第三節(jié)隨機(jī)事件與概率

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解近幾年的高考以考查隨機(jī)事件的頻

概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.率與概率、古典概型為主，其中古

2.理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與典概型常與排列組合知識交匯考

樣本點(diǎn)的關(guān)系.查.預(yù)計(jì)2025年高考以上題型均可

3.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，會求隨機(jī)事件能出現(xiàn)，其中隨機(jī)事件的頻率與概

的并、交運(yùn)算.率的題目以解答題的形式出現(xiàn)，互

4.掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則，了解兩個互斥事件的斥事件、對立事件的概念及古典概

概率加法公式.型以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，

5.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.難度中檔.

必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識梳理

1.樣本空間和隨機(jī)事件

(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間

①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)￡的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn),常用。表示.

全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用a表示.

②有限樣本空間：如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有〃個可能結(jié)果例，02,…，。“，則稱樣本空間0={01,

0)2，…,①〃}為有限樣本空間.

(2)隨機(jī)事件

①定義：將樣本空間O的應(yīng)］子集稱為隨機(jī)事件,簡稱事件.

②表示：大寫字母/,B,C,....

③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件.

2.事件的運(yùn)算

定義表示法圖示

事件/與事件3至少有一個發(fā)生，

并事件

稱這個事件為事件A與事件B的

并事件(或和事件)（或/+8）

事件/與事件3同時發(fā)生，稱這

同.08

交事件樣一個事件為事件A與事件B的

（或AB）

交事件(或積事件)

3.事件的關(guān)系

定義表示法圖示

若事件/發(fā)生，事件8同一定

配回1

包含關(guān)系發(fā)生,稱事件3包含事件N(或事

（或AUB）

件/包含于事件8)

如果事件A與事件B質(zhì)］不能同

若4ng=0,則力與g

互斥事件時發(fā)生,稱事件/與事件2互斥(@c|)

互斥

(或互不相容)

如果事件A和事件B在任何一次

試驗(yàn)中國有且僅有一個發(fā)生,

若4n5=0,且4U5

對立事件CD

稱事件/與事件3互為對立，事=0,則4與5對立

件/的對立事件記為/

4.概率與頻率

⑴頻率的穩(wěn)定性

一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)”的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件/發(fā)生的頻率方(4)

會逐漸穩(wěn)定于事件/發(fā)生的概率尸(N).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

(2)頻率穩(wěn)定性的作用

可以用圓頻率版/)來估計(jì)概率聞P⑷.

5.概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：對任意的事件/,都有P(/)20；

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(0=1,尸(0)=0；

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么尸U2)=1尸(4)+尸(2)；

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P⑻=1-PQ4),P(A)=邁1一尸⑶;

性質(zhì)5:如果那么P(/)WP(3),由該性質(zhì)可得，對于任意事件/,因?yàn)?U/U。，所以

0(尸⑷W1；

性質(zhì)6：設(shè)/,2是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，有尸〃U3)=Ep(/)+PC8)—P(/nB).

6.古典概型

具有以下特征的試驗(yàn)叫做古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

⑴有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有同有限個.

(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)牛的可能性同相等.

7.古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間a包含〃個樣本點(diǎn)，事件/包含其中的左個樣本點(diǎn),

則定義事件A的概率P(A)=血會=2~.

nn(0)

其中，〃(⑷和或0分別表示事件/和樣本空間0包含的樣本點(diǎn)個數(shù).

常用電論

1.概率加法公式的推廣

當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(/lU/2

U...UAn)=P(A1)-hP(A2)+...~hP(An)■

2.當(dāng)隨機(jī)事件/,2互斥時，不一定對立；當(dāng)隨機(jī)事件n,3對立時，一定互斥.也即兩事

件互斥是對立的必要不充分條件.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打“3,錯誤的打“x”)

(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()

(2)若事件/和2是互斥事件，則/ng是不可能事件.()

(3)從裝有3個大球、1個小球的袋中取出一球的試驗(yàn)是古典概型.()

(4)若NU8是必然事件，則事件/與3是對立事件.()

(5)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”這三個結(jié)果是等可能事件.()

答案(l)x(2)d(3)x(4)x(5)x

2.小題熱身

(1)(人教A必修第二冊習(xí)題10.1T14改編)從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小

于160cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在［160,175］（單位：cm）內(nèi)的概率為0.5,那么該同學(xué)

的身高超過175cm的概率為（）

A.0.2B.0.3

C.0.7D.0.8

答案B

解析由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在［160,175］（單位：cm）內(nèi)

的概率和該同學(xué)的身高超過175cm的概率和為1,故所求概率為1—0.2—0.5=03

（2）一個射手進(jìn)行射擊，記事件/尸“脫靶”，也=“中靶”，在="中靶環(huán)數(shù)大于4”.則在上述

事件中，互斥而不對立的事件是（）

A.4與也B.〃與小

C.在與小D.以上都不對

答案B

解析射手進(jìn)行射擊時，事件/尸''脫靶"，出一'中靶"，出="中靶環(huán)數(shù)大于4”，事件為與

也不可能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，即事件出與4互斥且對立，A不正確；事件4與

出不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，即事件小與在互斥不對立，B正確；事件在與出

可以同時發(fā)生，即事件4與4不互斥不對立，C不正確，顯然D不正確.

（3）把語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4本書從左到右排成一行，則語文書和英語書不相鄰的概率為

（）

A.一B.1

6

C.-D.-

23

答案C

解析根據(jù)題意，語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4本書從左到右排成一行，有A才=24種不同的

排法,若語文書和英語書不相鄰，其排法有A3Ag=12種，則語文書和英語書不相鄰的概率P

12,1

242

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一隨機(jī)事件（多考向探究）

考向1隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算

例1（1）（2024?廣東梅州中學(xué)月考）“黑匣子”是飛機(jī)專用的電子記錄設(shè)備之一，黑匣子有兩個，

分別為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對黑匣子內(nèi)部構(gòu)造進(jìn)行相關(guān)課題研

究，記事件/為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件3為“至少研究一個黑匣子”，事件C為“至

多研究一個黑匣子”，事件。為“兩個黑匣子都研究”.貝1（）

A./與C是互斥事件

B.3與。是對立事件

C.3與C是對立事件

D.C與。是互斥事件

答案D

解析事件/為“只研究駕駛艙語音記錄器”；事件8為“至少研究一個黑匣子”，包含“研究駕

駛艙語音記錄器''或"研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄

器”；事件C為“至多研究一個黑匣子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄

器”，或“兩個黑匣子都不研究“；事件。為“兩個黑匣子都研究”，即“研究駕駛艙語音記錄器

和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器對于A,事件/與事件C不是互斥事件，故A不正確；對于B,

事件8與事件。不是對立事件，故B不正確；對于C,事件8與事件C不是對立事件，故C

不正確；對于D,事件C和事件。不能同時發(fā)生，故C與。是互斥事件，故D正確.故選

D.

（2）（多選）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：G="點(diǎn)數(shù)為產(chǎn)，其中，=1,2,3,4,

5,6；人="點(diǎn)數(shù)不大于2"，。2="點(diǎn)數(shù)不小于2"，。3="點(diǎn)數(shù)大于5"；￡="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；F

="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)下列結(jié)論正確的是（）

A.G與C2對立B.人與功不互斥

C.￡>3￡FD.￡?（。由。2）

答案BC

解析對于A,G="點(diǎn)數(shù)為1”，C2="點(diǎn)數(shù)為2”，G與C2互斥但不對立，故A不正確；對

于B,。尸“點(diǎn)數(shù)不大于2”，功="點(diǎn)數(shù)不小于2”，當(dāng)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2時,A與。2同時發(fā)生,

所以Di與不互斥，故B正確；對于C,。3=”點(diǎn)數(shù)大于5”表示出現(xiàn)6點(diǎn)，尸="點(diǎn)數(shù)為偶

數(shù)”，所以A發(fā)生時尸一定發(fā)生，所以。3=尸，故c正確；對于D,。由6表示兩個事件同

時發(fā)生，即出現(xiàn)2點(diǎn)，￡="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，所以。由。2發(fā)生，事件E不發(fā)生，所以￡?（。由。2）

不正確，故D不正確.

【通性通法】

事件關(guān)系判斷的策略

一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，

若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互

判斷事件的互斥、對

斥事件.反之互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)

立關(guān)系

生；對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不

發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生

一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)

判斷事件的交、并關(guān)

的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，也可類比集合

系

的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件

【鞏固遷移】

1.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件4B,C,。發(fā)生的概率分別是0.2,0,2,0.3,0.3,

則下列說法正確的是（）

A.4U3與C是互斥事件，也是對立事件

B.8UC與。是互斥事件，也是對立事件

C.NUC與3UD是互斥事件，但不是對立事件

D./與8UCU。是互斥事件，也是對立事件

答案D

解析對于A,NU3與C是互斥事件，但不對立，因?yàn)镻（NU3）+2（。=0.7力，故A錯誤;

對于B,2UC與。是互斥事件，但不對立，因?yàn)槭˙UO+CD^O.^l,故B錯誤；對于

C,NUC與是互斥事件，也是對立事件，因?yàn)槭?UO+RBUZOul,故c錯誤；對

于D,/與8UCU。是互斥事件，也是對立事件，因?yàn)镻（⑷+尸（8UCUD）=1,故D正確.

考向2隨機(jī)事件的頻率與概率

例2某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為0（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年

度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度

01234三5

出險(xiǎn)次數(shù)

保費(fèi)0.85。a1.25。1.5a1.75〃2a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表:

出險(xiǎn)次數(shù)01234N5

頻數(shù)605030302010

(1)記/為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(/)的估計(jì)值；

(2)記3為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求尸(8)

的估計(jì)值；

(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.

解(1)事件/發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的

頻率為竺士^=0.55,故尸(/)的估計(jì)值為0.55.

200

(2)事件8發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于

1且小于4的頻率為女’=0.3,故尸(2)的估計(jì)值為0.3.

(3)由所給數(shù)據(jù)得

保費(fèi)0.85。a1.25。1.5。L75Q2a

頻率0.300.250.150.150.100.05

調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85“0.30+"0.25+1.25"0.15+1.5"0.15+1.75"0.10

+2ax0.05=l.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.

【通性通法】

頻率與概率的關(guān)系

頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個確定的值，

區(qū)別通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機(jī)事件概

率的估計(jì)值

利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會逐

聯(lián)系

步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率

【鞏固遷移】

2.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于

或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為/配方和2配方)做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了

100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：

A配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數(shù)82042228

3配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數(shù)412423210

(1)分別估計(jì)用/配方、3配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；

⑵已知用8配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值/的關(guān)系為y=

-2,十94,

,2,94Wf<102,估計(jì)用8配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用8配方生產(chǎn)的上

4,/2102,

述100件產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的平均利潤.

解(1)由試驗(yàn)結(jié)果知，用/配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為衛(wèi)9=0.3,所以用/配方生

100

產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3.

由試驗(yàn)結(jié)果知，用8配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為"士型=0.42,所以用8配方生產(chǎn)的

100

產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42.

⑵由條件知，用8配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0,當(dāng)且僅當(dāng)其質(zhì)量指標(biāo)值/N94,由試

驗(yàn)結(jié)果知，質(zhì)量指標(biāo)值t294的頻率為坦匕=0.96,

100

所以用2配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率約為0.96.

用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的平均利潤為+x[4x(—2)+54x2+42x4]=2.68元.

考點(diǎn)二互斥事件與對立事件的概率

例3(1)人類通常有O,A,B,AB四種血型，某一血型的人可以給哪些血型的人輸血，是

有嚴(yán)格規(guī)定的.設(shè)X代表O,A,B,AB中某種血型，箭頭左邊表示供血者，右邊表示受血

者，則輸血規(guī)則如下：①X—X；②O—X；③X—AB.已知我國O,A,B,AB四種血型的人

數(shù)所占比例分別為41%,28%,24%,7%,在臨床上，按照上述規(guī)則，若受血者為A型血，

則一位供血者能為這位受血者正確輸血的概率為()

A.0.31B.0.48

C.0.65D.0.69

答案D

解析若受血者為A型血，則0型血和A型血可以為這位受血者輸血，所以一位供血者能

為這位受血者正確輸血的概率為0.41+0.28=0.69.

⑵某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39,32,33名成員，

一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖所示.現(xiàn)隨機(jī)選取一名成員，則他至少參加2

個小組的概率為________，他至多參加2個小組的概率為.

口木515

解析記“恰好參加2個小組”為事件/,“恰好參加3個小組”為事件瓦隨機(jī)選取一名成員，

恰好參加2個小組的概率尸(/)=n+工+”=工，恰好參加3個小組的概率

606060156015

7?

則至少參加2個小組的概率為尸⑷+P(5)=至多參加2個小組的概率為

?213

=1——=一.

1515

【通性通法】

求互斥事件概率的一般方法

將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的

直接法

求和公式計(jì)算

先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(/)=l—P(N)求出所求概率，特

間接法

別是“至多,，”至少,，型題目，用間接法比較簡便

【鞏固遷移】

3.已知袋子中有10個小球，其中紅球2個，黑球和白球共8個，從中隨機(jī)取出一個，設(shè)取

出紅球?yàn)槭录〕龊谇驗(yàn)槭录?,隨機(jī)事件C與3對立.若尸(/U2)=0.5,則尸(C)=

A.0.3B.0.6

C.0.7D.0.8

答案c

解析由題意可知，P(/)=彳=0.2.因?yàn)?與8互斥且尸(/口2)=0.5,所以尸(3)=0.3.又因?yàn)?/p>

隨機(jī)事件。與3對立，所以尸(0=1—0.3=0.7.

4.若隨機(jī)事件N,3互斥，A,3發(fā)生的概率均不等于0,且尸(/)=2—a,P(B)=4a—5,則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

[5g

答案【4,3」

0<P(4)<1,

解析由題意可知.0<尸(B)<1,

PCA)+P(B)W1,

fl<a<2,

即,0<4°—5<1,即解得.故實(shí)數(shù)”的取值范圍為

3(2—3W1，

考點(diǎn)三古典概型

例4(1)(2024?南通質(zhì)檢)我國數(shù)學(xué)家張益唐在“攣生素?cái)?shù)”研究方面取得突破，享生素?cái)?shù)也稱

為攣生質(zhì)數(shù)，就是指兩個相差2的素?cái)?shù)，例如5和7.在大于3且不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選

取2個不同的數(shù)，恰好是一組學(xué)生素?cái)?shù)的概率為()

答案D

解析大于3且不超過20的素?cái)?shù)為5,7,11,13,17,19,共6個，隨機(jī)選取2個不同的

數(shù)，分別為(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,

19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15種選法，其中恰

好是一組攣生素?cái)?shù)的有(5,7),(11,13),(17,19),共3種，故隨機(jī)選取2個不同的數(shù)，恰

好是一組李生素?cái)?shù)的概率為3=上

155

(2)已知a,6W{-2,—1,1.2},若向量/M=(a,b),〃=(1,1),則向量膽與“所成的角

為銳角的概率是()

答案B

解析向量，〃與”所成的角為銳角等價(jià)于mn>0,且wi與〃的方向不同，即Mr"=(a,Z>)(1,

1)=a+bX),且存6,則滿足條件的向量加有(一1,2),(1,2),(2,-1),(2,1),共4種，

又的取法共有4x4=16種，則向量,"與〃所成的角為銳角的概率是4=上

164

(3)已知冽，〃￡{1,2,3,4},且加沏，則方程工+丁=1表示焦點(diǎn)在工軸上的橢圓的概率是

mn

答案1

2

22

解析方程一+匕=1表不焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則別>〃>0,有(2,1),(3,1),(3,2),(4,

mn

1),(4,2),(4,3),共6種，在題設(shè)條件下，方程有A?=12種，所以所求概率為

【通性通法】

公式法求解古典概型問題的步驟

【鞏固遷移】

5.將3名男生、1名女生共4名同學(xué)分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加社會實(shí)踐，每個社區(qū)至

少一名同學(xué)，則恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是()

答案D

解析分配方案的總數(shù)為CZA§,恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的分法有CgA芬中，則

恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是P=￥=L

6.(2022?全國甲卷)從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率為

解析從正方體的8個頂點(diǎn)中任取4個，有"=Cg=70種取法，這4個點(diǎn)在同一個平面的有

根=6+6=12種取法，故所求概率尸=m=退=。.

n7035

7.已知函數(shù)y=N,集合/={-3,—2,—1,0,1,2,3},現(xiàn)從/中任意取出若干個元素

組成函數(shù)y=x2的定義域。，則函數(shù)＞=9的值域?yàn)閧1,4}的概率為.

套案9

口127

解析易知集合/的非空子集有27—1=127個，即樣本點(diǎn)的總數(shù)為127,記“函數(shù)y=V的值

域?yàn)閧1,4}”為事件“。中含有2個元素且函數(shù)y=x2的值域?yàn)閧1,4}”為事件Mi,“D中

含有3個元素且函數(shù)了=%2的值域?yàn)閧1,4}“為事件欣，中含有4個元素且函數(shù)y=N的值

域?yàn)閧1，4}”為事件跖，易知Mi+拔+跖=州，則Mi中含有的樣本點(diǎn)為(一1,-2),(-1,

2),(1,-2),(1,2),共4個；跖中含有的樣本點(diǎn)為(一1,-2,1),(-1,-2,2),(-2,

1,2),(-1,1,2),共4個；祐中含有的樣本點(diǎn)為(-2,—1,1,2),只有1個.所以尸(V)

4419

=P(M1+M2+M3)=JP(M1)+JP(M2)+P(M3)=—+—+—=i|7.

考點(diǎn)四古典概型與統(tǒng)計(jì)的交匯問題

例5為了了解某種新型藥物對治療某種疾病的療效，某機(jī)構(gòu)日前聯(lián)合醫(yī)院，進(jìn)行了小規(guī)模

的調(diào)查，結(jié)果顯示，相當(dāng)多的受訪者擔(dān)心使用新藥后會有副作用.為了了解使用該種新型藥

品后是否會引起疲乏癥狀，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了某地患有這種疾病的275人進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)

計(jì)數(shù)據(jù)如表:

疲乏癥狀

新藥合計(jì)

無疲乏癥狀有疲乏癥狀

未使用新藥15025t

使用新藥Xy100

合計(jì)225m275

(1)求2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,乃相，1的值，根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否判斷

有無疲乏癥狀與是否使用該新藥有關(guān)？

(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽出4

人，再從這4人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率.

2

皿cnQad-bc)

附：/2=--------------------------------------------n=a~\~b~\~c~\~d.

(Q+6)(c+d)(Q+C)(6+d)

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)由數(shù)表知，％=225—150=75,7=100-75=25,冽=275—225=50,150+25=175,

所以x=75,y=25,加=50,t=\75,

零假設(shè)為Ho：有無疲乏癥狀與是否使用該新藥無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到*2=275X(150x25-25x75)2=*4.9H>3.841=x0.05.

175x100x225x5056

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷M不成立，即認(rèn)為有無疲乏癥狀與是否使用

該新藥有關(guān).

⑵從使用新藥的100人中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取4人的抽樣比為工=工，

10025

則抽取有疲乏癥狀的人數(shù)為工x25=l,無疲乏癥狀的人數(shù)為3,

25

記“這2人中恰有1人有疲乏癥狀”為事件于是尸(〃)=T=所以這2人中恰有1人

C42

有疲乏癥狀的概率是1

2

【通性通法】

有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型.概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無

論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是

解題的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概率問題可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}.

【鞏固遷移】

8.為了調(diào)查國企員工對現(xiàn)行個稅法的滿意程度，研究人員在某地各個國企中隨機(jī)抽取了1000

名員工進(jìn)行調(diào)查，并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布直方圖，其中a=46.

(1)求0,6的值并估計(jì)被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù)；(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))

(2)若采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從[50,60),[60,70)中隨機(jī)抽取8人，再從這8人中

隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的分?jǐn)?shù)在［50,60)的概率.

解(1)依題意，得(。+6+0.008+0.027+0.035/10=1,所以。+6=0.03,

又a=46,所以。=0.024,6=0.006,

所以中位數(shù)為70H-----------------------75.14.

0.035

⑵依題意，知分?jǐn)?shù)在［50,60)的員工抽取了2人，記為a,b,分?jǐn)?shù)在［60,70)的員工抽取了6

人，記為1,2,3,4,5,6,

所以從這8人中隨機(jī)抽取2人的所有的情況有(a,6),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,

5),(a,6),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(b,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,

5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,

6),共28種,

其中滿足條件的有(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(b,1),(b,2),

(b,3),(b,4),(b,5),(b,6),共13種,

設(shè)“至少有1人的分?jǐn)?shù)在［50,60)”為事件/,貝I尸⑷譚

課時作業(yè)

A級基礎(chǔ)鞏固練

一、單項(xiàng)選擇題

1.拋擲一枚骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件4“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件3,則

()

A.A^B

B.A=B

C.NU8表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3

D.NnB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3

答案C

解析由題意，可知4={1,2},B={2,3},貝|]/08={2},A^B={\,2,3},所以NUB

表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.故選C.

2.從裝有若干個紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中隨機(jī)不放回地摸球兩次，每

次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為2,“兩個球都是白球”的概率為1,貝！]“兩

153

個球顏色不同”的概率為（）

答案c

解析設(shè)“兩個球都是紅球''為事件/,“兩個球都是白球”為事件2,“兩個球顏色不同”為事件

C,則P(/)=j,尸(2)=”且。=/口2.因?yàn)閍B,C兩兩互斥，所以P(0=1—P(C)=1

91Q

一尸(/U8)=l—[P(/)+尸(孫=1一1一了..故選C.

3.(2023?廣東東莞模擬)在不超過18的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率

是()

答案B

解析不超過18的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)有C彳=21種，

和等于16的有3+13=16,5+11=16,共2種，所以和等于16的概率是

21

4.《三十六計(jì)》是中華民族珍貴的文化遺產(chǎn)之一，是一部傳習(xí)久遠(yuǎn)的兵法奇書，與《孫子兵

法》合稱我國古代兵法謀略學(xué)的雙璧，三十六計(jì)共分勝戰(zhàn)計(jì)、敵戰(zhàn)計(jì)、攻戰(zhàn)計(jì)、混戰(zhàn)計(jì)、并

戰(zhàn)計(jì)、敗戰(zhàn)計(jì)六套，每一套都包含六計(jì)，合三十六個計(jì)策，如果從這36個計(jì)策中任取2個計(jì)

策，則這2個計(jì)策都來自同一套的概率為()

答案C

解析從這36個計(jì)策中任取2個計(jì)策，基本事件總數(shù)〃=。6=630,這2個計(jì)策都來自同一

套包含的基本事件的個數(shù)機(jī)=6逐=90,則這2個計(jì)策都來自同一套的概率為尸=%=型=1.

n6307

故選C.

5.設(shè)條件甲：事件N與事件8是對立事件，結(jié)論乙：概率滿足尸(N)+P(B)=1,則甲是乙的

)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若事件/與事件8是對立事件，則NU3為必然事件，再由概率的加法公式得尸(/)+

尸(2)=1.但尸(4)+「(3)=1,A,2不一定是對立事件，如投擲一枚硬幣3次，事件/="至少

出現(xiàn)一次正面“，事件8=“出現(xiàn)3次正面”，則尸(4)=',P(B)=\滿足尸⑷+尸(3)=1,但4,

88

3不是對立事件.故甲是乙的充分不必要條件.

6.(2024?海南華僑中學(xué)模擬)中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)

艙.假設(shè)中國空間站要安排甲、乙、丙、丁4名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排2人,

問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，則甲、乙兩人安排在不同艙內(nèi)的概率為()

答案B

解析從甲、乙、丙、丁4名航天員中任選兩人去天和核心艙，剩下兩人去剩下兩個艙位，

則有CZA3=6x2=12種可能，要使得甲、乙在同一個艙內(nèi)，由題意，甲、乙只能同時在天和

核心艙，在這種安排下，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有A3=2種可能.所以甲、乙兩人安

排在同一個艙內(nèi)的概率P=2=1則甲、乙兩人安排在不同艙內(nèi)的概率P=I--=-

12666

7.已知q￡{0,1,2),6￡{—1,1,3,5},則函數(shù)外)="2—2隊(duì)在區(qū)間(1,+切)上為增

函數(shù)的概率是()

答案A

解析因?yàn)椤！陒0,1,2},—1,1,3,5},所以樣本點(diǎn)總數(shù)〃=3x4=12.函數(shù)外)=辦2

—2樂在區(qū)間(1,+oo)上為增函數(shù)，①當(dāng)〃=0時，{x)=—2反，符合條件的只有(0,-1),

即0=0,6=—1；②當(dāng)好0時，需要滿足符合條件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),

a

(2,1),共4種.所以函數(shù)人x)=ox2—2bx在區(qū)間(1,+oo)上為增函數(shù)的概率是

8.(2024?“西南匯”聯(lián)考)已知某校高三年級共1400人,按照順序從1到1400編學(xué)號.為了如

實(shí)了解學(xué)生“是否有帶智能手機(jī)進(jìn)入校園的行為”，設(shè)計(jì)如下調(diào)查方案：先從裝有2個黑球和

3個白球的不透明盒子中隨機(jī)取出1個球，如果是白球，回答問題一；否則回答問題二.問

題如下：一、你的學(xué)號的末位數(shù)字是奇數(shù)嗎？二、你是否有帶智能手機(jī)進(jìn)入校園的行為？現(xiàn)

在高三年級1400人全部參與調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有972人回答“否”，其余人回答“是”.則該校高

三年級“帶智能手機(jī)進(jìn)入校園”的人數(shù)大概為()

A.8B.20

C.148D.247

答案B

解析根據(jù)題意，回答問題一的學(xué)生約有1400x；=840人，回答問題二的學(xué)生約有1400x1=

560人,840人中約有420人回答“否”，則560人中約有972—420=552人回答“否”,8人回

答“是”，則問題二回答“是''的人數(shù)約占工，該校高三年級“帶智能手機(jī)進(jìn)入校園''的人數(shù)約為

70

1400x-=20.

70

二、多項(xiàng)選擇題

9.包含甲、乙的若干人站成一排，其中不是互斥事件的是()

A.“甲站排頭”與“乙站排頭”

B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”

C.“甲站排頭”與“乙站排尾”

D.“甲不站排頭”與“乙不站排尾”

答案BCD

解析排頭只能有一人，因此“甲站排頭''與"乙站排頭”互斥，而B,C,D中，甲、乙站位不

一定在同一位置，可以同時發(fā)生，因此它們都不互斥.故選BCD.

10.小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間(分鐘)隨交通堵塞狀況有所變化，其概

率分布如下表所示：

所需時間(分鐘)30405060

線路一0.50.20.20.1

線路二0.30.50.10.1

則下列說法正確的是()

A.任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事件

B.從所需的平均時間看，線路一比線路二更節(jié)省時間

C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該選線路一

D.若小張上下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.04

答案BD

解析“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥而不對立事件，故A錯誤；線

路一所需的平均時間為30x0.5+40x0.2+50x0.2+60x0.1=39分鐘，線路二所需的平均時間

為30x0.3+40x0.5+50x0.1+60x0.1=40分鐘，故B正確；線路一所需時間小于45分鐘的概

率為0.7,線路二所需時間小于45分鐘的概率為0.8,小張應(yīng)選線路二，故C錯誤；所需時

間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時間可以為(50,60),(60,50)和(60,60)三種情

況，概率為0.2x0.1+0.1x0.1+0.1x0.1=0.04,故D正確.故選BD.

三、填空題

11.在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，事件/表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件8表示

“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則在一次試驗(yàn)中，事件/U萬發(fā)生的概率為.

答案~

3

解析拋擲一枚骰子的試驗(yàn)有6種等可能的結(jié)果，依題意知尸⑷=/=:,尸(8)=：=:所以

6363

P(5)=l—尸(8)=1—因?yàn)?表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件，所以事件4與5互斥，從

而尸(/U—2)=P—(/)+1P(13)2=；+；=；.

12.北斗七星自古是我國人民辨別方向、判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、

天磯、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨

機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為

天樞

玉衡天權(quán)

開陽

搖光天璇

天磯

答案］

解析因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為9=3=電，所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中

C?21

的概率為一"

13.(2024?湖南名校聯(lián)考)某學(xué)校為落實(shí)“雙減”政策，在課后服務(wù)時間開展了豐富多彩的興趣

拓展活動.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、籃球、足球、羽毛球、網(wǎng)球五項(xiàng)活動，由于

受個人精力和時間限制，每人只能等可能的從中選擇一項(xiàng)活動，則四人中恰有兩人參加同一

活動的概率為.

套案72

口125

解析根據(jù)題意，每個人有5種選擇，四人共54種選法，其中恰有兩人參加同一種活動，有

C2QA彳種選法，故四人中恰有兩人參加同一種活動的概率為宜譽(yù)=衛(wèi).

14.(2023?石家莊二中模擬)數(shù)學(xué)上有種水仙花數(shù)，它是指各位數(shù)字的立方和等于其本身的三

位數(shù).水仙花數(shù)共有4個，其中僅有1個在區(qū)間(150,160)內(nèi)，我們姑且稱它為“水仙四妹”,

則從集合{147,152,154,157,“水仙四妹”}的5個元素中任意取3個整數(shù)，則這3個整數(shù)

中含有“水仙四妹”，且其余兩個整數(shù)至少有一個比“水仙四妹”小的概率是.

答案:

2

解析設(shè)“水仙四妹”為150+x且04<10,xez,依題意，知F+53+X3=150+X,即有(工一

l)x(x+1)=24,可得x=3,即“水仙四妹”為153,所以集合為{147,152,153,154,157},

從該集合中任取3個元素，該試驗(yàn)的樣本空間a={(147,152,153),(147,152,154),(147,

152,157),(147,153,154),(147,153,157),(147,154,157),(152,153,154),(152,

153,157),(152,154,157),(153,154,157)},共有10個樣本點(diǎn).記事件/表示“取出的

3個整數(shù)中含有153,且其余兩個整數(shù)至少有一個比153小”，則事件/包含的樣本點(diǎn)有(147,

152,153),(147,153,154),(147,153,157),(152,153,154),(152,153,157),共5

個，故尸(N)=*=l.

102

四、解答題

15.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如下表:

質(zhì)量指標(biāo)值mm<185185^m<205加2205

等級三等品二等品一等品

從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分