2.1電路的基本概念和基本定律2.2直流電路的基本分析方法

2.3單相正弦交流電路

2.4功率因數及其改善的方法

2.5三相交流電路

小結2.1.1電路和電路模型

1.電路的組成

圖2-1(a)是一個簡單的手電筒電路，它由干電池、燈泡、開關和連接導線組成，需要照明時將開關閉合，電流就在電路中流通，燈泡發光。2.1電路的基本概念和基本定律圖2-1電路模型

2.電路模型

在電工技術中，為了方便對實際電路的分析和計算，通常在工程實際允許的條件下可將實際電路抽象成理想化的模型進行處理，即突出足以反映其功能的主要電磁特性，而忽略其次要因素，將實際電路器件用電路模型來替代，并按規定的圖形符號來表示。

3.電路的作用

實際電路種類繁多，功能也各不相同，其作用主要有兩個方面。2.1.2電路的基本物理量

1.電流及其參考方向

帶電粒子(電子、離子)有規則地定向移動形成電流。電流的大小是用單位時間內通過導體橫截面的電量進行衡量的，即

(2-1)電流的大小及方向都不隨時間變化時，稱其為恒定電流，簡稱直流，可表示為

(2-2)

式中，Q是在t時間內通過導體橫截面的電量。電量q(Q)的SI單位是庫侖(C)，時間t的SI單位是秒(s)時，電流i(I)的SI單位是安培(A)。即每秒通過某處的電量為1C時，則電流為1A。將電流的單位冠以詞頭(見表2-1),

即可得到電流的十進倍數單位和分數單位，常用單位有千安(kA)、毫安(mA)、微安(μA)等。表2-1常用電流SI詞頭電流不但有大小，而且有方向。習慣上把正電荷運動的方向規定為電流的實際方向。由于這些原因，在分析

電路問題時，人們引入電流參考方向的概念，即先指定某一方向為電流方向，稱為電流的參考方向，如圖2-2中實線箭頭所示。當然，所選的方向并不一定就是電流的實際方向，如圖2-2中虛線箭頭所示。圖2-2電流的參考方向

2.電壓及其參考方向

電路中，電場力將單位正電荷從某點移到另一點所做的功定義為該兩點之間的電壓，也稱電位差，用u或u(t)表示。即

(2-3)

式中，功w(t)的單位是焦(J)，電壓的單位是伏(V)。電壓的參考極性是任意指定的，一般用“+”、“-”極性表示；有時也用箭頭表示參考極性(如圖2-3所示)，箭頭由正極指向負極；也可用雙下標表示，如uAB，表示A點為“+”極，B點為“-”極。圖2-3電壓的參考方向一個元件或一段電路上的電壓、電流的參考方向可以分別獨立地任意指定，但為了方便，常常采用關聯參考方向，指定電流的參考方向從標以電壓正極性的一端指向負極性端，即兩者的參考方向一致，如圖2-4(a)所示，這時在電路圖上只需標明電流參考方向或電壓參考極性中的任何一種即可；電流、電壓參考方向相反時稱為非關聯參考方向，如圖2-4(b)所示。圖2-4關聯參考方向與非關聯參考方向

3.電位

為了分析問題方便，常在電路中指定一點作為參考點，電路中其他各點相對于參考點的電壓即是各點的電位。

電壓與電位的關系為:任意兩點A、B間的電壓等于這兩點的電位之差，即

UAB=φA-φB

(2-4)

4.電動勢

當電源與外部負載電路接通時，正電荷在電場力的作用下通過外電路由高電位端向低電位端移動，從而形成電流。

電動勢是衡量電源做功能力的物理量，電動勢的方向表示與電壓相同，但方向與電壓相反，即由低電位端(負)指向高電位(正)端。若正電荷Q在電源力的作用下沿著電源內部從b點移到a點，則電源電動勢Eba與其兩端間的電壓Uab存在以下關系:

Eba=-Uab

(2-5)

5.電功率和電能

電路中電流通過用電設備時，電能將轉換成其他形式的能量而做功。單位時間內，某段電路傳送或轉換的電能稱為電功率。電功率與電能的關系為

(2-6)

直流時為

(2-7)

電功率的標準單位為瓦特(W)，也常用千瓦(kW)、毫瓦(mW)作單位。

根據電功率的定義，某段電路在t時間內吸收或發出的電能為

W=Pt

(2-8)

1J就是1W的用電設備在1s內消耗的電能。通常電業部門用“度”作為單位來測量用戶消耗的電能，“度”是千瓦時(kWh)的簡稱。1度(或1kWh)電等于功率為1kW的元件在1小時內消耗的電能，有

1kWh=1×103W×3600s=3.6×106J

有了關聯參考方向的概念，則電功率計算式(2-6)就可以表示為以下兩種形式:當u、i為關聯參考方向時

p=ui(直流功率P=UI)

(2-9)當u、i為非關聯參考方向時

p=-ui(直流功率P=-UI)

(2-10)

【例2-1】

計算圖2-5中各元件的功率，指出是吸收還是發出功率，并求整個電路的功率。已知電路為直流電路，U1=5V，U2=-9V，U3=6V，I=2A。圖2-5例2-1電路圖

解在圖2-5中，元件1的電壓與電流為關聯參考方向，由式(2-9)得

P1=U1I=5×2=10W

故元件1吸收功率。

元件2和元件3的電壓與電流為非關聯參考方向，由式(2-10)得

P2=－U2I=－(－9)×2=18W

P3=－U3I=－6×2=－12W

整個電路功率為

P=P1+P2+P3=10+18-12=16W2.1.3電路的工作狀態

實際工作中，由于電源、負載和中間環節的連接方式不同，電路可以有通路、開路和短路三種工作狀態(見圖2-6)，下面以直流電路為例說明三者的特征。圖2-6電路的工作狀態

1.通路(負載工作狀態)

電源與負載通過中間環節接成閉合回路的情況稱為通路。在圖2-6(a)中當開關S閉合時，電流通過負載電阻消耗電能，若忽略輸電導線的電阻，根據全電路歐姆定律，有

(2-11)

UL=IRL=E-IR0

即

U=UL=E-IR0

(2-12)

2.開路

電源與負載不接成閉合回路的情況稱為開路，也稱斷路，如圖2-6(b)所示。電源處于開路狀態時，電路中的電流為零，相當于負載電阻RL等于無窮大的情況，電源不能輸出電能。此時，電源的端電壓U稱為電源開路電壓，用符號UOC表示，有

UOC=E

(2-13)

3.短路

負載電阻RL為零時或由于某種原因使電源兩端短接而直接連通的情況稱為短路，如圖2-6(c)所示。由于短路點b、c間的電阻幾乎為零，因此電流不流過負載電阻RL。此時電源輸出的電流稱為短路電流，用符號IS表示，有

(2-14)

【例2-2】實驗中測出某電源的開路電壓UOC＝10V，

短路電流IS＝100A，求該電源的電動勢和內阻。

解據式(2-13)得

E=UOC=10V

據式(2-14)得

2.1.4電阻和歐姆定律

1.歐姆定律

電阻元件是電路中最常見的元件，它由各種導電材料做成，在電路中起限制和調節電流等作用。電阻元件流過電流時要消耗電能，因此電阻元件是耗能元件。電阻元件的圖形符號如圖2-7(a)所示。圖2-7電阻元件及其伏安特性曲線在電壓、電流關聯參考方向下，其端鈕的伏安關系為

u=Ri

(2-15)

這就是我們熟悉的歐姆定律。把電阻元件兩端所加的電壓U和流過該電阻元件的電流I之比值R稱為電阻元件的電阻值，簡稱為電阻，其計算式為

(2-16)電阻的倒數稱為電導，用符號G來表示，即

(2-17)

電導的單位是西門子(S)。用電導表征線性電阻元件時，歐姆定律表示為

(2-18)

2.影響導體電阻的參數

導體的電阻不僅與材料的導電能力有關，還與導體的尺寸有關。可用下式表示

(2-19)知道導體的溫度系數，就可以算出材料在溫度變化時的電阻。例如，R1是溫度為t1時的導體電阻，R2是溫度為t2時的導體電阻，它們之間的關系可用下式表示

(2-20)

3.焦耳—楞次定律

電流流過電阻元件時，電阻元件吸收電能并全部轉換成熱能，使電阻元件發熱，發熱量Q與其吸收的電能W相等。電阻元件在t1-t2時間內的發熱量為

(2-21)

這就是焦耳—楞次定律。當流過的電流是直流時，焦耳—楞次定律表示為

Q=W=RI2(t2-t1)=

(t2-t1)

(2-22)

4.電氣設備的額定值

電氣設備或元件長期正常運行的電流容許值稱為額定電流，其長期正常運行的電壓容許值稱為額定電壓；額定電壓和額定電流的乘積為額定功率，即

PN=UNIN

(2-23)

【例2-3】一只額定值為220V、100W的燈泡，接到電動勢為220V、內阻為1Ω的電源上。求:該燈泡的實際功率；該燈泡在一小時內產生的熱量；該燈泡在一天(24小時)內消耗的電能(度)。

解燈泡的電阻為

電路中的電流為

加在燈泡上的實際電壓為

UL=ILR=0.45×484=217.8V燈泡的實際功率為

PL=ULIL=217.8×0.45=98.01W

燈泡在一小時內產生的熱量為

Q=W=PLt=98.01×3600=352836J

燈泡在一天(24小時)內消耗的電能為

W=PLt=98.01×24=2352.24Wh=2.35224kWh2.1.5基爾霍夫定律

在電路分析計算中，其依據來源于兩種電路規律:一種是各類理想電路元件的伏安特性，這取決于元件本身的電磁性質，即各元件的伏安關系，與電路連接狀況無關；另一種是與電路的結構及連接狀況有關的定律，這些定律與組成電路的元件性質無關。基爾霍夫定律就是表達電壓、電流在結構方面的規律和關系的。

(1)支路。

(2)節點。電路中三條或三條以上支路的連接點稱為節點。圖2-8中有兩個節點，即b節點、e節點。

(3)回路。電路中任一閉合路徑稱為回路。基爾霍夫定律包括電流定律和電壓定律。

1.基爾霍夫電流定律(簡稱KCL)

基爾霍夫電流定律用于確定連接于同一節點的各支路電流間的關系。圖2-8復雜電路因此，對電路中任一節點而言，任一時刻流入某節點的電流之和等于流出該節點的電流之和，這就是基爾霍夫電流定律，用式子表示為

∑Ii=∑Io

(2-24)

式中，Ii為流入節點的電流，Io為流出節點的電流。根據圖2-8中選定的各支路電流的參考方向，列出節點b的KCL方程為

I1+I2=I3基爾霍夫電流定律不僅適用于節點，也可以推廣應用于包圍部分電路的任一假設閉合面——稱為廣義節點。如圖2-9所示，可以將包含A、B、C三個節點的閉合面看成是一個廣義節點，容易證明在任一瞬時有

IA+IB+IC=0圖2-9KCL的擴展應用

【例2-4】應用基爾霍夫電流定律計算圖2-10電路中流過各未知元件的電流。

解選定流過各未知元件的電流參考方向，如圖2-10所示。圖2-10例2-4圖

2.基爾霍夫電壓定律(簡稱KVL)

基爾霍夫電壓定律是反映電路中各支路電壓之間關系的定律，可表述為:對于任何電路中的任一回路，在任一時刻，沿著一定的循行方向(順時針方向或逆時針方向)繞行一周，各段電壓的代數和恒為零。其數學表達式為

∑u=0

(2-25)一般規定電位升取正號，電位降取負號。因此，基爾霍夫電壓定律也可表述為:對電路中任一回路而言，電位升之和等于電位降之和，即

∑Ur=∑Uf

(2-26)

基爾霍夫電壓定律不僅適用于閉合電路，還可以推廣應用于開口電路。如圖2-11所示，運用式(2-20)可對回路列出KVL方程式

E=I1R1+I2R2+UOC

圖2-11開口電路

【例2-5】在圖2-12中I1=3mA，I2=1mA。試確定電路元件3中的電流I3和其兩端電壓Uab。

解根據KCL，對于節點a有

I1-I2+I3=0

代入數值得

(3-1)+I3=0

則I3=-2mA根據KVL和圖2-12右側回路所示繞行方向，可列寫回路的電壓平衡方程式為

-Uab-20I2+80=0

代入I2=1mA數值，得

Uab=60V圖2-12例2-5電路2.2.1電阻的串聯、并聯和混聯

實際電路中電阻的連接方式是多種多樣的，其中最簡單的是串聯和并聯形式。

1.電阻的串聯

圖2-13(a)虛線框N1內電路由三個電阻順序相連而成，并且在這些電阻中通過同一電流，這樣的連接方式稱為串聯。圖2-13(b)中，R就是N1中三個串聯電阻R1、R2、R3的等效電阻。2.2直流電路的基本分析方法圖2-13串聯電阻的等效電阻等效電阻的概念很容易推廣到有n個串聯電阻的電路。顯然，當n個電阻R1、R2、…、Rk、…、Rn相串聯時，其等效電阻為

R=R1+R2+…+Rk+…+Rn=

Rk

(2-27)

電阻串聯時，各電阻上的電壓為

(2-28)根據KCL和歐姆定律，在關聯參考方向下，圖2-14(a)中電路的電壓、電流關系為

I=G1U+G2U+G3U=(G1+G2+G3)U

(2-29)

同理可得圖2-14(b)中電路的電壓、電流關系為

I=GU

(2-30)

比較式(2-29)和式(2-30)可知，有

G=G1+G2+G3

(2-31)圖2-14并聯電阻的等效電導等效電導的概念很容易推廣到有n個并聯電阻的電路。顯然，若有n個電導為G1、G2、…、Gk、…、Gn的電阻相并聯，則等效電導為

(2-32)上式還可以寫成

(2-33)

電阻并聯時，各電阻中的電流為

(2-34)如果兩個電阻R1和R2并聯，如圖2-15(a)所示，其等效電阻R如圖2-15(b)所示，其值可計算如下：

(2-35)用式(2-34)求兩個電阻的電流分配，并將電導用電阻代替，可得

(2-36)圖2-15兩個電阻的并聯

3.電阻的混聯

電阻串聯和并聯相結合的連接方式稱為電阻的串并聯或混聯。

【例2-6】求圖2-16(a)所示電路a、b兩端的等效電阻。圖2-16例2-6電路

解將圖2-16(a)改畫成圖2-16(b)后，可以很明顯地看出串并聯關系。a、b間的等效電阻由兩個支路并聯而成，一個支路是10Ω電阻，另一個支路由兩個6Ω電阻并聯后串聯7Ω電阻構成，所以得

4.電阻的三角形連接與星形連接

電路中，有時電阻的連接既不是串聯，又不是并聯，這樣就不能用電阻的串并聯來化簡。如圖2-17(a)所示，三個電阻連接成一個閉環，由三個連接點分別引出三個接線端鈕，所構成的電路就稱為電阻的三角形(△形)連接；圖2-17(b)中，三個電阻的一端匯集于一個電路節點，另一端分別連接于三個不同的電路端鈕上，這樣構成的電路稱為電阻的星形(Y形)連接。圖2-17電阻的三角形連接和星形連接當一個Y形連接電阻變換為△形連接時，有(2-37)可將上式歸納成下面的一般公式

(2-38)

當一個△形連接電阻變換為Y形連接電阻時，有

(2-39)可將上式歸納成下面的一般公式

(2-40)

若Y形連接的3個電阻值相等，則等效△形連接的3個電阻也相等，即

(2-41)

【例2-7】計算圖2-18(a)所示電路中的電流I1。

圖2-18例2-7電路

解圖2-18(a)中的5個電阻既非串聯又非并聯，無法用串并聯等效電阻的概念求取4、3端的等效電阻。如果將接到端鈕1、2、3作三角形連接的3個電阻等效變換為星形連接，如

圖2-18(b)中所示的R1、R2、R3

，就可用串并聯方法求4、3

端的等效電阻。應用式(2-40)得

下面將圖2-18(b)化簡為圖2-18(c)的電路，其中

R4=1+R1=1+2=3Ω

R5=5+R2=5+1=6Ω

于是2.2.2支路電流法

支路電流法是分析與計算復雜電路的基本方法。這種方法以電路中每一條支路的電流為待求量，應用基爾霍夫電流定律及電壓定律分別對獨立節點、獨立回路列出與待求量數目相等的方程組，進而求解各支路電流。

【例2-8】應用支路電流法求出圖2-19電路中各支路的電流。

解

(1)選定各支路的電流參考方向，如圖2-19所示。圖2-19例2-8電路

(2)圖中有4個節點，只能列出3個獨立的節點方程式。可對A、B、C三個節點分別列出如下KCL方程式

(3)圖中有6條支路，只能列出6-4+1=3個獨立回路的KVL方程式，可對Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個網孔分別列出如下方程式

(4)將以上6個方程式聯立求解，得2.2.3疊加定理

在線性電路中，任何一條支路中的電流或電壓，都可以看成是由電路中各電源單獨作用時，在該支路中所流過的電流或產生的電壓的代數和，這就是疊加定理。

【例2-9】應用疊加定理求出圖2-19電路中各支路的電流。

解

(1)100V電壓源單獨作用時，將40V電壓源短接(注意:原有支路仍保留)，各支路電流的正方向如圖2-20(a)所示。圖2-20例2-9附圖根據歐姆定律及電阻串、并聯計算方法，得

其中:根據并聯電阻分流公式，得

根據KCL定律，得

(2)40V電壓源單獨作用時，將100V電壓源短接(注意:原有支路仍保留)，各支路電流的正方向如圖2-20(b)所示(注意:I3″的正方向已改變，與I3′的參考方向相反)。

根據歐姆定律及電阻串、并聯計算方法，得根據并聯電阻分流公式，得

根據KCL定律，得

(3)將兩個電壓源單獨作用時所求得的各支路電流進行一一對應的代數相加，得2.3.1正弦交流電的基本概念

1.正弦量三要素

大小和方向隨時間按正弦規律變化的電量稱為正弦電量，簡稱為正弦量，如正弦電壓、正弦電流等。本書約定正弦量均用小寫字母表示，如正弦電壓用u(t)表示，電流用i(t)表示，也可直接寫成u、i。下面以正弦電流為例來介紹正弦量的各種表示方法。

2.3單相正弦交流電路正弦電流的時域表示式為

i(t)=Imsin(ωt+

i)

(2-42)

波形如圖2-21所示。要確定一個正弦量，必須給出振幅Im、角頻率ω、初相i三個參數，我們把這三個參數稱為正弦量三要素，下面分別介紹。圖2-21正弦電流波形

(1)振幅。

(2)角頻率。

顯然有

(2-43)

ω與T、f的關系為

ω=2πf

(2-44)

【例2-10】已知工頻正弦量為50Hz，試求其周期T和角頻率ω。

解

即工頻正弦量的周期為0.02s，角頻率為314rad／s。

(3)相位。

①相位及初相位。

②相位差。

兩個同頻率正弦量的相位之差稱為相位差，用φ表示。如圖2-22所示的兩個正弦電流:

i1=im1sin(ωt+

)

i2＝im2sin(ωt+

)圖2-22電流i1(t)、i2(t)的波形

2.正弦量的有效值

交流電的大小和方向隨時間變化，所以不論是測量還是計算都不方便，為此引入有效值的物理量。

有效值的定義是:當某一交流電流和一直流電流分別通過同一電阻R時，如果在一個周期T內產生的熱量相等，那么這個直流電流I的數值叫做交流電流的有效值。

正弦交流電流i=Imsin(ωt+i)一個周期內在電阻R上產生的能量為

直流電流I在相同時間T內，在電阻R上產生的能量為

W=I2RT

根據有效值的定義，有

于是得

(2-45)將正弦交流電流i=Imsin(ωt+i)代入式(2-45)得即

，I稱為有效值(2-46)

Im=

I，Im稱為峰值(2-47)

同樣可定義電壓有效值(2-48)(2-49)

【例2-11】已知正弦電流i=20sin(314t+150°)A，

電壓u=10sin(314t-30°)V。試分別畫出它們的波形圖，

求出它們的有效值、頻率及相位差。

解i、u波形圖如圖2-23所示。其有效值為

i、u的頻率為

u、i的相位差為

φ=u-i=-30°-150°=-180°圖2-23例2-11波形圖2.3.2正弦量的相量表示法

1.復數的基礎知識

如圖2-24所示，向量A的復數代數表達式為A=a+jb，式中j=為虛單位(與數學中常用的i等同)。a、b為復數A的實部和虛部。圖中有向線段長度表示復數的大小，稱為復數的模，用|A|表示。有向線段與實軸正方向間的夾角，稱為復數的幅角，用表示，規定幅角的絕對值小于180°。圖2-24復數坐標各量之間的關系為

由此可將復數的代數式A=a+jb轉化為復數的三角函數形式:根據歐拉公式，可將復數的三角形式分別轉化為復數的指數形式和復數的極坐標形式:兩個復數進行加減運算時，可以用代數形式計算。

如F1=a1+jb1，F2=a2+jb2，則

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)

也可以按平行四邊形法則在復平面上作圖求得兩個復數的和，如圖2-25所示。圖2-25向量作圖法求復數的和

2.正弦量的相量表示

由式(2-46)看出，若在復數平面上畫一矢量，使矢量的長度等于正弦電流i(t)的有效值I，且以該正弦電流i(t)的角頻率ω為角速度逆時針方向勻速旋轉，它在t=0時刻與實軸正方向間的夾角為電流i(t)的初相角，如圖2-26(a)所示，這樣的矢量稱為旋轉矢量。在任意時刻t，矢量在實軸上的分量乘以即為正弦電流i(t)在該時刻的瞬時值，即i=

Isin(ωt+)。圖2-26正弦量的旋轉矢量表示

【例2-12】兩個同頻率的正弦電流和電壓分別如下，

試用相量表示電流、電壓并作相量圖。

i=141.4sin(ωt+30°)A，u=311.1sin(ωt-60°)V

解用最大值相量表示為

=141.4∠30°A，

=311.1∠-60°V用有效值相量表示為

其相量圖如圖2-27所示。圖2-27例2-12電路相量圖

3.正弦量的相量運算

【例2-13】已知兩個同頻率的電壓相量分別如下，

試求u1+u2。

解將兩個正弦電壓分別用相量表示，得=10∠30°，

=5∠-45°，角頻率為ω。

它們的相量圖如圖2-28所示，所以有圖2-28例2-13電路相量圖2.3.3基爾霍夫定律的相量形式

在正弦交流電路中，由于電壓、電流全部是同頻率的正弦量，可以推導出基爾霍夫定律的相量式:

相量形式的KCL

(2-50)

式中為支路電流相量。

相量形式的KVL

(2-51)2.3.4單一參數的正弦交流電路

1.電阻元件

在交流電路中常常遇到的白熾燈、電熱器等都可以近似為電阻性元件，其符號和參考方向如圖2-29(a)所示。圖2-29電阻中電壓、電流的符號圖、波形圖與相量圖

1)電壓與電流關系

設電阻元件的電流i=

Isin(ωt+)，電壓u=

Usin(ωt+)，依據歐姆定律

則有

U=RI，

2)相量形式及相量圖

設電阻元件的電流、電壓的相量形式分別為

=I∠，=U∠，則=RI∠

=R

。

所以，電阻元件的電流、電壓的相量表示式為

(2-52)

3)功率

電阻元件在正弦電流電路中也同樣消耗功率。由于電壓、電流隨時間變化，故各時刻消耗的功率也不相同。電路任一瞬間吸收或消耗的功率稱為瞬時功率，用p表示，即

p=ui

將正弦交流電u、i的表達式代入上式(設初相i=0)，可得

p=ui=2UIsin2(ωt)=UI［1-cos2(ωt)］(2-53)圖2-30電阻中的功率瞬時功率在一個周期內的平均值稱為平均功率，用P表示，即

(2-54)

2.電感元件

1)電壓與電流關系

將電感線圈接入交流電路中會產生感應電壓，其符號和參考方向如圖2-31(a)所示。

設經過電感的正弦電流、電壓分別為

根據電磁感應定律可見電感上的電壓超前電流90°，即u與i正交，有效值關系為U=ωLI。圖2-31(b)畫出了電感中電流、電壓的波形圖。圖2-31電路中電流、電壓的波形圖與相量圖

2)相量形式及相量圖

設電感元件的電流、電壓的相量形式分別為

則

所以，電感元件的電流、電壓的相量表示式為

(2-55)

3)感抗

電感中電壓與電流的有效值關系為U=ωLI，則

(2-56)

引進了感抗以后，式(2-56)可寫作

(2-57)

4)功率

電感L吸收的瞬時功率(設

=0)為

(2-58)圖2-32畫出了p隨時間變化的規律。其瞬時功率是一個正弦變量，其最大值為UI，頻率為電流或電壓頻率的兩倍。在第一個1／4周期內，u和i的方向一致，瞬時功率p為正值，表示電感在吸收能量，并把吸收的能量轉化為磁場能量。在第二個1／4周期內，u和i方向相反，p為負值，表示電感在供出能量，原先儲存在磁場中的能量逐漸釋放直到全部放出。圖2-32電感中的功率由上述過程可見，電感元件是儲能元件，它在電路中的作用是儲存與釋放能量，并不消耗能量，即它的平均功率為零，用公式表示即為

電感不斷吸收與供出能量，或者說電感和外部之間有能量交換，這種交換能量的規模可用無功功率表示。電感元件的無功功率為

(2-59)

【例2-14】一個0.8H的電感線圈接到電壓為u(t)=220sin(314t-120°)V的電源上，試求電感元件的電流表達式和無功功率。

解電壓相量為=220∠-120°V，電感元件感抗為XL=ωL=314×0.8=251Ω，由式(2-57)得

電流表達式為

i(t)=0.876

sin(314t+150°)A

線圈的無功功率為

QL=UI=220×0.876=192.7var

3.電容元件

將兩個金屬片(或導體)用絕緣介質隔開即構成一個儲存電量q的電器，稱為電容器。

若只考慮電容器的電場效應且認為其中絕緣介質的損耗為零(即絕緣電阻為無窮大)，則此種電容器即可視為理想電容元件，如圖2-33(a)所示。圖2-33電容中電壓、電流波形圖與相量圖為了表征電容元件儲存電荷的能力，定義單位電壓下它所能儲存的電量稱為電容元件的電容量，簡稱電容，用C表示，即

(2-60)

式中q(t)為電容元件極板上的電量。C的單位為法拉(F)，有時還用微法(μF)、皮法(pF)為單位。

1)電壓與電流關系

設經過電容的正弦電流、電壓分別為由于

2)相量形式及相量圖

設電容元件的電流、電壓的相量形式分別為

則

所以，電容元件的電流、電壓的相量表示為

(2-61)

3)容抗

電容中電壓與電流的有效值關系為I=ωCU，則

(2-62)

式中具有電阻的量綱，

而且帶有對抗電流通過的性質，稱為容抗，單位為歐姆(Ω)。容抗與頻率及電容均成反比。

引進了容抗以后，式(2-62)可寫作

(2-63)

4)功率

電容C吸收的瞬時功率(設u=0)為

(2-64)圖2-34電容的功率由上述過程可見，電容元件是儲能元件，它在電路中的作用是儲存與釋放能量，并不消耗能量，即它的平均功率為零，用公式表示為

電容元件的無功功率為

(2-65)

【例2-15】

已知加在2μF電容兩端的電壓為10V，初相為60°，角頻率為106rad／s。

解本題的電路圖及電壓、電流的參考方向如圖2-35(a)所示，取關聯參考方向，得

由式(2-63)得

相量圖如圖2-35(b)所示，電流瞬時值解析式為

圖2-35例2-15電路2.3.5RLC串聯交流電路

前面介紹了單一參數的交流電路，而實際電路往往是由多種元件組成的。下面分析圖2-36(a)所示的R、L、C串聯組成的交流電路。圖2-36RLC串聯電路

1.電壓與電流關系

設該串聯電路中的電流為

由KVL可以得到此電路瞬時值電壓方程為

u=uR+uL=uC

用相量表示上式，如圖2-36(b)所示，可得

(2-66)稱為歐姆定律的相量形式，式中復數Z稱為阻抗。由式(2-66)可得(2－67)阻抗的實部就是所串聯的電阻，虛部X為感抗與容抗之差，即X=XL-XC，稱為電抗。可以求得以及（2－68）（2－69）（2－70）由于串聯電路中通過的是同一電流，所以取電流作為參考相量，電阻電壓與電流同相位，電感電壓超前于電流90°，而電容電壓滯后于電流90°，所以電感電壓與電容電壓反相。圖2-37(a)中，φ>0，是感性電路，所以電壓超前電流；圖2-37(b)中，φ<0，是容性電路，所以電壓滯后電流。

φ的正負視超前或滯后于而定。圖2-37RLC串聯電路的相量圖

R、X三者關系構成一個三角形，稱為阻抗三角形。若再將阻抗三角形的每一個邊乘以電流有效值I，又可得到電壓三角形，如圖2-38所示。這兩個三角形相似，可得(2-71)圖2-38阻抗三角形和電壓三角形

【例2-16】如圖2-39所示，

已知u=22sin314tV，R=12Ω，L=210mH，C=64μF，求i、uR、uL、uC。

解

取22∠0°為參考相量，則有

2.功率關系

1)瞬時功率

瞬時功率p=ui，即各瞬時的電壓和電流相乘之積，其波形如圖2-39所示。

2)平均功率

平均功率又稱為有功功率，式(2-54)已定義了有功功率，即

(2-72)圖2-39正弦交流電路的瞬時功率上式表明正弦電流電路中的有功功率一般并不等于電壓與電流有效值的乘積，它還與電壓、電流之間的相位差φ有關。式(2-72)中

λ=cosφ

(2-73)

3)無功功率

電感和電容雖然本身并不消耗能量，但卻會在二端網絡與外電路之間造成能量的往返交換現象。在工程上我們引入無功功率的概念(用Q表示)，來衡量電路與電源之間能量交換的規模，其表達式為

Q=UIsinφ

(2-74)若電路中既有電感又有電容，則它們在電路內部先自行交換一部分能量，其差額再與外電路進行交換，因而二端網絡由外電路吸收的無功功率Q應等于電感吸收的無功功率QL與電容吸收的無功功率QC的差，即

Q=QL-QC

(2-75)

4)視在功率

變壓器、電機及一些電氣器件的容量由它們的額定電壓和額定電流決定，所以引入視在功率的概念。對于一個電路，定義其電壓、電流有效值的乘積為視在功率，即

S=UI

(2-76)根據式(2-72)、式(2-73)、式(2-74)，可知道P、Q、S存在以下關系:

(2-77)

(2-78)因此，P、Q和S也構成一個直角三角形，見圖2-40，稱為功率三角形。

由圖2-40可得出下列關系式:

(2-79)圖2-40功率三角形

【例2-17】R、L串聯電路中，已知f=50Hz，R=300Ω，電感L=1.65H，端電壓的有效值U=220V。試求電路的功率因數、有功功率、無功功率。

解電路的阻抗

由阻抗角φ=60°，得功率因數λ=cosφ=cos60°=0.5。電路中電流的有效值為

P=UIcosφ=220×0.367×0.5=40.4W

Q=UIsinφ=220×0.367×0.866=69.9var2.4.1功率因數改善的意義

目前，在各種用電設備中，除白熾燈、電阻爐等少數電阻性負載外，其他大多屬于電感性負載。

(1)降低了供電設備的利用率。

(2)增加了供電設備和線路的功率損耗。

2.4功率因數及其改善的方法2.4.2提高功率因數的方法

提高功率因數最常用的方法有兩種:一種是在電站或變電站內用無功發電機(同步補償機)或電力電容器，對電網進行集中補償；另一種就是在電感性負載端并聯電容器，進行分散補償，如圖2-41(a)所示，圖2-41(b)則為其相量圖。圖2-41功率因數的提高根據相量圖可得，電容電流等于兩個無功電流之差，即

又由于IC=ωCU，所以需并聯的電容C為(2-80)

【例2-18】一個負載的工頻電壓為220V，功率為

10kW，功率因數為0.6，欲將功率因數提高到0.9，試求補償電容器的大小。

解由題意得，未并聯電容時，功率因數和功率因數角分別為

cosφ=0.6，φ=arccos0.6=53.1°并聯電容后功率因數和功率因數角分別為

cosφ′=0.9，φ′=arccos0.9=25.8°

由式(2-80)得所需并聯的電容為

2.5.1三相交流電源

1.三相交流電源的產生

三相正弦交流電是由三相交流發電機產生的，圖2-42是三相交流發電機的原理圖。2.5三相交流電路圖2-42三相交流發電機原理圖實際中常采用三相電壓源來分析三相電路。如果以A相為參考(初相位等于零)，則可得出對稱三相電源的瞬時表達式為

(2-81)其波形圖如圖2-43(a)所示。它們的相量表達式為

(2-82)

其相量圖如圖2-43(b)所示。由圖中可知，對稱三相電源的電壓瞬時值之和以及相量之和都等于零，即

圖2-43對稱三相電源的電源波形圖和相量圖

2.三相電源的連接

三相電源的連接有兩種方式:星形連接與三角形連接。

(1)星形連接。星形連接就是將三個電壓源的負極端X、Y、Z連接在一起而形成一個公共節點，記為N，稱為中性點；而從三個電壓源的始端A、B、C向外引出三條線，稱為端線，也稱為火線，如圖2-44所示。有時從中性點N還引出一根線，稱為中性線，當中性點接地時，中性線也稱地線或零線。圖2-44三相電源的星形連接每一相電源的電壓稱為相電壓，分別記為通常簡記為。對稱三相電源星形連接時，如設

(下標p表示相)，通過基爾霍夫定律分析運算，可得線電壓與相電壓有如下關系:

(2-83)上述線電壓與相電壓的關系可用相量圖表示，如圖2-45所示。圖2-45星形連接的電壓相量圖

(2)三角形連接。

應該指出，三相電源作三角形連接時，要注意接線的正確性。當三相電連接正確時，在三角形閉合回路中總的電壓為零，即

其相量圖如圖2-46(b)所示。但是，如果將某一相電壓源(例如A相)接反，則這時三角形回路的電壓在閉合前為

是一相電壓的兩倍，其相量圖如圖2-46(c)所示。圖2-46三相電源的三角形連接及相量圖2.5.2三相負載的連接與計算

1.星形連接

如圖2-47所示，將三相負載的末端連接在一起，這個連接點用N′表示，將其與三相電源的中性點N相聯，三相負載的首端分別接到三根火線上，這種連接形式稱為三相負載的星形連接，每相負載的阻抗為ZA、ZB、ZC。此時每相負載的額定電壓等于電源的相電壓。圖2-47三相負載的星形連接流過每根端線的電流稱為線電流，用表示，方向定為由電源流向負載；流過中性線的電流叫中性線電流,用表示，方向如圖2-47所示；而流過負載的電流叫相電流，其方向與相電壓方向一致。

顯然，在三相負載星形連接時，線電流等于相電流。

1)三相負載不對稱的情況

在三相負載不對稱的情況下，對于三相電路的計算，應每相電路分別計算。以電源A相的相電壓為參考相量，有

則

中性線中的電流可根據基爾霍夫定律得到:

2)三相負載對稱的情況

若每相負載的復阻抗均相等，即

則稱為平衡三相負載，也稱對稱三相負載。同樣以電源A相的相電壓為參考相量，有

【例2-19】在圖2-48(a)所示電路中，加在星形連接負載的三相電壓對稱，其線電壓為380V。試求:

(1)三相負載每相阻抗為ZA=ZB=ZC=(17.3+j10)Ω時各相電流和中線電流；

(2)斷開中性線后的各相電流；

(3)仍保持有中性線，但ZC改為20Ω時各相電流和中性線電流。圖2-48例2-19電路

解

(1)由于三相電壓對稱，負載也對稱，因此負載的相電壓為

設，則

各相電流為因為負載也對稱，所以其余兩相可直接按對稱性寫出:中線電流為

(2)由于三相電壓對稱，負載也對稱，三相電流也對稱，中性線電流為零，所以斷開中性線后的各相電流不變。

(3)ZC改變后