條

件,以決定鏡像電荷的大小及位置。本課件是可編輯的正常PPT

課件注意!◆鏡像電荷是虛擬電荷◆鏡像電荷置于所求區域之外◆導電體的表面是等位面本課件是可編輯的正常PPT課件2.點電荷與平面邊界◆無限大導電平面上方d處有一點電荷q,

則導電平面對點

電荷的影響可以用置于導電平面下方的鏡像電荷-q來代

替,空間任一點P處的電位為口顯然,電位函數在上半平面(除點電荷所在的點外)均滿

足拉普拉斯方程;在邊界分界平面上,電位函數滿足邊界條

件。根據唯一性定理,上式必是我們所求問題的解。本課件是可編輯的正常PPT

課件(1)鏡像電荷的確定鏡像電荷的數目若兩平面的夾角為θ°,而360°10°=

n(偶數),則可以用

鏡像法求解,且鏡像電荷數為n-1。若360°10°不是偶數,則鏡像電荷就會出現在所求區域之內,這將改變該區域內電位所滿足的方程,因而不能用鏡像法求解。■對于平面邊界,鏡像電荷位于與實際電荷關于

邊界對稱的位置上,且其兩者大小相等、符號相反。本課件是可編輯的正常PPT

課件例3-1]自由空間垂直

于(3,4,0),放置的兩無限

求(3,5,0)大導電平面,電量為100nC

的點電荷點的電位和電場強度。

置解:兩平面夾角為90°,n=360°/90°=4

φ=735.2(3,5,0)點的電位和電場強度分別為:E=-19.8a,+891.36a本課件是可編輯的正常PPT課件所求點P(x,y,z)的電位:

其中

在3.點電荷與球面邊界自由空間中一接地導體球半徑為a,

一點電荷q置于距球心距離d處。計算導體球的表面電荷密度。解

q,,

-

荷;球內,且位于球心與實際電荷的連線上。任意點的電位為在一應上置量位數其在mq電設為此鏡像假因般不等于真實電荷由于導電球面彎曲Cosθ

cosθ由電位函數在球表面處滿足電位為零的邊界條件,求出本課件是可編輯的正常PPT課件點電荷與球面邊界(

)◆

導體球的表面電荷密度顯然,只有當真實電荷在球面上時,鏡像

電荷在數量上才等于真實電荷。當電荷遠離

球體移動時,鏡像電荷則趨向于球心。如果導體球不接地,結果又如何?本課件是可編輯的正常PPT課件點電荷與球面邊界接地球的鏡像電荷及場分布

非接地球的鏡像電荷及場分布y-2-24.

線電荷的鏡像◆自由空間中無限長接地導體圓柱半徑為a,

電荷密度為p

的無限長帶電直線置于離圓柱軸線距

離d處,求圓柱外空間任一點處的電位。口分析:導體圓柱在帶電線的作用下,在柱面上出現感應電荷。假設感應電荷

為-p?';

其位置在距原點b處,則柱外任

意點P處的電位為本課件是可編輯的正常PPT

課件□在導體圓柱表面電場強度的切向分量等于零,即利用上述條件得到本課件是可編輯的正常PPT課件(1)邊界條件電位函數在圓柱表面處滿足電位為零的邊界條件,即在p=a

處對任意角度有□單位長度圓柱上的感應電荷為本課件是可編輯的正常PPT課件(2)結果◆此時圓柱外空間任一點處的電位感應電荷的總量與

鏡像電荷的大小相等。鏡像法的本質就是用集中鏡像電

荷代替分布感應電用。□圓柱面上的感應電荷面密度為線電荷的鏡像

3◆兩半徑均為a的無限長平行雙導線,導線間距為D,

若導線間電壓為U,

求空間任一點的電位和單位長

度的電容。口利用接地導體圓柱的鏡像(上面的分析)得b=a2/h本課件是可編輯的正常PPT課件由于h+b

=D,因

而為參考點,線電荷在任意點處的電位分別為口任意點P處的總電位為位為□右、左邊圓柱上任一點的電課件是可編輯的正常F1不iTPP00本結論◆因此,兩圓柱導體間的電壓為單位長度的電容C=πE

如果D>>

a,則In

-1□可見,不考慮兩電荷之間的影響時的結果與第2章的結果完全一致。本課件是可編輯的正常PPT課件3.4

分離變量法分離變量法是把一個多變量的函數表示成幾個單

變量函數乘積的方法。在直角、圓柱、球等坐標

系中都可以應用分離變量法。直角坐標系分離變量法■圓柱坐標系分離變量法■球坐標系分離變量法本課件是可編輯的正常PPT課件本節要點1.直角坐標系中的分離變量法如果待求問題的邊界面形狀適合用直角坐標系表示,待求

偏微分方程的解可表示為三個函數的乘積,且其中的每個

函數僅是一個坐標的函數。■電位函數的拉普拉斯方程為代入拉普拉斯方程可得到以下四個方程:本課件是可編輯的正常PPT課件k?稱為分離常數,它們三個中只有兩個是獨立的,

且它不能全為實數,也不能全為虛數或者為零。本課件是可編輯的正常PPT課件分離變量法(

)分離變量法(

)若k

為實數f(x)=Asink,x+A?

cosk,x若k

為虛數,令

k=ja,則f(x)=Bsinhax+B?coshax或

f(x)二

B'exp

B,若k=0,則微分方程的解為(x)

C

十Cg(y)和h(z)的情況類似因而求得

x)

)h(

Z對于給定邊界條件的具體問題的解,拉普拉斯方程解的形式由邊界條件來確定。本課件是可編輯的正常PPT課件例3-長方形截面的導體槽,槽可以視為無限長,其上有一塊與槽絕緣的蓋板,槽的電位為零,蓋板的電位為U?,

求槽內的電位函數。解:這是一個矩形域的二維場問題。在直角坐標系中,電位函數的拉普拉斯方程為:由分離變量法得以下三個方程本課件是可編輯的正常PPT課件且k

的取值為nπlamsin(nπxla)稱為在上述邊界條件下的本征函數k=nπla為本征值本課件是可編輯的正常PPT課件要滿足(x=

在f(x)的三種可能的解中,只=0

的邊界條件isink[例3-3]

續由常數方程得即k,為虛數,因此g(y)的解必為第二種。若要g(y)滿足(y=0,0φ

=0的邊界條件只有■電位函數的通解為本課件是可編輯的正常PPT

課件系數D

U?

的邊界條件決定,即利用三角函數的正交性質將等式兩邊同乘以sin-

X,

再對x從0到a積分得因此電位函數本課件是可編輯的正常PPT課件求和階數

◎1

O3O5O10

O30電壓位置

up

dow

ight電位函數與求和的階數本課件是可編輯的正常PPT課件U?=100V

槽內電位分布、等位線及梯度本課件是可編輯的正常PPT課件邊界條件改變槽內電位分布、等位線及梯度本課件是可編輯的正常PPT課件分離變量法(小結)◆根據問題所給定的邊界情況,選定適當的坐標系,寫出

該坐標系的拉普拉斯(或泊松)方程的表達式;◆

確定待求電位函數為幾個變量函數;◆

把待求的位函數表示為幾個未知函數的乘積,其中每一

個函數僅是一個坐標變量的函數;◆

若待求位函數為二維函數,則將其表示成兩個單變量函數的乘積;◆

將二個未知函數的乘積代入拉普拉斯(或泊松)方程,分解出二個常微分方程和一個常數方程。◆根據給定的邊界條件和而二個常數之間的關系,寫出二

個常微分方程解的通解形式;◆用給定的邊界條件及三角函數的正交性,確定待定常數。

本課件是可編輯的正常PPT

課件練習題長方形截面的導體槽,邊界條件如圖所示,求槽內的電位函數。本課件是可編輯的正常PPT課件以上為直角坐標系中二維拉普拉斯方程的求解過程,三維拉普拉斯方程的求

解與上述類似,只是解答形式較復雜,在展成傅立葉級數時會遇到雙重傅立葉

積分。本課件是可編輯的正常PPT課件邊界條件變化對結果的影響2.圓柱坐標系中的分離變量法在求解圓柱空間或有柱面邊界的場問題時,采用圓

柱坐標較為方便。圓柱坐標中電位的拉普拉斯方程為式中的所有系數均由邊

界條件確定!口采用分離變量法,圓柱坐標系中拉普拉期方程的一個解為φ=(Asinh

kz+Bcoshkz)(Csinnφ+Dcosnφ)[FJn(kp)+GNn(n階第一類貝塞爾函數本課件是可編輯的正常PPT

課件n階第二類貝塞爾函數

或紐曼函數第一類貝塞爾函數曲線本課件是可編輯的正常PPT課件特殊情況1◆如果我們研究的問題是圓柱沿方向無限長,則電

位與z無關,此時拉普拉斯方程變為式中的所有

系數由邊界

條件確定!口應用分離變量法上述方程的解為本課件是可編輯的正常PPT課件特殊情況2◆如果圓柱的電位是圓對稱的且z方向無限長,即電位

與z和φ方向無關,此時拉普拉斯方程為口以上分析了幾種條件下圓柱結構拉普拉斯方程

解的可能形式,下面舉例來說明其具體應用。本課件是可編輯的正常PPT

課件□此時方程的解為φ=C?In

p+C?式中的系數同樣由邊界條件確定![例3-5]◆半徑為a、介電常數為ε的無限長介質圓柱置于

均勻電場E?中,圓柱軸線與E?

,求圓柱內、

外的電位和電場分布。□分析:在均勻電場作用下,介質圓柱表面將出現極化電荷,因而空間任一點的電位是均勻

場的電位和圓柱面上的極化電荷所產生的電位

的疊加。根據坐標面一致的要求,選擇圓柱坐

標系如圖所示。此時,均勻電場的電位和圓柱

表面的極化電荷所產生的電位均與坐標z無關。本課件是可編輯的正常PPT

課件設柱內、的電位分別為φ1和φ?,其表達式分別為其邊界條件為

(1)在圓柱軸線p=0處,φ?應為有限值;(

2

)

當p→c

時,

φ?應為-E?pcosφ;(3)在p=a的圓柱面上本課件是可編輯的正常PPT

課件外[例3-5](續)◆由條件(1)得C?=0、Fn=0,

此時圓柱內電位表達為由條件(2)得C{=0,C?=0,

二口圓柱外的電位表達式為本課件是可編輯的正常PPT課件面兩式任意角度都成立,比

較sinφ和cosφ的系數得=0仍

3由

(

3

)

得本課件是可編輯的正常PPT課件聯立兩組方程解得[例3-5](續)◆再比較其它正弦和余弦項的系數得=Bn=B′=0,綜合上述各系數,可得到圓柱內、外的電位為本課件是可編輯的正常PPT課件可見,介質圓柱內的電場比原外加電場要小,這是由于介質圓柱在外加電場作用下發生極

化,極化后在右半圓柱面上產生正的極化電

荷,在左半圓柱面上產生負的極化電荷,極

化電荷在圓柱內產生的電場與外加電場E?反向,因而總電場減弱。[例3-5](續)◆分別對電位函數求負梯度,可得相應外加電場中的介質柱外加電場中介質枉內外的等電位分布外加電場中介質枉內外的電場分布介質柱半徑介質相對介電常數外加電場大小

O1

O5本課件是可編輯的正常PPT課件3.球坐標系中的分離變量法在求解球空間或有球面邊界的場問題時,采用

球坐標較為方便。球坐標中電位的拉普拉斯方程為,利用分離變量法求得方程的通解為m

階l

次第一類連帶勒讓德函數本課件是可編輯的正常PPT課件球對稱性問題的解◆具有球對稱性問題的拉普拉斯方程的通解為勒讓德多項式例3-7]◆設有一半徑為a的接地導體球,放置于均勻的外電場E?中球外為真空,試求空間任一點處的電位和電場分布。,相等,由于導體球接地,所以球面和球內電位均為零。由于電位對極軸對稱,電位與坐標φ無關,此時電位函數的通解應為:

其邊界條件為(1)當r→0時,φ=-E?rcosθ

(2)在導體球上有j_a=0本課件是可編輯的正常PPT課件分析:靜電平衡狀態下球面和球內電位處處◆所以上式展開成如下形式cosθ)

.

.

=

0因而有B

?=E

0

U(l≠1本課件是可編輯的正常PPT課件由條件(1)可得A?=-E?,當

l≠1時A,=0[例3-7](續)由上式可見:在導體球表面僅有電場的法向分量,導體表

面感應電荷密度為3c?E?

cosθ,導體球外的電位(電場)是

由均勻電場E?

和感應電荷共同產生的。本課件是可編輯的正常PPT課件[例3-7](續)◆所以球外任意點的電位為事實上能用分離變

量法進行求解的結構是

十分有限的,對于復雜

結構的電磁場問題,一采用數值法求解。球外任意點的電場強度為外加電場中的接地導體球當所求問題的邊界比較復雜,通常采用數值解法。目前,

比較成熟的求解電磁場問題的數值解法很多,如主要有矩量

法、有限差分法、有限元法、邊界元法等等,采用計算機求

數值解,理論上可以得到任意要求的精度。■差分方程的建立

單迭代法■超松弛法本課件是可編輯的正常PPT

課件3.5有限差分法本節要點□有限差分法是把微分方程在給定點附近用差分代數方程代替而計算電位的一種近似方法。1)一般來說,網格劃分得

愈細所能達到的精度愈高,

但計算時間也愈長;2)網格的劃分有不同的方

法,這里僅介紹正方形網格

劃分。◆首先把求解區域劃分成網格,把求解區域內連續的

分布用網格節點上的離散的數值解代替。1.差分方程的建立本課件是可編輯的正常PPT課件φ-1,;和φi+1,;可以用在點(i,j)附近的泰勒級數展開為本課件是可編輯的正常PPT課件差分方程的建立(續)設二維平面場中每個正方形格子的邊長為h設區域中某點(i,j)

的電位為φ;

,

則其上下左右四個點的電位分別為線與線的交

點為節點差分方程的建立(續)□同理φ;j+1和φ;j-1在點(i,j)附近的泰勒級數展開為□在h足夠小的情況下,忽略4階以上的高次項,將以上四式相加得本課件是可編輯的正常PPT課件泊松方程與拉普拉斯方程的差分形式設所研究區域中電荷密度為pv,

(i,j)電位滿足泊松方程在沒有體電荷分布的區域,任意點的電位等

于圍繞它的四個點的電位的平均值。本課件是可編輯的正常PPT課件如果所研究的區域pv=0,

則二維拉普拉斯方程的有限差分形式為1.簡單迭代法口首先對待求節點設置初值;口當初值給定后,利用拉普拉斯方程的有限差分形式,按一

個固定的順序(從左到右,從下到上)依次計算每點

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