2024-2025學年八年級數學下學期開學摸底考

（北師大版）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）

A.V18B.C.V5D.V27

【答案】C

【分析】根據最簡二次根式的定義對各項進行判斷即可.

【詳解】解：/、V18=3V2,故此選項錯誤；

B、［=亭，故此選項錯誤；

C、而是最簡二次根式，故此選項正確；

D、歷=3何故此選項錯誤；

故選：C.

【點睛】本題考查了最簡二次根式的問題，掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵.

2.下列各數：|,V12,V2-3,V9.0.00101,n-3.14,J（—5）2,無理數的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】無理數就是無限不循環(huán)小數.理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整

數與分數的統(tǒng)稱.即有限小數和無限循環(huán)小數是有理數，而無限不循環(huán)小數是無理數.由此判定即可.

【詳解】在所列各數中無理數有V32,V2-3,眄，兀-3.14這4個.

故選C.

【點睛】本題考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：兀，2兀等；開方開不盡的數；以

及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數.

3.下列不能構成直角三角形三邊長的是（）

A.1、2、3B.6、8、10C.3、4、5D.5、12、13

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三

邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.如果沒有這種關系，這個就不是直角三角形.

【詳解】解：A、￥+22力32,不符合勾股定理的逆定理，不能作為直角三角形三邊長，故該選項符合

題意；

B、62+82=102,符合勾股定理的逆定理，能作為直角三角形三邊長，故該選項不符合題意；

C、32+42=52,符合勾股定理的逆定理，能作為直角三角形三邊長，故該選項不符合題意；

D、52+122=132,符合勾股定理的逆定理，能作為直角三角形三邊長，故該選項不符合題意.

故選：A.

4.有甲、乙兩組數據，已知甲組數據的方差為0.5,乙組數據的方差為0.2,那么甲、乙兩組數據的波動程

度是（）

A.甲組數據的波動比較大

B.乙組數據的波動比較大

C.甲、乙兩組數據的波動程度相同

D.甲、乙兩組數據的波動程度無法比較

【答案】A

【分析】根據方差越小數據越穩(wěn)定，根據甲，乙，兩組數據的方差選擇適合的選項即可.

【詳解】解：,?,方差越小數據越穩(wěn)定，且0.2V0.5,

所以甲組數據波動比較大，

故選：A.

【點睛】本題考查利用方差判斷穩(wěn)定性，能夠熟練掌握利用方差判斷穩(wěn)定性的方法是解決本題的關鍵.

5.下列命題的逆命題是真命題的為（）.

A.如果a>0,b>0,貝Ua+b>0B.直角都相等

C.兩直線平行，同位角相等D.若a=6,貝力可=|6|

【答案】C

【分析】先寫出每個命題的逆命題，再進行判斷即可.

【詳解】解；A、如果。>0,6>0,則。+6>0；逆命題是：如果。+6>0,則。>0,6>0,是假命題;

B、直角都相等的逆命題是相等的角是直角，是假命題；

C、兩直線平行，同位角相等的逆命題是同位角相等，兩直線平行，是真命題；

D、若a=6,則同=|6］的逆命題是若同=|6|,則a=6,是假命題.

故選：C.

【點睛】此題考查了命題與定理，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個

命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆

命題.正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

6.如圖，已知N4=60。，NB=40。，ZC=3O°,貝等于()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】根據三角形內角和，可以得到N1和42的和，再根據三角形內角和，可以得至UAD+NE和N1+N2

的關系，然后即可求得ND+NE的度數.

【詳解】解：連接BC,如下圖所示，

?.?N4=60°,N力BE=40°,ZXCD=3O°,

.?.Z1+Z2=180°-Z>1-ZXBF-ZXC￡)=1800-600-400-300=500,

???ND+NE=N1+N2,

.*.z.D+zE=50°,

故選：C.

【點睛】本題考查三角形內角和，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

7.如圖，已知直線月=—x與%=n比+4幾圖象交點的橫坐標是一2,則關于x的不等式幾x+4n>—x〉0

解集是()

A.—4V%<0B.—2<汽<0C.n<x<0D.—4<x<n

【答案】B

【分析】觀察圖象在X軸上方，直線力的圖象在直線外的圖象的上方部分對應的自變量的取值即為不等

式nK+4n>—x>0解集；

【詳解】解：觀察圖象可知：圖象在久軸上方，直線及的圖象在直線yi的圖象的上方部分對應的自變量

的取值即為不等式nx+4n>-%>0解集，

—2<x<0,

故選：B.

【點睛】本題考查一次函數與不等式、兩直線相交等知識，解題的關鍵是學會利用圖象法解決自變量的

取值范圍問題.

8.《孫子算經》中有這樣一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不

足一尺.木長幾何？’'意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺.將繩子對折再量長木，長

木還剩余1尺，問木長多少尺？設木長久尺、繩子長y尺，下列方程組正確的是（）

A-[|y=x-lB-{^2x-lC-||y=x+lD-[|y=x-l

【答案】D

【分析】根據題意，找到等量關系，列出方程，即可.

【詳解】設木長%尺、繩子長y尺，

???用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺.將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，

（y—x+4.5

■,1|y-x-1'

故選：D.

【點睛】本題考查二元一次方程組的知識，解題的關鍵是掌握二元一次方程組運用.

9.若正比例函數丫=質的圖象經過第二、第四象限，常數左和6互為相反數，則一次函數y=—b在平

面直角坐標系中的圖象大致是（）

【分析】根據正比例函數的性質確定左的符號，然后根據一次函數的性質即可得到結論.

【詳解】解：?.?正比例函數y=依的圖象在第二、第四象限，

.,.fc<0,

???常數左和6互為相反數，

...一次函數丫=依—b在平面直角坐標系中的圖象在第二、三、四象限，

故選：D.

【點睛】本題考查正比例函數和一次函數的圖象.抓住系數與圖象的關系是解題關鍵.

10.學校提倡“低碳環(huán)保，綠色出行”、小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學，兩人各自從家同時同向出

發(fā)、沿同一條路勻速新進.如圖所示、%和%分別表示兩人到小亮家的距離S(km)和時間t(h)的關系，

下列結論：①小明和小亮兩家相距3.5km；②小亮比小明早到0.1小時；③小明步行的速度為每小時

5km,④小明和小亮在距離學校0.75km處相遇，其中正確的結論有()個.

【答案】D

【分析】本題考查一次函數的應用，關鍵是求出函數解析式.由圖逐項判斷，用待定系數法求出。和6

的函數解析式，再令Si=S2解方程求出相遇時間，再判斷即可.

【詳解】解：由圖知：小明和小亮兩家相距3.5km,小亮比小明早到0.5—0.4=0.1小時，

故①，②正確；

小明步行的速度為每小時曾=5km,故③正確，

設A的函數解析式為yi=kx+b,

則｛o.5［「真6)

解得心5，

??.h的函數解析式為Si=5t+3.5；

設L的函數解析式為S2=mt,

則0.4m=6,

解得TH=15,

.?」2的函數解析式為52=15t;

令Si=52，即5t+3.5=15t,

解得t=0.35,

出發(fā)0.35小時后兩人相遇，此時小明和小克在距離學校5x(0.5-0.35)=0.75km處.

故④正確.

故答案為：D.

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.有一組數據如下：2,3,a,5,6,它們的平均數是4,貝!!a的值為.

【答案】4

【分析】根據算術平均數的計算公式元=5(打+電+…+初)列出關于。的方程，解方程即可求解.

【詳解】解：由題意得：

(2+3+。+5+6)+5=4,

解得：a=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了算術平均數的計算方法，掌握計算公式是解決問題的前提.

12.已知一次函數y=—2%+2的圖象經過點4(一1,a),B(2,b),則a+b=.

【答案】2

【分析】根據一次函數y=—2x+2的圖象經過點4(—l,a),BQb),可以求得a、b的值，然后即可計

算出a+b的值.

【詳解】解：???一次函數y=—2x+2的圖象經過點4(—l,a),B(2,6),

?*-ci=—2x(—1)+2=4,b-—2x2+2=—2

a+b=4+(—2)=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，求出a、b的值.

13.關于a、b的二元一次方程組=$的解是.

【答案】狒學

【分析】利用加減法解方程組即可.

【詳解】解:「既，空皆

②x2+①得13a=26,

解得〃=2,

把a=2代入①得3x2+26=12,

解得6=3,

故答案為：

【點睛】此題考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握代入法和加減法是解題的關鍵.

14.已知|b—3|=0,則(a—b)b=.

【答案】-125

【分析】本題考查了非負數的性質，代數式求值，有理數的乘方運算，解題的關鍵是掌握非負數的性

質.根據非負數的性質求出a、6的值，代入所求代數式計算即可.

【詳解】解：4a+2+\b-3\=0,

a+2=0,b—3=0,

解得：a=—2,b=3,

???(a—6)。=(-2-3)3=-125,

故答案為：—125.

15.如圖，在平面直角坐標系中，4(1,3),8(3,1)是直線y=-尤+4上的兩點，點P是x軸上的一個動點,

貝iJPH+的最小值為.

【答案】2V5

【分析】本題考查了線段和最小值問題，兩點間連線段最短，點關于坐標軸對稱，勾股定理；作4關于

%軸的對稱點4,連接48交x軸于P,此時P4+PB取得最小值，PA+PB=A'B,由勾股定理即可求解;

利用兩點間連線段最短找出取得最小值的條件是解題的關鍵.

【詳解】解：作4關于%軸的對稱點4,連接48交x軸于P,

由對稱得：PA=PA',

4(1,—3),

此時P4+PB取得最小值，

PA+PB

=PA'+PB

=A'B,

A'B=7(1-3)2+(-3-1)2

=2-^,

故答案：2V5.

三、解答題：本題共7小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.(8分)計算

(1)V27-3J|+V18-V6

(2)(V3-V2)+V2(V3-V2)

【答案】(1)3V3；(2)3-V6

【分析】(1)先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；

(2)先利用二次根式的乘除法則和完全平方公式計算，然后合并即可.

【詳解】解：⑴V27-3+V18-V6

=3V3-3X苧+“8+6

=3—

=3V3；

(2)(V3-V2)+V2(V3-V2)

=3+2—2V6+V6-2

=3—V6

【點睛】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運

算，然后合并同類二次根式.

17.（10分）解方程組：

⑴七二4=3

2x-3y=8

⑷l7x-5y=-5

【答案】（1）｛J=，1

【分析】此題考查了解二元一次方程組.

（1）方程組利用代入消元法求解即可

（2）方程組利用加減消元法求解即可.

【詳解】⑴解：屋二禮3%，

由①得：x=3+y③，

將③代入②得：3（3+y）—8y=14,即—5y=5,

解得：y=-1,

把y=-1代入①得：%=2,

則方程組的解為｛J=，「

⑵解:/二泮

①X5+-②X3得：-11%=55,

解得：%=-5,

把％=-5代入①得：y=-6,

則方程組的解為《:,

18.（10分）己知A4BC三頂點在如圖所示的平面直角坐標系中的網格點位置.

(1)寫出4B,C三點的坐標；

(2)若44BC各頂點的縱坐標都不變，橫坐標都乘以一1,在同一坐標系中描出對應的點4,B',C,并依

次連接這三個點得A48C；

(3)求A4BC的面積.

【答案】(1)4(2,2),B(l,0),C(4,-1)；

(2)見解析;

(3)A4BC的面積為3.5.

【分析】(1)根據點在坐標系中的位置可直接讀出點的坐標；

(2)縱坐標都不變，橫坐標都乘以T,得4(—2,1),B'(—1,0),^(-4,-1),然后依次連接即可得;

(3)在方格點中利用正方形的面積減去三個三角形的面積即可得.

【詳解】(1)解：根據點在坐標系中的位置可得：力(2,1),B(l,0),C(4,-l)；

(2)解：縱坐標都不變，橫坐標都乘以T,可得：

4(—2,1),B'(—1,0),C'(—4,—1),然后依次連接，AA'B'C'即為所求；

x

(3)解：AAB'C'的面積為：3X3-TX1X2—TX2X3—TX1X3=3.5,

.?.△A'B'C'的面積為35.

【點睛】題目主要考查坐標與圖形變換，點的變換等，理解題意，熟練掌握點的變換是解題關鍵.

19.(10分)棉花是紡織工業(yè)的主要原料，在我國是僅次于糧食的第二大農作物.棉花是由一根很細小的纖

維組成，纖維長度是衡量棉花品質的重要指標，纖維長度越大，棉花質量越好.現從某農場種植的工,

8兩個品種的棉花中各隨機抽取20束棉花，測量每束棉花的纖維長度(單位：mm),并對相關數據進

行整理、描述和分析，下面給出了部分信息，抽取的N品種棉花的纖維長度：25,25,26,27,27,

27,27,28,28,28,28,28,28,29,29,29,30,30,30,31抽取的8品種棉花的纖維長度

條形統(tǒng)計圖如圖：

A,2兩個品種棉花纖維長度統(tǒng)計表

品種平均數中位數眾數

A2828

根據上述信息，解答下列問題：

(1)補全條形統(tǒng)計圖，并求出a力的值；

(2)估計B品種1600束棉花中纖維長度達到28mm及其以上的數量；

(3)根據以上數據分析，從某一個方面評價48兩個品種棉花的質量誰更好?

【答案】(1)見解析，a=28,b=27.5

(2)800束

(3)A品種棉花的質量更好，見解析

【分析】(1)根據中位數和眾數的定義可得。、6的值；

(2)用1600乘樣本中纖維長度達到28mm及其以上的數量所占比例即可；

(3)從中位數、眾數和平均數的對比可得答案.

【詳解】(1)解：補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

A品種棉花的纖維長度28mm出現的次數最多，故眾數a=28,

5品種棉花的纖維長度的中位數為：亨=27.5(mm),故6=27.5；

(2)解：1600x2+3^4+1=800(束)，

答：估計B品種1600束棉花中纖維長度達到28mm及其以上的數量為800束；

(3)解:A品種棉花的質量更好.

理由：這兩個品種的棉花的平均數相同，但4品種棉花的中位數和眾數均高于8品種，

故4品種棉花的質量更好.

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖，中位數、眾數、平均數，掌握中位數、眾數的意義和計算方法是正確

解答的前提，樣本估計總體是統(tǒng)計中常用的方法.

20.(12分)某商場銷售4B兩種商品，每件進價均為20元.調查發(fā)現，如果售出4種20件，B種10件,

銷售總額為840元；如果售出4種10件，B種15件，銷售總額為660元.

(1)求2、B兩種商品的銷售單價.

(2)經市場調研，4種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；B種

商品的售價不變，4種商品售價不低于B種商品售價.設4種商品降價機元，如果4、B兩種商品銷售量

相同，求m取何值時，商場銷售4B兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】(1〃的銷售單價為30元、8的銷售單價為24元

(2)當m=5時，商場銷售4B兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是810元.

【分析】(1)設2的銷售單價為久元、B的銷售單價為y元，根據題中售出2種20件，B種10件，銷售總

額為840元；售出4種10件，B種15件，銷售總額為660元列方程組求解即可得到答案；

(2)設利潤為w,根據題意，得到w=-L0(m—5)2+810,結合二次函數性質及題中限制條件分析求

解即可得到答案.

【詳解】(1)解：設4的銷售單價為久元、B的銷售單價為y元，貝IJ

(20x+10y=840例加售=30

llOx+15y=660'用牛付ly=24，

答：A的銷售單價為30元、B的銷售單價為24元；

(2)解：「4種商品售價不低于B種商品售價，

30—m>24,解得m<6,即0WmW6,

設利潤為w,則

w=(40+10m)x[(30-m-20)+(24-20)]

=-10m2+100m+560

=-10(m-5)2+810,

-10<0,

W在爪=5時能取到最大值，最大值為810,

???當m=5時，商場銷售人B兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是810元.

【點睛】本題考查二元一次方程組及二次函數解實際應用題，讀懂題意，根據等量關系列出方程組，

根據函數關系找到函數關系式分析是解決問題的關鍵.

21.(12分)如圖，在平面直角坐標系中，A(4,0),B(0,4),C是第一象限內一點，且BC||x軸.

(1)連接AC,當SAABC=6時，求點C的坐標；

(2)設D為y軸上一動點，連接AD,CD,作/BCD、NDAO的平分線相交于點P,在點D的運動過

程中，試判斷等式ZCPA=2/CDA是否始終成立，并說明理由.

【答案】(1)C(3,4)；(2)等式NCPA=2/CDA始終成立；理由見解析.

【分析】(1)利用三角形面積公式求得BC的長，即可求得C的坐標；

(2)利用角平分線的意義、三角形內角和定理以及直角三角形兩銳角互余的關系計算證明即可.

【詳解】解：(1)vB(0,4),C是第一象限內一點，且BC||x軸，

???OB=4,

"'"SAABC=2^C*OB=6,

??.BC=3,

??.C(3,4)；

連接AC,如圖所示：

vAP是NOAD的平分線，

???zDAP=|zDAO=1(90°-ZADO)=45°-jzADO,

???PC是ZBCD的角平分線，

.-?zPCD=|zBCD=|(90°-ZBDC)=45。-1z.BDC,

在aPAC中，zCPA=180°-(zPAC+zPCA)

=180。-(NDAC+ZDAP+ZPCD+ZDCA)

11

=180°-(ZDAC-^ZDAO-^ZBCD+ZDCA)

11

=180°-(180°-NADC+45。--zADO+450--zBDC)

1

=NADCq（ZADO+ZBDC）-90°

=4ADC+1（180°-NADC）-90°,

=ZADC-jzADC

1

=-zADC,

.-.2ZCPA=ZCDA.

???在點D的運動過程中，等式NCPA=24CDA始終成立.

【點睛】本題考查平面直角坐標系和角平分線以及角度之間的關系，解題的關鍵是能夠熟練的掌握三

角形面積的求解方法，利用相關定理尋找角與角之間的數量關系.

22.（13分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=—％+5與天軸交于點直線，2與1軸、》軸分別交

于點B（—4,0）和點C,且與直線八交于點。（2,m）.

（1）求直線%的解析式；

（2）若點￡為線段BC上一個動點，過點￡作EF_L久軸，垂足為足且與直線人交于點G,當EG=6時，

求點G的坐標；

（3）若在平面上存在點〃，使得以點4C,D,