高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊課時過程性評價四十函數模型的應用含答案四十函數模型的應用(時間:45分鐘分值:70分)【基礎全面練】1.(5分)2022年6月5日上午10時44分,我國在酒泉衛星發射中心使用長征二號F運載火箭,將神舟十四號載人飛船和3名中國航天員送入太空這標志著中國空間站任務轉入建造階段后的首次載人飛行任務正式開啟.火箭在發射時會產生巨大的噪音,已知聲音的聲強級d(x)(單位:dB)與聲強x(單位:W/m2)滿足d(x)=10lgx10-12.若人交談時的聲強級約為50dB,且火箭發射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為109A.130dB B.140dBC.150dB D.160dB【解析】選B.設人交談時的聲強為x1,則火箭發射時的聲強為109x1,則50=10lgx110-12,解得:x1=10-7,則火箭發射時的聲強為109×10-7=102,將其代入10lgx10-12中,得:d(102)=10lg2.(5分)(2024·渭南高一檢測)對于一個聲強為I(單位:W/m2)的聲波,其聲強級L(單位:dB)可由如下公式計算:L=10lgII0(其中I0是能引起聽覺的最弱聲強),設聲強為I1時的聲強級為70dB,聲強為I2時的聲強級為60dB,則I1是I2的(A.10倍 B.100倍C.1000倍 D.10000倍【解析】選A.令L=70,則10lgI1I0=70,解得:I1=107I0,令L解得:I2=106I0,故I1I2=3.(5分)(2024·定西高一檢測)2023年2月27日,學堂梁子遺址入圍2022年度全國十大考古新發現終評項目.該遺址先后發現石制品300多件,已知石制品化石樣本中碳14質量N隨時間t(單位:年)的衰變規律滿足N=N0(12)

t5730(N0表示碳14原有的質量).(參考數據:ln2≈0.69,ln5≈1.61)A.8370年 B.8330年C.3850年 D.3820年【解析】選D.依題意得:NN0=58=(1等式兩邊取以e為底的對數并整理得:ln5-3ln2=-t5730ln2,解得t代入ln2≈0.69,ln5≈1.61,即得t≈57304.(5分)(2024·太原高一檢測)單利和復利是銀行常用的兩種計息方式:如果按單利計算,則本金不會發生任何變化;如果按復利計算,則前一期的利息和本金可以加在一起算作下一期的本金.已知銀行甲與銀行乙定期儲蓄的年利率分別是1.75%和2.05%.某同學有壓歲錢1000元,現計劃按某種計息方式存入銀行甲或銀行乙,則存滿5年后,利息的最大值與最小值的差約是()(參考數據:1.01754≈1.072,1.01755≈1.091,1.02054≈1.085,1.02055≈1.107)A.11.5元 B.15元C.16元 D.19.5元【解析】選D.不同的選擇方案共4種:(1)選擇單利,存入銀行甲,則利息為1000×0.0175×5=87.5(元),(2)選擇復利,存入銀行甲,則利息為1000×1.01755-1000≈91(元),(3)選擇單利,存入銀行乙,則利息為1000×0.0205×5=102.5(元),(4)選擇復利,存入銀行乙,則利息為1000×1.02055-1000≈107(元),其中方案(4)的利息最大,方案(1)的利息最小,差值為107-87.5=19.5(元).5.(5分)某工廠生產一種溶液,按市場要求該溶液的雜質含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質含量為2%,現進行過濾,已知每過濾一次雜質含量減少13,若使這種溶液的雜質含量達到市場要求,則過濾次數最少為(參考數據:lg2≈0.lg3≈0.477)()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】選B.設經過n次過濾,這種溶液的雜質含量達到市場要求,則2100×(23)n≤即(23)n≤120,兩邊取對數,得nlg即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈76.(5分)(多選)當生物死亡后,它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減,大約每經過5730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”,設生物死亡年數為x,死亡生物體內碳14的含量為y(把剛死亡的生物體內碳14含量看成1個單位),則下列敘述正確的是()A.函數解析式為y=(12)

15B.碳14的年衰減率為(12)C.經過九個“半衰期”后,碳14的含量不足死亡前的千分之一D.在2010年,某遺址檢測出碳14的殘留量為55.2%(log120.552≈【解析】選AD.依題意,對于A:因為機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減,大約每經過5730年衰減為原來的一半,所以x年后體內的碳14含量應為原來的(12)

所以函數解析式為y=1×(12)

x5730=(12對于B:設每年的衰減率為k,原來的碳14含量為A,則有A-A(1-k)5730=A2,(1-k)5730=12,解得k=1-(12對于C:經過九個“半衰期”后,y=(12)

9×57305730對于D:因為碳14的殘留量為55.2%(log120.552≈所以55.2%=(12)

x5730,即log12解得x≈4912,由4912-2010=2902,可知該遺址大概是公元前2903年建成的,所以D選項正確.7.(5分)有關數據顯示中國快遞行業產生的包裝垃圾在2020年約為400萬噸,2021年的年增長率為50%.有專家預測,如果不采取措施,未來包裝垃圾還將以此增長率增長,從年開始,快遞行業產生的包裝垃圾超過4000萬噸.(參考數據:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771).

【解析】設快遞行業產生的包裝垃圾為y萬噸,n表示從2020年開始增加的年份的數量,由題意可得y=400×(1+50%)n=400×(32)n由于第n年快遞行業產生的包裝垃圾超過4000萬噸,所以400×(32)n>4000,所以(32)兩邊取對數可得n(lg3-lg2)>1,所以n(0.4771-0.3010)>1,即0.1761n>1,解得n>5.68,又n∈N,故n的最小值為6,所以從2020+6=2026年開始,快遞行業產生的包裝垃圾超過4000萬噸.答案:20268.(5分)(2024·北京高一檢測)假設你有一筆資金用于投資,現有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如圖所示:橫軸為投資時間(單位:天),縱軸為回報,根據以上信息,若使回報最多,下列說法正確的是;

①投資3天以內(含3天),采用方案一;②投資4天,不采用方案三;③投資6天,采用方案二;④投資10天,采用方案二.【解析】觀察圖象,從每天回報看,在第一天到第三天,方案一最多,①正確;在第四天,方案一、方案二一樣多,方案三最少,②正確;在第五到第八天,方案二最多,③正確;從第九天開始,方案三比其他兩個方案所得回報都多,④不正確.答案:①②③9.(5分)燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬,研究燕子的專家發現,兩歲燕子的飛行速度可以表示為v=5log2q10(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,則燕子靜止時的耗氧量為.當一只兩歲燕子的耗氧量為80個單位時,其飛行速度是【解析】由題意,燕子靜止時v=0,即5log2q10解得q=10;當q=80時,v=5log28010=15(m/s)答案:10個單位15m/s10.(10分)(2024·成都高一檢測)某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當銷售利潤不超過20萬元時,按銷售利潤的10%進行獎勵;當銷售利潤超過20萬元時,若超出A萬元,則超出部分按2log2(A+5)進行獎勵,記獎金為y(單位:萬元),銷售利潤為x(單位:萬元).(1)寫出獎金y關于銷售利潤x的關系式;【解析】(1)根據題意可知,當銷售利潤0≤x≤20時,y=0.1x;當x>20時,y=0.1×20+2log2(x-20+5)=2+2log2(x-15);所以可得獎金y關于銷售利潤x的關系式為y=0.(2)如果業務員老江獲得10萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元?【解析】(2)易知當0≤x≤20時,獎金不可能為10萬元,所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31;即業務員老江的銷售利潤是31萬元.【綜合應用練】11.(5分)為了給地球減負,提高資源利用率,全國掀起了垃圾分類的熱潮,垃圾分類已經成為新時尚,假設某市2023年全年用于垃圾分類的資金為5000萬元,在此基礎上,每年投入的資金比上一年增長20%,則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是(參考數據:lg1.2≈0.079,lg2.56≈0.408)()A.2027年 B.2028年C.2029年 D.2030年【解析】選C.設2023年后第x年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元,則5000(1+20%)x>12800,即1.2x>2.56,解得x>log1.22.56=lg2.56lg1則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是2029.12.(10分)(2024·巴中高一檢測)科學實驗中,實驗員將某種染料倒入裝有水的透明水桶,想測試染料的擴散效果,染料在水桶中擴散的速度是先快后慢,1秒后染料擴散的體積是1cm3,2秒后染料擴散的體積是3cm3,染料擴散的體積y與時間x(單位:秒)的關系有兩種函數模型可供選擇:①y=m3x,②y=mlog3x+b,其中m,b均為常數.(1)試判斷哪個函數模型更合適,并求出該模型的解析式;【解析】(1)因為函數y=m3x中,y隨x的增長而增長,且增長的速度越來越快;函數y=mlog3x+b中,y隨x的增長而增長,且增長的速度越來越慢,根據染料擴散的速度是先快后慢,所以選第二個模型更合適,即y=mlog3x+b,由題意可得:mlog3所以該模型的解析式為y=2log23log3x+1=2log2x+1.(2)若染料擴散的體積達到5cm3,至少需要多少秒.【解析】(2)由(1)知:y=2log2x+1,由題意知:y≥5,即2log2x+1≥5,則有2log2x≥4,解得x≥4,所以至少需要4秒.四十八誘導公式(二)(時間:45分鐘分值:100分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·莆田高一檢測)已知點P(-12,1)是角α終邊上一點,則sin(5π2+A.55 B.-55 C.255 【解析】選B.設平面直角坐標系的原點為O,則|OP|=(-12所以sin(5π2+α)=cosα=-12【補償訓練】已知sin(π2+θ)<0,tan(π-θ)>0,則角θA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.由sin(π2+θ)<0得cosθ<0,tan(π-θ)>0得tanθ<0,所以θ為第二象限的角2.(5分)(2024·北京高一檢測)在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關于直線y=x對稱,若sinα=45,則cosβA.-45 B.45 C.-35 【解析】選B.因為平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關于直線y=x對稱,所以α+β2=π4+kπ,k∈Z,即α+β=π2+2kπ,k∈Z,所以β=π2-α+2kπ,k所以cosβ=cos(π2-α+2kπ)=sinα=45(k∈3.(5分)已知sin(3π8+α)=13,則cos(π8A.-13 B.13 C.-33 【解析】選B.cos(π8-α)=sin[π2-(π8-α)]=sin(3π8+4.(5分)(2024·菏澤高一檢測)化簡cos(A.1tan2α B.-1tan2α C.tanα【解析】選C.cos(α-3π)cos【補償訓練】已知函數f(x)=atan(π-x)+bcos(x+π2)+2023,若f(m)=2021,則f(-mA.-2024 B.-2025C.2024 D.2025【解析】選D.因為f(x)=atan(π-x)+bcos(x+π2)+2023=-atanx-bsinx設函數g(x)=f(x)-2023=-atanx-bsinx,則g(-x)=atanx+bsinx=-g(x),即g(x)是奇函數,又f(x)=g(x)+2023,所以f(m)+f(-m)=g(m)+2023+g(-m)+2023=4046,又f(m)=2021,所以f(-m)=2025.5.(5分)(2024·長春高一檢測)已知角α,β,γ滿足α+β+γ=π,則下列結論錯誤的是()A.sin(α+β)=sinγ B.cos(α+β)=cosγC.sinα+β2=cosγ2 D.【解析】選B.因為α+β+γ=π,所以sin(α+β)=sin(π-γ)=sinγ,選項A正確;cos(α+β)=cos(π-γ)=-cosγ,選項B錯誤;α+β+γ2=π2,sinα+cosα+β2=cos(π2-γ【補償訓練】(2024·揚州高一檢測)已知A,B,C是△ABC的內角,下列等式中錯誤的是()A.sin2(A+B)+cos2C=1B.sinπ-AC.cos(A+B)=cosCD.tanA+B2【解析】選C.在△ABC中,A+B+C=π.對于A,sin2(A+B)+cos2C=sin2C+cos2C=1,A正確;對于B,因為π-A4+π+A4=π對于C,cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,C錯誤;對于D,tanA+B2·tanC2=tan(π2-C2=cosC2sin6.(5分)(多選)下列結論正確的是()A.sin(α-π2)=-cosB.cos(α-π)=-cosαC.tan(-α-π)=-tanαD.cos(5π2+α)=sin【解析】選ABC.對于A,sin(α-π2)=-sin(π2-α)=-cos對于B,cos(α-π)=cos(π-α)=-cosα,故B正確;對于C,tan(-α-π)=-tan(α+π)=-tanα,故C正確;對于D,cos(5π2+α)=cos(2π+π2+α)=cos(π2+α)=-sin7.(5分)化簡:sin(α【解析】因為sin(α-π2)=-sin(π2-α)=-coscos(3π2+α)=sinα,tan(π+α)=tanαtan(-π+α)=tanα,sin(π-α)=sinα,所以sin(α-答案:-cosα8.(5分)(2024·榆林高一檢測)已知tanθ=2,則sinθsin(3π2+θ)=【解析】因為tanθ=2,所以原式=-sinθcosθ=-sinθcosθsin2答案:-29.(5分)(2024·佳木斯高一檢測)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°等于.

【解析】設S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°,因為sin21°=cos289°,sin22°=cos288°,sin23°=cos287°,…,sin289°=cos21°,所以S=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°,兩式相加得:2S=1×89,所以S=44.5.答案:44.510.(10分)(2024·天津高一檢測)已知sin(53°-α)=15,且-270°<α<-90°(1)求sin(127°+α)的值;【解析】(1)因為sin(53°-α)=15所以sin(127°+α)=sin[180°-(53°-α)]=sin(53°-α)=15(2)求sin(37°+α)的值.【解析】(2)因為sin(53°-α)=15,且-270°<α所以143°<53°-α<323°,又sin(53°-α)=15所以143°<53°-α<180°,所以cos(53°-α)=-1-sin2(53所以sin(37°+α)=cos(53°-α)=-26【補償訓練】已知α∈(-π,π),且sinα=-cosπ7,則αA.19π14或23π14 B.πC.-5π14或5π14 D.-5π【解析】選D.已知α∈(-π,π),且sinα=-cosπ7sinα=-cosπ7=-sin(π2-π7)=-sin5π因為α∈(-π,π),所以α=-5π14sin(-9π14)=sin(-π+5π14)=sin(-所以α=-514π或α=-914【綜合應用練】11.(5分)(2024·三明高一檢測)已知cos(α+π3)=-513,則sin(7π6-α)-2cos(2πA.-513 B.513 C.-1513 【解析】選A.sin(7π6-α)=sin[π+(π6-=-sin(π6-α)=-cos(π3+α)=cos(2π3-α)=-cos[π-(2π3-α)]=-cos(π3+α所以sin(7π6-α)-2cos(2π3-α)=513-2×512.(5分)(多選)(2024·佛山高一檢測)在△ABC中,下列等式恒成立的是()A.sin(A+B)-sinC=0B.cos(B+C)-cosA=0C.sinD.cos【解析】選AC.對于A,sin(A+B)-sinC=sinC-sinC=0,A正確;對于B,cos(B+C)-cosA=-cosA-cosA=-2cosA,B錯誤;對于C,sinA+B2對于D,cosB+C2cosA13.(5分)若α是第四象限角,且tan(π3+α)=-512,cos(π6-α【解析】因為α是第四象限角,所以-π2+2kπ<α<2kπ,k∈所以2kπ-π6<π3+α<π3+2kπ,又tan(π3+α)=-512,故π3tan(π3+α)=sin(sin2(π3+α)+cos2(π3+所以sin(π3+α)=-5所以cos(π6-α)=cos[π2-(π3+α)]=sin(π3+答案:-514.(10分)已知α是第四象限角,f(α)=sin((1)化簡f(α);【解析】(1)f(α)=sin=-=-cosα.(2)若cos(α-3π2)=35,求f(α【解析】(2)因為cos(α-3π2)=-sinα=35,即sinα=-35,又α是第四象限角,所以cosα=1-sin2α=45,所以【補償訓練】已知函數f(α)=sin(1)化簡f(α);【解析】(1)由題意得f(α)=cosα(-(2)若f(α)·f(α-3π2)=-38,且-3π4<α<-π2,求f(α)+f(α【解析】(2)由(1)知f(α-3π2)=-cos(α-3π2)=-cos(α+π因為f(α)·f(α-3π