絕密★啟用前

2025年高考數學模擬試卷03（全國卷文科）

數學（文科）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合4={1/6,84，B={l,a4},則滿足4口3=3的實數°的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

4+i

2.已知復數z=「,z的共軌復數為三，則z-z=()

1+1

A庖RU

C.4D.2

22

3.在AASC中，瓦5+2詼=6則（）

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

3355

C.AD=-AB+-ACD.AD=AB--AC

333

4.已知y（x）=￡1-siiu是偶函數，貝Ija=()

A.0B.1C.-1D-1

5.設見僅是兩個不同的平面，/,機是兩條直線，且相。.則尸”是“相//分”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.隨著國潮的興起，消費者對漢服的接受度日漸提高，數據顯示，目前中國大眾穿漢服的場景主要有漢服

活動、藝術拍攝、傳統節日、旅游觀光、舞臺表演、婚慶典禮6類，某自媒體博主準備從這6類場景中

選2類拍攝中國大眾穿漢服的照片，則漢服活動、旅游觀光這2類場景至少有1類場景被選中的概率為

()

7.已知一個三棱錐的三視圖如圖，正視圖為邊長為3的正方形，側視圖和俯視圖均為等腰直角三角形，則

此幾何體的外接球的表面積為（

A.6兀B.12兀C.177tD.27兀

8.已知點尸（-3,0）,點。在圓+上運動，若NQPO=a,貝han2tz的最大值為（）

A,逆R4后

D.------------C.20D.4&

77

己知函數"x）=sin（ox+9）（0>O）,若直線為函數/（x）圖象的一條對稱軸，［?,0］為函數〃力圖

9.

象的一個對稱中心，且“X）在1口

上單調遞減，則。的最大值為（）

AYD1824

?D.—

1717

10.我國南宋時期杰出的數學家秦九韶在《數書九章》中提出了“三斜求積術”，其內容為：“以小斜塞，并

大斜幕，減中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜幕，減上，余四約之，為實；一為從隅，開

平方得積.”把以上文字寫成公式，即S=,；/一+C?*］（其中S為面積，a,b,c為AAFC的

啊I2JJ

三個內角A,B,C所對的邊）.若反osC+8053=4,b=5,且當空平=3,則利用“三斜求積”公式

smA

可得AABC的面積S=（）

A.26B.4^/6C.6y［6D.876

22

H.已知雙曲線C：1-與=1（。>0,6>0）的右焦點為R過點尸作垂直于x軸的直線/,M,N分別是/與

ab

雙曲線。及其漸近線在第一象限內的交點.若又是線段尸N的中點，則。的漸近線方程為（）

亞

A.y=±xB.y=±—x

2

C.y=±^-xD.y=±^-x

35

12.已知〃=51110.5,/?=3嗎。=108030.5,則。，瓦c的大小關系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

第二部分（非選擇題共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

X-4y-3<0

13.已矢口實數羽y滿足2x+3y—6W0,貝！Jz=4x+3y的最小值為.

3x-y+2>0

14.設0<e<],向量方=（sin2e,cos。），B=（cose,l）,若M//5，貝八皿9=.

15.已知圓錐SO1的軸截面81B為正三角形，球。2與圓錐5。1的底面和側面都相切.設圓錐S。1的體積、表面

積分別為匕百，球。2的體積、表面積分別為％，邑，則券W=.

16.拋物線y2=4x的焦點凡點A,8在拋物線上，且=弦48的中點〃在準線上的射影為N,

則W\MN\的最大值為________-

IAB\

三、解答題：共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.第17~21題為必考題，每個試題

考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據要求作答。

（-）必考題：共60分.

17.（12分）第19屆亞運會將于2023年9月23日在我國杭州舉行，這是繼北京亞運會后，我國第二次舉

辦這一亞洲最大的體育盛會.為迎接這一體育盛會，浙江某大學舉辦了一次主題為“喜迎杭州亞運，講好

浙江故事”的知識競賽，并從所有參賽大學生中隨機抽取了100人，統計他們的競賽成績（滿分100分,

每名參賽大學生至少得60分），并將成績分成4組：[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]（W：分）,

得到如下的頻率分布直方圖.

頻率/組距

（1）試用樣本估計總體的思想，估計這次競賽中參賽大學生成績的平均數及中位數；（同一組數據用該組

數據的區間中點值作代表）

（2）現將競賽成績不低于90分的學生稱為“亞運達人”，成績低于90分的學生稱為“非亞運達人”.這100

名參賽大學生的情況統計如下.

亞運達人非亞運達人總計

男生153045

女生55055

判斷是否有99.5%的把握認為能否獲得“亞運達人”稱號與性別有關.

n^ad—bc^

附:K2(其中〃=a+Z?+c+d).

(〃+/?)"+d)(〃+c)伍+d)

pg%)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（12分）已知數列｛%｝是公差d不為零的等差數列，其前〃項和為S“，若。2,小成等比數列，且S4=20.

⑴求數列｛%｝的通項公式;

.111

(2)記(=---+----+,,,+-----，求證：

4出a2a3

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面平面底面ABC。為等腰梯形,

AB//CD,且AB=2CD=2AD=2.

DC

(1)證明：平面PAC_L平面BBC；

(2)若點A到平面PBC的距離為也，求四棱錐尸-ABC。的體積.

2

20.(12分)已知〃x)=(2x+l)lnx-5，曲線在》=1處的切線方程為'=依+》?

(1)求。,匕；

(2)證明f(x)<ax+b.

21.(12分)已知雙曲線C:，■-，=l(“>0,b>0)的右焦點尸(2,0),離心率為半，過JF的直線4交C于點A,B

兩點，過下與4垂直的直線4交C于9E兩點.

(1)當直線4的傾斜角為巳時，求由A民2E四點圍成的四邊形的面積；

(2)直線妝+3分別交//于點M,N,若M為AB的中點，證明：N為的中點.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做。則按所做的第一題記分.

._fx=l+2coscr

22.(10分)在平面直角坐標系xQy中，曲線。的參數方程為).(。為參數).以坐標原點為極

[y=2sma

點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為0sin[e-5)=呼.

(1)求C的普通方程和/的直角坐標方程；

(2)設直線/與x軸相交于點A,動點8在C上，點M滿足痂=麗，點/的軌跡為E,試判斷曲線C

與曲線E是否有公共點.若有公共點，求出其直角坐標；若沒有公共點，請說明理由.

23.(10分)已知a,b,c均為正數，且a+b+c=3.

1a

⑴是否存在。，b,c,使得一+—￡(0,5),說明理由；

ab+c

(2)TIE明,—3+〃+(3+b+:3+cW6

數學（文科）?參考答案

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求

的。

123456789101112

BBCAACDBBBCB

第二部分（非選擇題共90分）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-714.-/0.515.116.B

23

三、解答題：共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.第17~21題為必考題，每個試題

考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據要求作答。

（-）必考題：共60分.

17.（12分）

【詳解】（1）=65x0.015x10+75x0.030x10+85x0.035x10+95x0.020x10=81,

由10x0.15+10x0.30=0.45,10x0.15+10x0.30+10x0.35=0.8>0.5,

故中位數位于［80,90）,設中位數為y,則有去胃=?:一解得了“81.43,

90-800.8-0.45

即平均數無=81,中位數y=81.43；

100(15x50-30x5)2

(2)=--9.091>7.879-

45x55x20x8011

故有99.5%的把握認為能否獲得“亞運達人”稱號與性別有關.

18.（12分）

【詳解】（1）因為的,%，%成等比數列，且邑=20,

所以=(4+1)(％+7")1=2

由dw0,解得

4。］+6J=20d=2

所以4=ax+{n-V)d=2n.

(2)i—=^|-=…〃),

ataM411771

1

/曰TI1111、1“1、

得+門…+不—1)=*/，

由“eN*，有々＞0,所以1一一二＜1,得雹=1(1一一

H+1n+14(n+1)4

19.(12分)

【詳解】(1)在等腰梯形ABCD中，因為AB=2CD=2AD=2,

所以ZADC=NBCD=120。，ZDAB=ZABC=60°,

所以/C4B=30。，所以NACB=9(T,AC，3c.

因為平面尸AB平面ABCD,平面PABc平面ABCD=AB,PA1.AB,PA(^平面PAB,

所以PAL平面A3CD.

又3Cu平面ABCD,所以PA_L3C.

又尸AcAC=A,PA,ACu平面PAC,所以3C，平面PAC.

又BCu平面BBC,所以平面PAC_L平面BBC.

(2)如圖，過點A作AELPC于點E,由(1)可知平面R4CL平面P8C,

又平面PACfl平面尸3。=尸。,鉆(=平面尸47,所以平面PBC,故AE=@.

2

在AWC中，ZADC=120°,AD=DC=\,所以AC=g.

在RSACE中，AE=-,AC=^,所以NACE=3O。.

2

XPA1AC,tanZACP=—=^,所以上4=1,即四棱錐P-ABCD的高為1.

AC3

由題意知，梯形ABC。的高為YL所以梯形45。9的面積為Lx(l+2)x，i=±8,

所以四棱錐尸-ASCD的體積為1x&Gxl=3.

344

20.(12分)

丫211

【詳解】(1)由〃x)=(2x+l)lrLx—■—/'(%)=21nx+(2x+l)x=21nx-x+—+2,

則廣⑴=2,所以曲線〃力在點x=l處的切線斜率為左=2,

又因為"l)=-g,所以切線方程為：y+|=2(x-l),即y=2x-|.

所以a=2,b=—1.

(2)要證明辦+b,只要證(2x+l)lnx-—2]+gWO,

2

r5i

設g(x)=(2x+l)hix-------2%+—,則g，(x)=21IIXH-------x,

22%

4/z(x)=21nx+--x,則〃'(x)=21]二—(I)W0，

XXXX

所以網力在(o,+e)上單調遞減，又〃⑴=0,

所以當xe(o,l)時,〃⑺>0,則g(x)在(0,1)上單調遞增，

當xe(l,+e)時，g)<0,則g(x)在(1,+8)上單調遞減,

所以g(x)?g(l)=0,所以〃x)<or+6.

21.(12分)

【詳解】（1）由題意知￡==2「.〃=—"2=4—3=1,

a3

所以C的方程為:-丁=1

???直線4的傾斜角為：，過點尸（2,0”.直線《的方程為y=x-2

X2

設4（再,乂）,_8（%2，%），聯立V3'2=1

y=x-2

%=6

得2/一12X+15=0「.<15

無1%2二萬

2

/.|AB\=A/1+k卜-兀21=>/2?J(X]+%2『一4再馬=2^3

r~

???4與k互相垂直，4的傾斜角為彳.,?由對稱性可知\ED\=\AB\=2V3

（2）方法一：由題意可知44的斜率存在且不為。，設/"的方程分別為〉=匕（》-2）?=&（廠2）由44互

相垂直可得上他=-1①

y=k,（x-i\_3-2kxm②

聯立"+3…E

y=k（x-i）

聯立x

x1-~3y2=3

1r\72

整理得（1一3腎）尤2+12Kx-3（4形+1）=0,；.xA+xB=—

1—3K

?.?M是AB的中點，為=五芋二苫?③

21一3勺

,3—"lk,Tn—6k；31—k；

由②③ZB得丁丁=匚宓’即"=5.丁④

尸&"一2）得/=色皿⑤

同理聯立

x=my+31-k2m

由①④⑤得

_6左一6K。_\；）_6勺-6《+6（：右_6k°_6kl__6%

“一2k「3k正巧）-2K-3勾+3匕%—3.+匕-3k一「3公⑥

-b

y=fc,（x-2）

聯立

尤2-3丁=3'

/\\_]2左2

得（1一34）％2+126%—3（46+l）=0,...％o+%E=p^^

_6k2

取DE中點V,所以卬=1需⑦

15k2

由⑥⑦得N'與N重合，即N是DE中點.

方法二：由題意可知44的斜率存在且不為0,設乙4的方程分別為x=rj+2,x=sv+2

由4,互相垂直可得區=T

設A,8的坐標分別為（為,%）,（彳2，%）

尤=4y+2

聯立

爐-3y2=3'

得任一3）/+布/+1=0,又?.?4一+%=^7

_y,+%It,

?.,M是AB的中點；?%/=~2^=J~P

=+2=

'62t2）

整理可得的/汨中點N'、3-名3-?2j

又?.?直線/：x=沖+3恒過定點//（3,0）,

3—3/；-2%

同理麗=

3]-3-2八3_3.2￡―243%2_3+3_3,）

3-彳3彳-13Z12—13—Z,2（3_/：乂3彳_1）

:.HM〃加，三點共線

所以。E的中點N'在/上，又DE上的點N在/上

所以N'與N重合，即N是DE中點

方法三：由題意可知44的斜率存在且不為。，設44的方程分別為，=尢（彳-2）,尸治（彳-2）

由4,4互相垂直可得％能=-1①

、

y=勺（x-2）3—2kMh7k\_

聯立得M‘所以。"=藪礪②

x=my+3l-km91—km

}x7

W=i

設A,8的坐標分別為（%,刈,（孫必），代入C得，

兩式相減得

變形為21產?止匹=:，即自材/廣;③

玉+工2玉_入233

?=!，即"2=].?!-④

由②③得

3-2klm32勺

?=以”一2）得N3-2k2mk|

同理聯立2

x=my+31-k2m'1-k2mj，

所以BN=藪1⑤

_k2_1kxk2_1

由①④⑤得°N=32k31一片=3-2（i：）=亞，

2k1

所以七

取DE中點N',同理可證自M?網=g⑦

由⑥⑦得％卯="加.

結合N,N'均在直線4上，所以N'與N重合，即N是DE中點.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做。則按所做的第一題記分.

22.(10分)

【詳解】(1)由題設曲線C的參數方程，消參得(無一17+丁=4,

由尤=/?cos6,y=/?sin。，且/?sin^-^=^-(/?sin6,-/?cos6,)=W1,￡y_gx=當，化簡得

x-y+3=0,

，C的普通方程為(％-1)?+丁=4,/直角坐標方程為工-y+3=0.

(2)當y=。時，x=-3nA(-3,0),易知3(l+2cos〃,2sina),設

,?/\——?/\------——?fx+3=2COS6Z-X+1fx=COS6Z-l一

可得AA/=(x+3,y),M