第1頁/共1頁2025年廣東省中考數學模擬試卷一、單選題1.計算的結果等于（）A. B. C. D.482.我國民間建筑裝飾圖案中，蘊含著豐富的數學之美．下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.2023年4月12日21時，正在運行的中國大科學裝置“人造太陽”——世界首個全超導托卡馬克東方超環（EAST）裝置取得重大成果，在第122254次實驗中成功實現了403秒穩態長脈沖高約束模式等離子體運行，創造了托卡馬克裝置高約束模式運行新的世界紀錄．數據122254用科學記數法表示為（）A. B. C. D.4.點P在第二象限內，P到x軸的距離是2，到y軸的距離是3，那么點P的坐標為（）A（-2，3） B.（-3，-2） C.（-3，2） D.（3，-2）5.今年5月1日，我市某商場停車場的停車量為2000輛次，其中兩輪電動車平均停車費為每輛1元一次，小汽車平均停車費為每輛5元一次，若兩輪電動車停車輛數為x輛次，停車的總收入為y元，則y與x的關系式為（）A. B. C. D.6.把一塊等腰直角三角板和一把直尺按如圖所示的位置構成，若∠1＝25°，則∠2的度數為（）A.15° B.20° C.25° D.30°7.關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.8.如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，點為焦點．若，則的度數為（）A. B. C. D.9.如圖，在中，，點D是邊上一點，將沿翻折后，點A的對應點E恰好落在上，若點E為的中點，則（）A. B.1 C. D.10.經過兩點拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段長為（）A.10 B.12 C.13 D.15二、填空題11.分解因式：____________．12.如圖，在?ABCD中，按以下步驟作圖：①以C為圓心，以適當長為半徑畫弧，分別交BC，CD于M，N兩點；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BCD的內部交于點P；⑨連接CP并延長交AD于E．若AE＝2，CE＝6，∠B＝60°，則ABCD的周長等于_____．13.已知關于方程的一個根為2，則的值為________．14.某型號汽車行駛時功率一定，行駛速度（單位：m/s）與所受阻力（單位：N）是反比例函數關系，其圖象如圖所示．若該型號汽車在某段公路上行駛時速度為，則所受阻力為__________．15.如圖，二次函數的圖象的頂點坐標為，則以下五個結論中：①，②，③，④，⑤方程有兩個不相等的實數根．其中正確的結論有：____________________（寫序號）．三、解答題16.（1）解方程組：；（2）解方程：．17.網絡直播帶貨逐漸走入人們視野．某超市預計用3900元購進甲、乙兩種商品，再通過網絡直播平臺銷售出去．其中乙種商品的個數是甲種商品的2倍少30個，甲、乙兩種商品的進價分別為20元/個、30元/個．該超市購進甲、乙兩種商品各多少個？18.圖①是一個臺燈的實物圖，圖②是其側面示意圖．臺燈的雙軸燈臂，通過調節燈臂的傾斜角度可以改變臺燈的照明位置．已知垂直于底座，，求燈臂頂端到底座的距離的長度（結果精確到）．（參考數據，，，，）19.如圖，反比例函數（為常數，）與正比例函數（為常數，）的圖像交于兩點．（1）求反比例函數和正比例函數的表達式；（2）若y軸上有一點的面積為4，求點的坐標．20.現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為．（1）請用含a的式子分別表示；當時，求的值；（2）比較與的大小，并說明理由．21.如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道．經測量，點在點的正東方向，米．點在點的正北方向．點在點的正北方向，米．點在點的北偏東，點在點的北偏東．（參考數據：，）（1）求步道的長度（精確到個位）；（2）點處有直飲水，小紅從出發沿人行步道去取水，可以經過點到達點，也可以經過點到達點．請計算說明他走哪一條路較近？22.如圖，在直角梯形中，，，，，線段上的點P從點B運動到點C，，的角平分線交以為直徑的圓M于點Q，連接．（1）當點P不與點B重合時，求證：平分；（2）當⊙M與直角梯形的邊相切時，求出此時的長．23.如圖，二次函數的圖象與軸的正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數圖象交于點，與軸交于點C．（1）求直線函數表達式及點C的坐標；（2）點是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設點的橫坐標為．①當時，求的值；②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設四邊形的面積為，求關于的函數表達式，并求出S的最大值．一、單選題1.計算的結果等于（）A. B. C. D.48【答案】B【解析】【分析】利用有理數的乘法法則計算即可求出值．【詳解】解：(?12)×4=-48，故選：B．【點睛】本題考查了有理數的乘法，熟練掌握乘法法則是解本題的關鍵．2.我國民間建筑裝飾圖案中，蘊含著豐富的數學之美．下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A．該圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；B．該圖形不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C．該圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D．該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義，在平面內，一個圖形繞某點旋轉180°后能與原來的圖形重合，這個圖形叫做中心對稱圖形；一個圖形沿某條直線對折后，直線兩旁的部分能重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．理解這兩個概念是關鍵．3.2023年4月12日21時，正在運行的中國大科學裝置“人造太陽”——世界首個全超導托卡馬克東方超環（EAST）裝置取得重大成果，在第122254次實驗中成功實現了403秒穩態長脈沖高約束模式等離子體運行，創造了托卡馬克裝置高約束模式運行新的世界紀錄．數據122254用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．【詳解】解：數據122254用科學記數法表示為，故選：C．【點睛】本題考查的知識點是科學記數法—表示較絕對值較大的數．把一個大于等于10的數寫成科學記數法的形式時，將小數點放到左邊第一個不為0的數位后作為a，把整數位數減1作為n，從而確定它的科學記數法形式．4.點P在第二象限內，P到x軸的距離是2，到y軸的距離是3，那么點P的坐標為（）A.（-2，3） B.（-3，-2） C.（-3，2） D.（3，-2）【答案】C【解析】【詳解】第二象限內的點橫坐標小于0，縱坐標大于0，

到x軸的距離是2，說明點的縱坐標為2，到y軸的距離為3，說明點的橫坐標為-3，

因而點P的坐標是（-3，2）．

故選：C．5.今年5月1日，我市某商場停車場的停車量為2000輛次，其中兩輪電動車平均停車費為每輛1元一次，小汽車平均停車費為每輛5元一次，若兩輪電動車停車輛數為x輛次，停車的總收入為y元，則y與x的關系式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意得：總收入為y元=兩輪電動車停車費+小汽車停車費，據此寫出題目中的函數解關系式，從而可以解答本題．【詳解】解∶根據題意，得．故選∶A．【點睛】本題考查函數關系式，解答本題的關鍵是明確題意，寫出題目中的函數關系式．6.把一塊等腰直角三角板和一把直尺按如圖所示的位置構成，若∠1＝25°，則∠2的度數為（）A.15° B.20° C.25° D.30°【答案】B【解析】【分析】利用平行線的性質求出∠3可得結論．【詳解】解：如圖，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝25°，∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是利用平行線的性質求出∠3．7.關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．8.如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，點為焦點．若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平行線的性質及三角形外角的性質即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴；故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質等知識，掌握這兩個知識點是關鍵．9.如圖，在中，，點D是邊上一點，將沿翻折后，點A的對應點E恰好落在上，若點E為的中點，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意得到，，然后證明出，求出，進而求解即可．【詳解】∵，將沿翻折后，點A的對應點E恰好落在上，∴，，∵點E為的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查特殊角的三角函數，折疊的性質，垂直平分線的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是求出．10.經過兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段長為（）A.10 B.12 C.13 D.15【答案】B【解析】【分析】根據題意，求得對稱軸，進而得出，求得拋物線解析式，根據拋物線與軸有交點得出，進而得出，則，求得的橫坐標，即可求解．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線∵拋物線經過兩點∴，即，∴，∵拋物線與軸有交點，∴，即，即，即，∴，，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，與軸交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．二、填空題11.分解因式：____________．【答案】【解析】【分析】利用提公因式法進行解題，即可得到答案．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握提公因式法進行解題．12.如圖，在?ABCD中，按以下步驟作圖：①以C為圓心，以適當長為半徑畫弧，分別交BC，CD于M，N兩點；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BCD的內部交于點P；⑨連接CP并延長交AD于E．若AE＝2，CE＝6，∠B＝60°，則ABCD的周長等于_____．【答案】28【解析】【分析】首先證明等邊三角形，求出，即可解決問題．【詳解】解：由作圖可知，四邊形是平行四邊形，，，，，是等邊三角形，，，，四邊形的周長為28，故答案為28．【點睛】本題考查作圖復雜作圖，平行四邊形性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．13.已知關于的方程的一個根為2，則的值為________．【答案】1【解析】【分析】將代入方程中，求出的值即可．【詳解】將代入方程中，得，，∴．故答案為：1【點睛】本題主要考查了已知一元二次方程的根求字母的值，掌握一元二次方程根的定義是解題的關鍵．14.某型號汽車行駛時功率一定，行駛速度（單位：m/s）與所受阻力（單位：N）是反比例函數關系，其圖象如圖所示．若該型號汽車在某段公路上行駛時速度為，則所受阻力為__________．【答案】2500【解析】【分析】根據題意得知函數成反比例函數，由圖中數據可以求出反比例函數的解析式，再將代入求的值．【詳解】解：設功率為，由題可知，即，將，代入解得，即反比例函數為：，將代入，得，故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數，熟練掌握將自變量代入解析式求得函數值是解題的關鍵．15.如圖，二次函數的圖象的頂點坐標為，則以下五個結論中：①，②，③，④，⑤方程有兩個不相等的實數根．其中正確的結論有：____________________（寫序號）．【答案】②④⑤【解析】【分析】由拋物線的開口方向判斷與0的關系，由拋物線與軸的交點判斷與0的關系，然后根據對稱軸以及拋物線與軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：①拋物線開口方向向下，則，拋物線對稱軸位于軸右側，則異號，即，拋物線與軸交于正半軸，則，，故①錯誤；②拋物線對稱軸為直線，，即，故②正確；③由交點的位置可得：，，，，，，，故③錯誤；④由圖象可知，當時，，此時點在第三象限，，，，故④正確；⑤方程有兩個相等的實數根，，，方程為，，方程為有兩個不相等的實數根，故⑤正確；綜上所述，正確的為②④⑤，故答案為：②④⑤．【點睛】本題主要考查二次函數與系數相關代數式的判斷問題，會利用對稱軸的范圍求與的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用，是解題的關鍵．三、解答題16.（1）解方程組：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】此題考查了解二元一次方程組，解分式方程，（1）方程組利用加減消元法求解即可；（2）先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程的解進行檢驗即可得．【詳解】（1）得：解得將代入①得：解得，∴方程組的解為：；（2）去分母得，解得檢驗：將代入∴原方程的解為．17.網絡直播帶貨逐漸走入人們的視野．某超市預計用3900元購進甲、乙兩種商品，再通過網絡直播平臺銷售出去．其中乙種商品的個數是甲種商品的2倍少30個，甲、乙兩種商品的進價分別為20元/個、30元/個．該超市購進甲、乙兩種商品各多少個？【答案】該超市購進甲種商品60個，乙種商品90個【解析】【分析】設購進甲種商品個，則乙種商品個，根據總花費為3900元列出方程求解即可．【詳解】解：設購進甲種商品個，則乙種商品個，根據題意得，解得，則．答：該超市購進甲種商品60個，乙種商品90個．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．18.圖①是一個臺燈的實物圖，圖②是其側面示意圖．臺燈的雙軸燈臂，通過調節燈臂的傾斜角度可以改變臺燈的照明位置．已知垂直于底座，，求燈臂頂端到底座的距離的長度（結果精確到）．（參考數據，，，，）【答案】燈臂頂端到底座的距離約為．【解析】【分析】本題考查了矩形的性質與判定，勾股定理的應用，含度角的直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．根據題意可得四邊形是矩形，則，進而在中，勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：過點作于點，則，由題意得，，∴四邊形是矩形．∴，在中，，，．．∴燈臂頂端到底座的距離約為．19.如圖，反比例函數（為常數，）與正比例函數（為常數，）的圖像交于兩點．（1）求反比例函數和正比例函數的表達式；（2）若y軸上有一點的面積為4，求點的坐標．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）把分別代入函數的解析式，計算即可．（2）根據反比例函數的中對稱性質，得到，設，根據，列式計算即可．【小問1詳解】∵反比例函數（為常數，）與正比例函數（為常數，）的圖像交于兩點，∴，解得，故反比例函數的表達式為，正比例函數的表達式．【小問2詳解】∵反比例函數（為常數，）與正比例函數（為常數，）的圖像交于兩點，根據反比例函數圖象的中心對稱性質，∴，設，根據題意，得，∴，解得或，故點C的坐標為或．【點睛】本題考查了反比例函數與正比例函數的綜合，反比例函數的中心對稱性，三角形面積的特殊坐標表示法，熟練掌握反比例函數與正比例函數的綜合，反比例函數的中心對稱性是解題的關鍵．20.現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為．（1）請用含a的式子分別表示；當時，求的值；（2）比較與的大小，并說明理由．【答案】（1），，當時，（2），理由見解析【解析】【分析】（1）根據題意求出三種矩形卡片的面積，從而得到，，將代入用a表示的等式中求值即可；（2）利用（1）的結果，使用作差比較法比較即可．【小問1詳解】解：依題意得，三種矩形卡片的面積分別為：，∴，，∴，∴當時，；【小問2詳解】，理由如下：∵，∴∵，∴，∴．【點睛】本題考查列代數式，整式的加減，完全平方公式等知識，會根據題意列式和掌握做差比較法是解題的關鍵．21.如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道．經測量，點在點的正東方向，米．點在點的正北方向．點在點的正北方向，米．點在點的北偏東，點在點的北偏東．（參考數據：，）（1）求步道的長度（精確到個位）；（2）點處有直飲水，小紅從出發沿人行步道去取水，可以經過點到達點，也可以經過點到達點．請計算說明他走哪一條路較近？【答案】（1）的長度約為米（2）經過點到達點較近，見解析【解析】【分析】（1）過作于，如圖，則可得四邊形是矩形，根據點在點的北偏東，即，得到是等腰直角三角形，有勾股定理即可求解；（2）由（1）知是等腰直角三角形，米，米，米，則經過點到達點路程為米，米，米，經過點到達點路程為米，由此即可求解．【小問1詳解】解：過作于，如圖：由已知可得四邊形是矩形，∴米，∵點在點的北偏東，即，∴是等腰直角三角形，，∴（米）；【小問2詳解】解：由（1）知是等腰直角三角形，米，∴米，∵點在點的北偏東，即，∴，∵米，∴米，米，∵米，∴經過點到達點路程為米，∵米，∴米，∴米，∴經過點到達點路程米，∵，∴經過點到達點較近．【點睛】本題主要考查方位角與勾股定理的運用，等腰三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，理解方位角的含義，掌握勾股定理的運用是解題的關鍵．22.如圖，在直角梯形中，，，，，線段上的點P從點B運動到點C，，的角平分線交以為直徑的圓M于點Q，連接．（1）當點P不與點B重合時，求證：平分；（2）當⊙M與直角梯形的邊相切時，求出此時的長．【答案】（1）見解析（2）的值為4或9【解析】【分析】本題主要考查了切線的性質，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質與判定，勾股定理等等：（1）先由是直徑，得到，則，由平行線的性質得到，再由角平分線的定義證明，即可證明平分．（2）分兩種情況討論：①當與相切時，連接，②當與相切時，分別求解即可．【小問1詳解】證明：如圖1中，∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵平