專題02高一上期末真題精選（壓軸58題18類壓軸專練）

型人余合

__......__

壓軸01：集合及其運算中的新定義題A壓軸10：雙變量函數值不等問題

＞壓軸02：一元二次不等式中的恒成立問＞壓軸11：指數（對數）型復合函數中的

題零點問題

＞壓軸03：一元二次不等式中的能成立問＞壓軸12：指數（對數）型復合函數中的

題恒成立問題

＞壓軸04：二次函數的最值問題（動軸定＞壓軸13：指數（對數）型復合函數中的

范圍）能成立問題

＞壓軸05：二次函數的最值問題（定軸動＞壓軸14：指數（對數）型復合函數中的

范圍）恒成立問題

＞壓軸06：根據函數單調性與奇偶性解不＞壓軸15：三角函數中的零點問題

等式（小題）＞壓軸16：三角函數中的恒成立問題

＞壓軸07：根據函數單調性與奇偶性解不＞壓軸17：三角函數中的存在性問題

等式（大題，含指數，對數型復合函＞壓軸18：三角函數中的新定義問題

數，三角函數）

＞壓軸08：根據函數單調性與奇偶性解不

等式（抽象函數）

＞壓軸09：雙變量函數值相等問題

驗型大通關

______

壓軸01集合及其運算中的新定義題（共5小題）

1.（22-23高一上?北京昌平?期末）已知集合AB都是N*的子集，中都至少含有兩個元素，且A8滿

足：

①對于任意x，yeA,若xwy,則稱e8；

②對于任意羽yeB,若x<y,則

X

若A中含有4個元素，則AU3中含有元素的個數是（）

A.5B.6C.7D.8

2.（多選）（23-24高一上?山東濟南?期末）通常我們把一個以集合作為元素的集合稱為族.若以集合X的

子集為元素的族「，滿足下列三個條件：（1）。和x在r中；（2）「中的有限個元素取交后得到的集合

在「中；（3）r中的任意多個元素取并后得到的集合在r中，則稱族r為集合x上的一個拓撲.已知全集

。={1,2,3,4},4臺為。的非空真子集，且AW3,貝！J（）

A.族p={0,。}為集合U上的一個拓撲

B.族尸={0,AU}為集合U上的一個拓撲

C.族p={0,4氏。}為集合U上的一個拓撲

D.若族尸為集合U上的一個拓撲，將尸的每個元素的補集放在一起構成族。，則。也是集合U上的一

個拓撲

3.（23-24高二下?山西臨汾?期末）對于一個由整數組成的集合A,A中所有元素之和稱為A的“小和

數”，A的所有非空子集的"小和數”之和稱為A的"大和數”.已知集合3={-7,-3,-1,1,2,3,4,5,6,7,13},則

8的“小和數”為,B的“大和數”為.

4.（24-25高一上?山東德州?期中）把一個集合加分成若干個非空子集A，4,L,A“，如果滿足：①

②AU&U…U4=M,那么這些子集的全體稱為集合M的一個小劃分，記為

{4,4,…,4}.若集合M={1,2,3},則集合M的一個2*劃分為;利用余數構造集合的劃分是

解決子集中元素整除問題的常用手段.設S為集合/={1,2,3,…,2024}的子集，并且S中任意兩個元素之和

不能被3整除，貝”中元素個數的最大值為.

5.(22-23高一上?北京東城?期末)對于非空數集A,若其最大元素為M,最小元素為孫則稱集合A的

幅值為。=〃-加，若集合A中只有一個元素，則4=。.

⑴若4={2,3,4,5},求〃；

(2)若A={1,2,3,…,9},A={a,,4<}=A4。A,=0(?,j=1,2,3”j),AUAUA=A,求J+〃+〃的最

大值，并寫出取最大值時的一組a，4，a；

(3)若集合N*的非空真子集A，&，4,L,4兩兩元素個數均不相同，且〃+〃+〃+…+〃=55,求”的最

大值.

壓軸02一元二次不等式中的恒成立問題(共4小題)

1.(23-24高一上?陜西西安?期末)已知關于X的不等式62_(.一2)尤+l>2x恒成立，貝!的取值范圍是

()

A.(0,4)B.(0,4]

C.[0,4)D.[0,4]

2.(22-23高三上?河南?期末)已知a>0,R,若x>0時，關于了的不等式(以-2乂/+近一5"0恒

4

成立，貝W+的最小值為()

a

A.2B.275C.4A/3D.372

3.(23-24高二下?黑龍江綏化?期末)已知函數〃(x)=ax2+ax+2,

⑴若對于任意xeR,不等式〃(x)>-l恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)當a<0時，解關于x的不等式<(1-a)x+4.

4.(23-24高一上?陜西漢中?期末)已知函數/=g+l)x+l(aeR)

⑴若不等式/(力＜1-6的解集為{中2＜尤＜3},求。涉的值；

(2)若對任意的xe[2,4]](x)+a+820恒成立，求實數a的取值范圍.

壓軸03一元二次不等式中的能成立問題(共3小題)

1.(23-24高二上?河南焦作?期末)若存在使得不等式/-履+2＞0成立，則實數左的取值

范圍為()

A.卜2A/^,+8)B.^-00,—2A/2)C.(-3,+oo)D.[-3,+a?)

2.(23-24高一下?四川?期末)若存在實數加，使得對于任意的xe[a,可，不等式

m2+sinxcosx42cos+加恒成立，則6-a的最大值為.

3.(23-24高一上?四川內江?期末)已知二次函數/(x)的最小值為-9,且-1是其一個零點，VxeR都有

/(2-x)=/(2+x).

⑴求/(x)的解析式;

(2)求“X)在區間[T,間上的最小值;

⑶若關于x的不等式/(力-如W-9在區間(1,3)上有解,求實數機的取值范圍.

壓軸04二次函數的最值問題(動軸定范圍)(共3小題)

1.(23-24高一上?河南?期末)已知二次函數滿足/(x+2)+〃x)=2d—2.

⑴求函數“力的解析式；

⑵若g(x)=〃x)—2(m-l)x,xe［-l,2］,求g(x)的最小值.

2.⑵3高一上?廣東深圳?期末)已知函數產品+G的定義域為小

⑴求

(2)當xe"時，求函數〃x)=2(log㈤氣如&》的最大值.

3.(23-24高一上?廣東梅州?期末)已知二次函數f(x)=x2-依+l,aeR.

⑴若“=2,求”X)在［—1,2］上的值域；

(2)求/⑺在［-1,2］上的最小值g(a).

壓軸05二次函數的最值問題(定軸動范圍)(共2小題)

1.(23-24高一上?江蘇鎮江?期末)已知函數F(x)是定義在R上的奇函數，當尤VO時,

/(x)=-x2+4av+a+l.

⑴求的解析式；

(2)當xe［fJ+2］時，求“X)的最小值.

2.（23-24高一上?云南昆明?期末）已知二次函數/（元）滿足/（x+1）-/（x）=2x且/（0）=1.

（I）求/'（x）的解析式；

（II）求“X）在%?"+1],北R上最小值8?）的表達式.

壓軸06根據函數單調性與奇偶性解不等式（小題）（共5小題）

1.（23-24高一下?云南楚雄?期末）已知函數/（切=儂e的圖象經過點（3,27）,則關于x的不等式

16〃x）+〃x-15）＞0的解集為（）

A.（-＜?,3）B.（3,+oo）C.（3,5）D.（5,+oo）

2.（23-24高一上?廣西賀州?期末）若定義在（F,O）U（O，+?＞）上的奇函數〃x），對任意為＞%＞。，都有

叢D＜￡應，且"2）=4,則不等式/（尤）＜2x的解集為（）

X

X]2

A.（-2,O）u（O,2）B.（—2,0）U（2,+8）

C.（—oc?,—2）D（2,+8）D.（2,+QO）

J:

3.（23-24高一上?湖南邵陽?期末）B^B^/（x）=log2（A/771+x）+2-2-+1.^

句+八4。-4）＜2,則實數”的取值范圍是（）

A.（-1,4）B.（-OO,-1）U（4,-HDO）C.（-4,1）D.（-oo,Y）U（l,+oo）

4.（23?24高二上?湖南邵陽?期末）已知外力是定義在R上的偶函數，若%、9￡[0,y）且王。工2時，

A?[；'"）＞2（再+%）恒成立,且"2）=8,則滿足了（川+m）V2（/+療的實數，"的取值范圍為

（）

A.[-2,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[-2,2]

5.（23-24高一上?浙江杭州?期末）已知定義域為[-5,5]的函數/（x）的圖像是一條連續不斷的曲線，且滿

足/'（-無）+/（》）=0.若V4%e（O,5],當王〈尤2時，總有則滿足

(2%-1)/(2"-1)W(7〃+4)/(〃Z+4)的實數加的取值范圍為()

A.[-1,1]B.[-1,5]

C.[-2,3]D.[-2,1]

壓軸07根據函數單調性與奇偶性解不等式(大題，含指數，對數型復合函數，三角函數)(共

3小題)

1.(22-23高一上吶蒙古呼和浩特?期末)已知函數/(尤)=丁巴是奇函數.

⑴求。的值，判斷/'(X)的單調性并說明理由；

(2)若對任意的xe[-2,7],不等式/(r+3)+/(/+4)>0成立，求實數機的取值范圍.

2.(23-24高一上?陜西西安?期末)已知函數〃元)=log”一(。>0且"D.

17—x

⑴判斷“X)的奇偶性并給出證明；

(2)若對于任意的xeR,/(a+cos2x-l)+/(2sinx-3而T)>0恒成立，求實數”的取值范圍.

3.(22-23高一上?江蘇常州?期末)已知函數/(力=1。氏(尤+1),g(x)是定義在R上的奇函數，且當

OVxVl時，g(%)=/(%),且對任意xeR,都有g(x)+g(x+2)=0.

⑴求使得AtanxT)+/(3tanx-l)<0成立的x的取值集合；

⑵求證：g(x)為周期為4的周期函數，并享授與審g(x)在區間[-2,2]上的解析式；

(3)若不等式g(-sin2x+sinx+4)<a(e>+e-)對任意x,yeR恒成立，求實數a的取值范圍.

壓軸08根據函數單調性與奇偶性解不等式（抽象函數）（共3小題）

3

1.（23?24高一上?河北保定?期末）已知函數/（2x-3）的圖象關于直線x對稱，且

Vp,ge[1,+功,1（0-？―乎-1）>].

p'-q~

⑴求/（元）的單調區間；

⑵求不等式/（2x-I）+6x</（x+l）+3x2的解集.

2.（23-24高一?江蘇南通?期末）定義在（。，+向上的函數〃尤），對任意的，都有〃〃叫=”能）+〃”）成

立，且當尤>1時，

⑴求—1）的值；

（2）證明：〃x）在（0,+8）上為增函數；

（3）當〃2）=:時，解不等式

3.（23-24高一上?重慶北暗?期末）函數“X）滿足對一切x,yeR有/（無）+/（y）=/（x+y）+l,且

"2）=0;當x>2時，有了⑺<0.

⑴求了（一1）的值；

（2）判斷并證明在R上的單調性；

⑶解不等式2（Y+2x）,一/卜？+2x+2）-2<0.

壓軸09雙變量函數值相等問題(共3小題)

1.(23-24高一上?河南許昌?期末)已知函數為奇函數.

⑴求”的值；

⑵若f(x)>k-2'在xe(0,1]上恒成立，求實數k的取值范圍；

⑶設g(x)=〃?cos[2x4]+2,若依e04，叫?1,+功，使得8(占)=/伍)成立，求實數，"的取值范

圍.

2.(23-24高一上?湖北武漢?期末)已知函數人尤)，9(%)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且

〃x)+g(x)=2".

⑴求函數f(x),g(x)的解析式；

(2)設/7(x)=2g(2x)—4，W(x)-4,0(x)=^j,對V%eR,叫e[l,+助，使得°&)=%(%),求實數加的

取值范圍.

3.(23-24高一上?四川瀘州?期末)”函數尸(x)的圖象關于點(根,〃)對稱"的充要條件是"對于函數P(x)定

義域內的任意x,都有尸(x)+F(2租-x)=2〃"，已知函數〃到=一^.

2芯-2

⑴證明：函數“X)的圖象關于點]，，對稱；

(2)若函數g(x)的圖象關于點(0,2)對稱，且當xe[0,l]時,g(x)=f一6+2.若對任意與目2,3],總存在

34-1』,使得/&)=g伍)成立，求實數a的取值范圍.

壓軸10雙變量函數值不等問題（共4小題）

1.（23-24高一上?甘肅蘭州?期末）已知函數〃尤）=（尤）=&]'",設函數

/7（x）=xkgg（x）+川-（若對任意句2,內）都有〃西）</15）成立，求實數機的取值范

2

圍.

2.（23-24高一上?安徽宿州?期末）已知函數/■（尤）=sin（2x+0）（O<e<7t）.

⑴若/（尤）為偶函數，求函數8（彳）=坨]小-》3的定義域；

（2）若/（x）過點（已,1）,設/z（x）=cos2x+2asinx,若對任意的,x2e0,|-,都有

咐）<小）+3,求實數。的取值范圍.

3.（23-24高一上?安徽阜陽?期末）函數y="嗎的圖象關于坐標原點成中心對稱的充要條件是函數y=

/（為為奇函數，可以將其推廣為：函數y=/（x）的圖象關于點尸（。，3成中心對稱的充要條件是函數

y=〃x+a）-6為y關于x的奇函數，給定函數/'（》）=力，關于（0/）中心對稱.

（1）求3的值;

（2）已知函數8（力=-_?+〃優，若對任意的七?-1,1],總存在&w[l,+oo）,使得ga）4/（%）,求實數加

的取值范圍.

4.(23?24高一上?河北邯鄲?期末)已知不等式/+如+〃<0的解集為{H-2VXV-1},函數

2

g(x)=-2—1(n>0,且〃wl),/z(x)=-(logwx)+(2+l)logmx(m>0,且加wl).

⑴求不等式52+%_〃20的解集；

⑵若對于任意的均存在滿足8(%)《〃伍)，求實數2的取值范圍.

壓軸11指數(對數)型復合函數中的零點問題(共3小題)

1.(23-24高二下?黑龍江綏化?期末)已知函數/(x)=31ogzx,g(x)=2—+0

1X

⑴若見x)=g(x)_0求根+根［2］+根［上］+...+根(些］的值

''Jg(x)(2024)12024)12024)(2024尸皿

(2)令/z(?=gr(x)+?/(x)+4-"，且力(x)在區間［1,4］上有零點，求實數〃的取值范圍.

2.(23-24高一上?湖北?期末)已知函數〃x)=e',函數y=g("與y=互為反函數.

⑴若函數y=g(小2+2%+1)的值域為R,求實數機的取值范圍；

(2)求證：函數0(x)=g(x)+g(x+2)+x僅有1個零點%,Kg(ex0)<y(x0+lnx0).

3.(23-24高一上?福建龍巖?期末)已知函數2、g(x)=log2x.

⑴若函數尸(x)=xe[l,2],求P(x)的最值;

"》)

(2)設函數/i(x)=g(x)+sinm，在區間(0,+巧上連續不斷，證明：函數可力有且只有一個零點％,

5

且/<—

6

壓軸12指數(對數)型復合函數中的恒成立問題(共3小題)

1.(23-24高一上?福建?期末)已知函數〃x)=logj莊W+小)在R上為奇函數，相＞0.

2

⑴求實數m的值；

⑵存在xeR,使/'(＜：0$2彳+2/-1)+〃2$血-"=0成立.

(i)求f的取值范圍；

(ii)若g(r)=〃4'—2'+1?0恒成立，求〃的取值范圍.

2.(23-24高一上?江西上饒?期末)已知/(x)=e"+eT,g(x)=ln[(2—a)e'+l]—ln2a—2x.

⑴求函數“X)在區間[0,+8)上的最小值.

⑵對于任意％,馬耳。,”)，都有g(xJ〈/(X2)-2成立，求實數”的取值范圍.

3.(23-24高一上?福建三明?期末)已知函數〃x)=cos2x—2asinx-2a,g(x)=m-4X-2X+1+m(m>0).

⑴若八%)的最小值為-3,求實數〃的值；

(2)當時，若&eR,都有g(%)+，(%)20成立，求實數，%的取值范圍.

壓軸13指數(對數)型復合函數中的能成立問題(共3小題)

1.(23-24高一上?吉林?期末)已知定義在R上的函數〃x)=log2s+1)-尤("0,且為偶函數.

(1)解不等式/(x)N2；

(2)設函數g(x)=2"，+"2，+2-m,命題p:%e[0,log23],玉2目1,4],使g&上宗9成立.是否存在實

數加，使命題P為真命題？如果存在，求出實數加的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

2.(22-23高一上?遼寧葫蘆島?期末)設函數."x)=a.(log2x)2+?log2x+l(a,?為常數且b>0),

"2)=4且〃x)的最小值為0,當x>0時，/(x)=〃x),且/x)為R上的奇函數.

⑴求函數尸(x)的解析式；

⑵期e[也4],叫?-1』，有〃伴-〃"3土)log?為成立，求實數機的取值范圍.

3.（22-23高一上?陜西渭南?期末）已知函數/（x）=2，；.

⑴用定義法證明"X）在[0,+?0上單調遞增；

⑵求不等式〃2x-l）＞/（x+2）的解集；

（3）若加e[3.5,4],對V%?0,內）使不等式log2（邛-2%-4）2（帆-l）/（2x2）+\m\/（x2）成立，求實數機

的取值范圍.

壓軸14指數（對數）型復合函數中的新定義問題（共3小題）

1.（23-24高二下?遼寧沈陽?期末）函數/（x）的定義域為。，若存在正實數%,對任意的xeD,總有

|/（%）-/（-%）|＜^,則稱函數〃x）具有性質P（Z）.

⑴判斷下列函數是否具有性質尸⑴，并說明理由.

①〃x）=2024；

②g（x）=x.

（2）已知。＞0,左為給定的正實數，若函數"尤）=庭2（平+“）-彳具有性質網左），求”的取值范圍.（用含

字母左的式子表示）

2.(23-24高一上?云南大理?期末)布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名

于荷蘭數學家魯伊茲?布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續函數/(x),存在點毛,使得

=那么我們稱該函數為"不動點”函數，而稱X。為該函數的一個不動點.現新定義：若尤。滿足

/(%0)=-%0,則稱為y(x)的次不動點.

⑴求函數"X)=|2x+l|的次不動點；

⑵若函數g(x)=log3(9,-a.31)在[0,1]上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數a的取值范圍.

3.(22-23高二下?山東青島?期末)定義一種新的運算“十J都有x十y=lg(10，+l(F).

⑴對于任意實數a,b,c,試判斷(a十a-。與(a-c)十。-c)的大小關系；

⑵若關于x的不等式(尤-I)。＞[(//)十(//)]一坨2的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；

⑶已知函數”無)=lg{[(x+4)十(x+4)]-岳用-lg2},g(x)=(l十x)十(r),若對任意的玉wR,總存

在使得g(不)=lg|3wi—2|+/(々)，求實數機的取值范圍.

壓軸15三角函數中的零點問題(共2小題)

1.(23-24高一下?廣東廣州?期末)已知函數〃尤)的定義域為R,且〃x+y)+/(x-y)=/(x)〃y),

"1)=1.

(1)若〃x)=Acostax(0<@<7t),求A與。；

(2)證明：函數是偶函數；

(3)證明函數〃尤)是周期函數；

⑷若〃元)的周期為T,在0,1上是減函數，記〃元)的正的零點從小到大依次為均，%,9，L,證明

“X)在區間[0,20247]上有4048個零點，且%-玉=W-超=…=x4048-x4047.

2.(23-24高一上?上海?期末)已知函數/(尤)=Asin(0x+e“o>O，M<]

⑴某同學打算用"五點法"畫出函數f(x)再某一周期內的圖象，列表如下：

2兀711071

Xi亍

713兀

a)x+(p0712兀

2~2

sin(s+0)010-10

/(x)0石00

請填寫上表的空格處，并寫出函數/(尤)的解析式；

⑵若函數/(尤)=&sin[2尤+g],將〃無)圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標擴大到原來的2倍，再向右平

移g個單位，得到函數g(x)的圖象，若尸(力=82(；0+^.*(；0-1在(0,202571)上恰有奇數個零點，求實數

。與零點的個數.

壓軸16三角函數中的恒成立問題（共3小題）

1.（23-24高一上?山西長治?期末）函數〃x）=3sin（s+。）卜的部分圖象如圖所示，該圖

象與y軸交于點E。，芍，與無軸交于點8,C,M為最高點，的面積為子.

⑴求函數的解析式；

（2）若對任意的xe0金，都有|〃x）+31og3M＜3,求實數上的取值范圍.

2.（23-24高一上?重慶?期末）已知函數"x）=sin（2x+°）,

⑴當。時，求函數＞=〃尤）的對稱中心；

⑵若“X）為奇函數，不等式“X）-巾+楙］-機＜2在xe0,；上恒成立，求實數7"的取值范圍;

⑶若“X）過點仁，