立體幾何建系非常規題型1．如圖，△ABC為正三角形，且BC＝CD＝2，CD⊥BC，將△ABC沿BC翻折．（I）若點A的射影在BD上，求AD的長；（Ⅱ）若點A的射影在△BCD內，且直線AB與平面ACD所成角的正弦值為，求AD的長．題型一：利用平行向量2．如圖，在四棱柱中，，是等邊三角形，．（1）求證：；（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值．3．已知三棱柱中，平面平面，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小．4．在三棱柱中，，，，平面，是的中點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.題型二：設點坐標xyz5．如圖，，且，，，（1）若，求證：面面BDE;（2）若，求直線AD與平面DCE所成角的正弦值．6．如圖，在中，，，為的中點，，.現將沿翻折至，得四棱錐.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正切值7．如圖，正方形的邊長為2，點，分別為，的中點，將，分別沿，折起，使，兩點重合于點，連接.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求與平面所成角的余弦值.11．如圖，在三棱臺中，平面平面，，，.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.12．在正三棱臺中，，BC的中點為E，．（Ⅰ）求證：面；（Ⅱ）求與面所成角的正弦值．13．如圖，在四棱錐中，四邊形為邊長為2的菱形，，，為的中點，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值．14.如圖，在平行六面體，，，為矩形．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．題型三：補形9．如圖，在三棱臺中，平面平面，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．10．在三棱臺中，，平面平面（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.8．如圖，在三棱錐中，為線段的中點.已知，且二面角的平面角大小為.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.參考答案1．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據勾股定理逆定理可知，然后利用線面垂直的判定定理可知結果.（2）解法1通過作輔助線，找到直線與平面所成角，然后根據三角函數的知識進行求解即可；解法2利用建系，求得平面的一個法向量，然后按公式計算即可.【詳解】（1）證明：如圖，連接由，所以為等邊三角形因為，所以，所以，又平面，所以平面.（2）解法1：如圖，設E為的中點，連結，作于F.因為平面，，所以平面，又平面，所以.在中，，D為的中點，所以，又，所以平面.因為，所以平面，所以，又因為平面，所以平面，所以直線與平面所成角為.在中，，所以，所以.因此，直線與平面所成角的正弦值為.解法2：如圖，以C為原點，以射線分別為x，y軸正半軸，建立空間直角坐標系，則因此，.設平面的法向量為，由，得可取.設直線與平面所成角為，則.因此，直線與平面所成角的正弦值是.【點睛】方法點睛：證明線面平行的方法：（1）根據線線平行得到線面平行（線面平行判定定理）；（2）根據面面平行得到線面平行；（3）向量法；線面角的一般求法；（1）根據定義找到線面角；（2）向量法.2．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）取的中點，連接，，先證明平面，再證明平面即可；（2）由（1）知，平面，則以為坐標原點，以，所在直線分別為軸、軸，在平面內過且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標系，分別求得的坐標和平面的一個法向量為，然后由求解.【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，，因為是等邊三角形，所以，．又，，所以，所以，所以．又，平面，，所以平面．又平面，所以，因為，所以．因為，，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）由（1）知，平面，則以為坐標原點，以，所在直線分別為軸、軸，在平面內過且垂直于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，．設平面的一個法向量為，則即取，則，則平面的一個法向量為．從而，所以直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】方法點睛：證明直線和平面垂直的常用方法：①線面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；④面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑤面面垂直的性質．3．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）作于，可證面，則，結合勾股定理可證，即可證得平面；（Ⅱ）幾何法：取的中點，易證面，則為所求線面角；坐標法：以中點為坐標原點建立空間直角坐標系，用向量坐標夾角公式求解即可.【詳解】（Ⅰ）如圖所示：證：作于．因為，面，面面且交于．∴面，因為面，∴（1）在中，由，，得到∴，即（2），由（1）（2）得面．（Ⅱ）方法1（幾何法）如圖所示：取的中點，取的中點，連，，則，由（Ⅰ）可知面面，且面面所以面，則為所求線面角．在，設，則，由、分別為，中點，得，在中，，即直線與平面所成角方法2（坐標法）以中點為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系：設，，，，，，．設平面的法向量，則由，解得．取．，記所求線面角為，則．即直線與平面所成角．【點睛】求直線與平面所成的角的一般步驟：（1）、①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解．（2）、用空間向量坐標公式求解.4．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由，，得平面，平面，可得答案.（2）以為原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量由數量積公式可得答案.【詳解】（1）由平面，平面，得，又，，故平面，平面，故平面平面.（2）以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，又，，故，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，設直線與平面所成的角為，故，即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直的判定、線面角的求法，證明線面垂直可以證明面面垂直，也可以用直線的方向向量與平面的法向量共線證明，用向量法求線面角只需找到直線的方向向量和平面的法向量再利用數量積公式可求得答案，本題考查了學生的空間想象力和計算能力.5．（1）見解析，（1）【分析】（1）由，可得，結合可得平面，再利用面面垂直的判定可證明；（2）由余弦定理求出，以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線AD與平面DCE所成角的正弦值．【詳解】解：證明：因為，且，，，所以，所以，所以，因為，,所以平面，因為平面，所以面面BDE;（2）解：因為，且，，，所以，以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，則,設，因為,所以，解得，所以，因為,,所以，,，設平面的法向量為，則，令，則，設直線AD與平面DCE所成角為，因為，所以直線與平面DCE所成角為，所以，所以直線AD與平面DCE所成角的正弦值為【點睛】此題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等知識，考查運算能力，屬于中檔題.6．（1）證明見解析；（2）7【分析】（1）設為的中點，通過證明，來證明面，從而證得；（2）法一：連結，設在面上的射影點為，則由題知點在上，且為直線與平面所成角，通過條件算出，，即可求得直線與平面所成角的正切值；法二：如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，運用向量法求解直線與平面所成角的正切值.【詳解】（1）設為的中點，為的中點，，則，故，則，又，則，所以是的角平分線，且三點共線.由，且,得面，則；（2）法一：連結.由平面得，平面平面，交線為，所以在面上的射影點在上，為直線與平面所成角.在中，，由余弦定理得，，故，，又，在得，由余弦定理得，則，所以，由（1）得為角平分線，在中，，由余弦定理得，則，所以，所以直線與平面所成角的正切值為7.法二：如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系.，設，由，得，得.,平面法向量為，設直線與平面所成角為，所以，,則，所以直線與平面所成角的正切值為7.【點睛】本題主要考查了直線與直線垂直的證明，直線與平面所成角的求解，考查了轉化與化歸的思想，考查了學生的直觀想象，邏輯推理與運算求解能力.7．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由已知易證平面，可得，又由可得證；（Ⅱ）法一：在內過點作于點，可證為所求線面角；法二：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，用空間向量方法求解.【詳解】解：（Ⅰ）∵，，∴平面，又平面，∴.由已知可得，∴平面.（Ⅱ）法一：在內過點作于點.由（Ⅰ）知平面平面，平面平面，則即為與平面所成角.設與交于點，連接，則，.又平面，平面，，在，，.∴，即與平面所成角的余弦值.法二：以點為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系.則，，，，設，則，解得，于是.又平面的一個法向量為，故.因此，與平面所成角的余弦值.【點睛】本題考查了線面垂直的證明和線面角的求法，考查了直觀想象能力和數學計算能力，屬于中檔題.8．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）過點A作，連接PQ，取中點，連接，證明平面，利用線面垂直的性質得到；（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸正方向，建立空間直角坐標系，用向量法計算即可.【詳解】解：（1）證明：如圖，過點A作，連接PQ..又，∴易知為二面角的平面角，即，.取中點，連接，則.又，平面.又平面，.（2）由（1）知兩兩垂直，故以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則則設平面的一個法向量為，則即不妨設，則.設直線與平面所成角為.則.即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】立體幾何解答題的基本結構：(1)第一問一般是幾何關系的證明，用判定定理；(2)第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通常可以建立空間直角坐標系，利用向量法計算．9．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）先證明平面，再證得；（2）可作出線面角再計算，也可以用向量法求解.【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴；∵，∴；∵，∴平面，∵平面，∴；（2）法一：∵平面，∵平面，∴平面平面，作交延長線于點H，∵平面平面，∴平面，∴即所求線面角；算得，，；所以直線與平面所成角的正弦值為．法二：以A為原點，，分別為y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，，，延長棱臺的三條側棱交于點P，∵且，則是中點，；∴，，，∴平面的法向量，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.10．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）過作于，由面面垂直得平面，從而有，再結合已知可得線面垂直后得線線垂直；（2）將三棱臺補體成三棱錐，以為原點建立空間直角坐標系(如圖)，設，得出各點坐標，求出平面的法向量，由空間向量法求得線面角的正弦值．【詳解】解：（1）過作于，因為面面，面面，所以平面，而平面，所以，又，平面，所以面，又平面所以平面平面（2）將三棱臺補體成三棱錐，則分別是的中點，是正三角形，設，以為原點建立空間直角坐標系(如圖)，設平面的法向量為由，有，令得.．【點睛】方法點睛：本題考查證明面面垂直，求直線與平面所成的角．求線面角的常用方法（1）定義法，作出直線在平面內的射影（主要過直線上一點作平面的垂線），由直線與射影的夾角得出直線與平面所成的角（注意證明），然后解三角形得結論；（2）空間向量法，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，由直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值得線面角的正弦值．11．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由余弦定理知求出，從而可得，再利用面面垂直的性質定理可得平面，進而可得.（2）方法一：直線與平面所成角即為直線與平面所成角，由（1）可得為所求角，在中，利用余弦定理可得，在中即可求解；方法二：以點為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可求解.【詳解】（1）證明：設，則，又，由余弦定理知：.由勾股定理的逆定理知：，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）方法一：解：直線與平面所成角即為直線與平面所成角，由（1）知∴平面，∴為所求角.，則，又，，由余弦定理知：，∴在直角三角形中，，（2）方法二：解：令，則，又，，由余弦定理知：，∴，∴，∴平面，∴，∴，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，，，設點為，則得到：.∴，∴，設平面的法向量為，得到，又，∴.【點睛】本題考查了面面垂直的性質定理、定義法求線面角、空間向量法求線面角，考查了考生的計算能力，屬于基礎題.12．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）取上的點，使得，連，通過證明四邊形是平形四邊形，可得，再根據直線與平面平行的判定定理可證結論；（Ⅱ）取的中點，以、為、軸建立空間直角坐標系，設，根據，，，列方程組解出的坐標，再利用法向量求出與面所成角的正弦值．【詳解】（Ⅰ）取上的點，使得，連，因為，則，，則，所以四邊形是平形四邊形，∴，因為面，面，所以面．（Ⅱ）取的中點，以、為、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設，在正三棱臺中，因為，所以，，，，所以，解得，，(負值已舍)，所以，設面的法向量為，，所以，所以，取，則，所以，所以；【點睛】本題考查了直線與平面平行的判定定理，考查了空間兩點間的距離公式，考查了線面角的向量求法，屬于中檔題.13．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）連接，交于點，連接，然后利用中位線定理和線