熱點題型?選填題攻略

專題01集合與常用邏輯用語、不等式

o-----------題型歸納?定方向-----------?

目錄

01根據元素與集合的關系求參數............................................................1

02根據集合中元素個數求參數..............................................................2

03根據集合的包含關系求參數..............................................................2

04集合中新定義題.........................................................................3

05根據充分性（必要性）求參數.............................................................4

06根據命題的真假求參數...................................................................5

07配湊法..................................................................................6

題

08“1”的妙用............................................................................7

09消元法.................................................................................7

10換元法.................................................................................8

題型探析?明規律<>

題型01根據元素與集合的關系求參數

【解題規律?提分快招】

715-元素寫集吾的兩種奚縈「屬子「定為一丁「示麗7定為E二

（2）求解后，注意檢驗集合是否滿足元素的互異性。

2r-5

【典例1-1］（24-25高一上?上海,階段練習）已知關于工的不等式告上41的解集為若3任〃，則實數

x-a

。的取值范圍是.

【典例1-2］（24-25高一上?安徽亳州?階段練習）己知數集A滿足條件：當ae/時，若也eA,

l-a

則A中所有元素組成的集合是.

X—1

【變式1-1］（24-25高一上?江西南昌?階段練習）已知非空數集T滿足：任意的則一-er,若集合

x+1

T中含有4個元素，則這四個元素之積為（）

A.-2B.-1

C.1D.2

【變式1-2］（24-25高一上?山東?期中）設集合"=12,3,1-3a,a+2+7］,N={a-1,3},已知4cM且

4eN,則。的取值集合為.

【變式1-3］（24-25高一上?重慶?階段練習）已知集合河=xZ^<0,若3g則實數洸的取值范

x-m

圍是.

題型02根據集合中元素個數求參數

【解題規律?提分快招】

丁塞菽22元三次萬瓦間藏―示等式皈踴荷前一

（2）求解后，注意檢驗集合是否滿足元素的互異性。

【典例1-1］（24-25高一上?四川達州?期中）如果集合/=卜|加/-4x+2=0）中只有一個元素，則實數加

的值為（）

A.1B.2C.0或2D.1或2

【典例1-2］（24-25高一上?上海?階段練習）設左eR,已知集合卜卜,-4）="恰有四個非零元素,

且它們在數軸上等距排列，貝雅=.

【變式1-1］（24-25高一上?廣東汕頭?階段練習）若集合/=?-2）尤2+2蛆-1=0卜恰有兩個子集，則實

數"7的值是（）

A.一2或1B.2或1C.-2D.±2或1

【變式1-2］（23-24高一上?安徽銅陵?階段練習）若集合卜|加工2+2X-1=（）}有且僅有2個子集，則滿足條件

的實數m組成的集合是（）

A.{-1}B.{-1,0}C.{"?|加4-1或機=0}D.<-1}

【變式1-3］（24-25高一上■全國■課后作業）若{6}=舊辦2-4x+l=o}（a,6eR）,則a+6等于（）

題型03根據集合的包含關系求參數

【解題規律?提分快招】

（1）oAC\B=A

（2）A^BA\JB=B

(3)A(^BoCVBcCVA

(4)此類題目需特別注意力&B,需討論/=0

【典例1-1](24-25高一上?北京順義階段練習)設集合/=卜b-8x+15=oj,集合8=口|辦-l=o1,若

8門4=8,則實數。取值集合的真子集的個數為()

A.2B.3C.7D.8

【典例1-2](24-25高一上?四川成都?階段練習)已知集合

A=^x\x?+x-240},B={x\2a-l<x<a+l}(aeR).若/U8=N,實數a的取值范圍為.

【變式1-1](24-25高三上?江蘇?階段練習)已知集合加=例--2苫-3<0}川=忖/-。<0},若集合

McN=N,則實數。的取值范圍是()

A.(-oo,l]B.(-℃),9]C.[1,9]D,[1,3]

【變式1-2](24-25高一上?云南昭通階段練習)已知集合"=>&+；=()1,N={x|Y-4=0},若

MjN,則左的值不可能為()

1一

A.——BCD.0

4-I

【變式1-3](24-25高一上?遼寧大連?階段練習)設集合/=<0,集合2=區x2+2x+m<0}.若

A^B,則實數加的取值范圍為

題型04集合中新定義題

【解題規律?提分快招】

一(T)一集杳印的薪是運妻縮是二不薪的概念「確念至乎友薪的運算法則

(2)解題時要牢固把握題目給定的定義

I觀麗工行-724125福三王元泰麗河1裝藁百飛三丁:下三甘:工了不至詬而不元素廠直3了病

足：①對于任意x,yeS,若xwy,都有孫eT；②對于任意x/e7,若x<y,則^eS；則集合S可以

X

是()

(1)5={1,2,3}(2)5={1,2,4)(3)5={1,2,4,8}(4)$={2,4,8,16}

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)

【典例1-2](24-25高一上?北京?階段練習)給定數集A,對于任意a/e/,有。+6eN且。-6e/,則稱

集合A為閉集合.則以下結論中，錯誤的命題是

①集合N=｛-4,-2,0,2,4｝為閉集合

②集合/=｛巾=3左左eZ｝為閉集合

③若集合4,4為閉集合，則4為閉集合

④若集合4,4為閉集合，且4uR,4=R,則存在ceR,使得。任（4口均）

【變式1-1］（24-25高一上?上海?期中）已知有限集4=｛“1，勺,…,%｝（心2）,如果A中的元素%（i=l,2,3,…川

滿足為+&+…+%…，就稱A為"封閉集”.給出下列結論：

（1）集合｛三學，三四｝是“封閉集”

（2）若％,/eR,且｛%,“J是"封閉集"，貝！|%電＞4

⑶若%,%為正整數，則｛%，4｝不可能是"封閉集"

⑷若《是正整數，則"封閉集"A有且只有一個，且"=3.其中正確的命題個數是（）.

A.1B.2C.3D.4

【變式1-2］（24-25高三上?北京海淀?開學考試）設集合M=｛（x-工4）|”｛0,1｝4=1,2,3,4｝.對于集合M

的子集若任取/中兩個不同元素（乂,%，%，%），（4/2/3,zj,有%+%+%+%=Z］+Z2+Z3+Z4，且

乂+Z1J2+Z2,%+z”居+Z”中有且只有一個為2,則稱A是一個“好子集".下列結論正確的是（）

A.一個“好子集"中最多有3個元素B.一個“好子集"中最多有4個元素

C.一個“好子集"中最多有6個元素D.一個“好子集"中最多有8個元素

【變式1-3］（23-24高三上?北京朝陽?階段練習）已知全集。=｛（蒼田］》€2/€0,非空集合S=U.若在平

面直角坐標系xOy中，對S中的任意點尸，與尸關于x軸、丁軸以及直線N=x對稱的點也均在S中，則以

下命題：

①若（l,3）eS,貝-3）eS；

②若（O,4）eS,則S中至少有8個元素；

③若（0,0）eS,則S中元素的個數可以為奇數

④若｛（x,y）｛x+y=4｝uS,則｛（”）|國+3=4｝=S

其中正確命題的序號為.

題型05根據充分性（必要性）求參數

【解題規律?提分快招】

7口一碧萬三7「加萬息7的蘢芬豕庫莫萬的訪萋豕徉;

（2）若夕nq且q分夕，則夕是4的充分不必要條件；

（3）若）分4且1二夕，則夕是4的必要不充分條件；

（4）若P=q,則夕是4的充要條件；

（5）若夕》4且9分夕，則夕是1的既不充分也不必要條件.

一1真椀工行~（五萬5一高二E褊建不俺V"不號式一/二2晟;1；0一在胃王宿成五二而無萋豕柞是一廠一5…

A.0<a<1B.0<a<1

C.a>\D.a<0或a>l

【典例1-2]（23-24高一上?安徽?階段練習）已知〃：龍2-4x+3<0,g:（加-彳）。-4小）>0,其中加>0.若q是

p的必要不充分條件，則實數機的取值范圍為

【變式1-11（24-25高一上,甘肅慶陽?階段練習）集合4={刈/+（a+2）x+2a<0},8={x|/+2x-3<0},

若"xe/"是"xeB”的充分不必要條件，則實數。的取值范圍是（）

A.{a|-1<a<3）B.{a|-1<a<2）C.{a12<a<31D,{a|a>2）

【變式1-2]（23-24高一上?北京?階段練習）已知[x]表示不大于x的最大整數，A={y\y=x-[x]},

8="|0WyW機},若ye/是ye2的充分不必要條件，則加的取值范圍是.

【變式1-3]（24-25高一上?江蘇淮安?階段練習）若不等式x2+（l-fl）|x|-fl<0的一個充分條件為0<x<1,

則實數。的取值范圍是

題型06根據命題的真假求參數

【解題規律?提分快招】

…（T）-若是在瓦面TE的三次示等查前機選屋法;

（2）若是在區間[凡切上的不等式問題可優選變量分離法。

iii1-11（24-25高一王.江茜王棕麻市）百加命題"VxeR02+4x-l<0”是瓦命題，如實藪。的正宿

范圍是（）

A.（-oo,-4）B.（一<?,4）C.[-4,+oo）D.[4,+8）

【典例1-2]（24-25高三上?北京?開學考試）已知函數〃m=2分-辦-1,aeR.若命題"VxeR,不等式

/'5卜。恒成立"是假命題，則實數。的取值范圍_______.

【變式1-1]（24-25高一上?江蘇南通?期中）若命題"Vxe[3,6],不等式x+1-后>0恒成立"是真命

題，則實數人的取值范圍是（）

A.（-8,2）B.（-co,7）C.（2,7）D.（7,+8）

【變式1-2](24-25高一上?山西?期中)若命題"Vxe[l,4],x?-6x-aW0"為假命題，則。的取值范圍是

()

A.[-5,+oo)B.(-5,+co)

C.(-co,-5)D.(-co,-5]

【變式1-3](24-25高一上?北京?階段練習)若對正€凡仆2-2如+3>0恒成立是真命題，則實數。的取值范

圍是_____

題型07配湊法

【解題規律?提分快招】

(1)形如：X+—L型，可配湊為：(X-。)+—吐+。

x-ax-a

(2)形如：1x(b-ax)型,可配湊為：-j=ax(b-ax)

(3)已知x+V=。，求(％-3y型，可將已知條件配湊為：(x-b)^y=a-b

21

【典例1-1](24-25高一上?山東濟寧?期中)已知〃>-l,b>0,a+2b-1=0,則一;+不的最小值為()

Q+1b

A.1B.2C.3D.4

【典例1-2】(2025高三?全國?專題練習)(1)已知0<x<U，則Jx(5-4x)的最大值為.

(2)當x<彳時，則函數y=x+^~的最大值為____.

22x-3

(3)函數=)1；4a>1)的最小值為.

一31

【變式1-1](24-25高一上?福建莆田?期中)已知、<彳，貝叮—^+2x-1的最大值____.

22x-3

【變式1-2](24-25高一上?全國?課后作業)回答下面兩題

(1)已知X<[,求4X-2+：二的最大值.

44x-5

3

⑵設0<x<：,求4x(3-2x)的最大值.

題型08“1”的妙用

【解題規律?提分快招】

，、「ab

（1）已知：mx+ny=t,求一H■一

ab

（2）已知一+一=%,^mx+ny

xy

.._--

【典例1-1]（23-24高一上?北京）已知實數%,y滿足x>0,歹>0,且一+—=1,則x+3歹的最小值為

xy

（）

A.8B.10C.12D.14

14

【典例1-21（24-25高二上?貴州貴陽?期中）若x>y>0,且——+下廠=3,設公"九則看的最小值

x-yx+2y

為.

41

【變式1-1]（24-25高一上?廣東廣州,期末）若存在正實數x,y滿足一+—=1,且使不等式x+v：<疝-3〃?

yx4

有解，則實數加的取值范圍是（）

A.（-4,1）B.（-1,4）C.（-8,-4）口（1,+8）D.（田,一DU（4,+s）

【變式1-2]（24-25高一上?新疆?階段練習）已知x>0,y>0,B.4x+y=xy,若x+.v>加？+8加恒成立,

則實數加的取值范圍為（）

A.mB.\m\m<-3jC.\m\m>ijD.{機卜9（加<1}

【變式1-3]（24-25高三上?天津濱海新）已知正實數。，6滿足“+b=l,則￡±1+0的最小值為一

ab

題型09消元法

【解題規律?提分快招】

府巨疝蔡侔申的二不季每再勇二不至每表示；商帶入1標函藪審

【靛例1-1]（24-25高一上?海南省直轄縣級單位?期中）已知a>0,b>0,6+4a-a優+=貝l]a+Z）

的最小值為（）

A.11B.10C.9D.8

【典例1-2］（24-25高一上?山東荷澤?階段練習）若一］+工=:則浦+。+6的最小值為______

。+1b+23

【變_式1-1］（24-25高一上?四川攀枝花?階段練習）已知。>0,b>0,且±1+2：=1,則2一17的最小

aba-1b-2

值為（）

A.2B.C.逑D.1+—

24

【變式1-2］（24-25高一上?廣東廣州?階段練習）若實數x,y滿足2/—6x+r=0,貝|/+2x+l的最

大值是.

【變式1-3］（24-25高一上,四川達州?階段練習）已知正實數。、b滿足±1+三2=2,則^3一「4的最小值

ab2ab-\

為.

題型10換元法

【解題規律?提分快招】

qp

（1）形如」一+丁匕型，則可以通過換元分母，再利用“1”的代換來求解

ax+mby+n

八-X+Q

（2）分式型形如：——;----

x+bx+c

【典例1-1］（24-25高一上?浙江溫州?期中）已知％,y均為正實數，且％+2>=2.則」7+丁，的最小值

x+12歹+1

為（）

A.1B.2C.3D.4

Y—1

【典例1-2］（24-25高一上?廣東汕頭?階段練習）二：4；+71>1）的最大值為-

【變式1-1］（24-25高一上?福建三明?階段練習）設正數6滿足2a+b=l,則產1+工的最小值為

2-2。2-b

（）

A.272-2B.-1+|V2C.272+2D.-1-|V2

1?

【變式1-2］（24-25高一上?重慶,期中）已知實數。>0*>0,滿足。+26=4,則一；+二二的最小值是

a+\b+2

（）

A.1B.yC.1D.2

【變式1-3］（24-25高一上?上海浦東新?階段練習）函數/（x）=Y；：；+3的值域為

題型11齊次化求最值

【解題規律?提分快招】

二初I加卡「與五務字百懿看;21了「反厚「褊左笄誦「貝而以廟函與石每面底￡一廟冠字至熹函］

來轉化計算求解!

【典例1-1】（2024?山西運城?二模）若a,b,c均為正實數，則22的最大值為（）

a+2b+c

A.yB.；C.—D.必

2422

【典例1-2］（24-25高三上?重慶沙坪壩?階段練習）已知對任意正實數x,V,恒有

x2+y2^a（x2-xy+y2）,則實數a的最小值是.

【變式1-1］（24-25高三上?河南?階段練習）已知a>6>0,則的最小值為_____.

ab-b

【變式1-2］（24-25高一上?江蘇揚州）不等式ax2+6x+cV0的解集為R,則的最大值為_________.

a~+2c2

o-----------題型通關?沖高考------------?>

一、單選題

1.（2024?山東濟南?二模）已知集合卜|卜-*（1）=0}的元素之和為1,則實數。所有取值的集合為

（）

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1}

2.（山東省百校大聯考2024-2025學年高三上學期12月學情診斷數學試題）已知N=

B={x\?x+l=0},若=則實數。的取值構成的集合是（）

A.{-1,2}B.{-2,1}C.{-2,0,1}D.{-1,0,2）

3.（24-25高一上?天津?階段練習）若集合尸={M3<x422},非空集合0={x|2a+14x<3a-5},則能使

0=（Pc0）成立的所有實數a的取值范圍為（）

A.l<a<9B.a<9

C.6<a<9D.6<a<9

4.（2024高三?全國?專題練習）命題：士eR,-ax-2>0為假命題的一個充分不必要條件是（）

A.（-<?,-8]U[0,+C?）B.（-8,0）C.（一8,0]D.[-8,0]

5.（24-25高一上?福建福州?期中）甲、乙、丙、丁四位同學在玩一個猜數字游戲，甲、乙、丙共同寫出三

個集合：A={x|0<Ax<2},5={x|-3<x<5},C={x|x（3x-2）<0},然后他們三人各用一句話來正確描述

表示的數字，并讓丁同學猜出該數字，以下是甲、乙、丙三位同學的描述，甲：此數為小于5的正整

數；乙：》€8是天€/的必要不充分條件；丙：xeC是xe/的充分不必要條件.則"△"表示的數字是

（）

A.1或2B.2或3C.3或4D.1或3

6.（24-25高三上?遼寧?期中）已知集合么=卜|x?-（機？+2機一1卜+2加3-%24。},集合

2=若xeB是xe/的必要不充分條件，則實數小的取值范圍為（）

A.[-2,2]B.（-2,2]

C.[—2,2）D.（—2,2）

7.（24-25高一上?江西南昌?期中）命題〃VX￡{H-2?%V1},一一。40〃為真命題的一個必要不充分條件是

（）

A.a>3B.a<4

C.a>4D.a=6

8.（24-25高一上?天津?階段練習）已知命題。："上€氏4_2辦-420"為假命題，命題〃的必要不充分條

件是（）

A.a<-4B.—4vQv0

C.-4<6Z<0D.-4<^Z<0

y1

9.（24-25高三上?天津?期中）若實數x>0,>>0,且工+3歹=1,則二一+丁的最小值為（）

x+y4y

13

A.-B.1C.-D.2

22

10.（24-25高一上?江西宜春?階段練習）已知x>l,則匚好心的最小值是（）