方差分析(ANOVA)

（analysisofvariance)t、Z檢驗方差分析

統計分析目的一、方差分析的基本思想

變異的分解：即將總變異按設計類型不同，分解成兩個或者多個組成部分，然后將各部分的變異與隨機誤差進行比較，以判斷各部分的變異是否具有統計學意義。例9.1為研究大豆對缺鐵性貧血的恢復作用，某研究者進行了如下實驗：選取已做成貧血模型的大鼠36只，隨機等分為3組，每組12只，分別用三種不同的飼料喂養：不含大豆的普通飼料、含10%大豆飼料和含15%大豆飼料。喂養一周后，測定大鼠紅細胞數(×1012/L)，試分析喂養三種不同飼料的大鼠貧血恢復情況是否不同？

總變異

全部試驗數據大小不等，這種變異稱為總變異，其大小可用觀察值與總均數的離均差平方和表示，記為SS總

x

：表示每一個個體的觀察值(j=1，2，

…，ni)。

：總均值

組內變異處理組內個體變異和測量誤差，每個處理組內觀察值之間的差異，其大小可用各處理組內部每個觀察值與組均數的離均差平方和表示，記為SS組內。

來自不同總體的樣本均數間存在差異的原因有以下兩個方面：

隨機因素引起的差異抽樣誤差、測量誤差

處理因素引起的差異樣本所屬總體的均數存在實質性差異

問題：是如何排除隨機因素的干擾，利用樣本信息對總體均數間是否存在差異作出推斷。

組間變異

不同處理組樣本均數之間的差異稱為組間變異。其大小其大小可用各組均數與總均數的離均差平方和表示，記為SS組間：第i組的均值

ni

：第i組的樣本含量為ni

引起組間變異的原因:

一方面是隨機誤差（個體變異和測量誤差），另一方面是各組總體均數之間存在差異。變異的分解①總變異

②組間變異

③組內變異

三種變異的關系：線性可加性

如果各樣本均數來自同一總體，即各組之間無差別，則組間變異與組內變異均只反映隨機誤差。如果無隨機誤差，則：MS組間=MS組內

這時若計算組間均方與組內均方的比值：

F=MS組間／MS組內

F值應接近于1

反之，若各樣本均數不是來自同一總體，組間變異應較大，F>1。那么，要大到多大程度才有統計學意義呢？

本世紀20年代英國著名統計學家R.A.Fisher推導出在無效假設H0成立的情況下，統計量F的分布規律，1934年G.W.Snedecor以Fisher的名字命名這一分布，稱為F分布，通過查F界值表，即可得P值，按P值大小作出推斷結論，故方差分析又稱為F檢驗。

根據資料的設計類型，即變異的不同來源將全部觀察值總變異分解為兩個或多個部分。分別將各部分的變異與隨機誤差進行比較，通過F值以及相應的P值來判斷均數間的差別是否具有統計學意義。方差分析的基本思想SS總MS組間SS誤差SS組間MS誤差方差分析的應用條件：各樣本來自正態總體；方差齊性；獨立性；

方差分析用途：多個樣本均數比較成組設計的單因素方差分析

隨機區組設計的兩因素方差分析

二、完全隨機設計(成組設計)的方差分析單因素方差分析(One-WayANOVA)完全隨機設計對照組受試對象實驗組1隨機化原則實驗組n。。。單因素方差分析

各組平均值之間的差別是否具有統計學意義，這種多個樣本均數的比較可用單因素方差分析。

完全隨機設計方差分析的計算按照表

例9.1為研究大豆對缺鐵性貧血的恢復作用，某研究者進行了如下實驗：選取已做成貧血模型的大鼠36只，隨機等分為3組，每組12只，分別用三種不同的飼料喂養：不含大豆的普通飼料、含10%大豆飼料和含15%大豆飼料。喂養一周后，測定大鼠紅細胞數(×1012/L)，試分析喂養三種不同飼料的大鼠貧血恢復情況是否不同？

建立檢驗假設H0：(喂養三種不同飼料的大鼠紅細胞數相同

)H1：

喂養三種不同飼料的大鼠紅細胞數不全相同

=0.05(2)計算檢驗統計量F(3)確定P值，作出推斷結論

按=2，=33查附表11，方差分析用F界值表，得，P<0.01，按=0.05水準拒絕H0，接受H1，可以認為喂養三種不同飼料的大鼠紅細胞數的總體均數不全相同。

。

以上結論表明，總的來說三種不同飼料的大鼠紅細胞數的總體均數有差別，但不能認為任何兩組紅細胞數的總體均數有差別，只能說可能至少有紅細胞數的總體均數有差別。如果需要進一步明確哪些組均數間有差別，哪些組均數間沒有差別，還需要作均數間的兩兩比較。Question:當隨機對照只有兩組時，我們以前是用成組t檢驗，這時能用方差分析嗎？計量F與t檢驗所得統計量t

有如下關系：F=t2三、隨機區組設計(配伍組設計)的兩因素方差分析(Two-WayANOVA)

將全部受試對象按某種或某些特征分為若干個區組(block)或稱配伍組，使每個區組內研究對象的特征盡可能相近。每個區組內的觀察對象與研究因素的水平數相等。分別使每個區組內的觀察對象隨機地接受研究因素某一水平的處理。

配伍組設計：概念：將條件相同或者相近實驗對象配成一組是配對的擴大。

優點：是每個區組內的k個實驗單位有較好的均衡性，比完全隨機設計更容易覺察到處理間的差別。

例9.2利用隨機區組設計研究不同溫度對家兔血糖濃度的影響，某研究者進行了如下實驗：將24只家兔按窩別配成6個區組，每組4只，分別隨機分配到溫度15℃、20℃、25℃、30℃的4個處理組中，測量家兔的血糖濃度值(mmol/L)，結果如下表9.4所示，分析4種溫度下測量家兔的血糖濃度值是否不同？

隨機區組設計(randomizedblockdesign)可以考察兩個因素的作用。因素A稱為處理因素因素B稱為區組因素--是可能對實驗效應產生影響的主要非處理因素。

SS總MS組間SS配伍間SS誤差SS組間MS配伍間MS誤差變異的分解

隨機區組設計方差分析的計算表

（1）建立檢驗假設H0：4個總體均數全相等，即4種溫度下家兔血糖濃度值相同

H1：4個總體均數不全相等，即4種溫度下家兔血糖濃度值不等或不全相等

=0.05H0：6個總體均數全相等，即不同窩別家兔血糖濃度相同

H1：6個總體均數不全相等，即不同窩別家兔血糖濃度不全相同

=0.05(2)計算檢驗統計量

(3)確定P值，作出推斷結論

在隨機區組設計的方差分析時，研究者感興趣的是研究因素。但是區組效應是否有統計學意義也是相當重要，它表明了區組劃分是否成功。

當設計方案配對設計時，隨機區組設計方差分析所算得處理因素統計量F與配對t檢驗所得統計量t

有如下關系：

F=t2小結完全隨機設計方差分析

SS總=SS組間+SS組內隨機區組設計方差分析

SS總=SS誤差+SS處理+SS區組四、多個樣本均數的兩兩比較

方差分析結果：各組均數間差別的總的信息。是否表示任意兩個均數之間有差別？欲了解具體哪兩個總體均數有差別--t檢驗？

由于涉及的對比組數大于2，此時，若仍用t檢驗對各種組合下的兩兩均數之間進行假設檢驗，則會增大第一類錯誤的概率，即可能把本來無差別的兩個總體均數判為有差別。因此，多重比較時不宜再用前述ｔ檢驗分別作兩兩比較。

見教材P99模擬實驗

四、多個樣本均數的兩兩比較多個樣本均數間的兩兩比較多個均數間的多重比較SNK-q檢驗用于多樣本均數間每兩個均數的比較Dunnett-t檢驗用于對照組與各處理組的比較多個均數間的多重比較(multiplecomparison)

1.SNK-q檢驗用于多樣本均數間每兩個均數的比較

例9.3

對例9.1中若要了解具體哪兩個總體均數不等則需進一步作兩兩比較。將三組樣本均數從大到小排列，并編上組次：組次

123

均數

7.305.52

4.38

組別

15%大豆飼料10%大豆飼料普通飼料

2.Dunnett-t檢驗：用于對照組與各處理組的比較

按算得的t值，以及誤差自由度ν誤差和檢驗水準

查t界值表，作出推斷結論。

例9.4對例9.2資料，問20℃、25℃和30℃(均為實驗組)分別與15℃(對照組)的總體均數是否不同？

研究不同劑量補鈣對絕經期婦女骨密度的影響是否不同？某研究者將28名絕經期婦女按照初始骨